О нелокальных краевых задачах для одного класса параболо-гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



УДК 517.956 На правах рукописи

.-•о

Усипбаев Лмирбек Асилбекович

О НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛО-ГНПЕРБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Республика Казахстан Шымкеит 2000

Работа выполнена в Южно-Казахстанском государственном университете им. М.О.Ауезова.

Научные руководители:

член-корреспондент АН РК, доктор физико-математических наук, профессор Кальменов Т. Ш. доктор физико-математических наук Садыбеков М. А.

Официальные оппоненты:

д.ф-м.н., профессор, академик ИА РК Смагулов Ш. С. к.ф.-м.н. Шалданбаев А. Ш.

Ведущая организация:

Институт математики МО и Н РК.

Защита состоится "7 " ноября 2000 года.в 15 часов на заседании диссертационного совета ОК 14.29.13 при КЖГУ им.М.О.Ауэзова по адресу: 486050, г.Шымкент, проспект Тауке хана, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КЖГУ им.М.О.Ауэзова Автореферат разослан " £ 2000г.

Ученый секретарь __л

Диссертационного совета, ( Садыбеков

М.А.

Мб{. ¿¿е. 1/-з) оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Теория уравнений смешанного и смешанно-составного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это связано с выявлением множества прикладных задач, математическое моделирование которых обусловливает изучение различных типов уравнений в рассматриваемой области изменения независимых переменных, изучение которых представляет общий теоретический интерес.

Проблемам теории краевых задач для уравнений смешанного типа посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов.

Теория краевых задач для уравнения смешанного типа берет свое начало с работ Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля, М.А. Лаврентьева, а также А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко.

Дальнейшему развитию этой теории посвящены работы К.Фридрихса, П.Лакса-Н.Филлипса, К.Моравец, С.Агмон, Л.Ниренсберг, М. Проттер, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, М.С. Салахитдинова, Т.Д.Джураева, Т.Ш.Кальменова, М.Отелбаева, Е.И.Моисеева, С.М.Пономарева, С.М.Пулькина, А.П.Солдатова, В.Ф.Волкодавова, В.Н. Врагова, М.А.Садыбекова, М.Б.Муратбекова.

А для уравнений выше второго порядка смешанно-составного типа посвящены работы А.В.Бицадзе, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, В.И.Жегалова, А.Сопуева, М.Мамажанова, М.М.Мередова, Ф.Ш.Байгузина, Т.Ш.Кальменова.

Исследование уравнений параболо-гиперболического типа получило бурное развитие сравнительно недавно. Особый интерес эти задачи представляют в связи с их приложением к различным задачам механики и физики. Так на необходимость рассмотрения задач для параболо-гиперболического типа указано И.М.Гельфандом. Он приводит пример, связанный с движением газа в канале, окруженной пористой средой: в каначе движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Математические модели этих задач возникают и при изучении электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, при моделировании движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой.

Существенный вклад в развитие теории краевых задач для параболо-гиперболических уравнений внесли исследования М.С.Салахитдинова, Т.Д. Джураева, А.М.Нахушева, В.Н.Врагова и их учеников.

В отличие от теории разрешимости, спектральные вопросы задач для уравнений смешанного типа являются малоизученными. Здесь необходимо отметить исследования, которые внесли существенный вклад в лом

направлении. Это работы Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, С.М. Пономарева. Основная библиография по этим вопросам приведена в монографии Е.И.Моисеева.

Особое место в этой теории занимает спектральный анализ эллиптических дифференциальных операторов. Достаточно хорошо изучен спектральный анализ эллиптических операторов, получено немало фундаментальных результатов. Им посвящены труды Г.Д.Биркгофа, Д.Гильберта, Р.Куранта, Г.Карлемана, Э.Ч.Титчмарша, Л.Хермандера, В.А.Ильина, А.Г. Костюченко, Б.М.Левитана, М. Отелбаева, М.Г.Гасымова, М.Ш.Бирмана, И.С.Саргасяна, Р.Ойнарова.

