О глобальном поведени решений задачи Коши для полулинейных дифференциально-операторных уравнений с нелокальными нелинейностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Гумбатов, Фуад Дурсун оглы
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Баку
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕН^ УНИВЕРСИТЕТ ий.Ы.Э.РАСУЛЗАДЕ
ГУМБАТОВ $УАД ДУРСУН ОГЛЫ
О ГЛОБАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ РЕИЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ дай>5ЕРИЩШЬНО-ОПЕРАТОРНШ УРАВНЕНИЙ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НЕЛШЕЙНОСГЯМИ
01.01.02 - Дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
На правах рукописи
Баку - 1994
Работа выполнена в Институте математики и механики АН Азербайджана.
Научный руководитель:
- доктор физико-математических наук В.К.Калантаров
Официальные оппонентчы:
- доктор физико-математических наук, профессор А.П.Махмудов,
- кандидат физико-математических наук, с.н.с. Э.Н.СаЙэиев.
Ведущая организация - Азербайджанский Технический университет.
Защита диссертации состоится " _1994 г.
часов на заседании Специализированного совета по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук Д.ОЕЧ.03.02 в Бакинском Государственном Университете им. М.Э.Расулэаде по адресу: 370145,г.Баку, ул. З.Халилова, 23, П корпус, ауд.307.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бакинского Государственного Университета им.М.Э.Расулэаде.
Автореферат разослан "Ж " ош^-^г1994 г.
Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук, профессор
ЯГУБОВ М.А.
ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Ряд задач механика оплошной ореды приводит к необходимости изучения общих дифференциально-опера-торних уравнений вида:
и^+осЛ^^-р^и- Г(Ь}и,иъ)
где Л - неограниченный, линейный оператор в некоюрои банаховом пространстве X »01,£ - неотрицательные константы, Р*:[0)Т1 * ХхХ~*0С» вообще говоря, нелинейный неограниченный оператор. Уравнения такого типа возникают при математическом моделировании динамических процессов теории упругости, теории пластичности и т.д. Так, например, частные случаи этого уравнения встречаются при изучении поперечных движений ристяжииой балки, структурно оотухавдих нелинейных колебаний струны или балки, при исследовании вопросов динамической устойчивости эластичных тел и т.д.
Исследованию глобального поведения нелинейных эволюционных уравнений второго порядка по времени посвящены работы 0.А.Ладыженской, Р.Теизма, Дх.К.Хейла, К.Даферкоса, В.К.Калан-тарова, А.В.Бабина, М.И.Вишика, И.Д.Чуешова, Г.Ф.Вебба, Да. Болла, И.Эбихары и др. Вопросы разрешимости задачи Коии, глобального поведения решений для дифференциально-операторных уравнений выше указанного типа исследовались в работах Д*^ Болла, В.К.Калэнтарова, Г.Ф.Веббэ, С.И.Похожаева, К.И.Худа-вердиева, Н.А.Лджаловой, П.Еилерэ, В.Э.Фитзгибона, Д.Шевчевича, И.Н.Костина и др.
В данной работе изучается однозначная разреваность, глс-
- -
бальная устойчивость в разрушение решении„ существование минимального глобального аттракторе и конечность фрактальной размерности аттрактора задачи Кони для полулинейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка по времени о нелокальной нелинейностью. Исследована также задаче Копи для полулинейного дифференциально-операторного уравнения первого порядке по времени о нелокальной нелинейностью, для которой докааанв однозначная разрешимость, глобальная устойчивость ранений и существование минимального глобального аттрактора, установлена полунепрерывное« сверху аттракторе для дифферен-цяадьно-операторного уравнения второго порядка с малый положительный параметром при второй производной.
Цель работы. Исследование мебельного поведении ревэний задачи Коши для полулинейных дифференциально-операторных уравнений с нелокальными наяинойноотяии первого к второго порядков.
Общая методика выполнения исследований. В работе иополь-зуются методы функционального анализа, теории дифференциально-операторных. уравнений, теории дифференциальных уравнений в частных производных. .
