О начально-краевых задачах для некоторых классов эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

'8 0 3

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На праках рукописи

АМИРОВ ШАРИФ ХАНКИШИ оглы

О НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. >

Баку

1991

БУБНОВ Б. А.

Работа выполнена па кафедра ».Высшая математика» механико-математического факультета Новосибирского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Ленинского комсомола.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор ВРАГОВ В. Н., доктор физико-математических наук, доцент Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ПЕТРУШКО И. М. (Московский энергетический институт),

доктор физико-математических наук, доцент АЛИЕВ А. Б. (АзПИ им. Ч. Ильдрыма).

Ведущая организация — Казанский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина. . /

Защита состоится . 1991 г. в г г? час.

на заседании специализированного совета К.004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики и механики АН Азерб. ССР по адресу: г. Баку ГСП-602 ул. Ф. Агаева, 553 квартал, дом 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ АН Азерб.

ССР

Автореферат разослан «... » . у . .],... 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

ИУРИЕВ Б.

¿ЬГЯШЖ I МьЯГШ |

«■ ' I - 3 -

•к -I

|исссртгцн.Ч 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

—----- г -

Актуальность работы. Многие задачи механики, Физики, геофизики приводят к решению уравнений в частных производных, которые не входят в известные классы эллиптических, параболических или гиперболических уравнений. Такие уравнения, как правило, стали называть неклассическими уравнениями математической физики. К ним относятся уравнения сметанного, составного и смешанно-составного типов.

Теория краевых задач для пролюционных неклассических уравнений занимает одно из центральных мест в общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, р силу большого теоретического и прикладного значения. Исследование краевых задач для неклассических уравнений с частными производными связано с именами таких математиков, как ^.Трикоми, !чИ.Франкль, И.Н.Векуа, С.А. ■ Чаплыгин, М.В.Келдыш, М.А.Лаврентьев, С.Л.Соболев, А.Б.Бицадзе, К.Й.Бабенко, Л.В.Овсянников, Л.Д.Кудрявцев, Г.Фикера, О.А.Олей-ник. Н.Н.Яненно. Исследованию встречающихся эволюционных уравнений посвяпено боль'пое количество работ как советских, так и зарубежных арторов.

Среди работ последних лет, посвященных изучению уравнений смешанного типа, необходимо отметить следующие: Ю.М.Березанского, Б.А.Бубнова, В.Н.Врагова, А.А.Дезина, Ю.А.Дубинекого, Т.Ш. Каль-менова, Г.Д.Каратопраклиева, И.М.Петрушко, В.П.Михайлова, В.К. Романко, С.А.Терсенова.

Основная характеристика исследуемых уравнений заключается в том, что в случае постоянных коэффициентов, не выполнено необходимое и достаточное условие "Д" И.Г.Петровского о разрешимости задач Кони.

д.

- л -

• л

Это факт приводит к тому, что начально-краеше задачи для таких уравнений не являются корректными по Адамару для начальных данных и краевых условий. Тем не менее в работе указаны достаточные условия на коэффициенты уравнений и выделены классы функций, в которых начально-краевые задачи Щщт корректны по Адамару.

!ель работы. Исследование начально-краевых задач и задачи Копш для некоторых эволюционных уравнений.

Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы функционального анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Новизна результатов и их научная ценность. Все результаты диссертации являются новыми и представляют теоретический интерес.

Апробация работы. Результаты работы докладырались ня научном семинаре под руководством профессора В.Н.Врагова С ИГЛ СО АН СССР^, на семинаре в МЭИ под руководством И.М.Петрушко, на семинаре в АГУ им.С.М.Кирова под руководством А .Д .Искендерова, а также на П Конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (НГУ им.Ленинского комсомола, ,

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приводится в ко>це автореферата.

Объем работы. Диссертация, изложена на 81"-ти страницах маши-писного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающей £4 названия.

I

ОСНОВНОЕ С ¿ДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

. !

В диссертационной работе исследуются начально-краевые задачи

и задачи Коши для некоторых эволюционных уравнений.

I

В перрой главе работы исследуются н-чалыш-краевые задачи

_ 5 -

для ультрапараболического уравнения в неограниченной и ограниченной областях, и пояедение решения при ^ 03 .

В § 1.1 доказывается теорема существования^ единственности начально-краевой задачи для уравнения А.Н.Колмогорова в неограниченной области.

Рассмотрим р области & = С0^)* О > где О - (-т-> т.) М-оо,<-оо) ,4е(о,Т) , ЭС С (.-Уи, иг) ^ уравнение

ЬМ = Ч ~ »йу-АЮ V

Предполагаем, что копМмциенты урарнения (Л ди'Мюренцируем'' и ограничены в области Л вместе со сроими производными до второго порядка и 6~7 о .

