О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ИШКИН Хабир Кабирович

О КЛАССАХ ВОЗМУЩЕНИИ СПЕКТРАЛЬНО НЕУСТОЙЧИВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

17 АПР т

005547156

Уфа-2014

005547156

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Фазуллин Зиганур Юсупович

Официальные оппоненты:

Кордюкоп Юрий Аркадьевич

доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра. РАН

Подольский Владимир Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова»

Юрко Вячеслав Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической физики и вычислительной математики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения РАН

Защита состоится 23 мая 2014 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, расположенном по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан « » Л2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу па имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, к.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Оператор L, действующий в некотором гильбертовом пространство Я, условимся называть близким к самосопряженному, если L = Lq + V, где L0 самосопряжен, V компактен относительно L0, то есть D(V) Э D{L0) и оператор V{L0+i)~l компактен. Если L0 полуограничен снизу и при некотором г > 0 оператор {L0+r)~1/2V(L0+r)~1/2 компактен, то оператор L = Ln + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм. К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. §20 обзора1 и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша?, любой оператор L, действующий в гильбертовом пространстве Я и близкий к самосопряженному оператору L0, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр L0 дискретен и функция N(r, L0) (число собственных значений L0 (с учетом кратности) в интервале (-г, г)) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша - Коренблюма3, то

Pi) система корневых векторов L полна в Я;

Р2) при любом е > 0 спектр оператора L вне углов {|argA| < е} и {|argA - 7г| < е} конечен и для функции N(r, L) — количества собственных значений оператора L, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение N(r, L) ~ N(r, L0), г —> +ос.

Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор La, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов, близких к ¿о и обладающих свойством Р„ := Pj А Р2.

Предположим теперь, что La пе удовлетворяет какому-то из условий теоремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство Р„ оператора L0 так, чтобы существовал нетривиальный класс возмущений V, сохраняющих это свойство?

Как показывают многочисленные примеры'1, операторы, пе являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости — операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма Н(£ - г)"11| может быть большой при г, далеких от спектра L. Поэтому в слу-

1 Гозенблюм Г. П., Соломяк М. 3., Шубин М. Л. Спектральная теория дифференциальных операторов. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл Мат Фунд напр. Т. 64. М.: ВИНИТИ. 1989. С. 5-242.

2 Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. Т. 77, № 1. 1951. С. 11-14.

3 Коренблюм В. И. Общая тауберова теорема для отношения функций // ДАН СССР Т 88 № 5 1953. С. 745-748.

4 См., например, обзоры Davies Е. В .Non-self-adjoint differential operators // Bull. London Math. Soc. V. 34, № 5. 2002.; Sjostrand J. Spectral instability for non-selfadjoint operators. Palaiseau Cedex. 2002.

чае, когда L — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополнительное (гораздо более жесткое по сравнению с самосопряженным или близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложе-ний. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство Ра, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра.

Степень разработанности темы исследования. В работе рассматриваются 4 различных типа обыкновенных дифференциальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предметом исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства Р„. Однако характер этих условий (аналитичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимости. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необходимыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства Ра. Приведем список этих операторов.

1) Оператор Дирака на кривой. Пусть 7 — кривая-с параметризацией

х 1

2 = z(x) = у r(t)eia^dt, х € [0,1], Jr{t)eia^dt = 1, (1)

о о

г, а е С[О,1], г(х) > 0, а(х) — монотонна и |а(1) - а(0)| < тг. (2)

Обозначим через L2 (7, С2) гильбертово пространство 2-компонентных век-

2

тор-функций со скалярным произведением (/, д) = f fk9k\dz\.

Jfc=i -у

Оператором Дирака на кривой 7 будем называть оператор, действующий в гильбертовом пространстве L2 (7, С2) по правилу

= (Л ä) (3)

D (D°) '= {у e Wl (7, С2) : hlVl{0) + h2y2(0) = 0, tfm( 1) + Я2у2( 1) = 0},

где штрих означает дифференцирование вдоль 7 ( см. (15)), Wj (7, С2) — пространство Соболева,

ht ф ±ih2, tfi ф ±iH2. (4)

2) Комплексный ангармонический осциллятор Нд :

Hey = hey.= -y" + eiexay, . D(H„) = {yeL\0,+00): у, у' е j4Cioc[0, 00), hgy G L2(0, +00), j/(0) = 0},

где а > 0, |ö| < 7г.

3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП) Lß:

Lßy = IßV ■■= -у" - ßx~Jy, D(Lß) = {у 6 L2(0, 00) : у' € лаос[0,оо), ley е L2(о, 00), у(0) = 0},

где 0 < 7 < 2, |arg/3| < 7г.

4) Модельный оператор ЬЕ:

ЬЕу = ie2y" + qy,

D(Le) = {у 6 L2(—1,1) : у'е ЛС[0,1],1/" € Ь2(-1,1),у(-1) = у(1) = 0},

где функция q — непрерывна, вещественна и монотонна на [—1, 1].

Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров б и а, но в обозначении мы выделяем только 9, имея в виду зависимость именно от параметра в, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора Hq. По той же причине оператор 3) обозначаем Lß.

Рассмотрим оператор D~, — D®+Q, где Q — оператор умножения на матрицу Q(z) с суммируемыми на у элементами. Переходя в уравнении D1y = А у к переменной х = x(z), 2 £ 7, где x(z) — обратная к (1) функция, легко убедиться, что спектр оператора D7 лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора вида Л, действующего в пространстве L2 ((0,1); С2) по формуле

Ли = Аф' + А\и и имеющего область определения

D(A) = {ui,2 € АС[0,1] : A0u'+Aiu е L2 ((0,1); С2) : Su(0) = Ru(l) = 0}.

Здесь S = (1,б),Я = (1,г), s ■ г ф 0, Aq1 = diag(a(x)1— а(ж)), элементы матрицы Аг суммируемы на (0,1), функция а(х) непрерывна, не имеет нулей на [0; 1], arg а{х) непрерывен и монотонен на [0,1].

G

Спектральная теория операторов вида А восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа5 и Я.Д. Тамаркинае, в которых изучались системы вида

B0Y' + BiY = AK, Y = (уи ..., уп)т, х G [0,1], (5)

где В0, В1 — достаточно гладкие матрицы ri х п, Вц(х) при каждом х 6 [0,1] невырождена, диагонализуема и собственные значения d\,...,dn матрицы Bq 1 (х) удовлетворяют условиям

arg(di{x) - dj(x)) = am = const, i,j = 1~п, г ji j. (6)

Независимо друг от друга Биркгоф и Тамаркин показали, что если соотношения (6) верны, то фундаментальная матрица решений (ФМР) системы (5) при больших Л допускает асимптотические разложения, равномерные noargA и х G [0,1]. Это позволило определить для системы (5) важный в вопросах разложения класс регулярных краевых условий

5У(0) + RY( 1) = 0, (7)

где S, R — квадратные матрицы п-го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида (5) изучались многими авторами с различных точек зрения. За редким исключением во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (6). Между тем задачи вида (5), (7), для которых условие (6) не выполняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см. главу X монографии7 и дальнейшие ссылки).

Если отказаться от условия (6), то возникают трудности, связанные с отсутствием асимптотических разложений для ФМР системы (5): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия (6). Первая попытка отказаться от этого условия была предпринята P.E. Лангером в работе8, в которой взамен условию (G) требуется аналитичность матриц Во и В\ в некоторой окрестности Я отрезка [0,1], такой, что для любой точки г 6 Î2 и пары (г, j) существует кривая 7,j(z), лежащая целиком в Я, соединяющая точку г с 0 или 1, при движении вдоль которой точки £ аргумент функции fç(dj(t) — dj(t))dt постоянен. При выполнении

5 Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential operations contain a parameter // Tïans.Amer.Math.Soc. V. 9. 390S. P. 219 231.; Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // TVans.Amer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 373-395.

e Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.

7 Mennicken R., Möller M. Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems. Elsevier, Amsterdam -London. 2003.

8 Langer R. E. The boundary problem of an ordinary linear differential system in the complex domain // TVans. Amer. Math. Soc. V. 46. 1939. P. 151-190.

этого условия Лангер получает те же результаты, что Биркгоф и Тамар-кин. Отметим также работы9, в которых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в L2((0,1);С") дифференциальным выражением

Cu = ~7t (iM(i)^M(i)) а 6 to,2), А € С°°([0; 1]), Q е С([0; 1]),

и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы А (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе10 показано, что в случае, когда матрица В0 кусочно постоянна и В\ = 0, характеристическая функция спектра краевой задачи (5), (7) является квазиполиномом, так что спектр допускает представление

т оо

<7 = 1)1) lim ars(/Jij) = <Ри г = T^rt, (8)

7—ЮО

•=1 3=1

где т € N. При некоторых дополнительных условиях представление (8) сохраняет силу и в случае бесконечного числа «кусков» (т = оо) [11]. Класс матриц Bq,Bi для которых спектр задачи (5), (7) удовлетворяет (8), не исчерпывается рассмотренными выше. В работе [4] показано, что формула (8) верна (при Bi = 0) для

где функция q кусочно аналитична на [0,1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».

Как показано в упомянутой выше работе Дэвиса, в случае, когда j не является отрезком, невозмущенный оператор D® является спектрально неустойчивым. Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора Л7, а значит, и Л может иметь вид (8) лишь для весьма узкого класса матриц А0, А\. Эта гипотеза для оператора Л с матрицей А0 вида (9) и At ~ 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году11. Решая задачу описания классов возмущений Dj, мы фактически подтверждаем эту гипотезу.

Рассмотрим оператор Нд. Известно (см., например,12), что собственные числа Не простые, лежат на луче argA = 20/(2 + а) и имеют асимптотику:

__20: 2о „

А„ ~ С0 • е^п^", С0 > 0, (10)

9 Бойматов К. X., Костюченко А. Г. Распределение собственных значений несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка // Вестн. МГУ. Сер. матем., мех. № 3. 1990. С. 24-31.; Бойматов К. X. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго порядка // Мат.заметки. Т. 51, Л» 4. 1992. С. 8-16.

10 Davies Е. В., Eigenvalues of an elliptic system 11 Math. Zeitschrift. V. 243. 2003. P. 719-743.

11 ФедорюкМ. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука., 1983.

