Новый подход к построению разностных схем для дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

....

САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рухопхси КОБШЕЗ Владимир Алексеевич

ИС12Д1 ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ДЦМЕРЕЙЦЯАЛЫИХ УРАВНЕНИИ

(01.01.07 - игшсягеельиая математика)

АВТОРЕФЕРАТ

дассартащта на соискание учзкоЯ степени хаздвдата фазяко-иатеизтичаских назк

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1953 Г.

Работа выполнена на кафедре высией матеиатикл. Волгоградского государственного тэхнического университета.

Научный руководитель: кандидат физико-иатенаткчосккх наук,

доцзкт А.Е.Гурьянов (СПбГУ) Официальные оппонента: заслуженный деятель науки Российской

Ведущая организация - Московский государственный технический

на заседании спешалиэировопт^и ^мш п-»»а«1н» ш и^»-* »до низ ученой степени кандидата физико-иатеыатических наук о Санкт-Петербургской государственном университете по адресу: 190004 Санкт-Петербург, 10-я линия, д. 33, ауд. 68.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Санкт-Петербург, Университетская наберигкая, д.7/9/ ^

Авторефарат разослан "£т" СвИ I Я с п) 1993 г. Ученый секретарь специализированного совета

К-063.57.16, доцент В.Ф.Горьковой

Федерации, доктор физико-иатеиатических наук, профессор Н.М.Матвеев (РГПУ кы.Л.И.Герцона), - кандидат физико-ыатеиатическюс наук, профессор М.й.Розанов (СПбГГУ)

университет ш. Н.Э.Бауиана

о

Защита состоится т,С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Широкое распространение математического моделирования в различных областях науки и техники придает эктугльность дальнейшему развитию соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

При математическом цодеяировании реальных процессов обыкновенными дифференциальными уравнениями часто■требуется знать значения дискретизировакного решения задачи Кони

х - Х(г,х). 1!(1о) , Г, (1)

где г, го е х. £ ГГ, е К".

В такой ситуации обычно выбирают сетку точек с шагом Ь и для систеш (1) строят разностную схеиу, реше!Е1е которой лишь приближенно совпадает с точнкы значзгкец реа:екия систем (1) в узлах сетки. При этом приходятся решать две задачи:

1. Определить, какиа условия« доляны удовлетворять козСФицнепта дай?брекиэлыгого уравнения, для того , чтобы при Ь -> О решэкие разностной схеиы сходилось к функции, решакцэй задачу Коей (1).

2. Оценять отклепаете ресегая разностной схоиы от репеняя задачи Кош (1).

Потребность в построении раэяоетшх схем появляется не только тогда, когда точное решение задачи Кош (1) в виде фориулы неизвестно, но и тогда, когда такое ресеяие есть, ко оно выражается в виде сложно?, формулы, пользоваться которой достаточно трудно.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: так преобразовать рассматриваемое даСферэшдалыгое уравнение, чтобы ревекие разностной схемы для нового дифференциального урзйнешя совпадало в узлах сетки с точльш значекпеы рипекия исходного уравнения.

МКТОДи ИССЛЕДОВАНИЯ. В качества основных инструментов исследования использовались мзтоды вычислительной иатематаки, теории обыккоз°нних дифференциальных равнений, линейной алгебры.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Указаны способы построения разностных схем для систем линейных обыкновенных диффереыдаальных уравнений однородных и неоднородных, ко с неоднородностью специального вида, решения которых совпадай1 с точными значениями решения исходных дифференциалы;!« уравке.ий в точках выбранной сетки, для линейного однородного дифференциального уравнения с переменным коэффициентом и для некоторого нелинейного уравнения.

