Некоторые качественные свойства нелинейных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г.»СКОВСХНМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В. ЛОМОНОСОВА

РГ 6 ОД }™вхаш,ко~иатек!атический Факультет

2 2 МАО 1995

На правах рукописи УДК 517.95

ЙИРАЗАЙ Абдул Алям

НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев Официальные ошонеяты: доктор фязжсс-матемаигаеских нгук.

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится "19 " мад 1995 г. в 16 час.05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете

.М.В.Ломоносова ко адресу: 119899, ГСП , Москва , Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет.., аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится.в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ).

профессор Ю.А.Алхутов

кандидат физико-математических наук,

А. А. Космодемь инский

Автореферат разослан

1995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д. 053.04 при МГУ, доктор физико-математических наук , профессор

Т.П. Лукашенко

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТИ

Актуальность темы. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка розникаот во многих задачах математической физики и им посвящено большое число работ Cl] , LZ], [33. Одной из первых работ, положивших начало систематическому изучении слабонелинейных эллиптических к параболических уравнений второго порядка была работы С4] Колмог'орова-Петровского-Пискунова. Решения уравнений такого типа сбладз-'г: принципиально иными свойствами чем линейные уравнение Много ышм&ния разные авторы уделяли вопросу об • асимптотическом повелении реиений в окрестности изолированной особой точки или в окрестности бесконечности.

Случай уравнения с оператором Лапласа в старшей части подробно изучен в ряде работ Брезиса [5], Верона [53 и

[1] Гильбарг Л., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнений с частныш произзодкыми второго порядка, Москва "Наука" 1989. -

IZÏ Кондратьев В. А., 'Ландис Е.М. О качественных свойствах одного нелинейного уравнения второго порядка// Ыатем.сб. 1988. Т.135. Вьш. 3 с 346-361.

131 Keller J.B., On solutions of да = -Ы// Cessa. Pure Appl. Math. 1957. V.10. N 4. p. 503-510

[4] Колмогоров А.H., Петровский И.Г. и Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрпастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюллетень МГУ, сер. Мат. и мех. 1937. Т.1, Вып.6 с 1-26

[53 Brezis H., Veron L., Removable singularities for some nonlinear elliptic equations // Arch.Rat.Mech. and Anal. 1980. V. 75 N 1. p. 1-6. ' -.

[6] Veron L., Solutions singulière d'équations elliptiques semilineares // C.R.Acad.Sci. 1979. T.288. Ser.F.P. 867-869.

других [7]. [8] . Больиоэ значение в изучении ассимптогики решения в цилиндрических областях для уравнений, описывающих реальные физические процессы ( например, теория горения) инеет работы ВегезЬуск! - ¡ЛгепЬегг [9 ].

В след га этими работами появилось много работ в которых рассматривается уравнение с переменными ( негладкими) козффицяен-тали. В связи с этим отметим работы [10] , Кондратьева-Ландн-са СИ], [123 Кондратьева- Олейник.

В этих работах предполагается, что коэффициент при нелинейном члене строго отграничен от нуля. Мы рассматриваем случай когда этот коэффициент может обратиться в нуль на бесконечности.

[7] Osserman R., On the Inequality Д lA^-ft") // Pacific J. Vath. 1957. V.7. N 4. P. 1641-1647.

C8] Похокаев C.H. , 0 краевой задаче для уравнения u.z // ДАН СССР. 1961 . Т7140.; N 3. С. 518-521.

. [93 Berestycki Н., Nirenberg L., Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis , ed. by P.Rabinovitz, Academic Press ( 1990), p. 114-164.

C103 Кондратьев В.А., Ландис E.M. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Итоги науки л техники серия современные проблемы математики фундаментальные направления том 32. с 99-215.

[113 Kondratlev УЛ., Olelnlk О.A.//- Boudary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains.J.Partial Diff. Eqs., Vol.6, H 1 (1993), 10-16.

[123 Kondratiev У.А., Oleinik O.A.// Operator Thery: Advances and Appl. Birkhauses Verlag Basel. 1992. Vol." 57. p. 185-195.

Известно С2], что всякое решение уравнения

■л

Сщ(*) ' Си-*.)«* Иг, = Сл»ч4->0 ; £" = I ,

во внешности компакта имеет нулевой предел при |х\-> о° ■

В работе установлены точные условия на Он.*) >ч при выполнении которых это свойство сохраняется.