12 Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лщвилля с дискретным спектром // Тр. ММО. Т. 9. 1960. С. 45-79.

система собственных функций {Л.}?0 полна в Ь2(0, оо). При в = О {1п}Т образуют ортонормированный базис в Ь2(0, оо), оператор Но согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если V — оператор умножения на функцию У(х), удовлетворяющую условию

V € £Ц0, +оо), У(х) = о (Iя), а; +оо, (11)

то собственные числа оператора Ьд = Нд V при надлежащей нуме-

рации имеют асимптотику

/х„ ~ Ап, п -» оо. (12)

ЕСЛИ 0 < |0| < 7Г, то13-

К = tj—^ > (13)

где f* — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу Л„ оператора L', Со, Cj — положительные числа. Так как почти нормированность некоторого базиса влечет почти нормированность биорто-гонального ему базиса, то из (13) следует, что при 0 < |0| < тт никакой базисности нет. Оценка (13) означает, что оператор Не является спектрально неустойчивым. В работе14 показано, что если г = reiß, где 0 < ß/О < 1, то

II(Нв - л)_1|| -» оо, г оо. (14)

Из результатов работы15 следует, что соотношение (14) при а = 2 верно и тогда, когда 2 уходит в оо по кривой z = х + гха, 1/3 < а < 1. Численные расчеты, полученные в этой же работе, показывают, что постоянная 1/3 является оптимальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча argA = 20/(2 +а).

Таким образом, оператор Нд при в ф 0 является спектрально неустойчивым. Поэтому так же, как в случае с оператором D®, следует ожидать, что класс возмущений V, при которых имеет место (12), весьма узок.

Оператор вида Lß, где вместо ßx в качестве потенциала выступает произвольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +оо) функция q, стремящаяся к 0 на +оо, условимся также называть оператором Шре-дингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШКУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка16, в которой впервые были обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем результаты М.А. Наймарка

13 Davies Е. В. Wild spectral behaviour an anharmonic oscillators // Bull. London Math. Soc. V. 32.

14 Davies E. B.Pseudo-spectra, the harmonic oscillator and complex resonances // Proc. R. Soc. Lond. 1999. V. 455. P. 585-599.

15 Boulton L. S. The Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra // J. Oper. Theory. V.47. 2002. P. 4X3-429.

16 Наймарк M. А. Исследования спектра и разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси // Тр. ММО. Т. 3. 1954. С. 181-270.

уточнялись и обобщались В.Э. Лянце, B.C. Павловым, Б.Я. Левиным, Дж. Шварцем, Х.Х. Муртазиным и др. (подробную библиографию см. на с.490 книги17).

Особый интерес к ОШКУП обусловлен, прежде всего, потребностями квантовой механики: Как известно, рассеяние в квантовой механике описывается волновыми операторами П±(Я, Я0), где Я0, Я — гамильтонианы свободной и взаимодействующей систем соответственно. Одна из основных задач теории рассеяния — доказательство существования и (слабой) асимптотической полноты операторов fi*. Ключевую роль при решении этой задачи играют оценки граничных значений резольвенты оператора Я : (Я - Е ± г'0)"1, Е £ Cess- Существует весьма изящная и эффективная конструкция, позволяющая не только исследовать поведение резольвенты вблизи вещественной оси, но и построить (в случае аналитичных потенциалов) мероморфное продолжение резольвенты на нефизический лист, выявлять собственные числа Н, погруженные в существенный спектр, а также резонансы — полюса резольвенты на нефизическом листе. Речь идет о методе комплексного скей-линга18, в процессе применения которого и возникают ОШКУП. Этот метод позволяет доказать, что резольвента ОШКУП Lß, а значит, и его функция Вейля допускают мероморфное продолжение с области C\a(Lß) через луч Oess (Lß) = [0,+00) на нефизический лист. Этот факт (еще до появления метода комплексного скейлинга) был установлён В.Э. Лянце (1966 г.) для ОШКУП в классе достаточно быстро (порядка 0(х ), 7 > 2) убывающих потенциалов, допускающих аналитическое продолжение в некоторый угол. В 1982 г. результат В.Э. Лянце был распространен Х.Х. Муртазиным на случай потенциалов с произвольной скоростью убывания. Как в вышеупомянутых работах, непосредственно посвященных ОШКУП, так и в огромном числе работ, где применяется метод комплексного скейлинга (см.,например, обзор19 и имеющиеся там ссылки), неизменно присутствует требование аналитичности коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. В связи с этим возникает вопрос о необходимости этого условия.

Оператор Le принято рассматривать в качестве упрощенной модели для известного в гидродинамике оператора Орра - Зоммерфельда. Правомерность такой трактовки впервые была обоснована в работе?0, в которой было доказано, что при д(х) = х или х2 спектры операторов Орра - Зоммерфельда при больших R > 0 и Le при малых е > 0 накапливаются около одного и того же множества, называемого предельным спектральным гра-

17 Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.

18 Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic pertubations for one-body Schrödinger Hamittonians // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 268-279.; Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many body Schrödinger operators with dilation - analytic interactions // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 280-294.

19 Sjöstrand J. A trace formula and review of some estimates for resonances // NATO Adv. Sei. Inst. Ser. С Math. Phys. Sei. V. 490. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 1997. P. 377—437.

20 Туманов С. H., Шкаликов А. А. О локализации спектра задачи Орра-Зоммерфелъда для больших чисел Рейнальдса // Мат. заметки. Т. 72, № 4. 2002. С. 561—569.

фом (ПСГ) и состоящего из трех кривых, соединяющих некоторую точку

Ло € П := {А : ImA < 0, тп < ReA < М}, т = min q(x), М = max q(x),

хе[-1,1] ХЕ[-1Д]

с точками тп, М и —гоо («спектральный галстук»). В дальнейшем в работе21

этот результат был распространен на класс AM функций q, которые

a) вещественны и строго монотонны на отрезке [—1,1];

b) допускают аналитическое продолжение в некоторую окрестность G отрезка [—1,1] такую, что q(G) D П," g непрерывна на замыкании области D := д_1(П), отображение q : D —> П — биекция.

Если условие монотонности нарушается, то ПСГ операторов Ь£ может иметь более сложную структуру. Однако и в том и в другом случае часть ПСГ, лежащая в области Пс = {А £ П : |А — (т+М)/2\ > с}, при достаточно больших с > 0 состоит из единственной кривой. Более того, если q 6 AM, то22 это утверждение остается справедливым и в том случае, когда е —> 0 по любому лучу arge = в (это свойство назовем ^-свойством):

существует достаточно большое с > 0, что множество Г(с, в) — часть ПСГ операторов Ls, arge = в, лежащая вне круга {| z — (т+М)/2| > с}, — состоит из единственной кривой 7(0, в) = 7оо($) П {|z— (m + M)/2| > с}, где кривая ~/oo(ß) определена по формуле

7ос(0) = {А: arg(<5(A)) = 0 + 7г/2}, 1

Q{А) = J ^i{q(x) - А)dx, (argQ(m) = тг/4),

то есть для любого т > 0, \в\ < тг/2 найдется h(0, т) > 0, такое, что при всех 0 < h < h(ß,r) часть спектра оператора Ье,Е = he,e, лежащая вне круга {|z — (m + М)/2\ > с}, содержится в т-окрестности кривой j(с, 0).

С другой стороны, ПСГ операторов Ls с кусочно постоянным потенциалом состоит из конечного или бесконечного числа лучей вида ра = {z = а — it, t > 0}, т < а < М [11]. Наличие разрывов функции q не по существу: из двух аналитических кусков можно склеить бесконечно гладкую функцию q так, что Г(с, в) при всех достаточно больших с > 0 будет состоять из двух гладких кривых, имеющих единственную общую точку —гоо (см. Пример 1 из [4]).

Отсюда возникает предположение: ПСГ операторов Ье с потенциалом q обладает lcg-свойством лишь в том случае, когда q допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [—1,1].

Цели и задачи. Основная цель диссертации — разработка нового метода, пригодного для изучения спектральных свойств операторов, далеких от

21 Шкаликов A.A. Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфелъда при больших числах Рейнольдса. Труды международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 11-17 августа, 2002). Часть 3. СМФН. Т. 3. М.: МАИ. 2003. С. 89—112.

22 См. Лемму 2.6 из цитированной на с. 9 работы A.A. Шкаликова.

самосопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра. На основе этого метода предполагается решение следующих задач:

1. Выяснить, насколько необходимо условие кусочной аналитичности матрицы Q, фигурирующее в работах P.E. Лангера, Э.Б. Дэйвиса, для m-локализации спектра операторов Л или D1 в смысле (8).

2. Найти необходимое и достаточное условие на возмущения V оператора Н$, сохраняющих асимптотику спектра.

3. На примере оператора Lß выяснить, как «работает» метод в условиях наличия непрерывной компоненты спектра.

4. На примере оператора Le выяснить эффективность метода для исследования спектра далеких от самосопряженных дифференциальных операторов в в квазиклассическом пределе.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый метод, который позволяет впервые в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Этот метод с одинаковым успехом применйм как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть. Метод полезен и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.

2. Получено необходимое и достаточное условие на матрицу-потенциал Q, при котором спектр оператора Дирака D1 на бесконечности т-локализован (в смысле (8)).

3. Дано полное описание класса возмущений V комплексного ангармонического осциллятора Не, сохраняющих асимптотику спектра.

4. Для оператора Lß доказана необходимость известных достаточных условий Х.Х. Муртазина существования мероморфного продолжения функции Вейля на некоторый угол из нефизического листа.

5. Доказана необходимость (в существенной части) достаточных условий A.A. Шкаликова, при которых бесконечная компонента предельного спектрального графа оператора Lc состоит из одной кривой. Кроме того, в самосопряженном случае найдено необходимое и достаточное условие экспоненциально малого расщепления спектра.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в теории операторов, теории дифференциальных уравнений, квантовой механике, акустике, теорий гидродинамической устойчивости. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других далеких от самосопряженных дифференциальных операторов.

