О неограниченных решениях квазилинейных вырождающихся параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб Р

- 2 ОПТ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛШИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕЕОЛЕЦЩ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.ВЛОШНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.956

КОСЫГИНА ЕЛЕНА РЭМОВНА

О НЕОГРАНИЧЕННЫХ РШШИЯХ КВАЗМШЕЙНЬЙ ВЫРОДЦМШХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертанта на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре днфференпиальгшх уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета .-имени М.Б.Ломоносова.

Научнкй руководитель: кандидат физико-математических наук, допент А.С.Калашников.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.ДуОинсмй;

кандидат фвзижо-матекатических наук, допент В.Н.Сатхин.

Ведущая организация: Институт прикладной математики имени М.В.Келдша РАН.

Защита состоится рытщ орэ^ 1995 года б

16 час. 05 шн. на заседании Специализированного совета Д. 053.05.04 при Московском государственном университете имени М.Е.Ломоносова по адресу:

119899, Мэсква, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертапией мояно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / 14 этаж /.

Автореферат разослан " " С&ШП-Я&р^ 1995 года.

\

Ученый секретарь Специализированного 'совета Д.053.05.04 при МГУ профессор

Т.П.Лукаиенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации изучается задача Коши в классах неотрицательных; растущих на бесконечности шш вблизи начальной гиперплоскости функций для квазилинейных урашений вида

Cz,i)& Srr-/f«(or)i 0< Т^ /1/

где функция у удовлетворяет следующим условиям:

(f£ С %+*>)) fi С Yfo, Уау-0 при S>Oi L=OJ ; у>'(о)ъ о ; /и/ dr

J ^7) ЛГ /А2/

ум

Ввиду условия /А1/ уравнение /1/ является параболическим уравнением второго порядка при и у О • При и = о оно может вырождаться в уравнение первого порядка. Принято говорить, что /1/ -5еявно вырождавшееся параболическое уравнение.

Актуальность темы. Уравнения вида /1/ при предположениях 'А1/, /А2/ возникают во многих прикладных задачах'. Такие уравне-ш. описывают нестационарное течение снимаемой жидкости в порис-ой среде /фильтрацию/, диффузию газа,- коэффициент которой зави-ит от концентрации, обтекание твердого тела вязкой жидкостью пограничный слой/, распространение тепла в среде с большими пэ-епадами температуры, динамику биологических популяпий, турбулент-че процессы в атмосфере и океане. Ссылки на соответствующую ли-зрагуру можно найти, например, в обзоре [lj, с. 136-138.

Важным частным случаем /1/ служит уравнение ньютоновской )литропической фильтрации

.] Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелиней-[х вырождающихся параболических уравнений второго .порядка // И. 1987. Т. 42, ВЫП-. -2. С. 135-176.

Ut ~A^(/U.t""1u.) , m (Л, 6)& , /2/

Функши /S(a's (m>i) , очевидно, удовлетворяет условиям /kl/, /¿2/.

Свойства решений неявно выровдапцихся уравнений вида /1/ могут сильно отливаться от свойств репзлий равномерно параболических уравнений. Так, в работах ¿2], [з] показано, что /2/ обла дает следукщш семейством автомодельных решений:

< п -азе/zv\-i/i»>i-«)/3/

s (-Ut)"5^ k-(2mA/) )+

где К>0( , z-ё- lki^ - произвольные параметры, ^-(т-\ -т2/л/) ; ае K'izo, = oi • Из формулы /3/ следует, что в отличие

от решений линейного уравнения теплопроводности функции Y.fx-a (-c-it j к ) , во-первых, не шеиг предписываемой соответствующим уравнением гладкости в -S«> '. Во-вторых, для любых

О фувшш Yja-x/UC, h )' финитны по ос . Это свидетельствует о ток, что уравнение /2/ описывает пропессы с конечной скоростью распространения возмущений.

Физически мотивированные классы ограниченных обобщенных решений задай Копш и основных краевых задач для уравнения /1/ и некоторых его обобщений были введены в работах jVJ, [5]. В них

[2] Зельдович Я JB., Компанеец A.C. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб., посвящ. 70-летию акад. А. Ф.Иоффе. 13.: изд-во АН СССР, 1950. С. 61-71.

[3] Баренйлатт Г.И. .0 некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде//-ПШ.1952.Т. 16,№ 1. С.' 67-78.