Существенным является вопрос дискретности спектра для задач в неограниченных областях. Например, критерии А.М.Молчанова, который сыграл важную роль в спектральной теории эллиптических операторов.

Исследования так называемых нелокальных задач для классических и неклассических уравнений математической физики - сравнительно новое направление в теории краевых задач. Особый интерес эти задачи представляют в связи с их приложением к различным задачам механики и физики, при моделировании тепломасс обмена в капилярно-пористых средах ряда различных биологических объектов и других задач. Различные классы таких задач подробно исследованы в работах А.В.Бицадзе и А.А.Самарского,

A.А.Дезина, А.М.Нахушева, В.А.Ильина, Т.Ш. Кальменова, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, В.К.Романова, М.М. Смирнова,

B.И.Жегалова, Д.Б.Базарова, С.Н.Глазатова, А.Н.Терехова и др.

Достаточно полная библиография по этому направлению в теории краевых

задач содержится в монографии А.А.Дезина.

Настоящая работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для параболо-гипербололических уравнений второго и третьего порядков.

Цель работы — изучения корректности и спектральных свойств граничных задач для смешанных и смешанно-составных параболо-гиперболических уравнений.

Общая методика исследования. В работе применяются методы априорных оценок, метод интегральных уравнений и метод операторов типа Штурма-Л иувилля.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказана сильная разрешимость и гладкость решения нелокальной задачи для уравнения параболо-гиперболического типа в неограниченных областях и полнота ее собственных функций.

2. Установлена гладкость решения полупериодической задачи для уравнения третьего порядка смешанно-составного параболо-гиперболического типа и нормальность ее резольвенты.

3. Показана корректность краевой задачи со смещением для биволнового уравнения.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес. Они могут быть использованы в теории краевых задач для широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных, для дальнейшей разработки спектральной теории краевых задач смешанного типа, а также при изучении математических вопросов газовой динамики, магнитодинамики и других разделов механики и физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах член-корр. Н.К. Блиева, член-корр. М.О. Отелбаева, на объединенном семинаре математических кафедр ЮКГУ под руководством член-корр. Т.Ш.Кальменова и проф. М.А.Садыбекова, проф. Д.С. Джумабаева, проф. P.O. Ойнарова, проф. С.И. Темирбулатова, проф. М.Т. Дженалиева, проф. МБ. Муратбекова, а также на 1 съезде математиков Казахстана (1996г.,Шымкент), Международной научно-технической конференции (1998г.,Шымкент), Международной научной конференции (1998г.,Фергана), и на Международной научной конференции (1999г.,Алматы).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух разделов и списка использованной литературы.

Перейдем к краткому обзору содержания диссертации.

Раздел 1. О нелокальных краевых задачах смешанного типа второго порядка.

В области Q = {(f,x) еЛ 2| 0 < t < 2л, - со < х < да } рассмотрим уравнение

Lu =

д д2и

— и--г + с(х)и= f(t,x) , х>0

К ' dt^ дх2 W У '

К{х)~- -^-j + a(x)u, +с(х)м = f(t,x\ х <0 dt дх"

(0.1)

где АГ(.г) > 0.

3 а д а ч а Р. Найти решение уравнения (0.1) в области □ удовлетворяющее условиям

г<0,х) = г<2л,х), и,(0,х)= и,(2л,х). (0.2)

Предположим, что коэффициенты а(х),с(х),К(х) оператора (0.1) удовлетворяют условию:

0 К(х) еС/+1(-°°,0), а(х),с(х) еСм(-оо,оо),

|а(х)| - К(х) > 5, >0,с(х)>52 >0.

где / = 0,1,2... ,8-постоянные числа.

Через 1У2(П)- обозначим пространство Соболева со скалярным произведением (•,•),, Ж20(О) = Ь2(П), а через - подпространство

функций из IV 2 (О.), периодической по переменной /.

