О положительных решениях нелинейных эллиптических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ п.м. М.В.ЛОМОНОСОВА

РГб ОД

На правах рукописи УДК 517.957

НГУЕН МАНЬ ХУНГ

О ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фпопко-математическпх наук

Москва — 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Дубннский

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник Г.А.Иоспфьян

Ведущая организация Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН.

Защита диссертации состоится 1994г. в 16 час. 05

мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.1624.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан

^Ч^-^Л 1994г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор Т.П.Лукашеико

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Один из важнейших вопросов, изучаемых d теории нелинейных эллиптических уравнении второго порядка является вопрос о существовании нлп несуществованин положительных (неотрицательных) решений и об их асимптотических свойствах в областях различной структуры. Эти проблемы встречаются во многих задачах математической физики и рпмановой геометрии [lj,[2].

Такие вопросы являются содержательными и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейные задачи исследовались еще в классических работах Штурма и Лиувилля. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений имеется в монографии И.Т.Кигурадзе, Т.А.Чантурпя [3].

Уравнения с частными производными исследовались в работах С.И.Похожаева [4],[5], Бандл и Ессена [1], В.А.Кондратьева и О.А.О-

[1] С.Bandle, M.Essen. On positive solutional of Emden equations in conelike domains. Arch.Ratioual.Mech.Anal. 112 (1990), 319-338.

[2] Ni W-M. On the elliptic equation Au + Л'и(п42>/(п~2), its generalizations and applications in geometry. Indiana Univ.Math.J. 1982, v.31, №4, 493-529.

[3] И.Т.Кигурадзе, Т.А.Чантурпя. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.Наука, 1990.

[4] С.И.Похожаев. О собственных функциях уравнения Аи + Х/(и) = 0, ДАН.СССР.1965, т. 165, №1, 36-39.

[5] С.И.Похожаев. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности. Мат.сб.1991, т.182, №4, 467-489.

ленник [6], Гпдаса и Спрука [7].

Случал ограниченной области Л 6 Hn, п > 2, рассматривался С.И.Похожаевым [4]. Им установлено существование положительного решения уравнения

Ди + aolur1 гх = 0, a0 = const >0, р = const > 1 (1)

в Л, удовлетворяющего условию и = 0 на ЗП при р < р, = Если р > р, II область П выпуклая, то такт? решении не существует. Доказательство Похожаева основано на доказанном им тождестве, которое имеет много применений.

В важной работе [7] Пгдас и Спрук рассматривали уравнение (1) в HI". Доказано, что при р < р. это уравнение не может иметь положительных решений. При р > р. С.И.Похожаев [5] рассматривал более общее уравнение

Ди + lu^u = /(х), р = const > 1 (2)

Похожаев установил условия существования неотрицательного решения и(х) уравнения (2), а также его асимптотику при х —♦ со.

Наиболее близкой к нашей работе является работа Бандл и Ессена [G], в которой рассматривалось уравнение (1) в конической области. В

[6] V.A.lvondratiev, O.A.Oleinik. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff.Eqs. Vol.6, №1 (1993),.10-16.

[7] B.Gidas, J.Spruck. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations. Coinm.Puie.Appl.Math., 1981, v.34, №4, 525598.

статье Бандя и Есссна научается уравнение несколько более общего впда, чем (1), а именно

Д и + г'и" = 0 (3)

где а = const, р = const > 1, г = х?

Это уравнение называется обобщенным уравнением Эмдена. Его решения рассматриваются в конусе К — такое множество в И", что еслп х 6 Л* н Л = const > 0, то Arc £ К. Обозначим через К' пересечение Л" п единичной сферы. В работе [1] предполагается, что дК' — поверхность класса С2. Рассматриваются решения уравнения (3) в К, такие, что

и —0 на аЛ'\{ 0} (4)

Банд л п Ессен рассматривают классические решения задачи (3) ,(4) такие, что и G С7(Л')ПС°(Л'\{0}). Такие решения могут иметь особенности при 1 = 0. Известно, что при некоторых значениях р положительные классические решения существуют.

Цель работы. Исследование вопросов о положительных решениях нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях или в областях, которые являются внешностями компактов.

Научная новизна. В диссертации устаноолены условия существования положительных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях или в областях, которые являются внешностями компактов. Получены такие результаты для задачи Неймана для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка п

конических областях. Установленные оценки являются точными.

Методы исследования. В диссертации используются результаты теории линейных эллиптических уравнений в негладких областях [8], обобщенный пршщпп максимума (минимума) в неограниченных областях, а также результаты о фундаментальных решениях линейных эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами [9].

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных дифференциальных уравнении. Они могут быть также использоваться в задачах физики и дифференциальной геометрии.

Аппро бацля диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре механико-математического факультета МГУ по уравнениям с частными производными под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е.М.Ландпса.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит по введения, трех глав, разбитых на б параграфов, и списка литературы, содержащего 26 наименований. Общий объем диссертации 102 страниц.

