Новый адиабатический метод вычисления поправок к энергии связанного состояния в квантовой электродинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ФЕДОРОВА Татьяна Александровна

НОВЫЙ АДИАБАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОПРАВОК К ЭНЕРГИИ СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВОЙ х ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Специальность 01.04.02. — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Работа выполнена на кафедре квантовой механики НИИ физики Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Дмитриев Ю. Ю.,

Официальные оппоненты:

доктор физ. - мат. наук, с. н. с. Шерстюк А. И.

доктор физ. - мат. наук, профессор Тулуб А. В.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова.

Защита диссертации состоится „ (О « 1998 г.

в /5~^часов на заседании диссертационного совета К. 063.57.17 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Ст. Пете

Отзывы просим направлять по адресу: 198904, Санкт-Петербург ' Ульяновская ул., д. 1, НИИФ СПбГУ, диссертационный совет К.063.57.17

С диссертацией можно Ьзнакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан „ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ. - мат. наук

С. Н. Манида

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Последние экспериментальные достижения в области исследования многозарядных ионов вызвали новый интерес к квантовоэлектродинами-ческой теории связанных состояний. Особенную важность приобретает в этом случае возможность корректного получения поправок к энергии в высших порядках теории возмущений. Так, например, в измерениях сдвига энергии 2р1 — в Ы-подобном уране для величины 2 2

КЭД вклада было получено значение -41.65(10) эв. Для нахождения теоретического значения указанной величины необходимо последовательно учитывать поправки к энергии второго порядка по а, где а - постоянная тонкой структуры.

К настоящему моменту проблему расчета КЭ Д эффектов в многозарядных ионах в первом порядке по а можно считать решенной. Однако актуальным остается поиск метода, позволяющего при описании связанных электронов осуществлять последовательный переход от низших порядков теории возмущений к высшим. Основная сложность при этом заключается в нахождении корректного и не слишком громоздкого способа сокращения расходимо-стей. В данной диссертации предлагается новый подход как к сокращению инфракрасных расходимостей, так и к проблеме перенормировки, т.е. к сокращению ультрафиолетовых расходимостей. Этот подход является альтернативой уже имеющимся методам и позволяет получать расчетные формулы в замкнутом конечном виде.

Целью работы является дальнейшее исследование адиабатического формализма Гелл-Макна и Лоу и построение на его основе нового адиабатического метода

расчета поправок к энергии в квантовой электродинамике. Основные положения нового метода сформулированы в первой части работы.

Во второй части работы на основании этого метода получены формулы для расчета величины вклада в сдвиг энергии от обмена двумя фотонами между двумя электронами и исследование предельного случая равных од-ноэлектронных энергий. При этом наглядно демонстрируется полное сокращение инфракрасных расходимостей во всех рассматриваемых случаях.

В третьей части работы рассматривается применение нового адиабатического подхода для вывода формулы собственной энергии связанного электрона в низшем порядке теории возмущений. При этом для перенормировки полученного выражения используется метод разложения матричных влементов в ряды по кратным коммутаторам и метод прямой числейной перенормировки.

Научная новизна проведенных исследований определяется следующими положениями:

1. Предложен новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в КЭД, который позволяет обойти трудности классического метода Гелл-Манна и Лоу и имеет ряд преимуществ по сравнению с другими методами.

2. Получены более простые замкнутые выражения для вычисления величины вклада в сдвиг энергии от "приводимых" и-"неприводимых" фейнмановских диаграмм двухфотонного обмена. Проделан анализ этих формул и найден их предел в случае равных одноэлектронных энергий.

3. Предложен новый метод перенормировки собственной энергии связанного электрона. Этот метод основан

на аналитическом выдеяешш всех расходящихся слагаемых с помощью разложения по кратным коммутаторам. Для оставшихся конечных слагаемых используется прямая численная перенормировка.

4. Численно подтверждена справедливость метода разложения по кратным коммутаторам. Получены численные значения собственной анергии связанного электрона в низшем порядке теории возмущений для очень широкого диапазона значений зарядов ядра Z.

Научная и практическая значимость работы. Подход, развитый в диссертации, позволяет избежать громоздких вычислений, связанных с нахождением адиабатического предела и сокращением инфракрасных рас-ходимостей, возникающих в классическом методе Гелл-Манна и Лоу. Это связано с тем, что в новом методе поправки к энергии представляются в виде контурных интегралов по адиабатическому параметру 7 и поиск адиабатического предела сводится к вычислению этих интегралов. Кроме того, на основании нового подхода можно последовательно вводить в рассмотрение случаи вырождения и сплошного спектра, что особенно валено при работе со связанными электронами в атоме. При этом он не требует введения никаких дополнительных параметров, кроме адиабатического параметра 7, и дает возможность достаточно просто осуществлять переход ч высшие порядки теории возмущений.