Функцию и еЬ2(С1) будем называть сильным решением задачи Р, если существует последовательность функций {и,,},",, еЖ22(П), удовлетворяющих краевым условиям задачи Р, такая, что {ип} и {¿г/п | сходятся в кии/

соответственно.

Теорема 1.1.1.1. Пусть при 1=0 выполнены условия ¡). Тогда для любой еЬ2(0), существует единственное сильное решение

е 1К21/у (О) задачи Р и удовлетворяет неравенству

II¿и£ >С1\{\их\2 +|М,|2 (0.3)

п

где ¿/-постоянное положительное число, с2{х)-функция зависящяя от с(х).

Следует отметить, что доказательство теоремы 1.1.1.1 непосредственно вытекает из случая / = 1 т.е.

Теорема1.1.1.2. Пусть при / = 1 выполнены условия ¡). Тогда для любой/ е^2/7(Г2), существует единственное сильное решение и е № 2п (О) задачи Р и удовлетворяет неравенству

||1и|и >¿¡(¡и^2 +|н|2 + с2(х)\г\2)с1С1, (0.3)

п

где ¿/-постоянное положительное число, с2{х)-функция зависящяя от с (х). Перепишем уравнения (0.1) в виде

¿и = К(х)^-^+а{х)и1 +с(*)к =/(/,*), (0.1')

от их

(0, х> 0, где К(х) = -I

|а:(х),Х<0.

Имеет место

Теорема 1.1.1.3. Пусть выполнены условия К(х),а(х),с(х) еС/+|(-оо,оо), |а(х)| - /ф) > 5, >0,ф:)>52 >0, где / = 2,3 ... ,5,- - постоянные числа.

Тогда для любой / е1¥2П(0), существует единственное сильное решение нб)Г2,+л'(п) задачи Р.

Рассмотрим в области О уравнение

Lu =

dt2 &

k(x)^y~ TT + 40й/ + 40M>x <0

at ox

= Xu, (0.4)

где АГ(х)>0.

Задача Pk. Найти решение уравнения (0.4) в области О удовлетворяющее условиям

ы(0,х) = и(2п,х), и,(0,х) = и,(2п,х). (0.2)

Предположим, что коэффициенты а{х),с{х),К{х) оператора (0.4) удовлетворяют условию:

10) К(х) еС'(-оо,0), а(х) еС'(-со,00), с(х)-непрерывная функция в R =(-оо,оо).

с(х)

\а(х)\ - К[х)> 5, >0, ф:)>52 > 0, ц = sup -^<со.

M<1 c(t)

Теорема 1.1.2.4. Пусть выполнены условия i0 при а(х) = а, где а-постоянное число и

x+d

11) lim jc(E)di, = со, где d > 0.

Н-со х

Тогда собственные функции задачи (0.4)-(0.2) образуют полную ортонормированную систему в

Эта теорема является непосредственным обобщением теоремы А.М.Молчанова, для оператора

Ау = -у" +q(x)y в R.

Отметим, что в неограниченной области для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа полнота корневых векторов задачи с периодическими краевыми условиями установлена в работе Т.Ш. Кальменова, М.Б. Муратбекова.

Также в ограниченной области для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа посвящена работа М.А.Садыбекова и для уравнения параболо-гиперболического типа работа А.С.Бердышева.

В подразделе 1.2 указанные выше результаты формулируются и доказываются для многомерного случая xeR".

Раздел 2 посвящен изучению нелокальных краевых задач для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка.

Подраздел 2.1. В прямоугольнике Q = {0<x<l, -1<у<1} рассматриваются уравнения

Ьи = —Ь0и + с(у)и = /(х,у) , дх

V V = - + с(у)у =^х,у) ох

где

Ь0и--

+ а(у)их + Ь{у)и ,

~ду2

е^2

-Т-Г-аО'К + , ду

32У

~—т + К(у)ухх -с^уХ +Ь(у^ { ду

у> О < О

у>0 у <0

(0.5) (0.5')

(0.6)

(0.6')

где АГОО>0.