Методология и методы исследования. В связи с тем, что раесмат-

риваемый класс операторов по определению неустойчив относительно малых возмущений, стандартные методы, используемые при решении прямых задач для операторов, близких к самосопряженным (ВКВ, теории возмущений) становятся непригодными для наших целей. Поэтому на первый план выходит метод обратных задач. Однако, спектрально неустойчивые дифференциальные операторы L характеризуются тем, что для решений уравнения Ly = Л у асимптотика при больших Л не «выбивается», поэтому классический метод, основанный на уравнении Гельфанда - Левитана - Марченко (ГЛМ), в данном случае не применим. Мы предлагаем принципиально новый подход, основанный на некотором нелинейном уравнении q = qo + A(q). Это уравнение, по сравнению с уравнением ГЛМ, более приспособлено к случаю операторов, далеких от самосопряженных, в следующем смысле: свободный член<70 допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность П соответствующего промежутка (точнее: принадлежит классу Смирнова Ер(й.) при некотором р > 1) тогда и только тогда, когда имеет место m-локализация спектра(в смысле (8)) и Ер(0,) инвариантен относительно (нелинейного) оператора А, что позволяет к указанному уравнению применить метод последовательных приближений и показать принадлежность q классу Ер(£1).

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры математического анализа БашГУ (руководитель проф. Муртазин Х.Х.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель проф. Султа-наев Я.Т.), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель проф. Костюченко А.Г.), на семинаре лаборатории операторных моделей и спектрального анализа Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель проф. Шкаликов A.A.), на семинаре лаборатории динамических систем Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (руководитель академик Тайманов И.А.), на семинаре кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (руководитель проф. Юрко В.А.), на семинаре отделов дифференциальных уравнений и комплексного анализа Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук (руководители член-корреспондент РАН Напалков В.В., проф. Калякин Л.А., проф. Новокшенов В.Ю.). Отдельные результаты были доложены на международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы», посвященной 70-летию академика A.M. Ильина (Стерлитамак, 1998), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти академика И.Г. Петровского (Москва, 2004, 2007, 2011), на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С.М. Никольского (Москва, 2005), на международной конференции «Весовые оценки

дифференциальных и интегральных операторов и их приложения (Астана, 2007), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садов-ничего (Москва, 2009), на Третьем конгрессе Всемирного математического общества тюркоязычных стран (Алматы, 2009), на международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти проф. А.Г. Костюченко (Уфа, 2011), на международной конференции «Функциональный анализ и его приложения» (Астана, 2012), на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, 2013), на международной конференции «Нелинейный анализ и спектральные задачи» (Уфа, 2012, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [12], из которых [1] — [10] входят в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук», утвержденный ВАК РФ. Из работы [2], выполненной совместно с Х.Х. Муртазиным, в диссертацию включены только результаты, полученные автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 139 наименований. Общий объем диссертации — 208 страниц.

Содержание работы

Во Введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, излагается история вопроса, дается обзор литературы, обсуждаются основные результаты и структура диссертации.

В первой главе доказывается критерий безмонодромности для уравнения Штурма - Лиувилля и системы Дирака, представляющий собой ядро метода, на котором будут основываться все утверждения о классах возмущений операторов 1) — 4).

Кривую 7 на комплексной плоскости договоримся называть кусочно-гладкой, если для нее существует параметризация г = г(х), х 6 [0,1], удовлетворяющая следующим условиям: при некотором разбиении 0 = хо < х\ < ■ • ■ < хт_1 < хт = 1 г е 1,Хг] и г'(х) ф 0 V х е [а^, я*], г = Т^п.

Такую параметризацию будем называть допустимой. Если функция у(г) абсолютно непрерывна на кусочно гладкой кривой у (относительно меры на 7), то функция у(х) := у(г(х)) абсолютно непрерывна на [0,1]. Функцию

у\г) := у'(х)/г'(х), (15)

определенную почти всюду на 7, будем называть производной вдоль 7. Аналогично определим у"(г) и т.д. (в предположении что эти объекты существуют).

Отметим, что у', у",... не зависят от выбора допустимой параметризации. Зафиксируем кусочно-гладкую кривую 7 с допустимой параметризацией, удовлетворяющей условиям г(0) = 0, г(1) = 1, и рассмотрим задачу

-у"(2)+д(г)-у{г) = А 2у{г): ге7, (16)

у(0) = у(1) = 0. (17)

где д 6 ¿'(7). Обозначим через {А^}-!0 собственные числа этой задачи, пронумерованные в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Если функция д аналитична в области О, ограниченной кривой 7 и отрезком [0; 1], и непрерывна вплоть до границы П, то спектр задачи (1С) — (17) не меняется при деформировании кривой 7 в отрезок [0,1], так что

Ак ~тгк, к +оо. (18)

Ясно, что для выполнения (18) вовсе необязательна аналитичность <7. Например, при

Ф) = "У'1}, о € п, 1/ е N.

(г а)

решения (16) выражаются через функции Бесселя полу целого порядка, которые не имеют ветвления в точке а, поэтому при замене 7 на отрезок [0; 1] спектр задачи (16) — (17) не меняется, так что и в этом случае справедливо соотношение (18).

Однако при нецелых и а является точкой ветвления для решений уравнения (16), поэтому собственные числа задачи (16) — (17) распадаются на две серии (см. [4]), которые при больших номерах локализуются около двух лучей:

* а к 1 - а Таким образом, вопрос о локализации спектра задачи (16) — (17) тесно связан с однозначностью решений уравнения (16).

Введем обозначения. Пусть функция д мероморфна в некоторой области П € С. Уравнение (16) (или потенциал д) будем называть безмонодромным в области Г2, если все его решения при всех значениях параметра А меро-морфны в области Г2. При этом мы также будем говорить, что для полюсов д выполняется условие безмонодромности. Множество безмонодромных в области Л потенциалов обозначим М(Г2). Через Мо(Г2) обозначим множество потенциалов из М(Л), имеющих в П конечное число полюсов.

Если функция д определена и суммируема па некоторой замкнутой кусочно-гладкой кривой 7, то уравнение (16) (или потенциал д) будем называть безмонодромным на кривой 7, если С?(А) = /, где б(А) матрица монодромии для кривой 7. Обозначим через М(7) множество безмонодромных на 7 потенциалов:

Известно23, что уравнение (16) безмонодромно в Г2 тогда и только тогда, когда для любого полюса а функции q

/ -ч т—1

*<*> = + Е" а)2" +" a)2m_1^)> (1Э)

V ' к=О

где т 6 N, с0,..., ст ..i — некоторые числа, функция r(z) аналитячна в некоторой окрестности точки а.

Обозначим через О(П) множество функций, аналитичных в области П. Согласно (19), для любой функции q 6 М0(П) найдется единственная функция q € С(П) и конечный набор (zk,mk) £ П х N, fc = Т~п, такие, что

Пусть В(П) С О(П). Обозначим MB(Q) = {?£ М0(П) : q(z) е В(«)}. В частности, если граница области П — спрямляемая жорданова.кривая, то в качестве П(П) можно рассматривать классы Смирнова24 Ер(П) . Из определения следует, что функция из МЕР(П) при р > 1 не имеет полюсов на границе П. Поэтому и в случае q е МЕ^П) спектр задачи (16) — (17) сохраняется при замене кривой -у на отрезок [0,1]. Следовательно, для выполнения, асимптотической оценки (18) достаточно, чтобы q е МЕг(£1). В связи с этим возникает

Задача 0.1. Описать

класс функций, безмонодромных на некоторой замкнутой кривой, в частности, выяснить, насколько условие q е М.Е^П) необходимо для выполнения оценки (18).

Первая часть Задачи 0.1 решается в параграфе 1.1.

Теорема 0.1 (Основной результат параграфа 1.1). Если П - выпуклая область с кусочно-гладкой границей 7, то М(7) = MEi(Q).

В параграфе 1.2 мы распространяем утверждение Теоремы 0.1 на систему Дирака

2V := Bv'(z) + Q(z)v(z) = Av(z), z е 7, (20)

где

B-(-°.iW; »)■ <»>

23 Duistermaat J. J., Griinbaum F. A. Differential equations in the spectral parameter / / Commun. Math Phys. V. 103. 1986. P. 177-240.

24 Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950.

Для упрощения выкладок мы ограничимся случаем Q € ^(т) (т0 есть

G L2(7)). Пусть $1 — выпуклая область с кусочно-гладкой границей 7. Безмонодромность уравнения (20) и матричного потенциала Q определяется так же, как и для уравнения (16). Множество безмонодромных потенциалов Q в Q и на кривой 7 будем обозначать через М(П) и ЛГ(7) соответственно. М0(Г2) для уравнения (20) по-прежнему будет означать множество матриц Q из М(Г2), имеющих конечное число полюсов в Я. Для систем Дирака критерий типа (19) известен25 только в случае, когда точка z = а является полюсом второго порядка для матрицы BQ' + Q2 (потенциала уравнения (07)2и = Л2«). Однако, эти условия имеют довольно громоздкий вид. Кроме того, в отличие от скалярного случая, регулярная особенность систем не исчерпывается полюсами второго порядка. Как видно из предыдущего параграфа, при формулировке критерия безмонодромности мя можем обойтись без явного вида этих условий^Положим — М(7) П ^(7) и MW^{Ü) = {Qe М0(П) : Q е W^fi)}. Справедлива

Теорема 0.2 (Основной результат параграфа 1.2). Если П — выпуклая область с кусочно-гладкой границей7, то МИ^Нт) = МИ/21(П).

Результаты первой главы опубликованы в работах [5, 10].

Во второй главе, основываясь на Теоремах 0.1 — 0.2, мы находим необходимое и достаточное условие m-локализации спектра оператора Dr

Пусть 7 — кривая с параметризацией (1) — (2) и пусть для определенности функция а(х) не убывает. Обозначим а о = о(+0), а\ = а(1 — 0). Переходя при необходимости к новой переменной t = zevi можно считать, что —7г/2 < а0 < 0 < £*i < 7г/2. Пространство Соболева, фигурирующее в определении оператора Дирака (3), мы понимаем так: (скалярная) функция v(z) принадлежит Wj (7) тогда и только тогда, когда v(z(x)) £ ^([0, l]). В силу гладкости кривой у, это означает, что IV](7) = {»6 4С(7) : v' е ¿2(7)}> где v' — производная вдоль 7.

Теорема 0.3. Предположим, что выполнены условия (4) и Q £ АС{7). Тогда

1) D1 — замкнутый оператор с компактной резольвентой, спектр которого за исключением конечного числа лежит внутри объединения двух углов —ai < arg(±A) < —ац-

2) Если при (hi, h2) = (ЯЬЯ2) = (1,0) спектр оператора D1 локализуется около конечного числа лучей (в смысле (8)), то то же самое верно при любых h\,hi,H\,Ü2, удовлетворяющих условиям (4).