Новый подход к проблеме перенормировки, развитый в диссертации, позволяет аналитически выделять ультрафиолетовые расходимости, избегая при этом слож-шх аналитических преобразований, возникающих при использовании фейнмановской регуляризации. Кроме того, поскольку расчетное выражение для собственной

энергии связанного электрона в новом методе не содержит расходящихся слагаемых, этот метод позволяет также избежать проблем, связанных с потерей точности при прямом численном сокращении расходимостей.

Основные защищаемые положения.

1. Разработан новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в квантовой электродинамике, с помощью которого можно обойти трудности классического подхода, связанные с вычислением адиабатического предела. Новый метод позволяет корректно вводить в рассмотрение как изолированный невырожденный уровень энергии, так и вырожденный уровень или уровень, помещенный в сплошной спектр. В этом методе поправки к энергии представляются в виде контурных интегралов по адиабатическому параметру 7. В рамках данного метода легко демонстрируется сокращение инфракрасных расходимостей.

2. С помощью нового метода получено расчетное выражение для величины вклада в сдвиг энергии основного состояния двухэлектронного многозарядного иона от приводимой фейнмановской диаграммы двухфотонно-го обмена.

3. Выведены замкнутые расчетные выражения для величины вклада в сдвиг энергии от "приводимых" и "неприводимых" фейнманойских диаграмм двухфотонно-го обмена в случае неравных одноэлектронных энергий. Эти выражения записаны в новом, более простом виде. Впервые проведено исследование вкладов от этих диаграмм в предельном случае равных энергий.

4. Предложен новый подход к процедуре перенормировки, основанный на аналитическом выделении расходящихся слагаемых с помощью разложения матричных

элементов в ряды по кратным коммутаторам. В результате записано новое перенормированное выражение для собственной энергии связанного электрона.

5. Произведена численная проверка справедливости метода разложения матричных элементов в ряды по кратным коммутаторами. Получены численные значения собственной энергии связанного электрона для широкого спектра зарядов ядра Ъ.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на XV научной конференции "Фундаментальная Атомная Спектроскопия", 1996 г., а также на теоретических семинарах СПбГУ. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех научных работах (три статьи в журналах и тезисы доклада).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы из 57 наименований. Изложена на 102 страницах машинописного текста, содержит 6 рисунков и б таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, поставлена цель диссертации, кратко изложено содержание диссертацйи по главам, сформулированы основные защищаемые положения.

В первой главе предлагается обзор всех основных современных методов, используемых для расчета поправок к энергии связанного состояния в квантовой электродинамике, таких как адиабатический метод Гелл-Манна

и JIоу, метод формы линии, метод функции Грина. Основное внимание уделяется возможности получения поправок к уровням энергии в высших порядках теории возмущений в рамках имеющихся методов. Проводится сравнительный анализ достоинств и недостатков данных методов.

Вторая глава посвящена изложению предлагаемого в диссертации нового адиабатического формализма.

В параграфе 2.1 описывается постановка S - матричной задачи в квантовой электродинамике, вводится понятие полной и половинной S - матрицы, или оператора эволюции на промежутках (0, —оо) , (оо, 0) и (оо, —оо). Для случал связанных электронов в атоме вводится понятие адиабатического включения и выключения взаимодействия ехр(—7|i|).

В параграфе 2.2 перечислены основные положения адиабатической теории и установлено соответствие между классическим адиабатическим формализмом Гелл-Манна и Лоу и теорией возмущений Като-Риса.

В параграфе 2.3 предлагается модифицировать оператор эволюции. Теперь, в отличие от классического подхода, при разложении ¿>7-матрицы в ряд по теории возмущений в хронологическом произведении операторов Т ^Hint (ti) • • • Hint (tj)... Hint (ti) только оператор

Hint{t) с наименьшим временем умножается на функцию включения взаимодействия ехр(—Такое переопределение оператора эволюции позволяет представить поправки к уровню энергии в виде контурных интегралов по адиабатическому параметру 7 от матричных элементов модифицированной половинной ¿^-матрицы. Показывается, что. используя стандартную адиабатическую

формулу для сдвига энергии в случае невырожденного уровня Е0

можно перейти в ней к интегральному представлению:

Контурные интегралы вычисляются в комплексной плоскости 7. Контур интегрирования I обходит точку 7 = 0. Далее доказывается, что выражение для сдвига энергии может быть записано также в терминах полной модифицированной 5^-матрицы, что является модифицированным адиабатическим представлением симметризованной формулы для сдвига энергии, полученной Съючером.

В параграфе 2.4 показывается, что новый адиабатический формализм в отличие от классического адиабатического формализма Гелл-Манна и Лоу позволяет одинаково легко рассматривать поправки как к изолиро ванному уровню энергии, так и к вырожденному уровню или уровню, помещенному в сплошной спектр.

