О численном решении краевых задач теории упругости с сильно меняющимися коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Научно-исследовательский вычислительный центр

г' од

' ' " На правах рукописи

- 8 НИВ 19115

Ар баш Жорж

УДК 518:517.91/.94

О численном решении краевых задач теории упругости с сильно меняющимися коэффициентами

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики

Механико-математического факультета

Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

доктор физико-математических наук,

вед. н. с. Н.В.Арделян

кандидат физико-математических наук,

додент

В.И.Безяев

Ведущая организация:

Ярославский государственный университет

дании специализированного Совета К.053.05.84 в МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно -исследовательского центра МГУ.

Автореферат разослан 2£>, 0/ 199£г.

профессор Г.М.Кобельков

Официальные оппоненты:

199^. в 15 часов на засе

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. При исследовании свойств упругих материалов методами математического моделирования часто возникает проблема нахождения решения системы уравнений теории упругости с сильно меняющимися коэффициентами. В частности, эта задача возникает при проектировании и исследовании свойств композитных материалов. При этом применение классических методов, предложенных в работах Л.Н.Коновалова, И.Г.Белухиной, А.А.Самарского и др., затруднительно. Дело в том, что число обусловленности матрицы системы сеточных уравнений, возникающих при аппроксимации системы уравнений теории упругости, пропорционально большому параметру, присутствующему в системе. В частности, этим параметром может быть величина (0.5 — г')-1, где р - коэффициент Пуассона упругой среды. Если же мы рассматриваем случай взаимодействия нескольких упругих материалов с существенно разными свойствами, то число сильно меняющихся параметров, присутствующих в системе, может быть больше одного. В этом случае число обусловленности системы сеточных уравнений также является большим. Таким образом, проблема состоит в нахождении эффективного переобуславливателя, позволяющего решать задачи такого сорта за приемлемое время. Следует отметить, что в композитных материалах, как правило, всегда присутствуют материалы с существенно различными свойствами. Поэтому построение эффективных методов решения таких зада.ч является актуальным.

Цель работы состоит в построении эффективных итерационных мстодоз решения задач теории теории упругости в случае, когда параметры Ламе упругой среды могут сильно меняться, а также построении и исследовании свойств проекционио разностных схем для рассматриваемых задач.

Научная новизна работы. В диссертации рассматривается краевая задача в квадрате для системы уравнений теории упругости с кусочно постоянными коэффициентами Ламе и краевыми условиями жесткого контакта. Для этой задачи построен итерационный процесс, который на каждом шаге требует нескольких обращений оператора Лапласа и вычислений интегралов от уже найденных функций. Доказано, что при некоторых ограничениях на параметры Ламе скорость сходимости метода не будет зависеть от разброса коэффициентов Л аме. При этом существенно, что оба параметра могут меняться в независимо друг от друга, т.е. задача является существенно доухпараметрической.

Для этой же задачи построены проекционно разностные схемы; исследована сходимость разностных схем. Полученные результаты носят такой же характер, как аналогичные результаты для других, более простых задач; например, задачи Стокса.

Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете задач теории упругости в существенно неоднородных упругих средах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ под руководством академика Н.С.Бахвалова.

Публикации. По материалам диссертации опубликована одна статья.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Текст дисер-тации занимает 5? стр.

Краткое содержание работы.

Во введении кратко описываются результаты, относящиеся к тематике диссертации, полученные другими авторами, а также кратко излагаются результаты работы.

Глава I состоит из шести параграфов и является ключевой. В первом параграфе дается постановка рассматриваемой задачи, а именно, в единичном квадрате ft = ft U ЗП рассматривается следующая краевая задача

д д — 2-^-(/i£ij) — <5jj(Adi.vu) = Fi в ft, г =1,2;

(1)

диз-i n п , . , 0

U{ = —-= 0 при агг= 0 и г,- = 1; г = 1,2.

OXi

Во втором параграфе рассматривается случай ц = const. Дело в том, что в этом случае решение задачи (даже при переменном Л) может быть выписано в виде рядов Фурье и вычисления интегралов от уже найденных функций. А именно, в случае fj, = const исходная краевая задача может быть переписана в виде

-цАи — V(A + /i)divu = F в ft,

в (2) u-n= — (u-r) = 0 на 3ft. an

Используя обычную для таких задач методику исследования, краевая задача (2) преобразуется к форме

-Au + V/) = f, ap-bdivu = 0 в ft,

0 (3)

u-n= — (u-r) = 0 на 9ft, ста

где { —'Е/ц, а = ¿»/(А + ц). Решение этой краевой задачи имеет вид

и = д - а;Ч, (6)

где V = означает решение краевой задачи

Ду = f в 0, V • п = ^-(у ■ г) = 0 на дП. (7)

Таким образом, решение задачи (2) может быть получено с использованием соотношений (4), (5), (6). Поэтому в дальнейшем оператор, соответствующий краевой задаче (2), можно использовать в качестве переобуславливателя при решении краевых задач с переменными А и ц.