Новизна результатов и их научная ценность. Результаты диссертации является новыми и представляют как теоретический, так и прикладной интерес,
Аппробация работы. Результаты работы докладывались и обсуадались не семинарах по нелинейным задачам матвивтической фягнкж отдела "Дифференциальные уравнения с частными производный«ИУЫ АН Азербвйджаиа, ив оСщеияотитутском оеминаре НИМ АН Азербайджана, нэ второй международной 'Хурецко-А^ербай-дканской кат&матической конференция (£аку, 1992г.), ва конфе-
ренции по иатеиятикв и механике, посвященной 70-летие К.Кери-ыова (Беку, 1993г.), на научной конференции аспирантов АН Ааербайдяана (1993г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.
ООьеи работы. Диссертация иалохена на 158 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списке литературы, насчитывающего 51 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается краткий обзор работ примыкающих к те-ие диссертации, приводится список обозначений, вспомогательные определения и факты и излагается краткое сода ржание работы.
В первой глазе изучается однозначная разреиииость, глобальная устойчивость и разрушение решений задачи Коей для полулинейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка по врехени о нелокальной нелинейностью, доказывается существование минимального глобального аттрактора для полугруппы, порожденной этой задачей и конечность фрактальной размерности аттрактора. Эта глава состоит из пята параграфов.
В § I главы I рассмотрена следующая задача;
Utt+aJ?utHJ*u (I)
где Л - неограниченный, сэыосопряяенный, положительно определенный оператор в некоторой вещественном гильбертовом пространстве f-/0 с областью определэния f—f и ком-
пахтньш обратнин, «»К, - некоторая функдия, ^ - вэлинейны л оператор, 00 - положительная константе, fi(t) - заданная абстрактная функция.
Через f-f , S>0, будет обозначена облзсть определения S- ой степени оператора J) „ наделенная скалярный произведением и соответствующей нормой: (M^fi^U^ При 5<0 (-| определяется как дуальное пространство к f-f при атом скалярное произведение в |-|е продолжается до одаривания между f-f a }-f е Отиетии, что при S±<St имеет место компактное вложение М-сИ,»
Предполагается выполнение следующих условий:
1. Оператор ^ непрерывно отображает пространство Hi в ¡-¡^ в некоторый t¿¿-А- , а также ограниченно и непрерывно отобрвхает ¡-ft в H.jL •
2. Существует такой слабо непрерывный вещественный функционал о ЧТО для Vtt/fce j-{ функция (j(u+tb) дифференцируема по tefft » и спр-чедливо равенство*
,1
3. Существуют такие положительные константы и » что для выполняется:
G-(u) -c4)||u - Ci.
Оператор ^--Н^Н .яяяяетоя локально ляппицевым отображением, т.е„ для Vic/iref-^выполняется!
где Cj.' iftMR—MR* ~ некоторая непрерывная функция»
5. Функция »[R является локально липоицевым отображением. х
6. Первообразная функция jj(s)ds такая, что для V'C^O выполняется: °
где - некоторая полоаситэльнэя константа. Доказана следующая
Теорема I. Пусть выполняема условия I-ó,tl0e¡-{¡,
«^н.. mdM) \-\-i) »» ¿(t)^ kQc H.t.
Тогда для любого Т>0 существует единственное рвиение Незадачи (I), (2) в смысле теории распределений такое, что:
в) и е LHJn С([о,т] ¿ H¿),Ut £ LJo.T; Я)л
nCdo.ThH.^u^eLJo, T;HJ;
б) для любого te[0,T] имеет место неравенство:
Mí* +|kwf+ (3)
ü
где C'¡IVxl(í—!►IR*- некоторая напрершшая функция.
в) при fi(t)=fi^j-{ ¿ для любого tsfP.T] выполняется
"л
неравенство:
t
2ju(t),ujt))~ ZJu.^^-ajljUtMds, W
o x
где ~ Функция, действующая изХ=И(хН0в IR по Ф°Р~
мула:
Гч\у)£ х,
В § 2 главы I рассмотрена задаче (I), (2) в предположении, что кЮвЬеН.л * Доказана ограниченная диссипатив-
Д>
кость полугруппы, соответствующей этой задаче. Пуогь икает место условия:
7. Существуют такие положи тельные константы
С;- константа аз уолоьия 3) м Сч , что для Уы-е!-^ выполняется?