В случае вырождения необходимо исходить из формулы для секулярного оператора, для которого матричный элемент оператора эволюции (5^) должен быть заменен оператором спроектированным на подпространство собственных состояний вырожденного уровня энергии. Это представление является обобщением формулы Съючера на случай вырожденных состояний. Следует отметить, что получение аналогичного обобщения в методе Гелл-Манна и Лоу требует дополнительных сложных преобразований.

£

ь

В случае уровня, помещенного в сплошной спектр, точка 7 = 0 становится точкой ветвления. В предлагаемом методе однозначный выбор ветви подынтегральной функции (5^) или определяется разрезом, кото-

рый начинается от точки 7 = 0 и идет вниз вдоль мнимой оси. В результате матричные элементы (5^) и {¿¡Р)м становятся аналитическими функциями 7 в правой полуплоскости и могут быть аналитически продолжены в левую. Далее в этом параграфе предлагается строгая процедура выделения и сокращения слагаемых с инфракрасными расходимостями в точке 7 = 0.

В третьей главе новый адиабатический формализм применен для вывода рабочих формул, позволяющих вы числять величину вклада в сдвиг уровня энергии от "приводимых" и "неприводимых" диаграмм двухфотон-ного обмена между двумя электронами в фейнмановской калибровке/ В данной главе рассмотрены случаи как равных однбэлектронных энергий са = еь, так и различных е

В параграфе 3.1 выведены рабочие формулы для матричных элементов однофотонного и двухфотонного обмена между двумя электронами в рамках нового адиабатического формализма. Для этого введены все необходимые определения - фейнмановских диаграмм, электронного и фотонного пропагаторов, фейнмановские правила постороения матричных элементов.

В параграфе 3.2 получена формула, позволяющая вычислять величину полного вклада в сдвиг .энергии от диаграмм однофотонного обмена между двумя электро-намит На этом примере подробно продемонстрированы два альтернативных способа вычисления интегралов по частотам и импульсам фотонов.

В параграфе, 3.3 получена формула для вычисления . величины вклада в сдвиг энергии от "неприводимых" диаграмм двухфотонного обмена. Показано, что результат полностью совпадает с результатом, полученным методом функции Грина. Это связано с тем, что неприводимые диаграммы не содержат инфракрасных расходимо-стей и интегрирование по адиабатическому параметру 7 становится тривиальным. В методе функции Грина это соответствует тому, что массу фотона можно устремить к нулю в самом начале вычислений.

В параграфе 3.4 проделан полный анализ "приводимых" диаграмм двухфотонного обмена. Прежде всего, выведены рабочие формулы для основного состояния двухэлектронного многозарядного иона еа = еь = е в рамках модифицированного адиабатического подхода. Затем новый подход применен для вывода формул, позволяющих вычислять вклад в сдвиг уровня энергии от "приводимых" частей диаграмм двухфотонного обмена между электронами с разными энергиями с„ ф еь. Эти формулы получены в новом, более удобном для дальнейшего анализа и численных расчётов виде. В данной главе предлагается общий анализ инфракрасных расходи-мостей, возникающих в "приводимых" диаграммах даух-фотонного обмена для случая неравных одяоэлектрон-ных энергий еа ф еь- Демонстрируется их полное сокращение. Кроме того, впервые рассматривается предельный переход к случаю равных энергий е„ —► сь-

В четвертой главе предлагается новый подход к перенормировке собственной энергии связанного электрона. Целью данной главы является получение выражения для собственной энергии в рамках нового адиабатического формализма, упрощение его с помощью разложе-

ния матричных элементов в ряды по кратным коммутаторам, аналитическое выделение расходящихся слагаемых и прямая численная перенормировка оставшихся конечных слагаемых.

В параграфе 4.1 получено неперенормированное выражение для собственной энергии связанного электрона в рамках нового адиабатического формализма

АЕ(А) = £($A|a^Pnf^Ci|e|r-

7Г ^—' \ Г

n N

coser ;r|.En|\\ . _ .

- — (^-"-sVlb"1^-

В данном представлении ультрафиолетовая расходимость содержится в суммах по всему дираковскому спектру и явно не выделяется.

Параграф 4.2 посвящен проблеме перенормировки. В нем перечислены все основные методы перенормировки собственной энергии, которые используются в настоящее время. Основное внимание уделяется" методу Паули - Вилларса регуляризации фотонного пропагатора, использованному П.Мором для аналитического выделения расходящихся слагаемых. Особо отмечается тот факт, что этот метод слишком громоздкий и не допускает обобщения на высшие порядки теории возмущений. Кроме того, подробно описывается метод прямой перенормировки, в котором из неперенормированной собственной энергии о нерегуляризованным фотонным пропагатором вычитается соответствующим образом записанное слагаемое, связанное с перенормировкой массы:

ДЕтеп(А) = ДEunren(A) -6т{А).