Теорема 0.3 позволяет ограничиться краевыми условиями специального вида t^i(O) = ui(l) = 0. Операторы D1 и в этом специальном случае будем обозначать так же. Легко проверить, что cr(D°) = {0, ±7Г, ±2к,... }.

25 Goncharenko V. М., Veselov V. P. Monoiromy of the matrix Schrödinger equations and Darboux transformations // J. Phys. A: Math. Gen. V. 31. 1998. P. 5315-5326.

В дальнейшем нам удобнее будет локализацию спектра понимать в более широком, чем (8), смысле. Для этого введем характеристическую функцию спектра оператора Иу.

Ф(А) = </>(1,А), (22)

где уэ(г,А) — решение уравнения (20), удовлетворяющее начальным условиям <^(0, А) = 0, <¿72(0, А) = 1. Тогда А0 — собственное значение оператора £>7 алгебраической кратности т тогда и только тогда, когда Ао является нулем Ф(А) кратности т. Таким образом, задача сводится к изучению распределения нулей целой функции экспоненциального типа Ф(А). Исходя из этого, примем следующее

Определение 0.1. Будем говорить, что спектр оператора т-локали-зован тогда и только тогда, когда его характеристическая функция Ф(А) является функцией вполне регулярного роста, сопряженная диаграмма которой есть невырожденный т-угольник.

Пусть — собственные числа £>7, пронумерованные в порядке воз-

растания модулей с учетом алгебраических кратностей, п(г, С, в) ~ число А^ в секторе {А : |А| < г, С < а^А < 0). Тогда в силу известного свойства функций вполне регулярного роста ш-локализация спектра £>7 означает, что существует разбиение —7г/2 < 0г < ■ ■ ■ < вт-\ < 0т < 37г/2, такое, что функция

Д(0)= Шп ПМоД ва = вт-2п,

г-И-оо Г

определена и постоянна на каждом из интервалов к = 1,..., т,

так, что

Д(0) = £й, 0=^,1 = 1^, (23)

вк<в

где йк — положительные постоянные. Согласно пункту 1) Теоремы 0.3 все б* содержатся в объединении отрезков [—■сц, —ао] и [—«1 + п, — «о + 7г].

Условимся еще об одном термине. Пусть С — произвольная жордано-

ва кривая. Если С не замкнута, то через С обозначим множество всех ее неконцевых точек.

Определение 0.2. Односвязную область (7 будем называть полуокрестностью кривой С, если С является частью дО — границы (7. Далее будем говорить, что некоторая суммируемая па кривой С функция / допускает мероморфное продолжение в некоторую полуокрестность С кривой С, если существует мероморфная в области С функция /, обладающая свойствами: _

1) полюса / в случае, когда их бесконечное число, могут скапливаться

о

только к дй \ С;

2) для любой пары точек a,b G С найдется дуга С' С С, содержащая эти точки, и некоторая ее полуокрестность G' из G такая, что функция f принадлежит классу Ei(G');

3) при почти ecext из С угловое граничное значение функции / в точке t совпадает с f(t).

Если функция f аналитична в G и удовлетворяет условиям 2) и 3), то будем говорить, что / допускает аналитическое продолжение в область G.

Справедлива

Теорема 0.4. Если для спектра оператора D1 имеет место т-локализация, то тп > 2. При т — 2 спектр оператора D~¡ может локализоваться только около вещественной прямой так, что постоянные, фигурирующие в формуле (23), имеют вид в\ = 0,= 7Г, di = d2 = 1/тг.

Как было отмечено выше, локализация спектра D7 тесно связана с без-монодромностью уравнения (20) в некоторой окрестности кривой 7. Начнем с одного частного случая, когда условия безмонодромности удается формулировать в явном виде: 71 = const, <72 € АС(7). В этом случае

(Р7)2V = -v" + diag(<?+, q.)v, q±=q¡ + q¡ ± q'2, (24)

так что уравнение (P7)2v = Л2и распадается на 2 уравнения Штурма - Ли-увилля с потенциалами q±. Обозначим через L+ оператор Штурма - Лиувил-ля, порожденный в L2(7) дифференциальным выражением l+y := —у" + q+y и краевыми условиями (17). Легко показать, что

оо

<T(D7) = {-9l}(J(J(±Aí)' (25)

fc=1

где = y/ví, —-к/2 < argAjJ" < 7г/2, {vk)T ~ собственные числа L+, пронумерованные с учетом их алгебраических кратпостей. Поэтому в рассматриваемом случае мы можем ограничиться оператором Штурма - Лиувилля, более простым по сравнению с оператором Дирака в том смысле, что для уравнения (16) условие безмонодромности хорошо известно (см. (19)).

Обозначим через оператор Штурма - Лиувилля, порожденный в L2(7) дифференциальным выражением Су := —у" + qy с q 6 //(7) и краевыми условиями (17). Далее пусть {/tíjfclj — собственные значения Ldd, пронумерованные в порядке возрастания модулей с учетом алгебраических кратностей.

Из Теоремы 0.4 следует, что в случае 1-локализации спектра Loo функция

Д(б) = lim

г->+оо yfr

где п(г,С,в) — число дд,- в секторе {Л : |А| < г, С < а^А < в}, удовлетворяет (23) с тп = 1, в\ = 0, (¿1 = 1/7Г, то есть

\ 1/тг, (0,2тг). ^

Теперь мы можем сформулировать первый из основных результатов этой главы — аналог известной Теоремы Марченко?6. Обозначим через Ьоы оператор, порожденный в ¿2(7) выражением Су и краевыми условиями

2/(0) = у'( 1) = 0, (27)

и через {ь^}]^ — его собственные значения, пронумерованные в порядке возрастания модулей с учетом алгебраических кратностей. Далее, если р — некоторая суммируемая на [0,1] функция, то через Мдо(р) и Моы(р) обозначим операторы, порожденные в Ь2({0,1]) дифференциальным выражением —у" + ру и краевыми условиями (17), (27) соответственно.

Теорема 0.5 (Основной результат параграфа 2.2). Пусть

0)де МЩП),

(п) функция <7[о,1], равная угловым граничным значениям д на [0,1], принадлежит 1].

Тогда {ць}'^ = сг(МОП(р)),{ик}^=1 = а(МОК(р)) при р = д[0д] и, следовательно27, удовлетворяют асимптотическим формулам

у/ЦЦ = тгА:+ ац+гк-2*'1 + к~п~1ак, (28)

1<2^+1<п+2

= 7г(к — 1/2) + £ Ъ^к-Ъ-1 + А-"-1/?*, (29)

1<2^'+1<п+2

гае а1 = &1 и ЕГ Ы2 < ЕГ 1А12 < °о.

Обратно, пусть ~ , 1 = ^(^/^(р)) с некото-

рым потенциалом р е И^О, 1], следовате.гъно, удовлетворяют асимптотическим формулам (28) и (29). Тогда для функции <7 справедливы утверждения (1) — (и), причем функция р совпадает с 9[од].

В ситуации, когда имеется информация о локализации только одного спектра и только в смысле (20), также удается установить мероморфную продолжимость д в область в смысле Определения 0.2 и безмонодромность ее полюсов. Оказывается, эти условия и достаточны для локализации спектра в смысле (12). А именно, справедлива

26 Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. 1977.

27 Там же, с.233.

Теорема 0.6 (Основной результат параграфа 2.3). Пусть функция д суммируема на у. Тогда для того, чтобы спектр оператора Loo был 1-лока-лизован в смысле (26) необходимо и достаточно, чтобы

(I) q допускала мероморфное продолжение с кривой 7 в область Í2, (И) около каждого полюса функции q уравнение (16) безмонодромно.

Из соотношений (24) и (19) следует, что уравнение (20) безмонодромно в полюсе а функции q2 тогда и только тогда, когда существует окрестность U точки а, что

«¡W = + ¿Ф - a)2j+l + (*- «)2,/+2p(z). * е U \ {а}, (30)

где v 6 N, функция р аналитична в U.

Пусть Д+(0) означает для L+ то же, что А(0) для ¿од. Тогда в силу равенства (25) из Теоремы 0.5 вытекает

Следствие. Пусть q\ = const и g2 € ЛС(у). Тогда для того, чтобы спектр оператора D7 был 2-локализован в следующем смысле: справедливо (25) и

необходимо и достаточно, чтобы функция q'2 допускала мероморфное продолжение с кривой 7 в область П так, что в окрестности каждого полюса д2 имело место представление (30).

Теоремы 0.5 и 0.6 легко обобщаются на случай оператора Дирака cgi ф const. Но при этом мы получим простое повторение указанных теорем, с той лишь разницей, что в общей ситуации для систем Дирака нет критерия безмонодромности типа (30). Как было отмечено выше, отсутствие явного вида этого критерия не принципиально. Поэтому, не останавливаясь на этом случае, мы сразу рассмотрим общий случай, когда qi ф const и число лучей локализации m в (8) больше 2.

Введем обозначения. Пусть G — односвязная область со спрямляемой границей. Обозначим через M(G) множество мероморфных в G матриц Q вида (21), таких, что любое решение уравнения = А у при всех значениях А однозначно в G. Далее обозначим через Mq(G) множество Q из M(G) с конечным числом полюсов и через MC(G) — множество Q из M0(G), для которых Q — регулярная часть Q — непрерывна вплоть до границы G.

Если 0 = х0 < xi < ■■■ < xm-i < хт — l,Ak = y(xk),k — 0,т, то yk = уАк-гАк, fifc = и I — ломаная с вершинами в точках Ak, M. —

2т-уголыгак с вершинами в точках ±г(2/Ц — 1), к = 0, m, I — сопряженная диаграмма функции Ф(А) (см. (22)). Далее, если на I определены суммируемые функции ça, qi2, то через Di обозначим оператор, который определяется

i/

j=o

так же, как и при 7 = ¿,91 = да,<72 = 9(2- Соответственно через Ф;(А) обозначим характеристическую функцию спектра оператора Д и через — сопряженную диаграмму Ф;(А).

Лемма 0.1. Ц С М.