ПРИЛОЗ¡ЕНКЯ: Результаты дасоертпши могут найти применение в тринажеростроении, в станках с ЧПУ и при вычислении функций, задаваемых дифференциальными уравнениями.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: Результаты диссертация докладывались и обсувдались на городской семинаре по дифференциальный уравнениям и уравнениям математической физики /г.Ленинград, 1979г,, рук. проф. II.М.Матвеев/, на семинара кафедры вычислительной математики ЛГПИ нм. А.И.Герцока /г.Ленинград,1579г., рук. доцент Ю.К.Кузнецов/, на научных конференциях БодгПИ /г.Волгоград, 1984, 1985, 1992, 15эзгг секция "инженерная математика", рук. проф. Г.И.Брызгалин/, на городской семинаре по теории колебаний /г.Волгоград, 1984г., рук. проф. В.А.Камаев/, на республиканской научной конференции "Герценовские чтения" в СПбГПУ км. А.И.Герцена /г. Санкт-Петербург, 1991, 1993 гг., секция "Дифференциальные уравнения и математическая физика", рук. проф. Н.М.Матвеев/.

ПУБЛИКАЦИИ: Осиовше результаты диссертации опубликованы в статьях П-6).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ: Диссертация состоит из пяти глэв, списка использованной литературы из 41 наименования и двух приложений. Диссертация изложена на 107 страницах машинописного текста и содержит 3 таблицы. Прилояения объемом 36 страниц содержат таблицы и графики.

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Первая, вспомогательная глава, кроме введения содержит еще два параграфа.

В }1 оссувдавтся постановка задачи, которая формулируется следующим образом: Преобразовать рассматриваемое дифференциальное уравнение так, чтобы приближенное решение нового уравнения совпадало в заданной точке с точный значением решения исходного

уравнения.

Более конкретно задача ставятся для систем линейных дифференциальных уравнений

х = Ах + f(t) (1)

с начальными условиями

х{0) - , (2)

где А - постоянная квадратная матрица порядка m , x(t) -искомая вектор-функция, a X(t) - вектор функция, удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Преобразуем систему дифференциальных уравнений (1 ) в следухщую систему:

х = Вх + g(t) , (3)

где В - постоянная квадратная матрица порядка m , a g(t) -вектор-фунхдая, удовлетворящая условиям теоремы существования и единственности решения задачи Ноши (3), (2).

Построй, разностную схему для задачи Коши (2), (2). Для этого заменим производную разностном отношением по формуле

i(t) . îfii^Llîl , (4)

где h - шаг разностной схемь:.

С помощью такой замени вместо системы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2) получаем приолияающую ее систему разностных уравнений

х (t+h ) = (Е + hB)x(t) + hg(t) " (5)

с начальными условиях!

х(0) " х'0> . (б)

где Е - единичная матрица порядка т.

Вводя соответствующие обозначения, систему разностных уравнения (5) с началькьши условиями (6) можно переписать в виде следующей системы разностних уравнений

xn = (Е + hB)xn.t + h^ (7)

с начальными условиям

Хи - Х,с' . (8)

Ставится задача построения таких разностных схем '7J,(3), реиения которых хп удовлетворяла бн ооотношению:

- б -

. щ«],, . (9)

Где х(г) - реиение задачи Коши (1),(2).

Вторая глава состоит из двух параграфов. В »той главе решается задача о построении разностных схем для системы линейных однородных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами вида:

х - Ах (10)

н начальники условиями

х(0) = х'°' , (11)

где А - постоянная квадратная матрица порядка ш. Решение поставленной задачи зависит от множества собственных значений матрицы А.

В $3 рассматривается случай, когда митрица А имеет лиш> простые собственные значения

• • • • •

Доказывается, что в этой случае система разностных уравнений

х ,+ЯВх .

Г» П-1 г»«* ,

с начальными данными

_ _<о>

х0=х ,

где матрица В задается формулой

В«1 7"1 (12)

решает поставленную задачу. Здесь матрица

*■<*.• Т2.....Т„> .

где Т2..... Тп - собственные векторы матрицы А , а

диагональная матрица Л определяется равенством: А ■ п., у.

В {4 рассматривается случай наличия у матрицы А кратных собственных значений. Доказывается, что если матрица А имеет р различных собственных значений .4, Л.2, ..., Ли последнее из них имеет кратность q , так что р + ч - 1 » ш , то построение разностных схем зависит от кратности элементарных делителей

ют атгясртт „ .