В контрчлене 8т (Л) волновую функцию связанного электрона Фл необходимо разложить по волновым функциям свободного электрона. Основным недостатком такого подхода является необходимость численного сокращения расходимостей, что всегда приводит к потере точности.

И, наконец, в данном параграфе предлагается новый метод перенормировки, в котором все расходимости аналитически выделяются с помощью разложения матричных элементов в ряды по кратным коммутаторам (этот метод развит в следующем параграфе). Затем из оставшихся конечных слагаемых связанного электрона вычитаются по методу прямой перенормировки соответствующие слагаемые контрчлена, то есть свободного электрона в обкладках связанного. Таким образом, новый метод перенормировки предстазляет собой комбинацию аналитического выделения расходимостей и частичной прямой численной перенормировки.

В параграфе 4.3 предлагается метод разложения матричных элементов в ряды по кратным коммутаторам и выделения расходящихся слагаемых. Рассмотрим некоторый матричный элемент, содержащий суммирование по всему дираковскому спектру и функцию пространственных переменных:

I = |<£тРпа2^21пгг12 | Фл),

п

где е = £а — £п, а гх2 = |гх — гг|. Такой матричный элемент допускает следущее представление в виде кратных комму тато ров:

J = (Фл | а»6 (П - r2) [h2 [л2 . • • \h2, а„г{2 lnT r12] • • •] ] " | Фд).

Переход к такому разложению избавляет от суммирования по спектру и, следовательно явно выделяет расходимости. Далее в данном параграфе формулируется критерий существования ультрафиолетовой расходимости и демонстрируется выделение расходящихся слагаемых на конкретных примерах.

Кроме того, аналитический метод преобразования сумм по полному дираковскому спектру в разложения по кратным коммутаторам является очень эффективным средством упрощения формул для сдвига энергии. Учитывая, что для оператора импульса имеет место соотношение рг = —¿V2, можно заметить, что Применение оператора ар уменьшает степень г12 в таком разложении на единицу, а применение операторов /Зт и eV(t) оставляет ее неизменной. Следовательно, матричный элемент 1тз дает ненулевой вклад только в том случае, если т > з. В противном случае в нем останутся положительные степени Г}2 и интегрирование по ri и Гг даст ноль из-за наличия дельта-функции. Более того, можно показать, что в таких разложениях полностью сокращается потенциал V(r) и, следовательно, эти слагаемые уйдут при вычитании соответствующего матричного элемента свободного электрона. В данном параграфе доказано, что в результате в перенормированном выражении для собственной энергии останутся только слагаемые, которые содержат знаковую функцию sign е и, следовательно, не могут быть разложены в ряды по кратным коммутаторам.

Параграф 4.4 посвящен сравнению нового метода аналитического выделения расходимостей с классическим методом фейнмановской регуляризации. В частности,

новый метод помогает внести некоторую ясность в проблему так называемого "правила сумм", возникающего при попытке аналитического сокращения слагаемого, соответствующего фейнмановскому регулятору с параметром Л, и контрчлена:

(Фа I а? £ Рп——«2/1 | Фа) = -|(Фл I рт \ 9л).

—' г 1

п

С помощью разложения левой части "правила сумм" в ряд по степеням епАг и разложения по коммутаторам доказывается, что возникающий ряд расходится и, следовательно, необходима дополнительная регуляризация. Воспользовавшись одним из возможных способов регуляризации можно показать, что возникающая в "правиле сумм" сумма по всему дираковскому спектру действительно может быть представлена в виде некоторой простой комбинации операторов свободного электрона, действующих на обкладки связанного электрона:

У>Л | Рпа^т£пАГ12а2, | ФЛ) = | ар + 0т | Фл).

^ Гх 2 4

п

Потенциал внешнего поля сокращается,в таком представлении в полном согласии с общей теорией. Отличие же полученного выражения от классического массового контрчлена говорит о том, что невозможно получить корректный результат, вычисляя вклады связанного и свободного электронов разными способами.

В параграфе 4.5 выведена рабочая формула для перенормированной собственной энергии, удобная для численных расчетов. Она не содержит в себе расходящихся слагаемых и имеет достаточно простой вид:

АЕгеп(Л) =

^ ,т . ц^-^А (ьшет, . . 7Г совегЛ .

7(Фл К £ Р„ ( — Ь |е| + 2 V—) -

п ^ '

где 8 т'(А) - та часть коптрчлена, которая соответствует ненулевым конечным слагаемым связанного электрона. Эта формула является основным результатом данной главы.

В параграфе 4.6 осуществлен переход к нерелятивистскому пределу. Показано, что слагаемое, содержащее логарифм, при переходе к нерелятивистскому пределу превращается точно в логарифм Бете. Это дает основание предполагать, что при численных расчетах для малых значений заряда ядра Ъ именно слагаемое с логарифмом даст основной вклад в сдвиг энергии.