3 а д а ч а Д. Найти решение уравнения (0.5) в области П удовлетворяющее условиям

& дх

у> О,

д дк

-г~Т^0,у) = —и(1,у), к = 0,1,2, у<0 дх схк

(0.7)

и(х, 1) = 0, фс,-1) = 0 . (0.8)

3 а д а ч а Д. Найти решение уравнения (0.5') в области П удовлетворяющее условиям

дк дк

— х{0,у) = — ^\,у), к =0,1, у>0, дхк &

(0.7')

дх

-41, у), к = 0,1,2, у<0

дхк

фс,1) = 0, фс,-1) = 0. (0.8')

Через (К2'(0) - обозначим пространство Соболева со скалярным произведением (•,•),, №2°(С2) = ¿2(С1), а через \У2П (О) - подпространство функций из 1У2'(С2), периодических по переменной х с периодом 1.

Под сильным решением задачи (0.5)-(0.8) будем понимать функцию иеЬ2(р), которая является пределом в норме ¿2(0) последовательности

функций \ик} (О), удовлетворяющих ик (х,1) = ик (х,-1) = 0 и таких, что

[Ь ик} сходится к Г в норме Ьг (ф).

Теорема 2.1.1.Пусть выполнены следующие условия К(у) е С'С-^ОХаЫ.Ь^сЫе С1 [-1,1],

|а(>>)| - К (у) > 8 > 0, а(у) < -8 < 0, Ь(у) > 8 > 0, с(у) > 8 >0, где 5-постоянное число.

1

Тогда для любой / еЬ2(П) при |/(х,у)сЬс = 0, существует единственное

0

сильное решение и е IV2 п (О) задачи Д и оно удовлетворяет неравенству

1Ь и > й \(и2хх + и\у + и\ + и; + и2 )сЮ., (0.9)

п

где с1 -постоянное положительное число.

Т е о р е м а 2.1.2. Пусть выполнены следующие условия

К(у) е С2[-ЩМуШу)с(у)£ С2[-1,1], |а(.у)| - К(у) > 5 > 0, а(у) < -5 < 0, Ь(у) > 8 > 0, с{у) > 8 >0, где 8 - постоянное число.

1

Тогда для любой / ПРИ = 0, существует единственное

о

сильное решение и е?Г22/7 (Г2) задачи Д. Перепишем уравнение (0.5) в виде

Ь и = К(у)иххх - ихуу + с{у)ихх + Ъ{у)их + с(у)и = Дх,у) , (0.5")

0, у > О,

где К (у) =

[К(у),у< 0.

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены следующие условия к(у)<у)Лу)с{у)^см[-1,1],

|а(>')| - К(у) > 5 > 0, а(у) < -8 < 0, Ь(у) > 5 > 0, с{у) > 8 >0,

1

где 1=2,3 ... .Тогда для любой / е^2'л(0) при |/(х,у)сЬс = 0, существует

о

единственное сильное решение ие1Г2'+я'(П) задачи Д. Т е о р е м а 2.1.4. Пусть выполнены следующие условия: К(у) еС/+| [-1,0], а(у), Ь{у) с{у) еСм [-1,1], |а(>>)[ - К(у) > 8 > 0, а(у) < -8 < 0, У(у) > 5 > 0, с{у) > о >0, где/ = 0,1 ,8 - постоянные числа.

Тогда для любой geWj(Q) при у)с1х = 0, существует единственное

сильное решение V еИ-'./^О) задачи Д .

Лемма 2.1.2. При выполнении условий теоремы 2.1.4 для любого еИ/2:'(С2) удовлетворяющего условиям (0.7')-(0.8') справедливо неравенство

i ¿v, 20 > а /(у,2, + ^ + v2 + v2 + , (0.9') п

где с1 -постоянное положительное число.

Через Ьд и L . обозначим замыкание в Ь2(П) соответственно

дифференциальных операторов (0.5) и (0.5') соответственно на подмножестве функций С3(О.) удовлетворяющих граничным условиям (0.7)-(0.8).