[8] В.А.Кондратьев. Краевые задачи Оля эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды Моск. Мат. общ., т.16, 1967, 209-292.

[9] У.Япттман, Г.Стампакья, Г.Ф.Вейнбергер. Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. Мат. сб., перев., 1965, 9.2, 72-97.

Обозначения. Через конус К обозначается множество типа

К = {(г, и>): о < г < +оо,ы 6 К'}

где К' — область, принадлежащая едпшпноп сфере в И"; (г, и) сферические координаты с центром х — 0. Пусть

где А)(А'') — наименьшее собственное значение следующей задачи:

ДиФ + АФ = О в К' Ф = 0 на дК'

Дм — оператор Бельтрами-Лапласа. Через Ед обозначается множество

= {х € К.",*» > 2: \х\ > Д}, Д>0

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦШ1

Во введенпп показана актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов по этой теме, формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе доказывается несуществование положительных решении следующего нелинейного эллиптического уравнения

£ + "^Н"-1" = 0 в Бл> (5)

где р > 1, ao(z) — измеримая функция в Ед, а;;(х) — измеримые функции, удовлетворяющие условиям

£ > (J.|2, х € Ед, £ е IT, (х > 0.

;j=i

Основные результаты главы I содержатся в следующих теоремах. Теорема 1. Пусть а + 2 + (2 - л)(р - 1) > 0, п > 2, а0(х) > С\х\', где С — положительная константа. Тогда всякое решение уравнения (5) меняет знак в Ед.

Теорема 2. Пусть п = 2, а0(х) > С|х|*, С = const > 0, а > -2. Тогда для всех р > 1 уравнение (5) не имеет положительных решении в ЕЛ-

В случае а;;- = в области Ел» уравнение (5) имеет положительное решение при а > -2, а + 2 + (2 - п)(р - 1) < 0, п > 2, т.е. оценка в теореме 1.1 является тонной.

В §1 главы II рассматривается влияние коэффициентов при младших производных на отсутствие положительных решении.

п ди

Ли + z + г'и" = 0 вК (б)

где а е JR., р > 1, г = (E"=i Х()1| а,(х) — непрерывные функции в конусе К. Получены следующие результаты:

I о

Теорема 3. Пусть .1 < р < 1 — ^ (JC'y кР0Ме того коэффициенты а,(х) удовлетворяют условиям

И1)! < ГТШ' i = h^---,n,xeKn{\x\>p}

где С, е, р — положительные констапты. Тогда уравнение (6) не имеет положительных решений в хопусе К.

Теорема 4. Пусть а,(а:) удовлетворяют условиям р|

где С, е, 6 — положительные константы. Тогда если 1 < р < 1 —7^-гг,

7+(Л )

то не существует положительных решений уравнения (С) в конусе К. В частном случае, когда о,-(а:) = 0 в А', г = 1,2,..., тг и

1 < р < р* = max

1 т_(Я')* 7+(Л'')1

□сякое решение уравнения (б) меняет знак в конусе К. В §2 главы II изучается уравнение

До + г'ит = 0 в К (7)

где а = const, р > 1. Доказана следующая теорема

Теорема 5. Пусть граница дК' класса С2, кроме того

f, а+ 2 <7 + 2 1 1<р<р=ша*{1-_,1-_|

Гогда уравнение (7) не пмеет положительных решений, принадлежащих слассу Сг(Л") ПС^Л'^О}).

Оценка в этой теореме является точной. В случаях р > р' при г = 2,3 или р' < р < ^ при п > 3 существует положительное решение сравнения (7).

В третьей главе рассматривается задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений в конусе К, а именно

Ди + г"ир = 0 в Л' (8)

л

— = 0 на ЭК (9)

01/

где а 6 И, р > 1, у — внешняя нормаль к границе дК, дК € С1. Получены следующие результаты:

Теорема С. Пусть о > —2 и 1 <"р < +оо при п = 2 или

1 < р < р" = при п > 2.

и — 2

Тогда задача (8),(9) не имеет положительных решений в конусе К.

Теорема 7. Пусть о < —2 Тогда для всех р > 1 не существует положительных решений задачи (8), (9) в конусе К.

Оценка в теореме 7 точна. Если р > р'*, о > —2, п > 2 то задача (8),(9) имеет положительное решение в виде

-Щи — С - Т

где с = с(<т,р) — положительная константа, зависящая только от а и р.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Александровичу Кондратьеву, за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

Список работ ав'гора по теме диссертации

1. Нгуен Мань Хунг. О положительных решениях нелинейных элли-

птических уравнений в конических областях. Вестник МГУ, сер.1, мат.мех., 1995, №2.

2. Нгуен Мань Хунг. Об отсутствии положительных решений нели-

нейных эллиптических уравнений в конических областях. Рукопись деп., в ВИНИТИ РАН., 1994, 2306-В94.