Новый метод вычисления возмущающей функции в теории движения тел солнечной системы тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ВОЗМУЩАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

ОБЩЕЙ ПЛАНЕТНОЙ ЗАДАЧИ

1.1 Уравнения движения

1.2 Решение уравнений движения

1.3 Возмущающая функция

1.4 Постановка задачи исследования

Глава II. НОВЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

2.1 Элементарное слагаемое

2.2 Преобразование возмущающей функции

2.3 Интегрирование элементарных слагаемых

2.4 Вычисление оскулирующих элементов

Глава III. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА

3.1 Дифференциальное улучшение элементов орбиты

3.2 Теория движения больших планет

3.3 Обработка наблюдений избранных малых планет

3.4 Сравнение с основными эфемеридами

Актуальность темы.

Во второй половине XIX века знаменитыми астрономами Леверрье, Ньюкомом, Хиллом, Гайо были созданы теории движения больших планет Солнечной системы в аналитической форме [1]. Ученые работали с результатами астрометрических наблюдений небесных тел в условиях приближенных знаний о массах планет, теорию движения которых они создавали [2].

В середине XX века Брауэр, Клеменс и Эккерт построили численную теорию движения пяти внешних планет, определившей основные направления и методы исследований на пятьдесят лет вперед [3]. Это был успешный опыт численного интегрирования уравнений движения на ЭВМ. Работу продолжили ученые Лаборатории реактивного движения США. Они представили серию численных теорий движения всех планет Солнечной системы, самая точная из которых, под условным названием БЕ403 [4], появилась в девяностые годы двадцатого века, а наиболее доступная и используемая версия теории, ОЕ200 [5], разработана в конце семидесятых.

Успехи метода численного интегрирования в теории движения планет очевидны, но нам кажется, что возможности аналитических методов далеко не исчерпаны, и их развитие остается актуальной задачей. Попробуем аргументировать эту точку зрения. Во-первых, численные теории являются неперемещаемой собственностью изготовителей, можно только сравнивать результаты наблюдений с предсказаниями таких теорий, внести же разумные изменения уже невозможно. Во-вторых, замечательными астрономами Пуанкаре, Делоне, Хиллом, Гильденом, Цайпелем высказаны интересные идеи, которые до сих пор еще не получили должного развития [6]. В-третьих, современные персональные компьютеры открывают большие возможности не только для быстрого пошагового счета в методе численного интегрирования, но и для новых подходов в аналитическом решении. Подтверждением сказанного может служить и успешное осуществление учеными Института теоретической астрономии проекта: создание аналитической теории движения внутренних планет [7].

Цель работы.

Самой трудной задачей аналитической теории движения планет всегда было представление обратного расстояния между двумя телами в виде тригонометрического ряда, зависящего от элементов орбиты. Цель наших исследований состоит в разработке нового представления возмущающей функции в задаче многих тел и в применении полученных тригонометрических рядов для построения численно - аналитических теорий движения тел Солнечной системы. Подобная теория, созданная для каждой большой планеты и избранных астероидов, должна являться совокупностью численных значений шести средних элементов орбиты на заданный момент времени, алгоритма численного интегрирования осреднённых уравнений движения и алгоритма учёта короткопериодических возмущений в любой точке средней орбиты.

Методы исследований.

Уравнения движения были записаны в гелиоцентрической системе координат. Для их интегрирования выбран метод канонических преобразований. Возмущающая функция представлена как сумма элементарных тригонометрических слагаемых и разработаны алгоритмы для проведения операций с такими слагаемыми. Алгоритмы тщательно проверялись как на стадии программирования, так и в окончательных вариантах. При построении численно - аналитических теорий движения избранных малых планет использовались многолетние ряды фотографических наблюдений тел Солнечной системы, проводимых в ГАИШ МГУ.

Научная новизна.

В предлагаемой работе предложен новый метод преобразования возмущающей функции задачи многих тел в сумму элементарных тригонометрических слагаемых и опробована методика проведения операций с такими рядами. В предлагаемом методе отсутствует ограничение на максимальную степень таких элементов орбит небесных объектов, как эксцентриситеты и углы наклонения.

Практическая ценность.

Построены численно - аналитические теории движения больших планет Солнечной системы с точностью до второго порядка относительно возмущающих масс [8]. В качестве источника начальных данных и эталона для сравнения использовалась эфемерида БЕ200/ЬЕ200.

На основе наблюдений построены численно - аналитические теории движения избранных малых планет [9]. Точность представления фотографических наблюдений на интервале времени более тридцати лет находится на уровне четырех десятых секунды дуги.

Апробация работы.