Олейяик O.A. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации // ДАН СССР. 1957. Т. 113, № 6. С. 1210-1213.

доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений из введенных классов, различные варианты лришшза максимума, а также теоремы о наличии конечной скорости распространения возмущений.

В последующие десятилетия эти исследования были продолжены многими авторами, получившими новые результаты для- нелинейных неявно вырождающихся параболических уравнений различных видов. /Библиографию см., например, в обзорах Ы , [б], [?], [в]./

Около 40 лет назад в работе [э] было построено семейство автомодельных решений уравнения /2/, определенных в 5 гг. , где

[_5] Олейник O.A., Калашников A.C., Чкоу КЭлинь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв.АН СССР. Сер. матем. 195В. Т. 22, № 5. С." 567-704. [_&] Дубинский Ю.А. Нелинейные параболические уравнения высокого порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.' Новейшие достижения. Т. 37. М.: изд-во ВИНИТИ, 1990. С.89-166. [7]Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.

нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956. Т. 20, & 6. С. 761-763.

[Ю] Be'rúQm Ph.,Croupe Н.6.,Pierre. К. SoßA'ons o^ iHe por.oua medium e^utxiwn. ander optima? conditíons on iniiia£ vadueS, // Indiana: (WWafckJ- «M- V.33, mí. Р.Я-5Г*.

TV+oo , и не принадлежащих ни одному из пространств Т€(оТ ) » pít^.'t00! • Эти решения задаются формулой

21. М.: изд-во БИНШИ, 1983. С. 130-264,-

L8] Áronsoa D.G- The porous medium, е^цеЬ'окь /bect./Votes

fíbtíi. W. V. \12Ч. Р. \-hQ-

\9] Баренблатт Г.И. Об автомодельных решениях задачи Коши для

oi^j-'Y+fi-^T-t^Os

-(T-.ty C/n-0*ia-x.l CT-t) . 4-..HJ + /V

где Нб^Т^О, a 6 iR. _ произвольные параметры, Х-(«м-2/

IR^. i cT • Очевидно, что слЦ■{.)—»при /если -te Со,Т") фиксировано/, а также при -¿-»V- /если зафиксировано/.

Неограниченные решения с указанным поведением представляют интерес для теории и приложений. Такие решения для различных нелинейных вырождающихся параболических уравнений изучались многими авторами. Наиболее сильные результаты о разрешимости задачи Коши в классах растущих фукший получены для уравнения /2/ /см. и имеющиеся там ссшпш/. Задача Коша для уравнения /1/ с нестепенной нелинейностью у и растущими на бесконечности начальными данными при рассматривалась в работах [l3] , [14]. Многомерный случай при уел

[ill Aronson О £.,Co&a.re<!£i LA-The inihctl -brace, a-rbotuA\o*. 4 "the porous ¡medium. e^w.CLtioivyjran'j. &mef. ' (По&1. Soe. WS 3 - V. X80, H . P- 3S1 - 3G6 -[12] ОйАеёега 5-fc-JC.t. Mfeafe Rations o-f l/ie forces

medium- . 19«. -

[13^ Калашников A..C. Задача Коши в классах растущих функций для уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., мах. 1963, № 6. С. 17-27.

[14] Гладков А.Л. О разрешимости задачи Коши с произвольно раез щей на бесконечности начальной функцией для некоторых вырокдата ся квазилинейных параболических уравнений // Диффер. уравн. 19i Г. 27, И 2. С. 243-250.

вии, что с^ допускает степенные опенки сверху и снизу ка положительной полуоси, исследовался в 15 . Отметим, что условия /А1/, /А2/ значительно шире, поскольку им удовлетворяют функции как произвольно' быстрого роста на бесконечности, так и сублинейные.

В главе 1 диссертации содержатся новые результаты об обобщенной разрешимости задачи Конш в классах растущих функций для уравнения /1/ с нестепенной нелинейностью. /Определение обобщенного решения этой задачи приведено в разделе "Содержание диссертации"./

Как отмечалось выше, многие свойства решений нелинейных вырождающихся параболических уравнений были впервые обнаружены на примерах явных частных решений таких уравнений. Эти решения также широко используются в качестве фушший сравнения при изучении начально-краевых задач. Для уравнения /2/ несколькими авторами /см., например, [16-202 / рассматривались неавтомодельные анизотропные по пространственным переменным явные решения. Каждое из них может быть записано в следующем виде:

А/с ГО-А")

[l5J DaJi££enj С-Е. Aion-ne^aiiic Sofotioas г^ genera-

Hied porous rmclium, -e^uaiion- // Reix. Pbi. 18гсойтепсапа.. . V, ¿lA,3. P. ¿GT-30S".