Для урарнения (I) ставится. Начально-краевая задача. Найти в области

а решение ■

уравнения-(I), удовлетворяющее условиям

иг-о и.\ -о \дЛ - О . ■.

Н--0 \ х - - \x--Mv (2)

Для задачи (I), (2) доказывается

Теорема 1.1.Т. Для любой функции , такой что

е 1^(0.) существует единственное решение задачи

(Т), (2) в пространстве , где через

ща) обозначается пространство, полученное замыканием функций из , и удовлетворяющее условиям (2) по норме

и ац^(йГ 5 (иЧ < + (х^ и£х) аа .

Далее, доказываются оценки устойчивости для задачи (I), (2) Теорема Т.Т.2. Пусть вшолнено условие С _ ">/ <5*1 > о тогда, для любой функции ^ЛУ) , удов-

летворяодей условию теоремы Т.Т.Т. и такой что <о<о

о-оо-н*

существует постоянная С(пЛ-»оо , У\.-?оо такая, что для решения

задачи (I), (2) справедлива оценка Ф иа.

-СР-УЛ.

В §1.2 исследуется начально-краевая задача для уравнения А.Н.Колмогорова в ограниченной области Рассматривается .уравнение

1[иЗ г + = . (3) .

в области а^Со.Т^Р! , Где = (о, О * (о, 1), Для уравнения (3) ставится

Начально-краевая задача. Найти в области ©^ решение уравнения (31, удовлетворяющие следующим условиям

и| ьо, -с , ш — о , гц •=.( 4=0 1x^0

- О .

(4)

Для задачи (3), (4) доказывается.

Теорема 2.1.1. Пусть функция {сА тогда существует единственное решение задачи (3), (4) в пространстве ^(О*) , где через

обозначается пространство, полученное замыканием функций из СГ^О.) , удовлетворяющих условиям (4) по норме

_ > -

где, А есть класс Функция 4". .удовлетворяющих следующим уело-

риям

L,-b,(±\ (ii-VeU^, .

* ж Ч /хх , \ х 1 1/1

• -'UVso^U,*,^ tG.^ ,

г!л ('iO f-b^l •

Теорема доказывается методом Галёркина В виде фундаментальной системы для галёркинских

приближений берутся собственные функции спектральной задачи

f VГ*) + О ,

1 yjibo .Ч'КЛ-О, _

где, v.i*) •= V/5E • , 1 ^ (§ Ь 0

Во второй главе исследуется начально-краевые задачи, а также задачи Когаи для некоторых эволюционных уравнений

В i 2.Т исследуется задача Кони для одного уравнения третьего порядка в области SL = (о.сОх^- оо.оо ^к(-оо.ой)

L[a] = +cUx,t)llX)iV( +at(x,t) P3V +

+ Чад.

(5)

Предполагается, что коэффициенты уравнения (5) достаточно гладкие, ограничены в области Л. и 3.1t,*} т° , 1<ъ о ц0ЛОв число.

Для уравнения (5) ставится.

- * -

Задача Коми. Найти в области -П ' решение уравнения (Б) удовлетворяющее условию . " ■

иД -О .

(ад

А также в области рассматривается следующая задача,

где И4 = (<*>,У1 \ ,

Ми = ^ Ч- аи.*)^,**

«\г -V * си,*)1Гх + <№,*),

*тг - | и,*,*) ,

где

со (б )

>11* -00

Наряду о задачей (&') (б') рассматривается задача при £;о

I, ? ' <6"5

' о

Разрешимость задачи (б") (б") при Е>о следует из результатов О.А.Ладыженской [36] . Доказывается следующая

Лемма 2.1.1. Если ^Ц.к.^^и^.хН ЦСП^ и выполнены условия -аЛи^+Зхц и.м ,в ^^ЧЛл^^о

•) /

где то для решения задачи (5 ), (6 ) справедливы следую-

щие равномерные оценки по € .

со

] \\Ге Г<*х + <г]| и + (Мк)1^г<Лхои: +

-00 о-со

О-05 • (7)

со

-ОЭ О-ОО

I?5 г гТ "3-(Н|Мк)Тл1 (О)

Лги* с5\ц+т^е •

Ю ^ РЭ'

-"о». о-0" __

О О"«®

Определяется функция

.оо • -

* (ТО)

Доказывается :

Лемма 2.1.2. Если Функция удовлетворяет условию

ГГ^.мм*- -- *

-•о-аоо

тогда функция £(*,<},есть решение задачи (5)-(£)

Доказательство следует из оценок (?),(8),(9) и равенства Парсеваля .

