О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА НЕХАНИКО-МЛТЕМАТИЧЕСКШ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукопй'

САЛЬНИКОВА Маргарита Геннадиевна

О ДВИШШ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ШАРЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ НЬЮТОНОВСКОГО ПРИТЯ5ЕНИЯ

Специальность: 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН В.В.РУМЯНЦЕВ,

доктор физико-математических наук, профессор В.А.САМСОНОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.БАРМйН, доктор физико-математических наук, профессор А.К.КОБРЙН

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится " ^ "^¿^^Л 1993~г. в час. на

заседании диссертационного совета Д 053.05.01 в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, Главное здание,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова, Главное здание, 14 этак.

Автореферат разослан " " Н&У&рА. 199^*г.

*

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук Д.В.ТРЕЩЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работа. Задача о приливном течении в слое вязкой жидкости, находящейся на вращающемся шаре, является одной из интересных задач механики. Она возникает в динамической теории приливов, при исследованиях океанических и атмосферных течений, в теории вращения планет. Многие привычные явления погоды и известные черты циркуляции океана не имели бы места на невращащейся планете. Данные об океанических приливных течениях находят применение не только при решении проблем океанологии, но и в смежных областях геофизики - при изучении земных приливов, приливных вариаций силы тяжести, а также в космических исследованиях.

Задача об интегрировании уравнений приливов представляет значительные трудности. В настоящее время она решена с помощью специальных функций лишь для бассейнов простейшего вида или каналов бесконечной длины. Попытки учесть форму континентов еще больше усложняют задачу. Если сравнить результаты расчета приливов в Мировом океане с эмпирическими данными, то обнаруживается заметное их отличие. Причины этого - в несовершенстве существующих глобальных приливных моделей. Но в то же время теория дает объяснение физических закономерностей формирования приливов в Мировом океане.

Цель работы состоит в выявлении роли вязкости жидкости, покрывающей вращающийся в центральном ноле ньютоновского притяжения шар, поскольку именно с вязкостью связано влияние прилива на вращение шара.

Научная новизна работы заключается в том, что на основе

з

решения гидродинамической задачи подучена аналитическая зависимость момента сил приливного трения от п - угловой скорости собственного вращения шара и на основе этой зависимости проведено исследование влияния приливного момента на характер движения шара.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научном семинаре кафедры теоретической механики под руководством В.В.Румянцева (1995 г.).

Объем работы. Диссертация содержит 106 страниц, список литературы включает 46 наименований.

СОДЕКШШЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, посвященных двизнению кидкости, находящейся на вращающемся шаре, излагается общий план диссертации.

Подход, применяемый в диссертационной работе, заключается в следующем: исходная задача разбивается на две части, сначала решается гидродинамическая задача, а затем определяется характер влияния жидкости на вращение шара.

В первой главе диссертации рассматривается модельная задача об установившемся относительном течении в слое вязкой тяжелой несжимаемой жидкости, находящейся на поверхности вращающегося шара, который совершает двизгение в центральном поле ньютоновского притяжения.

Предполагается, что твердый шар радиуса ко, покрытый сплошным слоем вязкой тяжелой несжимаемой жидкости (и, р, и-соответственно масса шара с жидкостью, плотность жидкости и

коэффициент кинематической вязкости) и материальная точка о массы и, находящаяся на расстоянии н от шара, движутся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона, по круговым орбитам с постоянной угловой скоростью и вокруг общего центра масс. Кроме того, шар вместе с жидкостью вращается с постоянной угловой скоростью а вокруг своей оси, перпендикулярной плоскости орбиты. Толщина слоя жидкости

предполагается достаточно малой величиной, чтобы считать однородным поле силы тяжести, создаваемое шаром.

Движение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса.

В результате перехода в сферической системе координат г, в, р к безразмерному виду уравнений движения жидкости возникают параметры

„а» 2

® ' Я2!?3 ' ке ПК2

о

(д^ = ко + 5', д - ускорение силы тяжести, с - гравитационная постоянная).

Вязкость вовлекает жидкость во вращение вместе с шаром через естественное условие прилипания на твердой поверхности шара. Это вращение не будет "твердотельным", поскольку зависимость давления р от широтной координаты <р приводит к образованию так называемых приливных горбов на свободной поверхности жидкости. На свободной поверхности жидкости должны выполняться известные условия непрерывности напряжений и кинематические условия. Для того, чтобы их записать в наиболее удобном виде, проводится градация параметров задачи.

Если шар не вращается и я —> «, то, очевидно, свободная

поверхность представляет собой сферу радиуса в = I + а (в -относительная толщина слоя жидкости). Если же шар совершает только собственное вращение, но центробежная сила инерции значительно меньше силы тяжести, го свободная поверхность тлеет вид г = + + С/в.), где с/е.) характеризует сплюснутость слоя жидкости на шаре, причем с, ~ е. Таким образом, с - один из малых параметров1 задачи.