[16] Титов С.С. О решениях нелинейных уравнений в частных производных в виде многочленов по одной из переменных // Числ. методы мех.. сплош. среды. 1977. Т. 8, М. С. 144-149.

[17] Gafofetio-nof V.A. Iivwtriarvt sug&p&ces and. пен? explicit bdudiovib io e<bcCu.iion. efuahcnb и/i-tk ^tiadrahe ncnVinearities, // Univ. oi Bnsio£.Scftoot о] ГЫМ. Report Ш-

Lie] King J.R. Exaci 1пи€Шшелыоий£ sotcdiom -in bo(ne nonlinear elusion, e^icttcai / fiuft rl-J. mech .<2pp? Wdh. 1^3. VM,'?. > JW343&

5

где - симметричная матричная функция, Bfi)~ вектор-функ-

пия, eft)— скалярная функция. Класс всех обобщенных решений уравнения /2/,. которые при t ^о имеют,-вид /5/, будем обозначать через "^щл/ . Очевидно, что в "^чпл/ содержатся все обобщенные

решения уравнения /2/ с .начальными условиям^

■ 4 /6/

где Нх) - произвольный многочлен степени не выше 2. Кроме того, в ^(-mrJ имеются сингулярные решения,. неограниченные вблизи начальной гиперплоскости. Простейшим примером сингулярного решения уравнения /2/ служит функция /3/, где С-о

В главе ~2 найдены и подробно исследованы все обобщенные решения из l^ntS • В частности, получены сивгуляные решения, носители которых при t-О имеют ненулевую размерность и даже могут быть неограниченными. Эти решения оказываются полезными, например, в задачах о распространении возмущений от нелокальных источников, не обладающих'-ни сферической, ни "какой-либо другой симметрией. Одна из таких задач, поставленная В.В.Духначевы-н, рассмотрена в главе 3.

Цель -работы. Целью настоящей диссертации является исследование растущих на бесконечности или вблизи начальной гиперплоскости решений квазилинейных неявно вырождавшихся параболических уравнений.

Методы исследования. В диссертации используются методы тео-

Ll9] Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений многомерного квазилинейного уравнения теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1993. Т. 33, К 8. С. 1228-1239^

[20^ Лухнаяев В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. мех. и техн. физ. 1994.

S

рии линейных и квазилинейных уравнений о частными производными /метод Хольмгрена, различные варианты теорем сравнения обобщенных решений параболических уравнений/, а также методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна. 1. Получены новые , результаты о разрешимости задачи Коши в классах растущих функций для уравнения /1/ с нестепенной нелинейностью. 2. Полностью исследован класс явных обобщенных решений уравнения /2/ , имеющих при "Ь>0 вид /5/: приведены формулы для всех обобщенных решений из ^тлУ , описаны носители этих решений и их динамика, найден явный вид следов сингулярных решений на начальной гиперплоскости. 3. Для уравнения /2/ с двумя пространственными переменными изучена интересовавшая механиков задача об описании эволюции носителя обобщенного решения, сосредоточенного в начальный момент внутри некоторого угла.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными, производными, механики сплошных сред, математической биофизики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых МГУ "Современные проблемы математики и механики", посвященной 90-летию со дня рождения акад. А.Н.Колмогорова /апрель 1993 г./, на совместных заседаниях семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества /январь 1994 г./

Публикации. По теме диссертация опубликовано 4 научных работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура ваботы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на 15 параграфов, снабжена оглавлением и общим списком литературы, содержащим 95 наименований. В тексте помещено 5 рисунков. Объем диссертации - 89 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с тегдай диссертации, приведены определения, постановки изучаемых в диссертации задач и основные результаты.

Определение 1. Обобщенным решением уравнения /1/ в S у1 . + , назовем неотрицательную п.в. в функцию U.C-

toc. ^ t ^ ' уда^16130?™^ уравнению /1/

в ......