Скачком функции /, кусочно непрерывной на некоторой кривой /? с параметризацией г = Р(х), х 6 [0,1], будем называть величину А/(г0) := /(го + 0)-/(го-0), где /(г0±0) = /(/?(х0±0)). Положим Р1 = ¿91 + 92, Рг =

—Щ\ + 92- _

Всюду далее будем считать, что при всех к = 1, к ф 0, то есть М — невырожденный 2т-угольник. Сначала сформулируем одно достаточное условие ш-локализации спектра оператора Г)1.

Теорема 0.7. Пусть 91(2) = ди(г),д2(2) = 92^(2) -г £ 7ь & = 1>т> Я1к,Ч2к £ ^2(7*;). Пусть С}к - матрица <2 при дч(г) = Я1к(г), Ыг) = ФаС*)-Тогда если С^к допускает мероморфное продолжение в область £2*, таге, что

(М) Як 6 МС(П*) П Л*]) (/г =

шо имеет место равенство

<т(£>7) = *(£>,). Если, дополнительно к условиям (М),

Арг(Ак) ■ Ар2{Ак) ф 0, к = 1,ш- 1, шо Лал спектра оператора справедливо представление:

т оо

= шк.

4=1 7=1

А± ~ + + ОЦ'1), к = 2,т-1, 7 оо,

где ¿к = Ак — ст] = 1, 02 = —1, коэффициенты вычисляются

явно.

Таким образом, из условий (М) в силу Леммы 0.1 следует, что I С М. Возникает вопрос: насколько условия (М) необходимы для выполнения соотношения I С МР.

Теорема 0.8 (Основной результат параграфа 2.4). Пусть 91(2) = Я1к{г), д2(г) = 92к{г) г е-ук, к = Т^п, где дгк,д2к € И^(-уь)- ГогЛ» I С М тогда и только тогда, когда при каждом к = 1,т функции 91^,92^ допускают мероморфное продолжение с дуги 7к в область так, что (¡к £ М(Пк) и полюса Як могут скапливаться только к отрезку [0,1].

Результаты второй главы опубликованы в работах [4, 6, 11]. Прежде чем перейти к изложению содержания третьей главы, обобщим понятие 1-локализации спектра.

Определение 0.3. Будем говорить, что спектр замкнутого оператора А с компактной резольвентой локализован около луча а^А = <ро (или 1-локализован) тогда и только тогда, когда для любого £ > О

где N(A,r],Ç,r) и N(a,r) — число собственных значений оператора А соответственно а секторе {ту < argA < |А| < г} и круге {|А| < г}.

Третья глава посвящена исследованию условий 1-локализации спектра возмущений оператора Hg. В параграфе 3.1 обсуждаются вопросы, связанные с асимптотикой спектра специальных классов возмущений оператора Hg. Сначала мы устанавливаем один факт об условиях устойчивости свойства 1-локализации спектра произвольного замкнутого оператора с компактной резольвентой.

Теорема 0.9. Пусть То — замкнутый оператор с компактной резольвентой, действующий в некотором гильбертовом пространствен, удовлетворяет следующим условиям:

1. Спектр То локализован около луча argA = ipo и при некотором е > О конечен в угле t/E = {|argA — ir — tpo\ < £}/

Z. При всех А e p(T0) резольвента (Т0 - A)-1 g &р (р > 0) и ||(Т0 + reiv°)~l\\ = 0(r~l), г оо;

3. Существует неубывающая на [0; оо) функция а (г), обладающая свойствами: а) а(г) —» +оо, г —> оо, b) при некотором 0 < 7 < р и

Тогда если спектр оператора Т = То + V, где V — То-ограничен с нулевой Тд-гранью, также локализован около некоторого лyчaaтgX = фо, то фо = <¿>0 и N(T, г) ~ АГ(Т0, г), г —У оо.

Рассмотрим теперь оператор Ьо = Нд+Ц), где Ц — оператор умножения на функцию Уо(') 6 ЩО, +оо) и такую, что Уо(х) = о(ха), х —> +оо. Тогда операторы То = Н& и Т = Ьо удовлетворяют всем условиям Теоремы 0.9, кроме, быть может, (31). Отсюда получаем

Следствие. Если спектр оператора Ьо локализован около некоторого луча а^А = <ро, то ¡ро = 20/(2 + а) и

N(A,ipo-E,ip0 + E,r) ~ N(A,r), г ->оо,

(31)

больших г < s

N(L0, г) ~ Со ■ г

где С0 = f„ VT^Fdt.

Таким образом, для нахождения асимптотики спектра оператора Lq решающее значение имеет условие (31). Для его выполнения приходится накладывать на Vo довольно жесткие ограничения:

Теорема 0.10. Пусть функция Ц(аг) = qQ(x)-eie-xa удовлетворяет условиям А) — Б). Тогда для собственных чисел {Ап}5° оператора LQ справедливо соотношение

An ~ А°, п -¥ оо,

где {A°}j° — спектр оператора Не — удовлетворяет оценке (10).

Уже в следующей теореме видна важность условий А) — В).

Теорема 0.11. Пусть функция Vo дополнительно к А) — В) удовлетворяет условию

В) При некотором а> Ь

Ра

Далее пусть V — оператор умножения на финитную, квадратично суммируемую на своем носителе [0;6] функцию V(x), которая в некоторой полуокрестности точки Ь допускает представление

V(x) = (6 - x)mW(x),

где т > 0, W(b — 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда спектр оператора L = Lq + V распадается на 2 серии {ßn и имеющие асимптотики

№ „ А„, ~ + 1ПП + O(l))2, п ос,

где {An}i° — собственные значения оператора Lq.

В параграфе 3.2 будут доказаны 2 теоремы, которые вместе с Теоремой 0.11 в некотором смысле «наводят» на основной результат. Первая из них представляет некий аналог теоремы Амбарцумяна28:

Теорема 0.12. Пусть выполнены условия А) — В) uV — произвольная финитная и суммируемая функция. Тогда если спектр оператора L состоит только из одной серии, имеющей асимптотику

ßn ~ Л„ + о > п -> оо,

то V — 0 п.в. на supp V

и, следовательно, fin — \п.

28 Ambarzumian V. А. Überline Frnge der Eigenwerttheorie // Zs. f. Phys. V. 53. 1929. P. 690-695.

В следующей теореме мы доказываем, что условие подчинения В), которое при выполнении А) кажется вполне естественным для сохранения асимптотики спектра, вовсе необязательно (по крайней мере, для операторов с потенциалом, имеющим логарифмический рост).

Пусть Lq — оператор с потенциалом до = е,01па;, 0 < в < тт. Используя метод комплексного скейлинга и результат работы29, легко показать, что

спектр ¿о имеет асимптотику А к ~ е'в ln ( — ) + О (к'1) , к —► оо, Со =

V^o J

1

JV- ln tdt. о

Теорема 0.13. Существует мероморфная в угле {z : —0 < argz < 0} функция V(z) такая, что

1) При некотором —9<0<О точки zn = п = 1,2,..., являются полюсами второго порядка функцииУ(г);

2) Для собственных чисел {/-in}î° оператора L = Lq + V справедливо соотношение (12).

§ 3.3 посвящен доказательству основного результата главы. Мы ограничимся гладкими возмущениями в следующем смысле: V — оператор умножения на функцию V(x), которая, дополнительно к (11), удовлетворяет условиям

К' 6 АС[0, -foc) и / (ц-^ + ^ < <32)

о

Обозначим <7(х) = е'°х" + У(х),£д = {г = ?(х), х £ [0,+оо)}. Далее пусть е_ и е+ — решения уравнения

-у"+(е{9ха + У(х))у = \у, (33)

для которых справедливы асимптотические представления30

е^(х, А) ~ ±(9 - А)("1+2*>/4ехР | у^ЗдД^ (1 + А)) , (34)

где к = 0,1. А) —»• 0 при х —> +оо равномерно по А из любого компакта

К С С, не пересекающегося с кривой Сч.

Ясно, что если функция V удовлетворяет условиям (11) и (32) на некотором луче а^а; = а, то существуют решения е±, удовлетворяющие условиям (34) относительно этого луча.

29 Бойматов К. X. Оператор Штурма - Лиувилля с матричным потенциалом 11 Мат.заметки. Т. 16, № 6. 1974. С. 921-932.

30 Здесь и всюду далее ветви корней \Г- и степеней гп выбраны так, что гп > 0 при г > 0.

Введем обозначения. Пусть Lg = Нд + V, L¡f = Нд + V, где Нд — оператор, который получается из Нд заменой краевого условия у(0) = 0 на у'(0) = 0. Далее обозначим через {Afc}f, , {Af}f и {/if }f - собствен-

ные числа операторов По, Lg, Нд' и соответственно, пронумерованные в порядке возрастания модулей с учетом их кратностей. Пусть 0 < в < тт (случай —7г < 9 < 0 аналогичен). Обозначим S(R,9) = Ug П {|z| < R}.

Теорема 0.14 (Основной результат главы 3). Пусть V допускает ме-роморфное продолжение в угол Ug так, что

a) V R > 0 V € MEi{S(R,e)),

b) угловые граничные значения V на луче argz = —0/(2 + а) таковы, что функция И^а:) = У(е~вг^2+а^х) удовлетворяет условиям (11) и (32),

c) V А W(e_,é_) = 0, где W — вронскиан, е_(г,А) и А) — решения уравнения (33), удовлетворяющие оценке (34) на лучах aigz = 0 и argz = —в/(2 + а) соответственно.

Тогда и {е~2вг^2+а^¡^} являются собственными числа-

ми операторов Hq+W и Hn+W, где W — оператор умножения на функцию W(x) = e^'^V (хе~т'^) , так что цк ~ A*, ~ Af, к оо.

Обратно, если существует функция W(x) такая, что

(i) для нее выполнены условия (11) и (32),

(ii) и являются собственными числами операторов Но + W и //¿v + W, то V допускает мероморфное продолжение в угол Ug так, что выполняются а) — с), причем V (хе~вг^2+а^ = e-26i/(2+a)W(xy

Результаты третьей главы опубликованы в работах [1, 7].

В четвертой главе изучаются спектральные свойства оператора Шре-дингера с комплексным убывающим потенциалом Lp и модельного оператора Lc, связанного с оператором Орра-Зоммерфельда.

Основная цель первой части четвертой главы (§4.1) — распространение результатов второй и третьей глав на случай, когда спектр невозмущенного оператора не дискретен.