В третьем параграфе рассматривается случай переменного, но не сильно меняющегося ц. Введены операторы

( Ь V \ / -Д V

А = , В =

у — сНУ —а1 ) \ — СНУ —а/

определенные на Н х Ьо- Для решения уравнения

^ = <р, V = (и,р)т, <р = (Г, 0)т, (8)

совпадающего с (2), рассматривается итерационный метод

_ уу" т

В--"=<р, VП = К,?П), = 0. (9)

тп

Доказано, что возможно выбрать т„ таким образом, что скорость сходимости (9) не будет зависеть от а.

В следующем параграфе ( §4 ) рассматривается случай сильного изменения коэффициента /I при ограниченном коэффициенте А. Идея построения итерационного метода в этом случае такая же как и при рассмотрении краевой задачи для одного эллиптического уравнения. А именно, исходная система преобразуется к "потоковому" виду, после чего выписывается итерационный процесс. Рассмотрим краевую задачу

В-ви-БР- У(г?<Иуи) = Г,

(Ю)

Р/о> — Си = О,

совпадающую с (2); здесь ы = 2/1/1; — 1 > 1, тЭ — 2Х/и, f = г? < с, а операторы и <3 имеют вид

/ д/2А 2>з/л/2 0 \

V О А/л/2 А/1/2 /

д

где Д = -г- .

Предполагается, что область П является об'единением двух непересекающихся подобластей По и т.е. что

Й = П0иЙг, (7ОПП1 = 0,

и что коэффициент /1 является кусочно постоянным и выполнено условие

/х = /Ло в По и // = Цх в П1.

Для краевой задачи (10), которая имеет дивергентный вид, рассмотрен итерационный процесс

£> • <?лп + £>РП - <11V и") = £,

рп+1 _ рп т>г»+1

--—+ ---Си"=0; иеЩ, (11)

т ш

Р° € Ь2, Р° = в*, №£Н.

Выполнения условия Р° = (гит, Е Н легко достичь, взяв, например, Р° = 0. Имеет место

Теорема 1. Пусть начальное приближение итерационного метода (11) таково, что Р° = в^лг, £ Н. Тогда метод (11) сходится при т £ (0,2) со скоростью геометрической прогрессии, не зависящей от разброса коэффициента /л.

Первое уравнение (11) с краевыми условиями жесткого контакта на дС1, допускающими периодическое продолжение, при

известном Рп представляет задачу вида

1 + 17

Для решения этой задачи можно использовать метод (4) — (6), исследованный ранее в §2.

Наряду с этим результатом в этом параграфе рассмотрен также симметризованный вариант итерационного метода (11)- А именно, задача (10) сводится к виду

(-1+(?-А-1й)Р = СА-1Г; (12)

где А = С • б — и I - тождественный оператор. До-

казано, что оператор этой задачи симметричен и положительно определен и справедливо соотношение

+ 71)1 <-1+ (ЗА-1!) < (- + 72)1, и! Ш

где 7{ не зависят от и>. Таким образом, для решения (12) можно применять классические итерационные методы (например, метод

сопряженных градиентов) спереобуславливателем (—)1.

Скорость сходимости при этом не будет зависеть от и. На каждом шаге итерационного метода требуется вычислять значение оператора А-1, т.е. уметь находить решение задачи

Как отмечалось ранее, это можно сделать, используя метод (4) -(б).

Пятый параграф главы 1 содержит основные результаты диссертации. Он посвящен построению и исследованию итерационных методов решения задач теории упругости со скоростью сходимости, не зависящей от разброса двух коэффициентов Ламе Л

и /х. Суть метода заключается б следующем. Исходная краевая задача (1) записывается в дивергентной форме

DIV • GRAD u + DIVP = f,

P/o? — GRAD u = О, где из = 2z/ — 1, и из = 1 в П0, w > 1 в Oi и

(13)

' Di/y/2 D2/2 2V2 A + ^

ШУ =

^ A/2 Di/2 ^

GRAD = DIV*] здесь и = fi/fiQ, д = A///0-

Для краевой задачи (13) предложен итерационный метод

u"+l _ ц11

С-= -ШУ • Gtfvll? un - DIV(pGRAD un)

т

^^(/»P-J.+ f,

P"+! = ß/>Pn + pGRAD un+1, P° = GRAD w, w e H,

где p = (ß+l/w)-1, ß иг - итерационные параметры, а С - некоторый симметричный, положительно определенный эллиптический оператор второго порядка. В дальнейшем для определенности будем считать, что С = DJV • GRAD, хотя при численном решении задачи (13) в итерационном методе (14) в качестве С может выбираться любой другой симметричный положительно определенный оператор.

Доказана следующая

Теорема 2. Пусть С = DIV ■ GRAD, ц\ > cß0 и А0 < cAi. Тогда для любого ß > 0 существует то = го(/3) > 0 такое, что при всех т 6 (0, т0) итерационный метод (14) сходится со скоростью, не зависящей от разброса /i и А. Достаточным условием

сходимости метода является выполнение неравенства

В = DIV ■ GRAD - г DIV ■ GRAD - rDIV(pGRAD) > 0.

