О поведении решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

..г © )

МОСКОВСКИЙ ОРЛША ЛКНИНЛ, ОРДКНЛ ОКТЯБРЬСКОЙ РКВОЛЮЦИИ И ОРДКНЛ ТРУДОВОГО КРАСНОГО .шдмкни ГОСУДАРСТВКННЫЙ УИИВКРСИТГТ иксии М. Н. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.9

ДГАЕВ Элынад Велигулу оглы

О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

А I! Т О !' К Ф К Р А Т диггер ищи" на спискиние ученой степени кандидата фитико-чатечагичсских наук

/

Могкпа — НИН

} гл ' / -

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математичоского факультета Московского государственного университета имони М.В.Ломоносова. Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Е.М.Ландис. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский Математический институт

им. Сгеклова All СССР.

в 16 час.15 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени И.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж, Главное здание).

профессор Е.В.Радкевич;

кандидат физико-математических паук,

доцент А.А.Космодемьянский.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Учений секретарь специализированного Совета

Д.053.05.04 при МГУ, доктор ф.м.н.

:рованного

Т.Н.Лукашенко

»ГЯГЗГГ"",;

'

. ■ - ^ , ()]'1!!ЛЛ .ХЛГШ'КПКЛИКЛ ГЛЬОТЫ

Актуальность томи. Квпзнлинешшо, л частности, полулиией-нне ЭЛЛИПТИЧССКИО УРПЛИШШЯ П ПОСЛРДНОП В]1ГГ.1!Г привлекают ВИИ— мание ведущих математиков (Ворон, Шскос, Фридмлн, Кондратьев и многие другие) тпк как птя ураяноипя оипсипппт ряд '(изических процессов, причем поведение решений зтих уравнений по многом отличается от решения линейннх урппиений.

В настоящей работе основное внимание уделено поведению решений таких уравнений в неограниченных областях в зависимости от геометрии области. Устанавливается спязь константи эллиптичности уравнения, характера нелинейности л поведения решения в целом.

Рассмотренное в работе перфорировании« области,имеют прикладное значение.

Цель работ» состоит в исследовании характера поведения решения однородно!! задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения в зависимости от характера нелинейности и от геометрии области

Метод исследования состоит в получении и применении модификаций так назпшемой "леимн о возрастании" в случае нелинейных уравнений различного вида.

Научная новизна. Следующие основные результата диссертации являются новыми и представляют гшачптсльннн научный интерес.

I. Исслодованя качественное поведение решений полулпнеп-ннх эллиптических уравнений в областях различной формн, в частности, для слоя, для цилиндра, для перфорированной области, области типа конуса. Установлена скорость роста решения в зависимости от уравнения и параметров области

2. Получеши оценки скорости решения квазилинейного эллиптического уравнения, удовлетворяющие нулевым условиям Дирихле на границе неограниченной области. Выведены формы нринщша максимума л "лемм/ о возрастании" для квазилинейных уравнений.

Приложение. Результата диссертации носят теоретический характер. Они могут титп применение при исследовании некоторых задач механики (например, при изучении свойств пористых сред).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной тоорпп уравнении с частными производными под руководством Б.Л.Кондратьева и Е.М.Ландиса в МХУ, и на Всесоюзно!! конференции но дифференвдалышм уравнениям и оптимальным уравнениям в г.Ашхабаде.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен н конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов. Список литературы содержит 45 наименовании.

С'ОДОлЛШК ДОШТАЦШ1

Во введении показана актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов по теме диссертации, дается их краткии анализ, формулируются основнио результаты диссертации.

В первоИ главо рассматривается уравнение

ГУ

где {_ - линейный равномерно эллиптический оператор с коэффициентами, зависящими от х^а^-а^ , функция ^ растет по и, не быстрее, чем . Оценивается скорость

роста решения такого уравнения в неограниченной области, если решение положительно внутри области и удовлетворяет нулевым условиям Дирихле на границе. Дается условие несуществования отличного от тождественного нуля решения.

В этой главе рассматривается неравномерно эллиптические уравнение (вироулающееся в некотором направлении) и также иссле-дуотся вопрос о росте ого решения, обртцлпкугосл на границе I) нуль.

В § I указано общий ко год рпследопэтш.

В § 2 рассматривается уратюнпе

а - °> ц)

в неограниченной обиасти

где Т (4) , О «=*> - нолоултолыюя непрерывно дп^феронци-

руомая ф.ункция такая, что | п П>2

Пусть Q - константа эллиптичности оператора [_

п

то есть 6— 5а.р —Ш----и число

5 > О удовлетворяет непапенстпу 5 ? 6 —2. Н качество роякшпл всюду в дллмнгаш^м рясоитгрилаптся

дважды непрерывные дифференцируемые (гункщш и решения понимаются в классическом смысле.