•X
8. Для первообразной функции У~(Ч):г ^ И ¿(г) при Мх^.0 выполняется:
КхН^ПгЬ-С;,
«у
где - некоторая положительная константе. Доказана следующая
Теорема 2. Пуоть выполняются условия 1-8. Тогда полугруппе Ье ЦТ, соответствующая гадаче (I), (2), имеет ограниченное поглощюцае множеотво В0СГС(1;Х=Н*Ив» В частности, кэ этой теоремы следует, что волн
то для каждого рвигвия и {к) ведачн (I), (2) справедливо следующее г
Ци»)1 -»о »о (6)
при ^ —* -ьоо, причем стремление к нулю происходит о экспоненциальной скорость»«
В § 3 главы I рассмотрена задаче (1)0 (2) в случае однородного уравнения. Предполояоно, что Л - неограниченный, самосопряженный,, положительна определенный оператор в [-¡в с ограниченным обратным, - некоторый нелинейный оператор, локально лнппицово отобраващий пространство Н1 в Н0 ®
- локально липщицевая функция,л>0, (и„,и£)еХвь Доказана олеадгщая теореме об отсутствии глобального реиеняя аадачи (I), (2).
Теоремэ 3. Предположи»!, что нелинейный оператор Н^И» имеет вид:
где ^.¡Н^Но« ¿"=1,31 и выполняются следующие условия;
а) Нелинейный оператор : Н^Н» является дифференциалом фрепе для некоторого функционале С^: Н1—'"К 1
£ , (8)
» 11 Ци)+ЛЛиЦ, Уис Н4;
I! 1Нф»Уи £ 1^ 5
r» f>>0tCe>0tJll>0(L = O)iCi-l+P>
о
Тогда суцесгвуе* положительное t^+oo такое, что
[ИС + a +оо , <»>
причем
t* 4 =(l fâïjfc )'% [( £ MM^tfMj, 4
В конце этого параграфа приведены две конкретных примера: начальная и начвльно-крэеввя задач», для которых применима мора из 3, в силу которой можно утверждать разрушение реие-ний гхгх аадач за конечное время при определенных условиях на начальные данные.
В § ^ главы I рассмотрена задаче (I), (2) в прздположе-нвк A(t)=fi/Oe{-I0B установлев результат о существовании минимального, глобального аттракторе для полугруппы i R+ , порожденной агой авдачей.
Предполагается выполнение следующих уоловмй:
9. Существует такая непрерывная функция HR/« что для \/гис Н выполняется:
10. Существуют число I >0 и непрерывная функция * ifT такие, что для
VucH, выполняется:
11. Функция мз класса C^ïf^Ifl)» оператор g непрерывно я ограниченно отображает И^ в Н0 »
12. Для VUj-b-cHj« VujcHi Функция (^-(u+ti^ux) дифференцируем по t и существует линейный непрерывный оператор
cr'(u);f-J--»-|-{ ,(не зэвиояадей от 1r а и ) токойе что
« 1 "а
и для \/ueH, « VlreHl выполняется:
я.
къы^с.а^Мф,
где Ci^fc-^ÎRT - некоторая непрерывная функция. Доказана следутая
Теорема Пусть выполняются условия 1-10« Тогда полугруппа Vt:X0-*Xo, te ЛИ* » порожденная задачей (I), (2), ииеет инициальный, глобальный В — аттрактор ТПсХоя ко~ торый компактен, связея я инвариантен.
Для доказательства теоремы 4 операторы полугруппы
- 12 -представляются в виде;
где V 0 \(Г операторы, соответствующие следующий задачей: » &
Ъьь+оьЛъ+Я^ъ-^о, ■ (Ю)
Тг<0) = и.,7гьС0) = иА;
+оЛиг* + V+/{¡Н^УЫ + к0, (и)
Ш(0)=0 , Щ(0)=0.