Основные результаты работы обсуждались на Московском семинаре "Аналитические и качественные методы небесной механики" (рук. И.А.Герасимов, Е.А.Гребеников, А.А.Шестаков), на семинаре «Аналитическая и небесная механика» механико-математического факультета МГУ (рук. профессор В.Г.Демин), на Координационных советах ГАИШ по астрометрии и небесной механике и были доложены на конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", организованной ИТА РАН в Санкт-Петербурге в июне 2000 года [10].

Краткое содержание работы.

В первой главе рассмотрена история вопроса и дана общая постановка задачи: разработка нового метода вычисления возмущающей функции.

В разделе 1.1 выписаны уравнения задачи о движении N тел в гелиоцентрической системе координат.

В разделе 1.2 выбран малый параметр, пропорциональный отношению возмущающих масс планет к массе Солнца и выполнено нулевое приближение в решении N систем дифференциальных уравнений движения. Уравнения возмущенного движения записаны в каноническом виде и представлена схема решения уравнений методом канонических преобразований с точностью до второго порядка относительно выбранного малого параметра.

В разделе 1.3 рассмотрена проблема разложения возмущающей функции в её историческом развитии.

В разделе 1.4 использовано разложение обратного расстояния в ряд по полиномам Лежандра и выделены простейшие составляющие слагаемых этого выражения.

Во второй главе последовательно изложены алгоритмы предлагаемого метода преобразования и интегрирования возмущающей функции.

В разделе 2.1 обоснован выбор элементарного слагаемого. В дальнейшем все операции производятся над такими слагаемыми.

В разделах 2.2 и 2.3 представлены алгоритмы для выполнения операций сложения, умножения, возведения в произвольную степень и интегрирования элементарных слагаемых.

Алгоритм вычисления мгновенных положений небесного тела с помощью построенной численно-аналитической теории движения изложен в разделе 2.4.

В третьей главе разработанный метод применяется в практических исследованиях.

В разделе 3.1 рассказано о методике вычисления изохронных производных при дифференциальном улучшении орбит по методу наименьших квадратов, которая применяется в разделе 3.2 для построения численно-аналитической теории движения больших планет.

В разделе 3.3 представлены результаты обработки многолетних наблюдений избранных малых планет, сделан вывод о надежности и высокой точности разработанного комплекса вычислительных программ.

Отличия от методов создания основных аналитических эфемерид изложены в разделе 3.4.

В заключении сформулированы основные результаты исследований.

На защиту выносятся следующие положения:

Метод преобразования возмущающей функции общей планетной задачи в сумму элементарных тригонометрических слагаемых.

Быстро сходящийся рекуррентный способ интегрирования элементарных слагаемых по независимой переменной.

Комплекс программ построения численно - аналитических теорий движения небесных тел Солнечной системы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [11], указанных в списке цитируемой литературы. Личный вклад автора заключается в выводе формул, разработке алгоритмов и проведении вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемом исследовании получены следующие результаты.

Разработан алгоритм нового метода преобразования возмущающей функции общей планетной задачи. Использовано разложение обратного расстояния между планетами в ряд по полиномам Лежандра. Найдены максимальные степени полиномов, необходимые для представления обратного расстояния между планетами Солнечной системы с высокой относительной точностью. На этой стадии наши формулы совпадают с формулами работы [27], но отличаются от классического подхода [28]. Для дальнейших преобразований возмущающей функции был выбран общий вид элементарного тригонометрического слагаемого. Кроме численного значения амплитуды каждого члена определяются численные значения частных производных высших порядков по средним элементам орбит возмущаемого и возмущающих тел.

Аргумент тригонометрической функции является линейной комбинацией аргумента широты, истинной и эксцентрической аномалий и мгновенной долготы восходящего узла орбиты каждой из планет. Возмущающая функция алгоритмически воссоздаётся в виде ряда, состоящего из элементарных тригонометрических слагаемых.

Разработан алгоритм рекуррентного интегрирования элементарных слагаемых. Алгоритм основан на дифференциальных соотношениях для каждой из угловых переменных, составляющих аргумент тригонометрической функции. Вековые, долгопериодические и резонансные члены входят в эволюционный гамильтониан.

Составлена и отлажена программа на алгоритмическом языке Паскаль для построения численно - аналитических теорий движения больших и малых планет Солнечной системы с точностью до второго порядка относительно возмущающих масс. Для определения возмущений второго порядка методом канонических преобразований [16] предложено обобщение, учитывающее изменение элементов орбит возмущающих планет.

На основе многолетних рядов фотографических наблюдений построены численно - аналитические теории движения десяти избранных малых планет. Точность представления фотографических наблюдений находится на уровне четырех десятых секунды дуги. Число короткопериодических возмущений всех шести элементов астероида Паллада превышает пятьдесят тысяч. С увеличением точности вычислений количество членов в эволюционном гамильтониане существенно возрастает. Даже этих двух фактов достаточно для объяснения того, что аналитические теории движения малых планет, представляющие наблюдения с высокой точностью, до сих пор не были разработаны.