Оператор Lp при любом /3 G С является близким (в смысле квадратичных форм) к самосопряженному оператору L(¡ := Lp\р=0-

Лемма 0.2. Пусть q — оператор умножения tía функцию х~"<. Тогда при любом г > 0 оператор К = (Lo + r)~iq(Lo + компактен.

Следовательно, (Jcss{Lp) = aras(L0) = [0, +оо) V ¡3 е С. Для дискретного спектра имеем несколько другую картину.

Теорема 0.15. Справедливы утверждения:

1) при 0 < |a.rg/3| < ^тг fdisc(^) состоит из бесконечного числа простых собственных чисел, лежащих на луче arg(—А) = , а именно,

= (А/^/З)}^! и Ак(/3) — ~Р2^2"г'1гк, где -гк — пронумерованные в порядке возрастания собственные числа самосопряженного оператора Ь\ := Ьр\р=1; которые имеют асимптотику гк ~ С■ (к—1/4)—т)) & —+оо, С > 0 — постоянная, которая вычисляется явно;

2) при ^-тт < |а,г§/(3| < 7г дискретный спектр оператора Ьр пуст;

3) при всех 0 6 С оператор Ьр на полуоси [О, +оо) не имеет ни собственных значений, ни спектральных особенностей.

Введем в рассмотрение семейство операторов Мр ~ Ьр И7, где IV — оператор умножения на комплекснозначную измеримую функцию VI(ж), удовлетворяющую условию

оо /<

оо. (35)

о

В работе Л.А. Сахновича31 при /3 > 0,7 = 1 и вещественном Ж, удовлетворяющем оценке:

2 2 №)! < Iх-^а{1)\, где I < (36)

3/2 3/2

было показано, что {Д(г(/3)}1° — собственные числа оператора Мр, пронумерованные в порядке возрастания, — имеют асимптотику

ЫР) ~ -Г2/(а"7)С(Л - 1/4 + бр)-2^2-к +оо, (37)

где г-2/'2-7' > 0 при г > 0, константа С вычисляется явно, 5р — некоторая не зависящая от к вещественная константа, которую называют квантовым дефектом.

Легко проверить, что из (36) следует (35). Следующая теорема показывает, что формула (37) остается справедливой и при комплексных , удовлетворяющих (35) и дополнительному условию (39), которое выполняется автоматически в случае вещественных .

Теорема 0.16. Пусть /3 > 0 и функция IV удовлетворяет оценке (35). Обозначим через е±(х) 2 линейно независимых решения уравнения

+ = (38)

удовлетворяющие асимптотическим оценкам

е¥(х) ~ Ы*)Г1/4+"/2(±гГехр ( ±г / у/^х)<1х

+оо, и = 0,1.

31 Сахнович Л. А. О спектре радиального уравнения Шредингера в окрестности нуля // Матем. сб. Т. 67(109), № 2. 1965. С. 221-243.

Тогда если

е±(0) ф 0, (39)

то для собственных чисел рк(/3) оператора Мр (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (37), где 5р — вещественная постоянная, не зависячцая от к.

Пусть пеюду далее в этом параграфе 0 < arg/З < ^гртг ( случай — < arg < О аналогичен). Обозначим up = — Up = {z : up < argz < 0},

Uj}(R) = Up П {|z| < R}. Если / G +oo), p > 1, то будем говорить, что

/ допускает аналитическое продолжение /(z) в угол Up, если V R > 0 f(z) € Ep(Up(R)) и при почти всех х > 0 угловое граничное значение функции / в точке х совпадает с }(х).

Теорема 0.17. Пусть

а) функция W е LlM и допускает аналитическое продолжение W(z) в угол Up так, что W(z) —> 0, z —оо равномерно по шр < argz < 0 (на лучах argz = 0 и argz = Up предел понимается в смысле почти всюду);

б) W(x) = W(xeiu^) удовлетворяет оценке /0°°(1 + x^l^W (x)\dx < оо;

в) е±(0) ф 0, где е± получаются из е-ь заменой в (38) —qp(x) + W(x) на + е^'Щх).

Тогда для собственных чисел Цк(Р) оператора Мр (при надлежащей нумерации) справедливо разложение (37).

Теоремы 0.16 и 0.17 показывают, как сильно отличаются условия на W для выполнения (37) при arg/З = 0 и 0 < arg/З < Ц^тт. Ниже мы покажем, что это расхождение — по существу: несколько ослабленные условия а) — в) становятся необходимыми и достаточными для выполнения некоторого, более сильного чем (37), свойства Ра. Но прежде мы докажем 2 теоремы о финитных возмущениях, которые, с одной стороны, служат удобным «тестом» па спектральную неустойчивость, с другой — позволяют «нащупать» свойство

Р.-

Теорема 0.18. Пусть W финитна (suppH7 С [0,!)]) tre некоторой полуокрестности точки b допускает представление \¥(х) = (Ь — x)nV(x), где п > 0, V(b — 0) существует, конечен и не равен 0.

Тогда функция Всйля оператора Мр допускает мероморфное продолжение в угол Yp = {2я < argA < 2(ж + arg/3/(2 - 7))}, которое имеет неограниченную последовательность полюсов около луча argA = 2тг :

(irk ,п + 2, , Л2 ,

А*~ i— + In*+ 0(1)1 , о.

Теорема 0.19. Пусть функция W — финитна и суммируема на своем носителе. Тогда если <т,цж(А1а) = oty,sl(Lp), mo W = 0 п.в. на (0, +оо).

. 1/7

Прежде чем сформулировать основной результат, заметим следующее: если \¥ 6 ¿^(О, +оо), то уравнение

-у"+(-Я0 + Юу = Ху, (40)

имеет решение, которое при каждом Л $ [0, +оо) удовлетворяет оценке

«(*,А) ~ ^(-А-^(ж))"1/4ехр(-<3(з:,А)), х -»■ +оо,

где

Х. __/ дч!

Я(х, А) = ] ал=

ах

Известно (см., например, главу 2 книги32), что при каждом фиксированном х > 0 функции Ур(х, А) и у'р(х, А) аналитичны в С \ [0, +оо) и непрерывны вплоть до верхнего и нижнего берегов разреза по А > 0 и нули «/¡(0, А) образуют ограниченное множество Л. Следовательно,

— функция Вейля оператора Мр — мероморфна в С \ [0, + оо), ее полюса образуют ограниченное множество, могут скапливаться только к лучу [0, +оо) и тп/](А) непрерывна в {А ф 0 : 0 < а^А < 2тт} \ Л.

Рассмотрим оператор Мр = Ьр + IV, где функция Ш 6 Ь'(0,+оо).

Теорема 0.20 (Основной результат параграфа 4.1). Пусть функция IV имеет мероморфное продолжение \¥(г) в угол IIр так, что

(a) каждый полюс фупкцииШ(г) удовлетворяет условию безмонодром-ности, ___

(b) функция \¥(х) := х > 0, суммируема на (0,+оо),

(c) существует некоторое бесконечное множество Л' С {А ф 0 : -2шр < argA < 27г}, имеющее хотя бы одну конечную предельную точку А0 ф 0, что при всех А е Л' г/(0, А)« (0, Ае2**) - 0, А)«' (О^Ае2^) = 0, где и(х, А) — решение Йоста уравнения (40) при /3 > 0 и IV = IV.

Тогда тпр(Х) — функция Вейля оператора Мр — имеет мероморфное продолжение тр(А) с области С \ [0, +оо) в угол Ур, такое, что

т0{ц) := е^тр (е"2^) (41)

является функцией Вейля оператора Ьщ + И'.

Обратно, еслитр(Х) имеет мероморфное продолжениетр(Х) в угол Ур так, что (41) является функцией Вейля оператора Ьщ + V с некоторым

32 Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит. 2007.

V 6 ^(0, +оо), то W имеет мероморфное продолжение W(z) в угол Uß, при этом выполнены (а) — (с), причем W(x) = V(x).

Параграф 4.2 посвящен вопросу о степени необходимости условия q £ AM для выполнения /^-свойства. Сразу отметим, что поскольку условие q 6 AM позволяет получить гораздо более полную информацию о ПСГ, чем ^-свойство (см. Теорему 2.2 из цитированной на с. 9 работы A.A. Шка-ликова), то можно надеяться лишь на частичное обращение импликации (q £ AM) ==> (/^-свойство).

Введем обозначения. Пусть с> 0 и А е Пс. Положим

X

i = £(х,\) = J y/i{q-\)dt/Q{\), (42)

-1

p(i,A) = (g(x)-A)^)| €€7а,

lx=i(i)

где 7л — образ отрезка [—1,1] при отображении (42), х(£) — функция, обратная к функции £(х, А).

Так как q возрастает, то из (42) следует, что кривая при любом А £ Пс выпукла вверх. Обозначим через Qi область, ограниченную кривой и отрезком [0,1], соединяющим концы 7д.

Теорема 0.21 (Основной результат параграфа 4.2). Пусть q возрастает на [—1,1] и q' 6 АС[—1,1]. Тогда если ПСГ операторов Ье при некотором во 6 (—7г/2, 7г/2]\{±7г/4} обладает 1св-свойством, то при любом А 6 Пс функция р(£, А) допускает мероморфное продолжение с кривой в область Од с конечным числом полюсов.

В параграфе 4.3 мы продолжаем изучение свойств оператора Le в самосопряженном случае. А именно, для оператораL(k) := Ь£ при е = ке"^, к > О, с вещественнозначным потенциалом q 6 С2[—1,1] мы получим критерий (экспоненциально малого) расщепления спектра.

В работе33 доказано, что если q(x) — четная дважды непрерывно дифференцируемая на [—1; 1] функция и имеет изолированный локальный максимум в точке а: = 0 (потенциальный барьер), то собственные значения оператора, расположенные ниже потенциального барьера, группируются парами А+ и А~, причем их разность при к —У + 0 экспоненциально мала — происходит расщепление спектра. Метод этой работы существенно связан с четностью потенциала. Наша цель — выяснить, насколько наличие барьеров одинаковой высоты и формы необходимо для расщепления спектра.

Введем обозначения. Без ограничения общности можно считать, что наименьшее значение функции q(x) равно 0. Пусть функция q(x) обращается в

33 Аленицын А. Г. Расщепление спектра, порожденное потенциальным барьером в задачах с симметричным потенциалом // Дифференц. уравнения. Т. 18, №11. 1982. С. 1971-1975.