Параграфы 4.7 и 4.8 посвящены получению численных результатов с помощью новой расчетной формулы. Вначале описывается численный подход, основанный на методе дискретизации радиального пространства и решении задачи на собственные значения с помощью разложения собственных функции по конечному базису. В данной работе в качестве такого базиса используются В-сплайны. Затем приводятся результаты численных расчетов собственной энергии для различных значений заряда ядра 2. Численные расчеты наглядно демонстрируют, что новый метод позволяет достаточно просто получать верные значения собственной энергии в очень широком диапазоне зарядов ядра Ъ (расчеты проводились для зарядов от 1 до 92). Это дает возможность предположить, что в дальнейшем он может быть обобщен и на

высшие порядки теории возмущений.

В приложениях приведены некоторые подробности вычислений, а также численные тесты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулировал новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в квантовой электродинамике. Введено понятие модифицированной адиабатической в -матрицы. Поправки к энергии записаны в виде контурных интегралов от модифицированной 5 - матрицы по адиабатическому параметру 7. Показано, что полученные формулы верны для любого порядка теории возмущений. Все выражения обобщены на случай вырождения или уровня, помещенного в сплошной спектр.

2. В рамках нового метода выведены замкнутые выражения для вычисления величины вклада в сдвиг энергии от "приводимых" и "неприводимых" диаграмм двух-фотонного обмена как в случае равных, так и в случае неравных одно&лектронных энергий. Все выражения даны в новом, более, удобном представлении. Продемонстрировано полное сокращение инфракрасных расходи-мостей.

3. Получено неперенормированное выражение для собственной энергии связанного электрона. Предложен новый метод перенормировки, основанный на аналитическом выделении расходящихся слагаемых с помощью разложения матричных элементов в ряды по кратным коммутаторам. Для оставшихся конечных слагаемых предлагается использовать метод прямой численной перенормировки.

4. Произведены численные расчеты собственной энергии электрона для широкого диапазона зарядов ядра 2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Федорова Т.А., Дмитриев Ю.Ю. Новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в КЭД многозарядных ионов.// XV научная конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия". Тезисы докладов. Звенигород, 1996, с.25.

2. Dmitriev Yu.Yu., FedorovaT.A. A new adiabatic approach to the calculation of QED corrections to the energy of the bound states. -Phys.Lett.A, 1997, v.225, p.296-302.

3. Dmitriev Yu.Yu., Fedorova T.A., Bogdanov D.M. A new approach to the direct renormalization of the bound electron self-energy. -Phys.Lett A, 1998, v.241, p.84-89.

4. Dmitriev Yu.Yu., Fedorova T.A. Reducible two-photon exchange diagrams and reference state contribution to energy corrections within the modified adiabatic approach. -Phys.Lett.A, 1998, v.245, p.555-562.

-¿- ¿у - "

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Федорова Татьяна Александровна

Новый адиабатический метод вычисления поправок к энергии связанного состояния в квантовой электродинамике.

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени канд идата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Оглавление

Введение 3

1 Обзор литературы 7

1.1 Современные методы расчета поправок к энергии в КЭД..................7

1.2 Методы перенормировки собственной энергии связанного электрона. . 10

2 Новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в квантовой

электродинамике 17

2.1 Постановка Э-матричной задачи в рамках КЭД..............................17

2.2 Классический адиабатический формализм Гелл-Манна и Лоу и теория возмущений Като-Риса............................................................21

2.3 Модифицированная адиабатическая Э-матрица и теория возмущений Като-Риса............................................................................24

2.4 Обобщение нового адиабатического формализма на случай вырождения и сплошного спектра..........................................................27

3 Диаграммы двухфотонного обмена 31

3.1 Вывод рабочих формул для двухфотонного обмена в рамках нового адиабатического формализма....................................................31

3.2 Вклад в сдвиг уровня энергии от диаграмм однофотонного обмена. . . 34

3.3 Двухфотонный обмен и неприводимые части "прямой" и "кросс"- диаграмм ..................................................................................36

3.4 "Приводимые" части "прямой" и "кросс" диаграмм..........................38

4 Новый подход к вычислению собственной энергии связанного электро-

на 55

4.1 Выражение для собственной энергии связанного электрона в рамках нового адиабатического формализма..........................................55

4.2 Перенормировка......................................................................58

4.3 Разложение по коммутаторам и выделение расходящихся слагаемых. . 61

4.4 Аналитический анализ "правила сумм"........................................65

4.5 Прямая перенормировка собственной энергии................................69

4.6 Нерелятивистский предел..........................................................71

4.7 Численный подход..................................................................73

4.8 Численный расчет собственной энергии для основного и возбужденных состояний........................................................................75