Хочется отметить следующую особенность предлагаемых алгоритмов: теория, создаваемая в результате вычислений, является полуаналитической, так как включает в себя численное интегрирование системы дифференциальных уравнений с эволюционным гамильтонианом. Такая форма теории движения представляется достаточно универсальной и может быть использована при изучении широкого класса орбит небесных тел. Подобный подход активно развивал и пропагандировал в своих исследованиях академик М. Л. Лидов [29].

Вместе с тем, у предлагаемых алгоритмов есть и ограничения: тесные сближения и пересекающиеся орбиты должны быть исключены. Мы не рассматривали также релятивистских уравнений движения планет Солнечной системы, а эффект смещения перигелия орбиты учитывался на основе формулы, приведенной в [30].

Разработанные алгоритмы могут быть полезны для решения теоретических проблем небесной механики: в тригонометрической теории вековых возмущений [31] или в исследованиях о движении небесных тел в случае соизмеримости [32]. Численно - аналитический подход, доведённый по точности до высоких порядков относительно малого параметра задачи, занимает промежуточное положение между изящными качественными теориями [33] и методами численного интегрирования. Уточнение качественных оценок первых и расширение вычислительных возможностей вторых - вот то, к чему, на наш взгляд, надо стремиться. Вклад в решении этой проблемы сделан в предлагаемой работе.

Высокоточная теория движения космических объектов, в какой бы форме она не создавалась - численной или аналитической, требует усилий небольшого, но дружного коллектива исследователей. От условного момента начала работы - первого собрания группы, поддержки проекта в РФФИ, знакомства с результатами в их историческом развитии - до первых самосогласованных выводов проходит несколько лет или даже десятилетий. Присутствие малых параметров в дифференциальных уравнениях задачи позволяет, конечно, сделать несколько приближений, тогда результат появляется в течение одного - двух лет. Точности первого приближения достаточно для осуществления всех космических проектов, но результаты измерений имеют более высокую точность, что подталкивает учёных не просто улучшить начальные параметры, а получить их значения во всех возможных следующих приближениях.

В первом десятилетии двадцать первого века создателями и хранителями основных высокоточных эфемерид останутся сотрудники Лаборатории реактивного движения США. В одном из вариантов численной теории им, вероятно, удастся расширить систему взаимно притягивающих масс, в уравнения движения будут включены как астероиды, так и объекты пояса Койпера, находящиеся за орбитой Сатурна. Численное интегрирование системы больших планет и двух -трёх тысяч материальных точек на интервалах времени, охватывающих несколько тысяч лет, может привести к ряду интересных и трудно предсказуемых результатов.

В этом проекте активное участие смогут принять и небольшие группы учёных, занимающиеся разработкой и применением аналитических и качественных методов небесной механики. От теорий движения малых тел не требуется высокой точности, но качественного описания характера поведения эксцентриситетов, углов наклонения и линий апсид уже недостаточно. Возможно, что будет выяснен вопрос о применимости методов осреднения в задачах с большими эксцентриситетами. Если удастся получить эволюционный гамильтониан во втором и третьем приближениях, то результаты численного интегрирования осреднённой системы дифференциальных уравнений - основы численно-аналитического метода - смогут конкурировать как по быстродействию, так и по точности, с ожидаемыми эфемеридами Лаборатории реактивного движения.

Численное разложение возмущающей функции в ряды Фурье, использованное в эфемеридах Бюро Долгот, не является единственным и наилучшим способом. Формулы, включающие полиномиальные разложения и смешанные члены, справедливы на ограниченных интервалах времени, вне этого промежутка они не дают даже качественной информации о движении. В настоящее время возникла необходимость получить численно - аналитическое решение задачи о движении небесных тел на основе методов, отличных от методов учёных Франции. Такое решение позволило бы по-новому подойти к тригонометрической теории вековых возмущений элементов орбит планет. Уравнения движения Луны и уравнения вращения упругой Земли должны стать составляющей частью нового аналитического подхода. Необходимость расширения динамических уравнений Солнечной системы доказана успехом сотрудников Лаборатории реактивного движения в деле создания современных высокоточных эфемерид.

Подготовка диссертации и знакомство с опытом работы Астрономических Ежегодников различных стран укрепили уверенность в том, что даже такой трудный и древний раздел науки, как вычисление орбит, получивший от профессора М.Ф.Субботина название

Теоретической астрономии, содержит много интересных задач и очень далёк от своего завершения. * *

Автор работы благодарна профессорам и преподавателям Астрономического отделения физического факультета МГУ за внимание и многочисленные консультации.