Величина приливных горбов связана с параметром е, определяющим амплитуду широтной модуляции давления р. Выбором достаточно большого значения расстояния н параметр е назначается вторым малым параметром задачи, не зависящим от с. Кроме того, для определенности полагается е * с.

Свободная поверхность жидкости представляется в виде г = к +

+ где С - с. Это позволяет "снести" граничные условия со

/

свободной поверхности на сферу г = д .

Решение строится в виде разложений по параметрам сиг. Число Рейнольдса ке для упрощения выкладок считается велико,

поэтому уравнения движения содержат малый параметр дг = при

старших производных. Это позволяет применить метод пограничного слоя.

Скорость- течения жидкости записывается в виде суперпозиции скорости внутреннего течения и скорости в пограничных слоях как в окрестности твердой поверхности шара, так и в окрестности свободной поверхности жидкости, причем каждая из них раскладывается в ряд по степеням малого параметра и.

Поскольку момент приливного трения вызывается не столько величиной приливных горбов, сколько смещением их максимумов

б

относительно линии оо1 (о] - центр шара), то вычисляются все разложения вплоть до того, в котором обнаруживается такое смещение.

С использованием полиномов и присоединенных функций Лежандра найдены несколько первых приближений относительной скорости течения жидкости и формы его, ?>; ее свободной поверхности.

Во второй главе исследуется характер влияния вязкой жидкости на вращение шара. Для определения гидродинамического момента применяется теорема об изменении момента количества движения. Так как жидкость совершает стационарное движение, момент ее количества движения сохраняется, т.е. -г. + я^ = о, где £ - момент силы трения между жидкостью и поверхностью шара, - момент силы притяжения и центробе:шой силы. Момент кх определяется в результате интегрирования по объему жидкости, ограниченного найденной в первой главе поверхностью. В размерном виде получается:

я1аР1/"г сгнгк6

н = _ с -о**

(Я*-1) у*6

ГДе с= -§5 +Л ^(^-26/7)/т -/?у

Следует отметить, что при таком подходе для определения гидродинамического момента I. достаточно решить линейную задачу.

Можно вычислить значение ь и другим способом непосредственно через касательные напряжения на твердой поверхности шара, но при этом в уравнениях Навье-Стокса необходимо будет учитывать нелинейные члены.

Таким образом, установлено, что момент сил приливного трения

прямо пропорционален п3/2, в отличие от феноменологических приближений - линейных и сигнатурных по угловой скорости собственного вращения, используемых при моделировании приливных явлений для оценки момента приливных сил.

Поскольку на шар со стороны жидкости действует тормозящий пршшвной момент, то с течением времени угловая скорость п собственного вращения шара уменьшается.

Найден закон изменения угловой скорости а под действием момента сил приливного трешя. Он имеет вид:

п

а --2-

где г = —~- -—, п - начальная угловая

2 (й® - 1; д И I °

скорость собственного вращения, I - момент инерции шара.

Проведено исследование зависимости угловой скорости собственного вращения шара от различных значений параметров задачи.

Б качестве числовых примеров, иллюстрирующих задачу о движении вязкой тяжелой жидкости на вращающемся шаре в центральном ньютоновском поле, рассматриваются системы тина Луна-Земля, Солнце-Земля, Солнце-Шитер. Предполагается, что планета, имевдая такие ке параметры, как Земля или Юпитер, покрыта соответственно слоем жидкости или. довольно плотной атмосфзры. Гравитационный центр имеет характеристики Луш или Солнца. Для каздой из систем вычисляются тормозящие приливные моменты, проводится сравнительный анализ результатов расчета с эмпирическими данными.

Основные результаты, полученные в диссертации, кратко можно

сформулировать следующим образом:

1. Методом пограничного слоя, найдено несколько первых приближений скорости относительного течения жидкости и формы ее свободной поверхности.

2. На основе решения гидродинамической задачи получена

аналитическая зависимость момента сил приливного трения от угловой

скорости п собственного вращения шара. Установлено, что величина

1/1

тормозящего приливного момента пропорциональна п .

3. Найден закон изменения угловой скорости собственного вращения шара под действием тормозящего приливного момента.

4. В качестве числовых примеров, иллюстрирующих рассматриваемую задачу, приведены системы типа Луна-Земля, Солнце-

планета.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения. Изв.РАН. МЖГ. 1995. N 2, С.133-141.

2. Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой тяжелой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения. Отчет N° НИИ механики МГУ,1995.

Автор выражает благодарность Виталию Александровичу Самсонову за научное руководство работой.

ю