Теорема 1. Пусть (¿(л) - положительное решение уравнения (I) в области Qy/ , где и) удовлетворяют условию:

b$rvtf = 5qtVlt, |'PI i Ii'™ -I ¿oL< min (l, yj, S > e~2 и IL

■öGy

Обозначим

frifi*

¿=1 1

Тогда М(^)> СОЛЫ е-Хр| у '

(быть может, М^^су0 , начиная с некоторого ),

где £ > О некоторая константа, зависящая как от 5 . так и от е,Я .

Замечание 1.1. Нсюду в дальнейшем мы будем-допускать значения ^ (ъ) - .

В § 3 исследуется вопрос о существовании решения уравнения (I) в области

Теорема 2. Рассмотрим уравнение (]) в области (^у/ , где удовлетворяют уежжпга;

5дп,»Р= 5дп.и,;|^ при |и|>1,ос>о,

Ч(х.,и,)>, Ч(х.,их) »ри

Тогда но существует положительного решения уравнения (I) в области , такого, что О и Ц^О ■

Замечание 1.2. Пусть л'£ (]у . Тогда существует шар с центром в точке х' достаточно большого радиуса

Л»' ОС'

К. , такой, что

В области Л согласно теореме 2 не существует положительного решения и. (*) , удовлетворяющего условиям теоремы 2, такого, что ц1 = 0 .

к^ЛВ*'

В § 4 рассматривается случай неравномерной эллиптичности н-1

оператора ¿. = И. Яп 1(хл) ¡¿х г > ГД°

¡,¡ = 1 4 Л *

Ц*«.)-* 00 ПР" 00 ' I Х'1*л)1 =

Для того, чтобы превратить оператор (_ в равномерно эллиптический, делается замена у =■ & , где функция -а(хп) - непрерывно дифференцируемая и монотонная.

Теорема 3. Рассмотрим уравнение

где (р = о., | ^(£,и.)| б <¿¿1таА),

Ъ>ё~2 и У- (хл.)~* оо при оо

в области С = |х= Ул)£/С1■

Функция С^Ч^)) , 0 61 оо - положительная

непрерывно дифференцируемая, монотонная и ^ болы . Матрица симметрическая и равномерно положитель-

(2)

но определенная.

v Пусть U-(x) - положительное решение уравнения (2), обращающееся в нуль на "Э Обозначим м / \ .___„ ,,/г»

и<(г) = ль*

M,(t)> exf>l¿ j-c^st,

Тогда

где ¿7 0 - константа, зависящая как от s , так и от е, п .

Бо второй главе рассматривается уравнение

ZZ aLJ(^)ulíJLj -/- v<¿)= о ,

(3)

где I VU>)¡¿ ¡Vl¿l'fF '

в неограниченных областях различного вида.

В § 5 рассматривается уравнение (3) в перфорированной

области Л'= Г\ [J ¡bf - области, получае-

h> - > ni

мой из R"- исключением шаров одинаково определенного радиуса

£* с центрами в правильной сдвиговой решетке.

Ооозначим границу области Л' через ()Л=.

и щ .

O í

Теорема 4. Пусть ^(х,) - положительное решение уравнения (3), где удовлетворяет условию:

в области Si и равно нулю на 7)Л Положим

Мг(Л)= Sap U.ix)

Л'П[М=г}

Тогда М200 >£■ coast , где - константа,

зависящая как от s , так и от е, tt ■

Замечание 2.1. i.Iii видим, что скорость роста для перфорированной области такая же, как для слоя

1 |хЛ| cj . С канем, что неограниченная область Jil'CPT является областью типа конуса с параметром

¿о у d . если при достаточно больших целых Д'

т

Л") > ,6jV '

(5)

11" л У

где И>лу - открытий шар в ¡{ радиуса Л с центром

6 начале Координат.

УслоЬив (5) можно писать в следующем виде

Это, означает, что мера (в смысле Лебега) пересечения области

Л' со всеми шарами достаточно большого радиуса имеет фиксированную (линейнуп) оценку через меру этого гаара.

В § 6 рассматривается решение уравнения (3) в области типа конуса.

Теорема 5. Пусть

- область типа кону-

о

са с параметром £0>о , содержащая центр шара /3 ив

п" / ч

Л определено положительное решение уравнения (3), где

If удовлетворяет условию (4), непрерывное в Л" и обращающееся в нуль на Ж . Тогда существует с(<?о) = const такая, что

hx(i)7 соп-ы г • гДе щах. и.{х),

ь Н=г

С (£<>)> О - зависит как от 5 , так и от е,Я

Скажем, что неограниченная область Л* CL.