пуль в точках — 1 < аг < • • ■ < ап < 1 и положительна вне этих точек. В дальнейшем при выполнении этих условий будем говорить, что д имеет п потенциальных ям. Потенциальную яму а 6 (—1,1) будем называть регулярной, если найдутся некоторые положительные постоянные<5, а, Сх, С2, такие, что при всех \х — а| <8

Точки ±1 будем называть регулярной потенциальной ямой, если неравенства вида (43) выполняются в соответствующей полуокрестности этих точек. Пусть 6,- 6 {а^сц+1), (г = 1,п), Ь0 = —1, ¿>Г1+1 = 1. Обозначим через Ь{(к) самосопряженные операторы, порожденные в Ь2(Ь,; Ьг п) дифференциальным выражением 1(к)у := — к2у" + ду и краевыми условиями у(Ьг) = У(Ь{+1) = 0, (г = 1 , п). Далее, пусть и — собственные

значения операторов Ь(к) и Ь,(к), пронумерованные в порядке возрастания.

Теорема 0.22 (Основной результат параграфа 4.3). Пусть функция д дважды непрерывно дифференцируема на [— 1; 1] и имеет п регулярных потенциальных ям. Тогда оператор Ь(к) имеет п экспоненциально близких при к —> +0 собственных значений Хт(к),... Ат+П_1(&), то есть X¿(&) — = 0(е~~6!к), к —» +0 (г, j = тп, т + п— 1), с некоторым 5 > 0, тогда и только тогда, когда у операторов Ь^к),... ,Ьп(к) существуют собственные значения ц^к),..., , где ...,]п не зависят от к, также экспоненциально близкие при к —> +0.

Достаточное условие существования экспоненциально близких собственных значений операторов Ь,(к) доставляет

Теорема 0.23. Пусть д £ -1;1] и имеет, п потенциальных ям в точках — 1 < < ■ ■ ■ < ап < 1. Далее пусть при некотором е > 0 д{х + о,- — Я]) = <7(2;), х 6 [а г — е;аг + е], г = 2,п. Тогда операторы Ь^к),..., Ьп(к) имеют собственные значения ¡11 (к),... ,цп(к), экспоненциально близкие при к —>• +0.

То, что существование нескольких потенциальных ям одинаковой глубины и формы не является необходимым, показывает следующий

Пример. Пусть а 6 (0; 1). Положим

и обозначим через Ь\{к) и Ь2(к) операторы, порожденные соответственно в Ь2{0; а) и Ь2(а; 1) дифференциальным выражением —к~2сР/с1х2 + д(х) и условиями Дирихле. Обозначим через Агт(к) (г = 1,2= 1,2,...) собственные значения операторов £,(&). Тогда

С\\х — а|а < д(х) < С2\х-а\а.

(43)

х , 0 < х < а, 6(1 — х) , а<х< 1,

где -?m < о — m-ft нуль функции Эйри. Отсюда видно, что если Ь = J-'/2

при некоторых m,j € TV., то s vj(k)\

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [2, 3, 8, 9, 12].

Публикации автора по теме диссертации

1. Ишкин X. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка // Дифф. уравнения. Т. 31, № 10. 1995. С. 480-490.

2. Ишкин X. К., Муртазин Х.Х. О квантовом дефекте оператора Дирака с неаналитическим потенциалом // ТМФ. Т. 125, № 3. 2000. С. 444-452.

3. Ишкин X. К. Критерий расщепления спектра // Мат. заметки. Т.72, № 5. 2002. С. 670 681.

4. Ишкин X. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма - Лиувилля на кривой // Мат. Заметки. Т. 78, № 1. 2005. С. 72 -84.

5. Ишкин X. К., О критерии однозначности решений уравнения Штурма

Лиувилля // Мат. заметки. Т. 84, № 4. 2008. С. 552 566.

6. Ишкин X. К. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора // Докл. АН. Т. 429, № 3. 2009. С. 301-304.

7. Ишкин X. К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма Лиувилпя с комплексным потенциалом // Дифф. уравнения. Т. 45. № 4. 2009. С. 480 495.

8. Ишкин X. К. Об условиях локализации предельного спектра модельного оператора, связанного с уравнением Орра - Зоммерфельда // Докл. АН. Т. 445, № 5. 2012. С. 506-509.

9. Ишкин X. К. Об аналитических свойствах функции Всйля оператора Штурма Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом // Уфимский ыатем. журнал. Т. 5, № 1. 2013. С. 36-55.

10. Ишкин X. К., О критерии безмонодромностпи уравнения Штурма — Ли-увилля 11 Мат. заметки. Т.94, № 4. 2013. С. 552-568.

11. Ишкин X. К. О локализации спектра задачи с комплексным весом // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 49 64.

12. Ishkin Kh. К. On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter // Eurasian Math. J. V. 2, № 3. 2011. P. 67-81.

ИШКИН Хабир Кабирович

О КЛАССАХ ВОЗМУЩЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНО НЕУСТОЙЧИВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 06.03.14 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,84. Уч.-изд. л. 1,38. Тираж 100 экз. Заказ 59.

Редакщонно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный университет»

На правах рукописи УДК 517.984

05201450925

Ишкин Хабир Кабирович

О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант д. ф.-м. н., проф. З.Ю. Фазуллин

Уфа - 2013

Содержание

Введение........................................................................3

Глава 1. Критерий безмонодромности..................................46

1.1. Критерий безмонодромности уравнения Штурма - Лиувилля на замкнутой кривой......................................................46

1.2. Критерий безмонодромности для систем Дирака....................74

Глава 2. Операторы Дирака и Штурма — Лиувилля на кривой 85

2.1. Некоторые вспомогательные утверждения..........................86

2.2. Аналог теоремы Марченко............................................91

2.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Штурма - Лиувилля 98

2.4. Критерий m-локализации спектра оператора Дирака на кривой . 106

2.5. Примеры................................114

Глава 3. Комплексный ангармонический осциллятор.......124

3.1. Спектр оператора Lq.........................125

3.2. О необходимости условий А) — Б) для 1-локализации спектра . 135

3.3. Критерий 1-локализации спектра оператора Но + V........143

Глава 4. Теоремы о локализации спектра в случае наличия непрерывного спектра и в квазиклассическом пределе........152

4.1. Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом 153

4.2. Модельный оператор, связанный с оператором Орра - Зоммер-фельда.................................176

4.3. Критерий расщепления спектра...................180

Литература...................................195

Введение

Оператор L, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, условимся называть близким к самосопряженному, если L = Lq + V, где Lo самосопряжен, V компактен относительно Lo, то есть D(V) D D(Lq) и оператор V(Lq + i)~l компактен. Если Lq полуограничен снизу и при некотором г > О оператор (Lq + r)~l/2V{Lo -f г)-1/2 компактен, то оператор L — Lq + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. [1, 25, 26, 28, 47, 48, 81], а также [64] и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша [26], любой операторL, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н и близкий к самосопряженному оператору Lq, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр Lq дискретен и функция N(r, Lq) (количество собственных значений Lq (с учетом кратности) в интервале (—г, г)) удовлетворяет некоторому условию (К)1, то

Р\) система корневых векторов L полна в Н\

Рч) при любом с > 0 спектр оператора L вне углов {|argA| < е} и {|argA — 7г| < е} конечен и для функции N(r,L) — количества собственных значений оператора L, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение

N(r, L) ~ N(r, Lq), г +оо. (1)

Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор Lq, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов,

1 Это условие заключается в существовании некоторой функции <р(г), такой, что N(r, Lq) ~ <р(г) при г —> +00 и ¡р(г) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша [26, 27], которые впоследствии были обобщены Б.И. Коренблюмом [30].

близких к Ьо и обладающих свойством Ра := Р\ Л Р2.

Предположим теперь, что Ьо не удовлетворяет какому-то из условий теоремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство Ра оператора Ьо так, чтобы существовал нетривиальный класс возмущений V, сохраняющих это свойство?

Как показывают многочисленные примеры (см. [77, 86, 95-100, 106, 110, 119-123, 126, 132, 137, 138] и др.), операторы, не являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости: операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма || (Ь — г)~г|| может быть большой даже при г, далеких от спектра Ь. Поэтому в случае, когда Ь — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор, для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополнительное (гораздо более жесткое по сравнению с близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство Ра, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных.

В диссертации предложен метод, который позволяет в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Оказалось, что этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так и к сингулярным дифференциальным

операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть. Метод оказался полезным и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.

В работе рассматриваются 4 различных типа обыкновенных дифференциальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предметом исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства Ра. Однако характер этих условий (аналитичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимости. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необходимыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства Ра. Приведем список этих операторов.

1) Оператор Дирака на кривой. Пусть 7 — кривая с параметризацией

X 1

^ = я{х) = Jг(г)е*"®(И, х е [0,1], J= 1, (2)

о о

г, а £ С[0,1], г{х) > 0, а(х) — монотонна и |а(1) — а(0)| < 7г. (3)

Обозначим через Ь2 (7, С2) гильбертово пространство 2-компонентных вектор-

2

функций со скалярным произведением (/, д) — J /к9к^г\.

к=1 7

Оператором Дирака на кривой 7 будем называть оператор, действующий в гильбертовом пространстве Ь2 (7, С2) по правилу

л (я?) = {у е (7, С2) : %(0) - 0, Ну( 1) = 0}, (5)

где Н = (^1,^2)5 Н = (Н\,Н2), штрих означает дифференцирование вдоль 7 (см. (30)), (7, С2) — пространство Соболева (см. (39)),

/И ф ±1К2, #! ф ±Ш2. (6)

2) Комплексный ангармонический осциллятор Но :

Ноу = hoy := -у" + е*(7) £>(#„) = {2/ G L2(0, +оо) : у, у* 6 ЛСюс[0, оо), h0y € L2(0, +оо), у(0) = 0},

где а > 0, |0| < 7г.

3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом Lр:

hv = Ьу:=-у"-13х^у, (8)

D{LP) = {у е L2{0, оо):у'е ЛС1ос[0, оо), ¿¿у € L2(0, оо), у(0) = 0}, (9)

где 0 < 7 < 2, |arg/3| < ir.