Далее, устанавливается, что ^ Де Ц^4 является семейством сжиыэвдйт, а ^^>Ьс семейством вполне непрерывных операторов„
Доказывается также следувдая теорема, которая яспользу-втоя в глазе В0
Теорема Пусть выполняются условия теоремы 4 я условия 11-12« Тогда минимальн: а, глобальный (5 - аттрактор Ш полугруппы ^-.Хг^Х^еК", поровденной задачей (I), (2), ограшчеи в пространства Х^Н^* И4 •
В § 5 главы I доказана конечность фрактальной размерности любого ограниченного в Х0 множестве ^ , инвариантного относительно полугруппы Хо-^Х,,, Ь £ И-?,* о следовательно, а аттракторе ТП этой полугруппы.
Теорема б. Пусть выполняются условия теоремы ** н существуют число {>0 и непрерывная функция такиев что для УгцОгсЬ^ выполнится:
Тогда фрактальная размерность любого ограниченного в множества ^f 0 инвариантного относительно полугруппы
te порожденной задачей (1)0 (2), не превосходит некоторого числа„ определяемого
И Идс^ ^1 ^ * ^ ^ ^ Híj П v li"*")
В конце этого параграфа полученные в §§ 1-2, 4-5 главы I результат« проиллюстрированы на примере начально-краевой задачи, которая встречается при математическом изучении отрук-турно-зэтухаюЕЯХ нелинейных колебаний струни ила балки»
Зо второй глава исследуется однозначная разрешимость, глобальная устойчивость радений задачи Kosia для полулинейного дифференциально-операторного уравнения первого порядка по временя о нелокальной нелинейность», доказывается существование минимального, гло<?эльного аттрактора для полугруппы, соотБ0то1вую«ей этой звдаче и ограниченность этого аттрактора в пространстве {-{ . Эта глэва состоит из трех параграфов.
В § I главы П рассматривается следующая задача:
ооЛгц+ЛЧ+ <13)
и(0)=ио, <»>
где оператор Л и пространства f-j 0 0 те se, что
*
и в § I глэвы I, ff - нелинейный г^чратор, действующий пз I"—f в [-{_¿ , - некоторая функция, СС - лоложи-
тельная константа, jt(t)e H.¿) ' Ч>£ Hi •
Дока вене следующая
Теореме 7, Пусть выполняются условия 1-6, Ь^сН^ •
ШеЬ^+оо^идя МЬЫк0с К^.
Тогда для любого Т>0 существует единственное решение вадачи (13), (14) в смысле теории распределений такое,
что:
Л» X *
б) для любого "ЬсСС*)"!^] имеет место неравенство:
+ (15)
о ^
где С • [Н,—*'!^4- некоторая непрерывная функция;
в) при Афг^е[-[_ 1 для любого {ге^О/Г] выполняется
£
неравенотвог
Х^им-а^щ^, (16)
о
где Х^О) функцвяо дейотвуючвя кз Н4 в по формуле,:
В § 2 главы П рассмотрен* задача (13), (14) в лредполо-яешш, что = и установлена ограниченная диоси-
пативность полугрупп« Ц^Нр*!-^« е: , порожденной атоВ Задачей, А имэнно доказана
Теорема 8, Пусть выполняются уоловня 1-8. Тогда поду-группа Ц^Н^Н*» ^ £ К- в соответствующая задаче (13),
(14), имеет ограниченное поглощающее множество f^C .
Как следствие из этой теоремы вытекает, что если ii-0
О
и в условиях 1-8 выполняется:
Ci - CS = C4 =С5 =0,
то для каждого реиения Xl(t) авдачи (13), (14) справедливо следующей:
1(г^)ЦаГ*0 (18)
при t—>+оо , причем стремление к нулю происходит с вкопо-нениивльной скоростью.
В § 3 главы П рассмотрена задача (13), (14) в случае ít (t)~ ñ.v€ Н0 и доквзвна георека о существовании минимального, глобального аттрактора для полугруппы Н^Н^^&ч соответствуйте 1 этой гвдочв.
Предполагается выполнение сдедущах условий:
13. Судествуют такие непрерывные функции C40,C^'.íRr-»|}l,4 что ддя Vuc H¿ »Vlr^H выполняются неравенства:
11*4** (¡MQOM^i).
