О построении базиса для решений уравнения ∆U+l2 ( φ )U = 0 и его приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Построение системы решений уравнения

А U + е1^ U = 0, обладающей базисными свойствами на окружности.

§ 1. Построение функций U ^.

§ 2. Необходимые сведения из функционального анализа.

§ 3. Теорема о базисности системы функций и 1 на окружности.

Глава 11. Построение системы решений уравнения

AU + el4>U = О , обладающей базисными свойствами на границе кольца.

§4. О функциях U 1.

§ 5. Построение функций U j.<.

§6. Дополнительные сведения из функционального анализа.

§ 7. Построение системы решений уравнения

AU + ei(pU = 0.

Глава III. Построение системы решений уравнения обладающей базисными свойствами на границе кольца.

§ 8. Построение функций U nU

§ 9. Оценки для функций U и U

§10. Базисные свойства систем функций и И и~ на окружности

§11. Построение системы решений уравнения

Л^ + /2(ф>У = 0.

Глава IV. Модифицированный метод разделения переменных

§12. О задаче Дирихле для уравнения AU = 0.

10

Краевые эллиптические задачи в областях с коническими граничными точками изучались многими авторами (см., например, [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] ). В этих работах доказаны теоремы о представлении решения вблизи конической точки в виде суммы некоторых функций, одни из которых являются полиномами, а другие - линейными комбинациями произведений вида ^(ф),где р, ф — компоненты сферической системы координат. При этом всегда можно указать конечное число таких комбинаций, которые нужно исключить, чтобы добиться требуемой гладкости. Подобные методы исследования применялись также в областях с особенностями вблизи ребер (см. [4],[5],[6],[7]).

В настоящей работе рассматривается одно из самых простых уравнении такого типа, а именно уравнение на плоскости. Однако в этом случае удается получить более сильные результаты. Построена специальная система решений в виде рядов п +0° к п и+ = р* со<жр) + X Г2* X Ф*(ф)(1прУ , ( ОД ) к=1 /=0 п £N11(0}, п +СО к +1 п и- = р~п С08(жр) + £ Р~п+2к X ^(фХМ7 , П еЫ, к=1 у=0

0 +со к+1 о к=1 7=0 которые сходятся во всей плоскости. Также удалось доказать некоторые важные свойства таких решений. Показано, что почти для всех фиксированных р данная система функций, если рассматривать их как функции переменной ф, образует базис. В этом плане она является аналогом системы функций вида сои(р,Ф) = ^|(/р)е^ (0,2)

2 2 для уравнения А ¿7 + / = 0, где 7 — положительная постоянная, У|л|(/р)— функции Бесселя. Более того, если бы в уравнении

А ¿7 + /2(ф)£/ = О функция 7 (ф) была бы постоянной, то функ-п п ции 1Г, Ц~ имели бы вид (0,2 ).

Данная работа посвящена изучению базисных свойств построенных п 11 нами функций II+, Ц~ и некоторым их приложениям. Мы не ставили перед собой задачу изучить их асимптотику при возрастании П или р, хотя поведение функций при возрастании 2 и V исследовано достаточно подробно ( см. [ 8 ], стр. 133 - 134). Отметим также, л п что информация о поведении функций £Л 1Г на бесконечности позволила бы применить их к задаче в клине, подобно тому, как это п п было сделано в [ 9 ], [ 10 ]. Заметим ещё, что функции £Л и можно использовать при решении задач не только в классических областях (в круге или полукольце, как это сделано в данной работе), но и в областях, границы которых имеют локальные особенности этого типа. Это можно сделать, например, используя методы, которые применил С. Л Эделынтейн в работах [ 11 ], [ 12 ]. Изложим содержание диссертации по главам ( заметим, что нумерация параграфов сквозная ).

В главах I, II рассмотрено уравнение А ¿7+ е1Ц> [/= 0. В §1, 5 п п мы ищем решения Ц\, 1Т\ этого уравнения в виде рядов, аналогичных рядам ( 0,1 хотя и имеющих более простой вид. Это позвоп п п ляет найти функции к явно ( см. стр. 8 - 9, 22 - 25 ). Более того, без этого нам было бы трудно понять, в каком виде следует п п искать функции

У4", 1Г в общем случае. В частности, в случае внешних функций 1Т\ при к >-вид Ф х ^ меняется по

4| + 2 п сравнению с видом этих же функций при к <-. Подобное 3 п происходит и при построении функций 1Г в главе III,

§ 8. Поэтому нам представляется необходимым провести подробное исследование более простого случая, прежде чем перейти к уравнению

В §2 приведены некоторые вспомогательные результаты, относящиеся к функциональному анализу, которые позволили в § 3 и § 5 убедиться в наличии базисных свойств функций пп

Ц\, и~\ на окружности. Теоремы § 6 используются при доказательп п стве в § 7 базисных свойств Ц\, Ц\ на границе кольца. В § 8 проведено построение системы функций (0д),в §9 получены необходимые оценки для этих функций, а в § 10, § 11 с помощью теорем § 6 доказана их базисность.

В главе IV исследуется связь между базисностью системы функций ( од ) и разрешимостью задачи Дирихле в соответствующей постановке для уравнения

А¿7 + / (ф)£/ = 0.

В заключение отметим , что основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры алгебры и дискретной математики (руководитель - профессор Симоненко И.Б.), кафедры вычислительной математики (руководитель - профессор Юдович В.И.) Ростовского государственного университета, а так же на конференции «Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта и роль молодых ученных в их разрешении.» (Ростовский государственный университет путей сообщения). Все результаты диссертации опубликованы в статьях [ 13 ] - [ 17 ].

Автор благодарит И.Б. Симоненко, под руководством которого была выполнена эта работа.