В диссертации получены оценки скорости убывания решений в различных неограниченных областях при —>&> в зависимости от. структуры области и от свойств коэффциента

Рассмотрены краевые условия Дирихле или Немана. В работе изучено также повеление решений эллиптических уравнений второго порядка с кедивергентной старшей частью.

Цель работы . Исследование свойств обобщенных и классических репенлй нелинейных эллиптических уравнений з неограниченных областях; изучение асимптотики решений з. окрестности бесконечности при различных предположениях о коэффициентах уравнения и о структуре области.

1!аутаая новизна. В диссертации получены точные оценки решений в окрестности бесконечности. Усилены ранее доказанные теоремы об асюлятотическом поведении решений.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены азторсм самостоятельно.

¡.'ягода иссгедозаиия . В диссертации используются функциональные и вариационные методы исследования краевых задач , а таюг.е применяются методы теории обыкновенных дифференциальных

уравнений.

Приложения. Результаты диссертации являются продвюпеием в области теории краевых задач для эллиптических уравнений в нё-~ ограниченных областях. Они могут найти применение в некоторых задачах маташической физики и механики.

Апробация диссертации . Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ по уравнениям с частными производными под руководством проф. В.А. Кондратьева и проф. Е.М.Ландиса.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах-автора, список которых приведен в конце автореферата. -

Структура и объем диссертации . Работа состоит из введе-| ния, двух глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы,

содержащего 33 наименован™. Общий объем диссертации 104 стр.

<

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

I Во введении показана актуальность работы, приводится обзор

I ранее полученных результатов по теме диссертации, дается их

■ краткий анализ, формулируются основные результаты.

; В диссертации исследуются свойства обобщенных и классичес-

ких решений нелинйеных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях.

Пусть -О. - неограниченная .область.

Рассмотрим в области -П- уравнения

- си*) = О

(1)

1~ ^^ - о-^ \ил и = о

(2)

где (Щ - ограниченные измеримые функции в XI ,

X = , п^х. , С - Со^А: •> 1 .

Будем предполагать .что £Ц с*) = (х^3-) . = и п

и

л ^ * И<о)

для любых и х£ XX , где Л , А

х г

положительные постоянные.

. В главе 1 рассматривается уравнение- (1>-в области .Сь ста.14 • Предполагается , что

В § 1 главы I доказана следующая основная теорема. Теорема 1. Пусть £1 - неограниченная область в

. ЛСху \

= Сол^ > о и Li.bc) - обобщенное решение урав- • нения ( 1) вй , равное нулю на той части границы з П. , которая лежг вне некоторого компакта. Тогда Д.,™ ии.ч) — о

' V 1*1—»ю

- б -

Для доказательства этой теоремы использованы ряд лет, некоторые кз которых являются новыми и в линейной теории. Например лемма 1.

Лемма Д. Пусть - обобщенное решение уравнения '

л

2_ - аьо а =. о , \х\<1 (5)

где ас^ > Си= сол.5+ >

О

1х( = Г 1

Тогда и1о) 4 ^ где ¿<1 и Е = Б( л,,Ах, Си> п).

Далее , изучается асимптотика решения уравнения (1) во внешности кожакта. Доказана.

Теорема2. Пусть ¿Щ ^ - ■ ■ ' ^ -0,,= с<т^>о, Р - Сол«- •

Пусть их*} - решение уравнения (1) во внешности компакта, для ксторого о является внутренней точкой. Тогда

1Шх)\ < с и!0'" (б)

р \

где с/. = (¿-п, - Л 1

1 /

Если ке

то доказано более сильное утверждение , а именно

2-Р

.Лемма 2 . Если з-л = -=г- = с< , то

иич - о ^ т*1) . ^

В § 2 главы I рассмотрено уравнение (1) в неограниченной обалсти-О., такое , что

=. О . (7)

на той части границу "&-Э-, которая лежит вне некоторого компакта. Здесь - дифференцирование по направлению внешней

ОУ

конормали. -

Лемма 3.

Пусть .О- - область с липшицивой границей, лежащая внутри шара 0!£ <1 ■]•.••• '

а 1Л00 - решение уравнения (1) в .£1 , удовлетворяющее условию (7) на той части границы , которая лежит строго внутри

ОД. .Тогда \и(о)\<с: где с^ зависит от А, J А - констант эллиптичности уравнения (1) , от , от ¡л|йс) и .

В § 3 главы I рассматривается область , которая вне некоторого компакта лежит внутри конуса К .