Определение 2. Обобщенным решением задачи Копш для уравнения /1/ с начальным условием

4t=0=UD " /7/

где и.0 - неотрицательная обобщенная функция первого порядка сингулэдности /то есть линейный непрерывный функционал на пространстве C0(K.W} , принимающий неотрицательные значения назшожест-ве всех неотрицательных функций/, назовем обобщенное решение уравнения /1/ такое, что при -t в

Определение 3. Будем говорить, что обобщенное решение задачи ' /1/, /7/ разрушается в момент времени Т , если для некоторого

Я>0

Здесь = |х | <R?j .

В главе 1 доказываются теоремы существования обобщенного -решения задачи /1/, /7/ с неотрицательной локально ограниченной начальной функцией при предположениях /А1/, /12/. /Некоторые другие технические условия см. в формулировках теорем./ Приводятся оценки снизу для времени существования обобщенного решения в зависимости от ^ Но, А/ • Условия нарост U0(x) при lai —

налагаемые в этих теоремах, вообще говоря, неулучшаемы, что иллюстрируется примерами в §1.5. При дополнительном предположении о выпуклости функции у доказывается единственность полученного обобщенного решения в соответствующем классе растущих функпий. Основные результаты главы 1 сформулированы ниже в теоремах 1-4. Введем обозначения

> = U ¿^ ■ sap

Теорема 1. Пусть выполнены следующие предположения: а/ ^ (S ) удовлетворяет условию /А1/, ^'(s} > о при S > S 0 ,

\>-à° ; б/и^еЬ^а^) , w0 О почти всюду и

û. е isW*)) ^ г .

{im, ess Suf--— = 6Л .

+ f IX! ^ J

Положим , еслиб^О ; -х оо , если

6А -=. о . Тогда в 5гп существует обобщенное решение задачи /1/, /7/ такое, что

у(^-Ц) 1Г /8/

при каждом ^¿(с^Тл,} .

Из неравенства >о / Ъ ^ / следует, что

удовлетворяет условию /А2/.

Теорема'2. Пусть выполнены следующие предположения: а/ ЦСЭ) удовлетворяет условиям /А1/, /А2/ и уч<+/» ; " б/ , "о > О почти всюду и

^Гт. -е^ 'зяср

Доложим Т^ Л/^ > если б^УО , если

~ С? . Тогда для любого Т< Т*. в 5 ^ существует обобщен-

9

ное решение задачи А/, /7/, такое что

при кагдом

Ъе (о , Т) .

Замечание 1. Выражения для Ч^ , .Тз. в теоремах 1, 2 всегда имеют смысл,' так как при выполнении условий этих теорем ■ \ Л соответственно.

Теорема 3. Предположим, что выполнены условия а/, б/ теоремы 1. Пусть. иДтД) , иХзтД) - обобщенные решения задачи А/, /7/, определенные в $>т , (Т1> О , и удовлетворяющие /8/ при каждом -0£(о,т) ♦ Тогда и.(огД")- "о-(рс для почти всех х и любого Ь&Со,7^1,) .

Теорема 4. Цредполониы, что выполнены условия а/, б/ теоремы 2 и <з'($)>0 при 5 Пусть

обобщенные решения задачи А/, /7/, определенные в Б^ , ^ >0 , и удовлетворяющие /Э/ при каждсм Т^Со/Т) . Тогда Ц

для почти всех Х£ Ц^ и любого "Ьб- (оД1) •

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 4. Тогда обобщенное решение задачи А/, /7/ определено во всем $ тр^ и удовлетворяет /9/ цри каждом X £ (.О/Гз.) .

В главе 2 изучаются обобщенные решения уравнения /2/ из класса "З^глл/ /см- /5//: .приводятся точные формулы для всех решений из , описываются носители этих решений и их дина-

мика, находится явный вид следов сингулярных решений на начальной гиперплоскости. Чтобы'не загромождать изложение, укажем здесь распределение содержания главы 2 по параграфам и приведем один из результатов в простейшем случае А/= 2- . . Этот результат -используется в дальнейшем при доказательстве теорем главы 3.

Глава 2 состоит из семи параграфов. В.§ 2.1 содержатся по-

становка задач и сведение их к задачам Коши для систем обыкновенных дифреренпиальных уравнений. В § 2.2 строятся решения этих систем и исследуется поведение полученных решений при "t , близ-.ких к моменту разрушения /если оно происходит/, либо при .