Итак, доказана следующая :

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия

_ 10 _

5/Оро (Г-З^а^, (Г> 0 тогда для любой функции ^М.У") такой, что м т

оа

где ;

• оО

и © С ,

Существует единственное решения задачи (5)-(6) из класса $Ш Через обозначается класс функций из С^Ш) удовлет-

воряющих .условиям (ГЛ и

а

такие, что

00 ОП гр

-Л-ло

В атом же классе получаются оценки устойчивости v виде

huiiN mi .

Затем в этом же параграфе при Y.-1, в области

£1 - \ (o.too) ( у tiq+bo), Xf (-од+со)'}

для уравнения (5) ставится :

Начально-краевая задача: Найти в области решение уравнения (5) удовлетворяющее условиям

К-о •' • «

(II)

Аналогично теореме 2.1.I. доказывается следующая : Теорема 2.1.2. Если выполнены условия теоремы

-11 -

2.1.1. то для любой функции такой что,

существует единственное решение задачи (5)., (II) из класса

где - косинус-преобразование по переменной ^.

В 5 2.2. в области рассматривается эволю-

ционное уравнения

1_,,Ги] ~ а^Д^и + й/а^у

(12)

где коэффициенты предполагаются достаточно гладкими и ограниченными в

Для уравнения (12) ставится:

Задача Коти: Найти в областк" П4 решение уравнения (12) удовлетворяющее условию

Ц.1 -= о .

и--о - (131

Эта задача исследуется, в двух случаях отдельно а) при 1 б) при Я. - о .

В этом же параграфе наряду с задачей (12) - (13) для уравнения

». , 9.К 41 Р

М\Г = + Ьхгг + с^и^Ьх^ и Ч^

рассматривается:

Задача Коши: Найти в области решение уравнения (12') удовлетворяющее условию

V!

1=°. (13')

и в случав а) доказывается:

Лемма 2.2 Л. Пусть JU.x.x) tj . ^ е *>•*(. ЛЛ,

VQ

и Iii < litv'-4?,|l')(4 + i>i)xffiA)<cUcU i. + оз , и выполнены условии ¿.».со * '

Тогда имеют место следующие оценки

tooo ^ i®«> ^ 56

«cjji Лхахсц , (ш

-Ючй

Л® »ff ' iB,<" А С

«*C0 - c» со

\ \ ИЭ.чг^сЫх * 4 ] ^lo.u/-^^

-W03 -dO-iW

« с, \ \ \ \\|»4 ^ tiM^ Ä^cU .

Лемма 2.2.2. Для любой Функции \ : 4 ^ Lx(0.,) при условии леммн 2.2.1. Функция является решением задачи

(12), (13).

Вводится класс ^СП"), функций, удовлетворяющих условию

(12) и .«+«

и U , . ьда, bla£ ¿LSSI-) .

Итак, доказана следующая

л

Теорема 2.2.1. Для любой функции {■ :

и {ff Uft+tif)«*™?**^**'**,

» О»90-ДО

и при выполнении условий

существует единственное решение задачи (Т2\ (ТЗ) из класса А в случае б> доказт рается ;

-

Леша 2,2,3-. Пусть Функция \ . , ,

и выполнены условия

(5 ,Цр ^ , <4, 4 О тогда

справедливы следующие оценки

00,0 °° 01 ге А %

-СО-Ю О-Й'1®

<?<Й - в • л 4.

-(О-в) ©-оО.ОО .

Сноп П^А^А* оям) .

-а>-оо о-опя ^

АЛА

Лемма 2.2.4. Для любой функции при условии леммы 2.2.3. функция МЦ*,^) является решением задачи (12), (13).

Итак, доказана следующая;

Теорема 2.2.2. Для любой функции { : 41*>*«М>

и при выполнении условий с >.««рУ, Р« <■ о . существует единственное решение задачи (8); (9> из класса

В I 2.3 в области & . рассматривается

эволюционг'зе уравнение

у^и} « и4 +

+ си.^и. * . • (го)

-

Предполагается, что коэффициенты уравнения (20) достаточно гладкие и ограничены в О, .

Для уравнения (20) ставится .•

Начально-краевая задача; Найти в области О. решение .уравнения (20), удовлетворяющее условиям при Ь-

-- ...... -1"1

(хм

иС ' - и.

^ при Ь- Л-т +1

и,их . 1£-ц| , и.,«,,. рЧп -о ,

ш -о

' (22)

В уравнении (20) в зависимости от налагаемых условий на коэффициент о«1*л) и на порядок дифференцирования по ^ в члене Ци. , задачи (20), (21) и (20), (22) исследуется в двух случаях. А именно в случаях

а) когда к , - произвольное натуральное число и Функция а,(*Л) - анаконеопределена

б) когда _ четное натуральное число и функция удовлетворяет условию 1.-|У1сМ*14:')7 о .