Если матрица А имеет лишь одно собственное значение кратности не выше двух, а остальные собственные значения простое и кратному собственному значению соответствует лишь один элементарный делитель той же кратности, то система разностных уравнения

с начальными данными

где матрица В задается формулой

В - Т в Г* (13)

решает поставленную задачу.

Здесь матрица Т такова, что

А Т - Т 1 ,

где

\ о .

О X,

. О X.

X

р

1 X

2 X

4-1 Ч

о

Матрица 0 имеет вид:

Т О

А„11 е * -1 "ТГ

X Ь •е " -1

в—

в

Д. Ь

2е

X Ь е " -1

В—

(4-1>е

е " -1

~я—

5 случае когда я > 2 относительная ошибка

Ъ

1хЧШ>

убивает с росток п как

Здесь

и-1т-2) 1 ~—2-- Й

I • 1хШ1. - х

а индекс означает, что берется З-ая компонента

соответотвувдего вектора.

Если кратао«7 собственному значению соответствуют лишь простые элементарные делители, то система разностных уравнений

х =х +ЬВх .

с начальными даша&ы

„ Ю>

где матрица В задается формулой

В = Т ? ОТ* решает поставленную задачу. Здесь матрица Т такова, что

(Н>

1 I ■ I Ь ,

а патрица I - диагональная матрица

Ь •* •,А.р,А.р, • • • >\)

Третья глава состоит из трех параграфов. В этой главе решается задача о построении разностных схем для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентам! вида

X » АХ + 1»)

и начальными условиями

х(0) - х""

где А - постоянная квадратная матрица порядка га , а -

вектор-функция специального вида. В $5 исследуется случвй

1(1) = иеаг ,

где и - постоянный вектор, э а не совпадает ни с одним из собственных значений матрицы А.

Доказывается, что в эюы случае система разностных уравнений

х - х . + ЬВх + ЬУеСЬг"1,к

с начальными данными

¡С, • I о

решает поставленную задачу. Здесь вектор V определяется формулой

1 п011 _

V - ( В + —Е ) ( А - ОЕ ) и

Матрица В вычисляется в зависимости от инокества собственных значений матрицы А.

Если все собственные значения матрицы А простые, то матрица В вычисляется по формуле (12).

Если матрица А имеет лишь одно кратное собственное значение краткости q , причем ему соответствует единственный элементарный делитель той же краткости д , то матрица В вычисляется по формуле (13). В этом случае хп = (зс^)1ь, если Если яв ^>2 , то относительная описка реиегая построенной

разностной схемы стремится к нулю с ростом п.

Если кратному собственному значению матрицы А соответствуют лишь простые элементарные делители, то матрица В вычисляется по формуле (14).

В 66 исследуется случай

f(t) « gcoswt + f6inut , где В я у - постоянные ш - мерные векторы, а 1и не совпадает ни с одним из собственных значений матрицы А. Система разностных уравнений

xn » х^ + hBxri_1 + hltcostu(n-t)h) + bNslnlu(n-1 )Ы с начальными данными

хс - х'°'

решает поставленную задачу в этом случае.

Здесь векторы U и N вычисляются по формулам:

¡MAWE)-'{(Bi1 -c°suhE)(AgW7)-. И.|AVi)-{(Bi1 (A?-uB)+

Патрица В , в зависимости от множества собственных значений

вычисляется по формулам (12),(13) или (14). В 57 исследуется случай

I(t) - De 1 ,

где - собственное значение матрицы А , a U - постоянный га-мерный вектор. Предполагается, что все собственные значения матрицы А простые.

Система разностных уравнений

Xm-i.h х « х . + ЬВх hVe '

« П-* Г.-1

с начальными данными

«.»о» хс - X

решает в. зтом случае поставленную задачу.

Матрица В вычисляется по формуле (12), а нахождение вектора У зависит от того, является ли вектор U собственным вектором матрицы А.