§ 2.3 посвящен неограниченным при "t -">0 + решениям систем из § 2.1. В § 2.4 приводятся теоремы о свойствах обобщенных решений задач /2/, /6/. В § 2.5 по неограниченным при -Ь->0+ решениям систем из § 2.1 строятся сингулярные обобщенные решения уравнения /2/ и изучаются порождаемые ими меры /следа/ при . В § 2.6

более подробно анализируется случай Л/ — ¡L- и иллюстрируется динамика носителей обобщенных решений. Вспомогательные утверядения вынесены в § 2.7.

Пусть . Положим

„ чЛ/СГП-4)

UU,-t, А)- (

Здесь

Д> О - параметр, а {j = ^^t, АХ О задается соотношением "Ь^ AMX(Cj(-b, А^) , где

I^-WVmH^lsr^^sr^^S . ' /ю/ •

— оо

Теорема 5. функция

является обобщенным решением уравнения /2/ в , где Т(А)= А""41(о^+°<»/ см. /10//, и

обладает следующими свойствами:

i/sapp А)- : fe,| s. \gft,AM~V2IXiI i

для любого.

2/ТДз,1,А) при -ЬТ(А)- равномерно по оса. для лю-

бого Oft") , где cq^o , щэичем'

ЪЪ^АУСЫШУ^™^ при -L-T(A) ;

3/ для любой фшагной фушшт I2Z) существует

»<f J

■ • - • . —^ где Б (', * ) - бета-функция. .

В главе 3 рассматривается задача /2/, /7/ при /V = S_ и начальной функции Ц0(х ) , обращающейся в нуль в некотором угле величины

Ос) • Изучается следующий вопрос: существует ли такое > о > что обобщенное решение этой задачи, определено в Sqi для некоторого "Ьо и положительно при всех

Обозначим через ) / / угол величины

на плоскости с вершиной в точке

2 биссектрисой = R2-з:, эс:-0 Ъ

/соответственно : О"5

Основные предположения о функции u. 0 : /Н1/ Uo^o^pecm2), víu^jé-UTocCR^j "

/В2/ U0(*H Мл(лч\:#)лЛп|"0) МЛ>0 - постоянная; /НЗ/ «otxbo в ÍX (о, Q )

при некотором

Иногда /Н2/ заменяется более сильным требованием

/Н2? U.CX) - при .

Теорема 6. Пусть и о удовлетворяет условиям /Н1/, /Е/, /НЗ/. Тогда для любых t^o , ¿é(Ojí^) найдется такое

[о^ц-ро^) , что обобщенное решение задачи /2/, /7/

обращается в нуль в Ъ-Л^, 8- ) при всех "Ы Fo/tl .

Теорема 7. Пусть и.с удовлетворяет условиям /Н1/, /НЗ/ при некотором

и является однородной функцией сте-

пени ¿/Ст-и) . Тогда обобщенное решение ) задачи/2/,

/7/, определенное в . 0<тТ,< + схэ , при всех

обращается в нуль в 0+(о, , если £?>£/.£ , и на

если

..Теорема 8. Пусть , М<>0 -фиксированы. Тогда

каЧдется такая функция , удовлетворяющая условиям /Н1/-

/НЗ/, что обобщенное решение И- (.1, ) задачи /2/, /7/ определено в Бгр , 0<Т< + ро , и иСос^^О для всех 1)6 е (Т-£ Т ) при некотором ££(0/^) .

Автор глубоко признателен своему научному руководителю А.С.Калашников за постоянное внимание к работе и киогочислен-ныэ обсуждения, способствовавшие ее улучшению.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Косыгина Е.?. О разрешимости задачи Коши в классах растущих функций для уравнений типа нестационарной фильтрации // Рукопись цел. в ВИНИТИ й 1409-В94 от 08.05.94, 18 стр.

2. Косыгина Е.Р. О разрешимости•задачи Коши в классах растущих пуншей для некоторых нелинейных вщождающихся параболических урав-яений // УМН. 1994. Т. 49, вып. 4. С.98~93.

3. Косыгина Е.Р. Об анизотропных точных решениях многомерного уравнения нестационарной фильтрации // ЕВМ и МФ. 1995. Т. 35, $2. .

3. 2.4*-259.

1. Косыгина Е.Р. К вопросу о распространении возмущений в дву-лерных пористых средах // Вестник ШТ. Сер. матем., мех. 1995,

. с.зь-^о!