Заключение 78

А Общие выражения для "прямой" и "кросс"-диаграмм двухфотонного обмена 80

В Регуляризация расходящихся рядов, возникающих при разложении матричных элементов по коммутаторам. 84

С Вычисление радиальных интегралов и суммирование по всему дира-ковскову спектру. Численные тесты. 88

О Численная проверка корректности разложения по коммутаторам. 93

Введение

Актуальность темы. Последние экспериментальные достижения в области исследования многозарядных ионов [1, 2], вызвали новый интерес к квантовоэлектроди-намической теории связанных состояний. Особенную важность приобретает в этом случае возможность корректного получения поправок к энергии в высших порядках теории возмущений. Так, например, в измерениях сдвига энергии 2р\ — 2н\ в Ы-подобном уране [1] для величины КЭД вклада было получено значение -41.65(10) эв. Для нахождения теоретического значения указанной величины необходимо последовательно учитывать поправки к энергии второго порядка по а (а - постоянная тонкой структуры).

К настоящему моменту проблему расчета КЭД эффектов в многозарядных ионах в первом порядке по а можно считать решенной. Однако актуальным остается поиск метода, позволившего бы осуществлять последовательный переход от низших порядков теории возмущений к высшим. При этом в рамках данного метода должна быть решена проблема сокращения инфракрасных и ультрафиолетовых расходимо-стей. Ни один из уже имеющихся методов не отвечает вполне этим требованиям.

Целью диссертации является построение нового адиабатического метода расчета поправок к энергии в квантовой электродинамике; применение этого метода к получению вклада в сдвиг энергии от диаграмм двухфотонного обмена; исследование вкладов от этих диаграмм в предельном случае равных энергий и наглядная демонстрация сокращения инфракрасных расходимостей; применение нового адиабатического метода, метода разложения в ряды по кратным коммутаторам и метода прямой численной перенормировки для получения перенормированного выражения собственной энергии связанного электрона в низшем порядке теории возмущений.

Научная новизна проведенных исследований определяется следующими положениями:

-предложен новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в КЭД, который позволяет обойти трудности классического метода Гелл-Манна и Лоу и имеет ряд преимуществ по сравнению с другими методами.

-получены замкнутые расчетные выражения для вклада в энергию от "приводимых" и "неприводимых" диаграмм двухфотонного обмена в новом представлении, позволяющем производить их дальнейший анализ.

-предложен новый метод перенормировки собственной энергии связанного электрона, основанный на аналитическом разложении в ряды по кратным коммутаторам и прямой численной перенормировке.

-получено численное подтверждение справедливости метода разложения в ряды по кратным коммутаторам. В результате получены численные значения собственной энергии электрона для очень широкого спектра зарядов ядра Z.

Научная и практическая ценность. Подход, развитый в диссертации, позволяет избежать громоздких вычислений, связанных с нахождением адиабатического предела и сокращением инфракрасных расходимостей, возникающих в классическом методе Гелл-Манна и Лоу. Он позволяет последовательно вводить в рассмотрение случаи вырождения и сплошного спектра. При этом он не требует введения никаких дополнительных параметров, кроме адиабатического параметра 7 и позволяет достаточно просто осуществлять переход в высшие порядки теории возмущений.

Подход к проблеме перенормировки, развитый в диссертации, позволяет избежать как сложных аналитических преобразований, возникающих при Фейнманов-ской регуляризации, так и проблем, связанных с потерей точности при прямой численной перенормировке.

Содержание работы В первой главе предлагается обзор современных методов и подходов к данной проблеме. Основное внимание уделяется возможности получения поправок к энергии в квантовой электродинамике в высших порядках теории возмущений в рамках имеющихся методов. Проводится сравнительный анализ до-

стоинств и недостатков данных методов.

Во второй главе сформулирован новый адиабатический формализм, который в отличие от классического адиабатического формализма Гелл-Манна и Лоу позволяет одинаково легко рассматривать поправки как к изолированному уровню энергии, так и к вырожденному уровню или уровню, помещенному в сплошной спектр. В новом методе поправки к энергии или матричные элементы секулярного оператора могут быть представлены в виде контурных интегралов по адиабатическому параметру 7.

В третьей главе новый адиабатический метод применяется к вычислению вклада в сдвиг энергии от "приводимых" и "неприводимых" диаграмм двухфотонного обмена. Целью данной главы является получение рабочих формул для процесса обмена двумя фотонами между двумя электронами с равными или различными энергиями в многозарядном двухэлектронном ионе.

В четвертой главе предлагается новый подход к перенормировке собственной энергии связанного электрона. Целью данной главы является получение выражения для собственной энергии в рамках нового адиабатического формализма, упрощение его с помощью разложения по коммутаторам, выделение расходящихся слагаемых и прямая численная перенормировка оставшихся слагаемых. В данной главе приведены результаты численных расчетов для различных значений заряда ядра Z.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XV Конференции "Фундаментальная Атомная Спктроскопия", 1996 г., а также на теоретических семинарах СПбГУ.