; Если U = 61 , где 6 - некоторая постоянная, а I -

собственный вектор матрица А , отвечающий собственноыу значению . то

V - Г Р г'и ,

где

X Ь X ь 0 -0

Если же и - , то

V = Т ф г'и

л*

® хь •

п(е ' -е * )

X 11 X 11 п(е ' -е " )

1-е <4."^ ^

Здесь матрица Т определяется формулой

Т « (Т,12.....ЧтУ ,

где 1,1= «.г....." -собственные векторы матрицы А.

Четвертая глава содержит три параграфа.

3 §8 даются примеры построения разностных схем для систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постояшагли коэффициентами. Пример пункта в.4 иллюстрирует возможность

цршэмания разностных схем для вычисления функций, заданных дифференциальными уравнениям!, в точках сетки.

В §9 даются примеры построения разностных схем для систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений с неоднородностью специального вида.

£ $10 представлены результаты численных экспериментов, демонстрирующих эффективность предложенного подхода. Программы составлены на языке ФОРТРАН IV. Вычисления произведены на ЭЬМ ЕС-1020.

Одна нз систеи решена различными методами. Сравнение показывает хоровую точность предлагаемого метода и экономию во времени счета на ЭВМ.

Пятая глава , в которой рассмотрена линейная задача с переменными коэффициентами и нелинейная задача, содержит три параграфа.

В }11 ревается задача построения разностных схем в случае

i - f(t)x

В {12 исследуется вопрос о построении разностных схем для нелинейного дифференциального уравнения вида:

X - ?(t,x)

В 5 13 приведены примеры решения линейных задач с переменными коэффициентами и нелинейной задачи.

В приложении 1 решается задача о построении разностных схем для линейной однородной системы , обыкновенных дифференциальных уравнений вида: '

X « Ах ,

где матрица А имеет кратные собственные значения, которым соответствуют кратные элементарные делители.

Б приложении 2, под руководством профессора В.А.Шмссч, получены некоторые достаточные условия наличия предельных циклов охватывающих три особые точки системы

х ш у - Р(х)

(15)

у - - g(x)

а также некоторые условия отсутствия периодического решения уравнения х + + е(х) » 0 . (16)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложен новый подход к построена» разностных схьц для дифференциальных ypaDueictii, состояний в предварительной преобразовании исходного дифференциального уравнения.

2. Построен ргзиосткые cxeici, решения которых совпадают с реяегажс! исходных дифференциальных уравнений з узлах сетки (для систем лтейных однородных да<К>ере!!даальных уравнегай! с постоятм-ми коэффициентами, для неоднородных систви с неоднородностью специального вида, для линейного однородного днМ^реклиального уравнения с переменки коэффициентом и для некоторого нзлшгейн&го дифференциального уравнения).

3. Получены некоторый достаточные условия наличия преде яышх циклоп, охватывакцих три особые точки систецц (15).

4. Получены !!екоторие условия отсутствия периодических реке-ний уравнения (16).

ОсноЕ5ше результаты диссертации опубликовз:ш а слэдундак работах:

1. Коошлев В.А. Разрешайте преобразование. // Сб. паут, щи трудов: ДиМеренциалыше и шлзгрглыые уравнения, Горький, 1992, с. 143-146.

2. Kobyohev V. Construction des schémas aux differences suivant la fonction de resoau. // Annales de l'Institut, série Aï sciences et techniques, Conakry, 1982, p. 149-154.

3. Кобишев В.A. Построение разностных exeu по заданной сеточной функции. // Сб. научных трудов : Некоторые вопроси дифференциальных уравнений в ресынш прикладных задач. Тула, 1980, с. 14-18.

4. Кобылев В.А. Вычисление решений линейной однородной стационарной систены с помощью разностных схем. // Сб. научны* трудов: Дифференциальные уравнения о частными производными. Санкт-Петербург, 1992, с. 50-93.

5. Кобышев В.А. Исследование одной системы дюЭДеранциалыад уравнений. // Сб. научных трудов! Мзтеиэтика. Мзхакнка. Физика и электротехника. Волгоград, (ЭТО, с. 20-28.

6. Кобышев В.А., Шахтарин Б.И. Исследование одной нелинейной системы. //Дкффареггциальные уравнения, Минск, Ив, 1966, с.1132-1133.