На каждом шаге итерационного метода (14) необходимо решать краевую задачу с периодически продолжаемыми граничными условиями и оператором па верхнем слое DIV • GRAD. Оказывается, эхо можно сделать, используя алгоритм (4) - (6).

Наконец, в последнем параграфе первой главы рассматривается симметричный вариант итерационного метода, предложенного в §5. Полученные результаты аналогичны результатам предыдущего параграфа, однако в симметричном варианте итерационного метода существует возможность применять методы ускорения сходимости, такие как чебышевский набор параметров и т.п. Однако, симметричные итерационные методы имеют тот же порядок сходимости, что и методы, рассмотренные ранее.

Вторая глава посвящена исследованию проекционных методов решения задач, поставленных в предыдущей главе. Вначале (§2.1) рассматриваются методы для решения задачи о жестком контакте в единичном квадрате при условии ц = const, поскольку это будет использоваться в дальнейшем. Обсуждаются две возможности решения этой задачи. Первый метод заключается в возможности последовательного решения ряда простых задач, на которые распадается исходная проблема, при помощи каких-либо численных методов, а именно, мы можем последовательно решить задачи (4)-(6). При этом интегралы можно вычислять при помощи квадратурных формул, а уравнения Пуассона решаются с помощью метода конечных элементов. В предположении, что для аппроксимации уравнения Пуассона используется метод конечных элементов, а интегралы по каждому треугольнику вычисляются по квадратурной формуле, точной для многочленов первой степени, получена оценка погрешности между точным и

приближенным решениями

||u — u|ji + \\р —¿>|| < ch]

здесь h - шаг сетки.

В §2.2 также рассматривается случай ц = const. Имея в виду обобщение на случай переменных коэффициентов, для решения этой задачи по аналогии с результатами для задачи типа Сток-са построен метод конечных элементов и исследована его сходимость. Имеет место следующая оценка погрешности точного решения дифференциальной задачи и проекционно разностного метода

где с зависит от |]и||д2 и ЦрЦя1-

В §2.3 строятся и исследуются проекционно разностные методы для задачи из §1.5. А именно, рассматривается краевая задача (13). Проекционно разностный метод решения этой задачи заключается в следующем. Пусть разбиение области па треугольные элементы с шагом Н = 1/М осуществлено стандартным образом. Пусть Т' - множество элементарных треугольников, которые будем называть "большими". Обозначим к = II ¡2 и разобьем каждый элементарный треугольник I из Т' на четыре других треугольника, соединяя середины сторон t. Множество полученных таким образом "малых" треугольников обозначим через Т. Пусть V - пространство непрерывных вектор-функций V, кусочно линейных над треугольниками Т и удовлетворяющих краевым условиям из (13), а <3 - пространство вектор-функций, кусочно постоянных над треугольниками Г". Проекционно разностный метод решения задачи (13) заключается в следующем. Требуется найти функции и*1 6 и, Рн 6 <5, удовлетворяющие следующим интегральным тождествам

||и-й||х + ||р-2>|| <ch,

(22)

(GRAD uh, GRAD v) + (Ph, GRAD v) = (f, v) Vv e U, (—,Ä) ~ (GRAD u, R) =0 VReQ, xih € U, Ph 6 Q.

0!

Беря в (16) в качестве пробных функций v, R элементы базиса, получим систему линейных алгебраических уравнений

(GRAD uh, GRAD v<) + (Pfc, GRAD v,) = (f, Vi),

Vi € U — базис в С/, pfc (17)

(—, Л,-) - (G12AD u\ Д,-) = О,

ÜJ

Rj €Q - базис в <5, u'1 е С/, Рл € Q]

которая эквивалентна (16). Нетрудно видеть, что число уравнений совпадает с количеством неизвестных. Доказано, что из (17) при любой функции f, вследствие предположений о свойствах и, решение uh, Р*1 определяется однозначно. Это следует из того факта, что выражение \\GRADuh\\ определяет норму функции uh.

Далее в этом параграфе выписан конкретный вид алгебраических уравнений, возникающих при этом.

Все рассмотренные в данной главе проекционно разностные схемы являются устойчивыми, что следует из устойчивости дифференциальной задачи и метода построения.

В заключении кратко перечислены основные результаты диссертации.

В приложении приведены результаты расчета тестовой задачи и тексты программ.

Основные результаты диссертации.

1) для системы уравнений теории упругости в прямоугольнике с граничными условиями жесткого контакта с сильно меняющимся коэффициентом ц и ограниченным А построен итерационный метод, со скоростью сходимости, не зависящей от разброса этого коэффициента;

2) для системы уравнений теории упругости в прямоугольнике с граничными условиями жесткого контакта построен итерационный процесс со скоростью сходимости, не зависящей от разброса двух коэффициентов Ламе;

3) построены и исследованы проекционно разностные схемы решения данной задачи;

Литература.

1. Arbash J., Kobelkov G.M. Numerical Methods for Theory Elasticity Equations with highly varying coefficients.- Russian J. of Nunier. Anal. Math. ModeLlmg(1993), v.8, No.5, pp.1-15.