14. Вещеотвеннозначпя функция на классе
15. Для Vu,tr £ НА, VbXc Н^ функцияC^U+tlr),X<r) дифференцируема по t и существует линейный непрерывный оператор j'(u):¡~j¡—*Н_±(ив зависящий от trtTxr ) такой, что
и для УгЦТгё'Н^ выполняется:
где С^!!^—*!^ - некоторая непрерывная функция. Доказана следующая
Теор8на 9. Пусть выполняются условия 1-8, 13. Тогда полугруппа Ц/Н^Н^« » порожденная задача» (13), (14),
инее» минимальный, глобальный В ~ аттрактор ТТ^сН^ кото-р-<й компактен, связан и инвариантен. Доказ8Н8 также следующая
"Теорема 10. Пусть выполняются условия теоремы 9 и условия 14-15,, Тогда минимальный, глобальный В - аттрактор ТТ1> полугруппы Н^^И^ ограничен в пространстве Нд, ♦
В конце этого параграфа также приводится пример для рассматриваемого абстрактного уравнения (13).
В третьей главе исследуется зависимость от параметра аттрактора полугруппы, соответствующей задаче Ноши для полулинейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка с малый положительным параметром £ при второй производной»
Рассматриваются следующие дво звдачи;
ОсМь+Ри + ЯИЛМ^ к0) <й> и(о)=ис,
где оператор Л и пространства ♦ 5£ » *®« что а в § I главы I, ^ - нелинейный оператор, действующий из (-}4 в }-| , £—► - некоторая функция, СС - положительная константа, £ - положительный параметр, {ьое
20=Н*Н0.
Пусть имеет место условие:
16. Оператор ^ есть локально липщицевоз отобрзяение из И^ в Н0 и существует такая непрерывная функция Сц:» что для Уие На выполняется:
X/
Основным результатом третьей глав« является сладущая Геореяа II. При условию: 1-8, II, 12, 16 минимальный глобальный (3 - аттрактор 7П£ полугруппы te.fi » соответствующей задаче (20), полунепрерывен сверху в Х0 . *.в.
где
нимальный глобальный В - аттрактор, соотзетствуэдий задаче (19).
Доказательство теоремы II опирается на следу ада оценил: I) Пусть . Тогда существует такая положитель-
ная конотзнта С0 и для Ут^О такое р)>0, где С?
и не зависят от £ , что для любого решения и.£ задачи (20) с Н^Ч-е^ЛН-,. Ч-о удовлетворяется оценка:
хо
и» Уее(о,£;] и у-^ОД.
2) Для \/"£о>0 существует токая положительная констая-та С,'(1 о) , что цля любого решения "и,ь задачи (20) с
ЦГ^о»1^)!-^^» имеет место следующая оценка:
•^е X»
о А'
3) Пусть 0-СВ£ £0 . Тогда существует такая положительная константа С* м чля \/~Сс , "£.¿>0 две положительные константы С*{\) г С^С^х) такие, что цля любого решения
ие задачи (20) с + , ¿ = 0,1,
для всех и для \/£е(Ь, £0]справедлива следующая оцен-
ка:
В заключении считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.К. Ка-лантарову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и обсуждение получень^х результатов.
Публикации то теме диссертации
1. ilujabatov F.О, deni-oonclnultjr of tbe atuructor for a uio^ularly ^erturbed utiulrucU du^ed aonliaear évolution e^uatton wit.4 nonloca.l taras. 'Xtit 2-nd TurlUbh-Aseroaijaa lu.-itiiuaaUlCB aiavosiaa, 'ii-ika, abaCracts, p.30-31.
2. Гумбатов 4.Д. 0 разрушении решений задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка. Материалы науч.конф,аспирантов АН Азербайджана. Баку, Элм, 1993, с.15-16.
3. Гумбатов Ф.Д. О глобальной поведении решений дифференциально -операторного уравнения второго порядка.- Деп. в ВИНИТИ II.C6.93, № I63S-B93, 47с.