Т е о р е м а 2.1.5. Операторы Ьд и Ь . обратимы и их обратные вполне

непрерывны в Ь2(С2). Сопряженный Ь'я совпадает с Ьу.

Т е о р е м а 2.1.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, где с(у) -постоянные числа. Тогда собственные вектора задачи (0.5)-(0.8) образуют полную ортонормированную систему в ¿2(<Л). При доказательстве теоремы используется нормальность оператора Ь д.

Замечание. Результаты подраздела 1.1. можно распространить для области О = {(х,.у) 0<х < 2л,-оо <у< со}, при условии на с(у)

обеспечивающим вполне непрерывность обратного оператора 1Гд

порожденного задачей Д.

Подраздел 2.2. В области О для уравнения с гладкими коэффициентами

Ьи= - Л0и+с(х,у)и= Дх,у) , (0.10)

ох

где

82и

Ь0и =

+ а(х,у)их + Ь(х,у)и , у>0

ду

д2и

—2 + К{х,у)ихх +а(х,у)их + Ь(х,у)и ,у < 0

(0.11)

где К(х,у) > 0, рассмотрена

Задач а Е. Найти решение уравнения (0.10) в области О удовлетворяющее условиям

о

~кг<0,у) = £-к-1<\,у1 ¿=0,1, ^>0, дх дх (0Л2. р\к р\к

--к~1(0,у)= ji^y), к = 0,1,2, У<0 дхК &

г/(х,1) = 0, ф-,-1) = 0. (0.13)

В настоящем подразделе с помощью "с - регуляризации" уравнения (0.10) в

пространстве Соболева доказывается единственность сильного, существования

слабого решения задачи Е с гладкими полупериодическими коэффициентами.

Обозначим через CL -множество функций из класса неС!(Q),

удовлетворяющих условию (0.12)-(0.13).

Лемм а.2.2.1. Пусть выполнены условия

а> 50 > 0,2а + Кх -2К > 5, > 0, ахх + ЗЬГ + 2с < -52 < 0, -

вй

> 53 > 0, ах +2Ь> 54 > 0,ЬХХ + сх < -85 < 0. Тогда для всех функций и(х, у) еС, справедлива оценка

Lu ц > т\{игхх + иху + и; + и; + u2)dQ, (0.14)

п

где т > 0 константа не зависит от функции и(х,у) и 8, = const >0. Из этой леммы вытекает единственность сильного решения задачи Е. Для доказательства существования слабого решения задачи Е применяется метод " е - регуляризации ".

Рассмотрим "Регуляризованное" уравнение

Ltuc=-e&\+L«t = /, (0.15)

д2и д2и где Аи = --+—-.

дх2 ду2

Отметим, что уравнение (0.15) относится к классу так называемых уравнений эллиптического типа.

Полупериодическая задача Дирихле. Найти решение уравнения (0.15) в области Q и такое, что

нЕ(х,1) = 0, ыЕ(х,-1) = 0; (0.17)

г/,„(х,1) = 0, ксу{х,-\) = 0.

Обозначим через CL - класс функций и е С4(Q), удовлетворяющих условию (0.16)-(0.17).

Сильная разрешимость задачи (0.15)-(0.17) при каждом б > 0 общеизвестна. Аналогично лемме 2.2.1 имеет место

t = :ut{\,y), к = 0,1,2,3, ; (0.16)

Лемма 2.2.2. Пусть выполнены условия леммы 2.2.1:

а>50>0,2я + КХ-2К >5, >0,а„ + ЗЬХ +2с<-82 <0, _

Ъш +схх > 53 > 0, ах +2Ъ>Ъ4 > 0,Ь„ +сх < -Ъ5 < 0.

Тогда для любой функции щ(х,у) еСл справедлива оценка

в Q

m\\Lz4o - е

UZXXX ¡О uzxxy ||q || uzxyy

Е)

где 5, > 0, т, т0 > 0.