Руководитель отдела астрометрии ГАИШ МГУ профессор Вилен Валентинович Нестеров оказал большую моральную поддержку проводимым исследованиям. Руководители проекта профессор Игорь Анатольевич Герасимов и Вадим Викторович Чазов не только дали поставку задачи, но и предложили множество идей для её решения. Профессор Лидия Васильевна Рыхлова на разных стадиях работы оказала нам неоценимую помощь. Автор выражает своим учителям, а так же ректору Таджикского Национального Государственного Университета, члену-корреспонденту Академии Наук Республики Таджикистан, профессору Хабибу Муродовичу Сафарову, благодаря которому стало возможным работа над проектом, свою искреннюю благодарность.

Автор признательна старшему научному сотруднику отдела астрометрии Валерьяну Никитичу Семенцову за огромную техническую помощь и поддержку.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Дёмин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Дубошина Г.Н. М.: Наука, 1976.

2. Абалакин В.К Основы эфемеридной астрономии. М.: Наука, 1979.

3. Brower D., Clemence G., Echert W. Coordinates of five outer planetes, 1653-2060.//Astronomical Papers, 1951, vol. 12.

4. Standish E.M., Newhall X.X., Williams J.G., Folkener W.F. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403. /JPL IOM. 1995.vol.314. p. 10-127.

5. Newhall X.X., Standish E.M., Williams J.G. Planetary and Lunar Ephemerides, DE200/LE200. //Astronomy and Astrophysics. 1983.vol.125. p. 150.

6. Герасимов И.А. Метод Цайпеля. // Труды ГАИШ. 1985. Том 57. Стр. 118-120.

7. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.Л., Свешникова Е.С. Аналитическая теория движения внутренних планет АТ-1 и ее использование для решения задач эфемеридной астрономии. // Труды ИТА АН СССР, 1978, вып. 17, стр. 46-53.

8. Герасимов И.А., Чазов В.В., Тагаева Д.А. Применение универсального метода вычислений возмущающей функции в численно-аналитической теории движения малых планет, //Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000, № 3, стр. 55.

9. Тагаева Д.А. Результаты обработки фотографических наблюдений 10 избранных малых планет. //Труды ГАИШ, М.:, 2000, Т.67, ISSN 0371-6791, стр. 19.

10. Субботин М.Ф. Курс небесной механики, том 2, ОНТИ, 1937.

11. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука. 1968.

12. Астрономический ежегодник на 1996 год. Часть 1. Объяснения. Издание ИТА РАН. Санкт-Петербург. 1995.

13. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука. 1975

14. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: МИР. 1964.

15. Герасимов И.А., Винников Е.Л., Мушаилов Б.Р. Канонические уравнения в небесной механике. М.: Изд-во МГУ. 1996.

16. Красинский Г.А. Основные уравнения планетной теории. / Малые планеты. М., Наука, 1973, стр. 81-107.

17. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука. 1965.

18. Нестеров В.В., Романова Г.В. Вычисление возмущений движения искусственных спутников в гравитационном поле Земли. // Труды ГАИШ. 1983. Том 53. Стр. 142-153.

19. Нестеров В.В. Вычисление обусловленных Луной возмущений элементов орбит искусственных спутников Земли. // Труды ГАИШ. 1983. Том 53. Стр. 154-169.

20. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука. 1972.

21. Елисеев В.А. Каталог положений малых планет. // Труды ГАИШ. 1988. Том 59. Стр. 133-155.

22. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Том 1. М.: Наука.1971.

23. Эфемериды малых планет. Ежегодник. М.: Наука. 1990.

24. Худсон М. Статистика для физиков. М.: Мир. 1971.

25. Куимов К.В. Редукционные вычисления. / Практикум по астрометрии. Изд-во МГУ. 1989. Стр. 6-42.

26. Брумберг В.А. Разложение пертурбационной функции в спутниковых задачах. // Бюллетень ИТА АН СССР. 1967. Вып. 11. Стр. 2-13.

27. Bretagnon P. Theorie du movement de l'ensemble des planets. Solution VSOP82. //Astronomy and Astrophysics/ 1982. Vol. 101. P. 342-349.

28. Лидов М.Л. Применение методов осреднения в задачах о движении искусственных небесных тел. // Труды ИТА АН СССР. 1978. Вып. 17. Стр. 54.

29. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука.1972.

30. Анолик М.В., Красинский Г.А., Пиус Л.Ю. Тригонометрическая теория вековых возмущений больших планет. // Труды ИТА АН СССР. 1969.

31. Герасимов И.А. Функции Вейерштрасса и их приложения в механике и астрономии. М.: Изд-во МГУ. 1990.

32. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р. Методы Пуанкаре и Ляпунова в небесной механике. М.: Изд-во МГУ. 1993.