ЬУМБвТОЛ аУАД ДУРСУН ОГ."У
"Гг^ои-локал, ге^ри-хогтиАИКлэри олан зэршхятти дм фи цен сна л-оле рато р гэшглклар учуй Когак мчсэлз-синин Ьаллериник глобал хяосзлзрч"
х у л а с а
Диссертасп^а шшлэ
» -»-а Ли 1М,/ги||2)Ь),
диференскал-олератор тэшшзн учгн гс^улмущ Кож мэаолэсг'шш Ьвл-лэриник глобал хассэлэри тедгиг олунур; бурада А -Ьо гиги Ъилбергг фвэчсчнла тэ"зин олунпун ге^ри-ма^д, оз-озунэ гошма вэ мусбэт мтэззэк, компакт торси олан оп<;ратср, -му^зая кпсилиаз
!}"11ксиза, £ -гел'ри-хвтти оне^згор, а -г,-! у бэт -ве-
рилмяш абстракт функоизади'р.
Бела тип тэнлидин хгсуси Ьаллпрша дергала бнлая т.чрин енинэ рэгслэринин, тарин ва за спмин структурам сонон гезрн-хэтти рэгслэринин, еластлк чисшгсэрин динамик да 3л; игл (г .иасалэлзринин ве сэлт муЬит механика сшшн бир чох дика'р мосвлэлэринин ризязи твдгигянд'э раст кэлинир.
Диссертасизадя арагадирилаи тзил.чн учун Коми .масалвсинин Ъэл-линлн варлцгн во зпклнэлнзи исбат с;шллр, мэсэлэиип чогурдугу зарш-гр.упун мэЬауд уду чу чохлугуяун вэ гн.ни.чал глобал В -атрэкторунун мелчу^лугу кестэрилир, бу «гтракгорун сонлу фрактяа елчгзэ малик олгласа вэ тапли^ин Ьчляэринин соплу заманча, бяшлянгчч веиилэшгер вэ гезри-хэттиликлэр узэринз игэззен шортлэр дахллинде, цагнла бил-мэси факты исба'г едилкр.
Ьемчишш, ишда узгун гезрм-хаттилнклэри олан, замана керэ би-ринчи тэртнб дя^еренсиал-операгор гэнлнк учун гозужти Кош .иэсалэ-синин йаллзряяин глобал хассолэри гад гиг олунур. Ишин сонунчу <рэс-линдэ сингулзар Ьэзэча;ишншп1, замана кора ихпнчи тэртнб дигеренси-ал-оператор танлик учун атграктор.ун зухарыдан зарш.жэоилмэзлизи исбат олунур.
Ьар бир (1алда алшмыш нэтичэлэп ба.'цлангыч-сэрЪэд масэлэлври учун назардан кечирилир.
HuiTibatov Fuad Dursun rglu
"On global behaviour of solutions oX the Cauchy problem lor semillnear dlfierontial-operator equations with nonlocal nonlinearities."
Abstract
In dissertation It's Investigated the global behaviour of solutions oi the Cauchy problem Tor tft? following differential-operator equation
utt-HtAit+4zu+/( H-41 /2u(li'54u+g(u)t). where A is an unbounded, celiadjolnt, positively definite operator on a real Hllkert space with coapact reverse, is a certain
continlous function, g is a nonlinear operator, a is a positive constant, ;k f) Is a given abstract function.
The particular cases of such type equation arise in mathematical study of transverse motion of an extensible beam, oi structurally damped nonlinear vibrations of a string or a beam, oi the dynamic stability problems of elastic bodies and of many other problems of mechanics of elastic medium.
In dissertation it's proved the one-valued solvability of the Cauchy problem for the considered equation, the existence of a bounded absorbing set and the existence, finite dimensionality of a minimal global J-attractor for the semigroup generated by this problem. It's obtained conditions on initial data arvl nonlinearities, tinder which the solutions of the equation may destroy in finite time.
It is also investigated the global behaviour of solutions of the Cauchy problem for the first order on tlwe differential-operator equation with similar nonlinearities. In the last chapter of the work it is proved the upper-semicontinuity of the at tractor for the singularly perturbed second order differential-operator eouatiori.
In every case the obtained results are applied to initial-value problems.