Функцию и(х,у) eW22;^(Q) будем называть слабым решением задачи Е, если (u,L *ф)о=(/,Ч>)0,

для любых функций ф(х,у) е С4 (Q), удовлетворяющих условиям (0.12)-(0.13) или (0.16)-(0.17), где L ' - формально сопряженный к L .

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.2.2. Тогда для всякой функции f(x,y) eL2(Q), существует слабое решение

а(х, у) efV^'nifl) задачи Е.

Подраздел 2.3. Пусть Q с: R2 -конечная область, ограниченная при у> 0 отрезками АА0,А0В0,В0В, Л =(0,0), Ло=(0,1), £0=(1,1), £=(1,0), а при у < 0 отрезками АС:х + у = 0 и ВС: х - у = 1 характеристик уравнения

д д2и

— и- -

ах Эк2

д2и д2и

дх2 ду2"

у> 0

у< 0

= /м

(0.19)

Задача 1. Найти решение уравнения (0.19), удовлетворяющее краевым условиям

= 0 (0.20)

и, ЛЛ0иЛ0й0 - "

У I А„В0 '

где 90(О = ф-^

Обозначим i2

и>.(0о(О) = аиЛ0.(О). 0</ < 1 / + 1./-1 2 ' 2 Сi -множество

9,(0 =

через

(0.21)

; а - произвольное комплексное число, функций

из

класса

и еС/(а)ПС^3>,(0+)ПС^(а_) удовлетворяющих краевым условиям (0.20) и (0.21), где ГГ =Qfl{j'>0}, £Г =ПП[у<0}.

Функцию и eI2(Q) назовем сильным решением задачи 1, если существует последовательность функции {и,,}, "„ еСд, такая, что ип и Lun сходится в L2(Q) кии/ соответственно.

Теорема 2.3.1. Для любой функции / eZ.:(Q) существует единственное сильное решение задачи 1. Это решение принадлежит классу

удовлетворяет неравенству

¡¡«¡¡^сД, т > 0 (0.22)

В подразделе 2.4. рассмотрена краевая задача со смещением для гиперболического уравнения четвертого порядка в характеристическом треугольнике.

Пусть Q с R2 - конечная область, ограниченная отрезком АВ прямой .т = у и характеристиками АС: х = 0 и ВС: у = 1 биволнового уравнения

Lu = uxxyy=f(x,y). (0.23)

3 а д а ч a S. Найти решения уравнения (0.23), удовлетворяющее краевым условиям:

и\лв = их\лв = и(0,/) = оси(Г,1), »,(0,i) = pM,(i,l), 0<i<l, (0.24) где а, Р - вещественные числа .

Задача S является естественным аналогом известной краевой задачи со смещением для волнового уравнения второго порядка в характеристическом треугольнике, исследованная в монографии A.M. Нахушева.

Функцию и е C4(Q)DC'(Q) называют регулярным решением задачи, если и обращает в тождество уравнения (0.23) и краевые условия (0.24).

Функцию и gL2(Q) называют сильным решением задачи S, если существует последовательность функций ип е И'24 (Q), удовлетворяющих краевым условиям задачи S такая, что {нл} и {-£»„} сходятся в ¿2(0) соответственно к и и /.

Теорема 2.4.1. (а) Пусть а Ф -1 и и выполнено одно из

следующих условий: ар>0 или а = 0 и Р = 0. Тогда для любой / e£2(Q) существует единственное сильное решение и задачи S. Это решение принадлежит классу и gC'(q) П (F22(П) и удовлетворяет неравенству:

Mri(n,*l/Ur (0'25)

(б) Если а^0 и Р*0 и выполнено одно из следующих условий: а>1 и -1<Р<0 или а<0 кроме а*-1 и Р>0 или 0<а<1 и Р<-1, то для

любого / еС3(<Г2) решение задачи Б единственно и существует такая функция g е/,2(о), что регулярное решение задачи Б существует если и только если:

(в) Если 0<а < 1 и -1 < Р < О или а > 1 и Р <-1, то для любого / еС3(0)

при /(х,-Ь) = 0 и /(-Ь,у) = 0, где Ь =—-— регулярное решение задачи Б 4 ' v ' Р-а

существует и единственно.