Публикации. Результаты работы опубликованы в трех научных работах и тезисах доклада:

1. Федорова Т. А., Дмитриев Ю.Ю. Новый адиабатический метод расчета поправок к энергии в КЭД многозарядных ионов. -Тезисы докладов научной конференции ФАС-XV, Звенигород, 1996, с.25

2. Dmitriev Yu.Yu., Fedorova Т.A. A new adiabatic approach to ike calculation of QED corrections to the energy of the bound states. -Phys.Lett.A, 1997, v.225, p.296-302

3. Dmitriev Yti.Yu., Fedorova T.A., Bogdanov D.M. A new approach to the direct renormalization of the bound electron self-energy. -Phys.Lett.A, 1998, v.241, p.84-89

4. Dmitriev Yu.Yu., Fedorova T.A. Reducible two-photon exchange diagrams and reference state contribution to energy corrections within the modified adiabatic approach. -Phys.Lett.A, 1998, v.245, p.555-562

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы из 57 наименований. Изложена на 102 страницах машинописного текста, содержит б рисунков и б таблиц.

Глава 1

Обзор литературы

1.1 Современные методы расчета поправок к энергии в КЭД.

Как уже отмечалось во введении, особенную важность в последнее время приобрела возможность корректного получения поправок к уровням энергии в атоме в высших порядках теории возмущений. Для сравнения с экспериментом необходимо учитывать поправки к энергии второго порядка по а. Среди этих поправок существенную роль играют поправки, связанные с фейнмановскими диаграммами двухфотонно-го обмена. Получение точных КЭД формул для двухфотонного обмена является сложной проблемой, которая только недавно была решена для основного состояния двухэлектронного иона с зарядом ядра от 1 до 92 [3]. Самой трудной частью при выводе рабочих формул является выделение инфракрасных расходимостей в слагаемых, соответствующих "приводимым" диаграммам. Такие слагаемые вообще отсутствуют в многочастичной теории и появляются только в КЭД. "Приводимыми" в данном случае называются диаграммы, в которых промежуточное состояние совпадает с начальным. Причина появления инфракрасных расходимостей заключается в присутствии начального состояния в сумме по всем состояниям.

Неоднократно совершались попытки преодолеть трудности, возникающие при описании связанных состояний электронов в квантовой электродинамике. Одним из самых популярных методов долгое время был адиабатический формализм Гелл-

Манна и Лоу. Релятивистские квантовоэлектродинамические атомные расчеты в рамках адиабатического формализма широко представлены в литературе работами С. Бланделя, П. Мора, В. Джонсона, Дж. Сапирстейна [3, 7, 8, 9], Л. Н. Лабзов-ского и Г. Л. Климчицкой [4, 5]. Подробное описание этого метода с различными приложениями и с примерами расчетов можно найти в книгах М. А. Брауна, А. Д. Гурчумелии и У. И. Сафроновой [6]; Ю. Ю. Дмитриева, Л. Н. Лабзовского и Г. Л. Климчицкой [10, 11]. Адиабатический формализм с произвольной функцией включения взаимодействия обсуждается в работе Ю. Ю. Дмитриева и О. В. Солнышкиной [12].

Адиабатический метод дает простой рецепт работы со связанными состояниями в квантовой электродинамике, так как он позволяет записать основные физические величины через матричные элементы полной или половинной адиабатической Б-матрицы. Однако, ситуация осложняется тем, что в адиабатическом формализме матричные элементы содержат дополнительный параметр 7 и в рассматриваемых матричных элементах необходимо совершать предельный переход при 7 —> 0 [10, 11]. При вычислении вкладов от диаграмм в высших порядках теории возмущений возникает проблема выделения адиабатических расходимостей. Известно, что в конечных выражениях эти расходимости должны взаимно сократиться, однако процедура предельного перехода становится слишком сложной.

Кроме формулы Гелл-Манна и Лоу существует ряд других методов, позволяющих вычислять сдвиг энергии в рамках адиабатического подхода (см. например [12] ). С помощью метода профиля линии можно одновременно вычислять и энергию и вероятности переходов. Кроме того, этот метод позволяет обойти некоторые трудности традиционного подхода Гелл-Манна и Лоу.Этот метод описан в книге Ю. Ю. Дмитриева, Л. Н. Лабзовского и Г. Л. Климчицкой [10, 11] и используется в работах Л. Н. Лабзовского с соавторами (см. например [21, 13, 14]).