Конусом , как обычно , называем такую область К. С К.п . что если х е- К. .то Д К. при всех > о. •

Рассмотрим решение уравнения (1), такое , что

Предположим , что

^ > ■ С , с=^>о (9)

1х(Р

Пусть Кч - пересечение К, и единичкой сферы.

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу:

Деф +Л Ц =о , К, . (10)

$ и, - о

где- - оператор Бельтрами. Пусть -ЦК) - наименьшее положительное собственной значение задачи (10).

Обозначим

Д ~ и-")

2.

Доказана следующая теорема:

Теорема 3. Если ил*1 - решение уравнения

сч

ли- айн ид и. = о , (и)

° ' при 1*1 ■ ,

где 0.4) удовлетворяет условию (9) и - .. \ ^ , то ил*) = о

\3с\—Со

В § 4 главы I расмотрено уравнение (1)

в области -О- С ^ , где - имеет вид параболоида:

г\-\ р

» а (И _ а , ¿=»

где Ц = . » •

Пусть Щч ° ' £ 1 (12)

СНх) ^ эс * ^ Ж & -О. (13)

s = соп^ > о , а^. = ^^ > о •

Теорема 4 . Если - решение уравнения (1) в -О. и вы-

полняется условие (13) , а а а) удовлетворяет условию (10), то

= а (14)

х*—»со

В § 5 главы I рассматривается уравнение вида

Т, = о (15)

Л V. = \ и

где а^у, = 1 , Сц.м\ = о .при й < п . Х_={ъ > х„) , х = (.х,;-.-.

Изучается решение уравнения (15) в цилиндрической области П0 . такое что

^Л I

О

(16)

где

- ограниченная лшшщива область в (¡3.*"' ,

Доказана теорема.

Теореыа 5. Пусть а и") - решение уравнения (15) удовлетворявшее условию ( 16) . пусть

сь,

^ >/г 14-'* р где (^=-"^>6

Р = оо^-^- > о < р < 2.

> Тогда илх} = о

В § 6 главы I исследованы свойства ограниченных решений

уравнения

Z"г г п..г , 'ви \ а, . ^ (• ^ -' « (17)

р = > X ; & — > I , Сс, — Сй^?^ >0 .

Доказана теорема.

Теорема 5 . Если иы\ - обобщенное решение уравнения (17)

в \к\ > I , ъ^р \ ис<)\<С +- ВО , ТО иЫ

существует Х(-т ис^) = Ц^

Возможно , что ЦЙ > О

Во второй главе диссертации подробно изучены свойства решения (2) . В § 1 главы П рассмотрен случай , когда старшая часть уравнения есть оператор Лапласа.

В § 2 главы П рассмотрено уравнение

L-2. 5

и. - Си\х\ ( ни

где 1 = 1; ОсзЧ^ *

•Э^эх,-

с^- Сщх)=^¿Ф - ограниченные измеримые

функции , и п

Доказана теорема.

Тяорена 8. Пусть ¿ш) - решение уравнения (19) во внешности компакта С, , - I • Тогда

и

•т иы) — О \х\—» со

В § 3 главы П рассматривается уравнение

Ц — 4 Сх,иУ = О (20) .

и неравенство

^и С "Ьи- 0„ 1 иЦяу»и) > О (21)

^е 1' ЕЕ 11 ¿Ц С») ^

сс^>оу cj,^co«vV>оу СЦоОзО^- измеримые, ограниченные функции , и выполняется условие

V4 t.j=>

а a a со«лА s.o.

4-(*,<=) =o. -i-i^u,) > -fdyUj.-) , при u, > ц ■

г

В частности, рассмотрено уравнение "1 Си

-L- U--(LL\skwU = о

|х\Р ■ 5 (22)

Для него доказана следующая теорема.

Теорема 9 . Пусть и. с-А - решение уравнения (22) вне компакта Q и p^j. . Тогда

Щ*) = о

В заключение автор выражает' глубокую признательность своему- научному руководителю, . доктору физико-математических наук, профессору В.А. Кондратьеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работа автора по теке диссертации

1. Миразай A.A. " 0 поведении решений слабонелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях " // Рукопись деп. ВИНИТИ РАН 18.10.1994 г.б стр.43

2. Миразай A.A. " 0 поведении решений слайонелинейних эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях". //' Вестник МГУ, Сер. 1. Мат.мех.'1994. N 4. стр. 10-12.