В зависимости от эгих случаев получаем различные классы функций, В которых вадачи (20), (21) и (20), (22) поставлены корректно. •

В этом же параграфе наряду с задачей (20), (21), (20), (22) в области - (о.Т)*^,!^^^ рассматривается для

уравнения

Ми + + с^ад»

»

Д-^ил")^ =

л

= . (23)

Начально-краевая задача: Найти решение уравнения (23), удовлетворяющее условиям при

IX"» о

1/1 •= о (24)

при £ - * 1.

' ' и«!

ЛИ -О '

(25)

В случае а) доказывается :

Лемма 2.3.1. Если для любой функции 4 выполняются условия

р (зИ-ММ*}" л , л «

А«- ■^тП'-ОП^ 00 ,

<31

и С-алсм^хГ? о ,

где С 70 , тогда для решения задачи (23), (24) справедливы

следующие оценки

I со ^ и г

X X I.

о - да

- u -

00« 1 ¿о-»

о о -00

Лемма 2.3.2. При условиях леммы 2.3.Т. для решения задачи (23) - (24) справедлива следующая оценка

где ^ ^-(у^и.с-оУи- + •

и с,(£-)->со при е

Лемма 2.3.3. При условии лемм 2.3.Т., 2.3.2. имеем следую-Цую оценку

I «> г ч. «о

5 [ I +\ {j

liHDnT, А .

<

(29)

Лемма 2.3.4. Если функция 4 такая, что

т(1г° a 2l л1 ^(htm^t

)\\ U« +IU UhmS ^ со ,

oD-00

S - определено л лемме 2.3.1;

и выполняются условия лемм 2.3.1., 2.3.2., то Функция определенная Формулой (ТО) является решением задачи (20), (2Т). Доказательство следует из разрешимости задачи (23), (24)

- н -

при ^иксироранном X и оценок из лемм 2.3.1, 2.3.2. 2.3.3, (2.3.Т4) и раренстра Парсераля.

Через '}(,Ю)обозначается класс, функций удовлетроряю'пих услоричм (2Т) и

Итак, доказана следующая :

Теорема 2.3.Т. Для любой функции £ удовлетворяющий условию И'Г .;1|\\ 1?/)к9от,,)Т<н|мУ'«¥<>>'М - '« существует единстренное решение задачи (20) - (21) из класса

Диалогично рассматрирается задача (20), (22).

А р случае б) доказывается :

Лемма 2.3.5. Ксли Функция такая, что

5 и + 1м''Лтгч Л«» <• « оо . и ^Ус^Ц.х^о. У1

то для задачи (23) - (21) (соответственно при £ ; 'Ат+1 (23) - (25)) спраредлирм следующие оценки

А I

О - « ОЬ'Л

III» т I

О В-Л " о О-в».

+ Щ Мнм^ 4-

п .Л -^ п

О -Л

4 ^

г г г т. 4 со

Лемма 2.3.^. При условиях леммы 2.3.5. для решения задачи

(23) - (21) спраредлива следующая оценка

И о<1<1/»>, ПрИ 1~>0 .

Лемма 2.З.'"'. При .условии Лемм 2.3.5., 2.3.6. имеем следующую оценку

4 иР 4 I Л

(5 I п"тг\\»>А* +¡55 <

О -во о о-*

т I «л 1 >

о о-в

Из .уравнения (20) и из предыдущих оценок следует, что

№ < Ч^' . (32,

Лемма 2.3.8. Если функция 4 удовлетворяет условию

о о-а>

то функция. 4ИЛУ") является решением задачи (23) - (24). Итак, доказана следующая •

Теорема 2.3.2. Если функция \ удовлетворяет условию т 1 со л V"

о о-ш

то существует единственное решение задачи (20), (2Т) (соответственно задачи (20) - (22)) из класса

• В заключении считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своим научным руководителям, доктору фиэико-математических наук, профессору В.Н.Врагову и кандидат Физико-математических наук, доценту Б.А.Бубнову за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты дигертации опубликованы в следующих работах:

1. Амиров Ш. X. Смешанная задача для ультрапараболического уравнения в ограниченной области.//Корректные краевые задачи для неклаесических уравнений математической физики: Сб. научн. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. — Новосибирск, 1984. С. 173—179.

2. Амиров Ш. X. Задача Коши для одного ураш/лпы третьего порядка.//Неклассические уравнения математической физики: Сб. научн. тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. — Новосибирск, 1985. С. 159—163.

3. Амиров Ш. X. О двух краевых задачах для неклассических уравнений.//Тез. докл. II конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. — Новосибирск, 1988. С. 20—24.

Подп. к печ. 18.11.91 г. Зак. 911. Тир. 100. Печ. лист. 1,0. Тип. АзИНЕФТЕХИМа. Баку—ГСП, пр. Ленина, 20.