Не так давно в КЭД теории связанных состояний В. М. Шабаевым был предложен новый альтернативный метод расчета поправок к уровням энергии. Он основывается на объединении техники Като-Риса с квантовоэлектродинамической теорией возмущений. В этом методе для вычисления энергии связанного состояния используется преобразование Фурье Ы-частичной функции Грина Ое [15, 16, 17, 18]:

д(Е)6(Е — Е') = ({Е'х'° - ¡Ех°) х

х (0[ Т Щх' х[)... Ф(х'°, х'м) х Ф+(ж°, хм)... хг) [0). (1.1)

С помощью (1.1) можно найти сдвиг энергии АЕп = Еп — Е^ изолированного невырожденного уровня Еп. Обозначим соответствующую невозмущенную волновую функцию через ип и введем обозначение

9пп(Е) = (ип\д(Е) |ип).

Тогда энергия представится как контурный интеграл Като-Риса от преобразования Фурье, контур интегрирования обходит соответствующий полюс подынтегрального выражения:

±§йЕ Едпп(Е)

Еп =

¿-§<1Едпп{Е) ' г

Для вычисления такого интеграла, необходимо разложить подынтегральное выражение в ряд Лорана и применить теорему Коши о вычетах. Введя обозначения Адпп = дпп — дй, для сдвига энергии имеем формулу

Е (Е - Е^)Адпп(Е)

А Еп =

1 + ¿Е Адпп(Е) ■ г

Кроме того, в работах [16, 17], с помощью введения конечной массы фотона в фотонный пропагатор решается проблема вычисления сдвига уровня, находящегося в сплошном спектре. Методом функции Грина был сосчитан вклад в сдвиг энергии от "приводимых" диаграмм двухфотонного обмена с равными электронными энергиями [16], позже этот результат был обобщен на случай разных энергий [18].

Как было показано в [10, 11], в рамках адиабатического формализма также легко установить связь между формулами Гелл-Манна и Лоу для сдвига уровня энергии и формулами теории возмущений Като-Риса. Этот факт был использован для того, чтобы избежать громоздкой процедуры предельного перехода в классическом

а Ь

Рис 1.1: а)-собственная энергия электрона, Ь)-поляризация вакуума

адиабатическом методе. Были сформулированы определенные правила, по которым слагаемые в рядах теории возмущений Като-Риса для невырожденных уровней записывались в терминах адиабатической ,5^-матрицы. В соответствии с этими правилами, матричные элементы ^-матрицы играют роль производящей функции при вычислении поправок к невырожденному изолированному уровню. Однако, это последнее требование далеко не всегда выполняется в реальных задачах, где часто приходится работать с вырожденными уровнями и уровнями помещенными в сплошной спектр. Автором диссертации был предложен новый модифицированный адиабатический метод [55], который во-первых дает простой рецепт получения поправок к энергии, а во-вторых позволяет рассматривать случаи вырождения и сплошного спектра.

1.2 Методы перенормировки собственной энергии связанного электрона.

Как уже говорилось, получение новых точных данных в экспериментах с многозарядными ионами [1] привело к тому, что в последнее время неоднократно совершались попытки совместить многочастичные методы с радиационными эффектами. Существенный шаг в этом направлении был сделан в работах [19, 20], где был вычи-

слен экранированный Лэмбовский сдвиг с использованием локального модельного потенциала, учитывающего многочастичные эффекты. Кроме того, возник серьезный интерес к точным расчетам Лэмбовского сдвига с учетом КЭД поправок высших порядков по теории возмущений, (см, например работы Л. Н. Лабзовского, А. О. Митрущенкова, И. Линдгрена, X. Перссона и С. Саломонсона [21, 22, 23]). Успехи в расчетах таких поправок связаны также с развитием численных подходов, основанных на использовании дискретного базиса (см., например, о построении базиса при помощи В-сплайнов в книге К. де Бора [24]). Метод дискретизации радиального пространства, широко используемый в последнее время, был предложен в работе [25].

Однако, самый надежный способ перейти в высшие порядки, это найти простую, не громоздкую процедуру вычисления Лэмбовского сдвига в низшем порядке, которая была бы применима для любого заряда ядра Z, а потом обобщить ее на случай высших порядков. Поэтому в данной диссертации уделяется максимальное внимание именно Лэмбовскому сдвигу в низшем порядке.

В низшем порядке Лэмбовский сдвиг состоит из двух частей - собственной энергии электрона и поляризации вакуума. Он представляется в виде двух Фейнманов-ских диаграмм (Рис. 1.1).

В данной диссертации предлагается новый подход к перенормировке и вычислению собственной энергии связанного электрона. Хорошо известен тот факт, что собственные энергии как связанного, так и свободного электрона содержат расходимости. Собственная энергия свободного электрона содержится в физической массе электрона и должна быть вычтена из собственной энергии связанного электрона. Эта процедура называется перенормировкой массы (Рис. 1.2).

В нерелятивистском пределе собственная энергия связанного электрона может быть записана в виде

_ е2 