(г)Еслиа = 0и -1<р<0 или а = -1 и для любых р кроме р ф 0, то для

любого / еС3(Г2) регулярное решение задачи 8 существует, единственно и удовлетворяет неравенству:

ии^ии- (°-26)

В заключение автор выражает глубокую благодарность научным руководителям член-корресспонденту НАН РК, доктору физико-математических наук, профессору Т.Ш.Кальменову и доктору физико-математических наук, М.А.Садыбекову за постановку задач и всестороннюю помощь в работе.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Усипбаев A.A. Критерий корректности нелокальной задачи со смещением для биволнового уравнения // 1-съезд матем. Казахстана,- Шымкент, 1996.-С.159-161.

2. Усипбаев A.A. Краевая задача со смещением для гиперболического уравнения четвертого порядка // Наука и образование Южного Казахстана.-1997.-№б.-С.150-156.

3. Усипбаев A.A. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения четвертого порядка в области с отходом от характеристики // Наука и образование Южного Казахстана.-1997,- №6.-С.175-177.

4. Усипбаев A.A. КальменовТ.Ш. О нормальности одного дифференциаль-ного оператора третьего порядка составного типа // Труды междун.-техн. конф,-Шымкент,-1998.-Т 1. -С.42-43.

5. Усипбаев A.A. КальменовТ.Ш. О корректности одного дифференциального оператора третьего порядка составного типа // Тезисы докладов междун .научн. конф.-Фергана, 1998.-С.17-18.

6. Усипбаев A.A. КальменовТ.Ш. Критерий вполне непрерывности одного гиперболо- параболического оператора // Материалы междун.-научн. практ. конф. - Алматы, 1999.-С.233-234.

7. Усипбаев A.A. КальменовТ.Ш. Об однозначной разрешимости одного дифференциального оператора третьего порядка составного типа // Наука и образование,- 1999,- № 7,- С. 48-51.

8. Усипбаев A.A. КальменовТ.Ш. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения второго порядка // Вестник Министерства науки и высшего образования PK, Национальной академии наук PK.- 1999.-№ 6.-С.34-39.

Устбаев 9м1рбек Эстбекулы

Парабола-гиперболалык, тецдеудщ б1р классы ушын аймак,тык, емес шекаралык, есептер

01.01.02 - дифференциалдык, тендеулер

Жумыста аралас жэне курама-аралас парабола-гиперболалык, тендеулердщ шекаралык, есептер^н бар болуы жэне спектрлк к,асиеттер1 к,арастырылган.

1. Парабола-гиперболалык; тип-п шектелмеген аймак,тагы тендеу ушЫ кушл шешу1, шешушщ узд^аздю сонымен к,атар бул тендеудщ меншкл функцинарынын толык,тыгы дэлелденген.

2. Уоинш1 регп к,урама-аралас парабола-гиперболалык, тендеулер уцлн жартылай периодты есептщ уздказ шешу1 жэне резольвентен калыптылыгы керсеттген.

3. К.ОСТОЛК.ЫНДЫК, тецдеу1 уипн ыгысу жол есеб1 бар болуы керсеттген.

Usipbaev Amirbek Asilbekovich Nonlocal sums for one group of parabolic-hiperbolic equations. 01.01.02,- differential equations.

Dissertation is presented for the scientific degree of physical and mathematical sciences.

The this research work is studied the correctness and spectral manners of border sums for mixed-compound parabolic-hiperbolic equations.

1. Strong solutiling and smoothness of solution nonlocal sums for parabolic-hyperbolic type in unlimited areas and completeness of its functions

are proved.

2. Smoothness of solution half semi (or periodical) sums for the third order equation of mixed - compound parabolic-hyperbolic type, and in particular the normality of its resolvent is stated.

3. Correctness of border (edge) sums with removal for the biwave equation is shown.