является областью типа цилиндра с параметрами R>0 и ¿с

.если mes Л*) > ^¿с \/хеЛ*

В § 7 рассматривается уравнение (3) в неограниченной области типа цилиндра.

Пусть Л* С- является областью типа цилинд-

ра с параметрами Д и ¿а , содержащей центр шара дц •

Теорема 6. Пусть и.(_к) - положительное решение уравнения (3), где - удовлетворяет условию (4) в области Л* , непрерывное в Л* и равное нулю на <)-12* Обозначим

м (г)= шлх и[х) . /х/=г

Тогда №ч(г) > 6 * .где С >о -константа,

зависящая как от 5 , так и от е., п. и ¿а

В третьей главе рассмотрено общее уравнение вида

ГV

(6)

а-ц^и, vu.) + У (х, и, ри-) = о

в котором правая часть имеет по ц, и \Vu\ степенной рост с показателем, близким к единице:

|4>(х,и,7сф с,

При определенном соттношешш между о(, " к011ста"т°н эллиптичности оценивается скорость роста решения, удовлетворяющего нулевым условия?.! Дирихле в неограниченной области, определяемой неравенствами ¡х^^ Ч7^)* ~ Х^^ в зависимости от

функции

В это£! же главе рассматривается решение неравенства п.

(х,и,7и.) > ¡-(л,и} п неограниченной

Ц"1

области, лежащей внутри полуцилиндра, осью которого служит полуось оса , ха>0

В § 0 рассматривается уравнение (6) в области Теорема 7. Пусть и-(х) - положительное решение уравнения (6), где ^ (х, и,, удовлетворяет условию

= 1<(>(х,и,1?и)1*Сг/и/'ы+ сл(?ирь?

/ л \ /

в области С^ , равное нулю нп .

Тогда М5(г) >

<Г

где М(г)= та.Х, Ш*) , а ? > а - константа, завися-

как от 5 , так и от е,/г

Следствие. Если нелинейная Функция не содержит

градиента решения и(х) , то результат, полученный

в главе I, § 2 является прямым следствием этой теоремы.

'Замечание 3.1. Результаты, полученные в главе 'Л можно обобщить на уравнение тина (6), осли .удовлетворяет усло-

вию (7).

В § 9 рассматривается решонио неравенства

г,

У д-ц (х,<х, >/ { (х,и) (В)

в неограниченной области

лежащей внутри полуцилиндра, где ^СХа) положительная нонре-рывно дифференцируемая функция, и Сопь{

а О определено.

Теорема В. Пуст}, Щл) - положительное рошенно неравенства (8) в области , равное нулю на . при оса>°

Пусть функция у (Ха) , О 0Сц ^ обладает свой-

ством: II р/. ,/ \ . Обозначим .х-

Пусть при некотором выполняотся

max и(х',х"„) /(xl)

Тогда справедливо одно из двух:

либо 1) у (.глJ при всех -С, > Т° ;

либо 2) существует jr* > О такое, что при имоот

место ¡пах и(.х',лп) > if(:rnJ

Для того, чтобы существовало растущее решение, неуходя-ее на бесконечность при конечном хл функция / должна асти достаточно медленно при х^—* . Таким образом аходятся условия существования растущих, но не уходящих на есконечность положительных решоний задачи Дирихле с нулевыми раничными условиями.

В § 10 с помощью контрпримера показывается, что при усло-!ии теоремы 8 существует растущее решение, не уходящее на бес-;онечность при коночном Ха ■ Это справедливо, например, для

$(х,и)=111п*(и+ 1) , Гд0 .

Замечание 3.2. Всюду вишо мы рассматривали положительное юшетв. Случай отрицательного решения сводится к случаю пол о-штельного решения измонением ого знака на противоположный. Сели решение меняет знак, то всегда можно выбрать компоненту юстоянства знака решения.

В заключенно автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Ландису за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы п следующих работах автора:

1. Агпев О.В. О onoiioTPiix риптниН некоторых квазилинейных элл! тических нораппнст // ДпФТеренц.уравнения и оптимальное управление. Томом докл.всесоюзной конференции. Ашхабад, 1990, с.7-0.

2. Агаев О.В. О поведении решения полулинейного эллиптическое уравнения второго порядка в неограниченной области

// Постник МГУ. Мех-мат., 199Г, № 4, с.16-19.

3. Агаев Э.В. О поведении решение полулинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Дои.в ВИНИТИ

13 мая 1991г., № 1930-1391.

В печать 10.07.91 Изд.№ 39п Формат 60x84/16 Тираж 100 экз, Уч. -изд.» л. 0,4 Печ. л. 0,75

Размножено в Щ111111ГП1Ю[К