4) Модельный оператор Ь£) связанный с оператором Орра - Зоммерфель-

да:

Ьеу = is2 у" 4- qy, (10)

D(Le) = {уеь2(-1,1): у'еАС[0,1],у" еь2(-1,1),у(-1) = у(1) = 0},

где функция q — непрерывна, вещественна и монотонна на [—1,1].

Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров 9 и а, но в обозначении мы выделяем только 9, имея в виду зависимость именно от параметра 9, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора Н0 (при 9 ф 0 числовая область Num(0) := {(HgfJ) : f £ D(Hg), ||/|| - 1} есть угол {0 < sgn# • argz < |#|}). По той же причине оператор 3) обозначаем

Ьр.

Рассмотрим оператор D^ = D® + Q, где Q — оператор умножения на матрицу Q(z) с суммируемыми на 7 элементами (см. (38)). Ниже (см. формулы (40) и (41)) будет показано, что спектр оператора£?7 лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора Л, действующего в пространстве L2 ((0,1); С2) по формуле

Au = A0u' + Aiu (11)

и имеющего область определения

D(A) = {и1г2 G АС[0,1] : А0и' + Аги G L2 ((0,1); С2) : Su(0) = Ru(l) = 0}.

(12)

Здесь S = (1, s), R = (1, г), s-r ф 0, Ао, А\ — квадратные матрицы 2-го порядка, элементы ац матрицы А\ суммируемы на (0,1), А^г(х) = diag(ai(x), 02(0;)), функции ai(x'), а2(х) непрерывны, вместе с функцией ai(nr) — а2(х) не имеют нулей на [0; 1] и

(А) функцияа(х) = arg (ai(x)—а2(х)) монотонна иа[0,1] и |а(1) —а(0)| <

7Г.

Спектральная теория операторов вида А восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа [88, 89], Я.Д. Тамаркина [68, 136] и Дж.Д. Биркгофа, Р.Е. Лангера [90]. Так, в работах [88, 89] для уравнения

У{п) + Wn~2) + ... + Qn-iV = А пу, (13)

которое эквивалентно системе AY = А У с Ао = I, был введен класс регулярных краевых условий и были найдены асимптотики собственных чисел и собственных функций соответствующей краевой задачи. Кроме того, было получено разложение достаточно гладкой функции в ряд по корневым векторам этой задачи. Впоследствии в [68, 136] и [90] эти результаты были распространены на краевые задачи для систем вида

B0Y' -f B\Y = XY, Y = (yi,..., yn)T, x G [0,1], (14)

где Во, Вi — достаточно гладкие матрицы n x n, Bq(x) при каждом x G [0,1] невырождена, диагонализуема и собственные значения d\,...,dn матрицы Bq1{x) удовлетворяют условиям

aig(di(x) — dj(x)) = а.ц = const, i,j = 1 ,п, %Ф j. (15)

А именно, в [68] было показано, что если соотношения (15) верны, то фундаментальная матрица решений (ФМР) системы (14) при больших А допускает

асимптотические разложения, равномерные noargA и х G [0,1]. Это позволило определить и для системы (14) класс регулярных краевых условий

5У(0) + RY{ 1) = 0, (16)

где S,R — квадратные матрицы n-го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида (14), а также для уравнения (13) изучались многими авторами с различных точек зрения (см.[53, 117] и имеющуюся там библиографию). При этом основные усилия были направлены на выяснение условий на матрицы S, R (и соответствующую матрицу, задающую краевые условия для уравнение (13)), при которых система корневых функций обладает свойством полноты [31, 46, 74, 78, 79]), базисности ([29, 80, 81,118]), а также классов функций, разложимых по корневым функциям ([75] и др.). Однако, за редким исключением (об этом — чуть ниже), во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (15). Между тем операторы видаЛ, для которых условие (15) не выполняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см. [10, 115, 128, 135], а также главу X монографии [117]).

Если отказаться от условия (15), то возникают трудности, связанные с отсутствием асимптотических разложений для ФМР системы (14): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия (15). Первая попытка отказаться от этого условия была предпринята P.E. Лангером в работе [114], в которой взамен условию (15) требуется аналитичность матриц Д) и В\ в некоторой окрестности Q отрезка [0,1], такой, что для любой точки z £ О, и пары (i,j) существует кривая 7ij(z), лежащая целиком в Q, соединяющая точку zcO или 1, при движении вдоль которой точки С аргумент функции f^(di(t) — dj(t))dt постоянен. При выполнении этого условия Лангер получает те же результаты, что в [90] и [68, 136]. Отметим также работы [4, 5], в которых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в L2 ((0,1);СП)

дифференциальным выражением Си = —^ + ф(£)гг(£), а €

[0,2), А £ С°°([0;1]), ф 6 С([0;1]), и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы А (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе [98] показано, что в случае, когда матрица Во кусочно постоянна и В\ = 0, характеристическая функция спектра краевой задачи (14), (16) является квазиполиномом, так что (см. [38]) спектр допускает представление

т оо

с^ = 1 ] I ] \Нэ, Дш а^(ду) = щ, г = I/т, (17)

^^ 7—»ОО

»=1^ = 1

где т £ N. При некоторых дополнительных условиях представление (17) сохраняет силу и в случае бесконечного числа «кусков» (т = оо) [19]. Класс матриц Во,В\ для которых спектр задачи (14), (16) удовлетворяет (17), не исчерпывается рассмотренными выше. В работе [12] показано, что формула (17) верна (при В\ = 0) для

/ \ -1 / п 1 \

(18)

где функция д кусочно аналитична на [0,1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».

В связи со сказанным возникает

Задача 0.1. Выяснить, насколько необходимы фигурирующие в работах [12, 19, 98, 1141 условия кусочной аналитичности матриц Во, В\, при которых спектр соответствующего оператора А локализован около конечного числа лучей в смысле (17).

Решению этой задачи посвящена вторая глава: будет найдено необходимое и достаточное условие на матрицу Во, удовлетворяющую условию (А), и произвольную суммируемую матрицу В\, при котором спектр оператора Л локализован около конечного числа лучей.

Поясним выбор краевых условий в (12). Во-первых, как уже отмечалось, основная трудность обусловлена отсутствием асимптотических оценок для ФМР системы (14), а не краевыми условиями. Поэтому нет необходимости выбирать краевые условия наиболее общего вида. Во-вторых, при А\ = 0 система уравнений Аои' = \ш решается точно, при этом краевые условия в (12) обладают таким же свойством, что и регулярные по Биркгофу условия, в частности, условие 5 • г ф 0 не только достаточно, но и необходимо для дискретности спектра оператора А. В-третьих, при преобразовании оператора А в оператор краевые условия в (12) сохраняют свой вид (см. (5) и (б)).

Как уже было отмечено, спектры операторов А и отличаются лишь постоянным множителем. £>7 есть оператор Дирака с матричным потенциалом (5 = С^(Ао,А\), который, в зависимости от Ао,А\, может быть сколь угодно гладким. Но, в отличие от случая, когда 7 — отрезок, невозмущенный оператор И® является спектрально неустойчивым в следующем смысле: собственные числа имеющие асимптотику А^ ~ 7гк, к —> ±оо, под действием сколь

угодно гладких и малых (по норме) возмущений могут быть «разбросаны» так, что они на бесконечности могут быть локализованы (в смысле (17) или Определения 0.1) около произвольного (конечного или бесконечного) числа лучей (см. п. 2.5). Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора а значит, и А может иметь вид (17) лишь для весьма узкого класса матриц Ао, А\. Эта гипотеза для оператора А с матрицей А$ вида (18) и А\ — 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году [70, с.127]. Решая Задачу 0.1, мы фактически подтверждаем эту гипотезу.

Рассмотрим оператор Нд. Известно (см., например, [36, 37, 99]), что собственные числа Но простые, лежат на луче а^А = 20/(2 + а) и имеют асимптотику:

10г 2сх

Хп ~ С0 • е^п^, С0 > 0, (19)

система собственных функций {/пполна в Ь2{0,оо). При 9 = 0 {/п}?0 об-

разуют ортонормированный базис в Ь2(0, оо), оператор Но согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если V — оператор умножения на функцию У(х), удовлетворяющую условию

V е Ь\ос[0, +оо), У{х) = о (ха), Х- +оо, (20)

то собственные числа {/¿к}™ оператора Ьд = Нд+У при надлежащей нумерации имеют асимптотику

//„ ~ Лп, п оо. (21)

Если 0 < \9\ < тг, то (см. [99])

К = тт^т > С0ес*п, (22)

где /* — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу Лп оператора I/*, Со,С\ — положительные числа. Так как почти норми-рованность некоторого базиса влечет почти нормированность биортогонального ему базиса [8, с. 372], то из (22) следует, что при 0 < \9\ < 7Г никакой базисно-сти нет. Оценка (22) означает, что оператор Ид является спектрально диким в смысле определения из [99]. В работах [100-102] показано, что если г = гё1/3, где 0 < (3/9 < 1, то

\\(Нв - г)~1\\оо, х У оо. (23)

Из результатов работ [92, 93, 120] следует, что соотношение (23) при а = 2 верно и тогда, когда г уходит в оо по кривой х = х + гха, 1/3 < а < 1. Численные расчеты, полученные в [93, 105], показывают, что постоянная 1/3 является оптимальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча а^А = 29/(2 +а).

Таким образом, оператор Нд при 9 ф 0 является спектрально неустойчивым. Поэтому так же, как в случае с оператором следует ожидать, что класс возмущений V, при которых имеет место (21), весьма узок. Из результатов работ [9, 72] следует, что этому классу принадлежит оператор умножения на функцию V, которая

А) локально суммируема на [0,+оо), допускает аналитическое продолжение в угол Ug = {—9/{2 +а) < argz < О}2, непрерывно продолжается до любой конечной точки границы,

Б) удовлетворяет оценке V(z) = o(za), z —>■ оо, равномерно по —9/(2 + о;) < argz < 0.

В связи с этим возникает

Задача 0.2. Выяснить, насколько необходимы условия А) — Б) для выполнения оценки (21).

Решению этой задачи посвящена третья глава.

Оператор вида Ьр, где вместо /Зх~7 в качестве потенциала выступает произвольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +оо) функция q, стремящаяся к 0 на +оо, условимся также называть оператором Шрединге-ра с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШКУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка [54], в которой впервые были обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем ре