О предельном поведении решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Механпко - математический факультет

Hs лравах рукописи

ДЖ1СОЕА KFIKA ШРЬЕЕЇІА

О ІІРІі ДІДЬКО*, і ПОВЕДЕШ! РШШ1І кшнеЯиих ЬТОХАСТИЧЕШО. да$Фіі:2!№\ШЖ ЛИВШИЙ

01.01.02- чз$$ереішиа.шше уравнения

Л Г> Т 0 Р Е ці Е ? А Т

дассертєиі;:: на сонскеііііо ученоЛ степени і.аил:датс тнзнко-математеческмс наук

ім;єв -

/

О

Работа выполнена на кафедре интегральных и ди'Т'їврени^альнид уревнвгий и на кафедре общо Я математики л математического ыоделй-роваагя Киевского г '.сударстгеинзго университета шоки Т.Г^евчеик

йвучли” руководитель - доктор <\взько-к'.ат9матичвси5Х каук, профессор Кулшшч Г.Л.

Официальные оппоненты - доктор 'тязико-иаге...этически наук.

Ведущая организация - Ккституг прикладной математики к ківхаїшш ..і; Украпни

па засвдаш:л еиешалазЕро-Еангого сог-вм - ОсЗ.Ic.il пэ крксу^вды: учемоїї степени кандидата .••ііз;ио-и£Тві.кі'г::ческкх ьаук ъ .',:\вта.ои дарственном университете шЛ'.Г.кбвчекко по адресу 2521*?, г,Киев, пр. акад. Глушкова, 6, ыехамию-мтеиаткчесга::* факультет, ауд. 42.

С диссертацией моїно ознакомиться в библиотеке киевского государе та е я кого университета.

Автореферат разослан " ¥ " Л^СО^л.

/чешл секретарь

сиецважзироваьг.ого сонета " Суптски4 і..II, ’

член-корр. АК Украины, профессор Сашіленко к.ы.

кандидат Зазико-ыатом&тических наук, доцент Бабчук Ь.Г.

часов

Актуальпость теки. Во многих совремсітякх задачах гТазякз.мехаии-ки, техники, теории управления встает кеобходаость исследования динамических сйсгек с учетом случаПккх позмуаопиіі. Ъ ?ш задачах основную роль играот воздействия, хоторче яе woryr бить омсаки двтерішшронакдьш <їуккцпяші. Непрерывное поїьшінвє трэбогькяи г точности к адекватности математических моделей, оаиснвакшях раальанв прошссн, привело к бурному развктпэ в последний годи математического аппарата теорли пвлхте?тх случайных процессов. Работа К.П.Гих-маяа, К.Кто, Ь'.А.і.ікгропольского, А.Іу.СамоІясако, А,Ь.Скорохода,

Р. 3. Ха с ы~ кп с г.о гэ м других способствовал!! лэявлеьпю пв только теоретических работ, - т и работ прикладного характера в области теории, стохастических т ;Л.ереі;шїальшіх ураЕиеш# о случайна яоликейпых колебаки?.

ЛальяоГ.і,;зо развитие я обоснование теория стохастических xafjfe-рексиальвих уравиепиЯ г.олучялэ в работах СЛГ.Еерилтейяа, К.й.Гях-маяа, К.йто, А.В.Скорохода, Р.З.ласьмикского, м.Б.Нэвельсона,

К.Я.Капа, Н.Н.Крэсовского, В.К.Турчина и др.

Идеи, вксказег.тае Ч.Н.Боголвбории и Н.М.Хршюним нашли гсесто-роя’ ев развитие в исследованиях Ю.А.Іілтрзіюльсиого :: ьвлилг.сь в метод интегральных много о бра з п Г? нелияеїїной механики. Вопросами теории япварі'.снтг.кх мьочяств обикновезяъ’х ля^'гер°!ізяальии>; yyesm-ьи* заппкрлись А.ш.Само’Лленко, О.Б.Дінковг, 11.11.Ір-угдл, Б.Б.Немщ-ки'!, Б.В.Степанов п др.

Несмотря ка значительное продадгяпЕв, досткгкутое за пос-идают годы в области теорпп гнваркаят:ж;с ккотаств систем стохастических диффероицкальніїх 7рпш:екіг1 т. г&оы иаяраалеш! остается есда много перелетах вопросов.

/дссортацкогіная работа восвнвдока изучений погедекся реі;:вдия спстсі.'.и келжс"ьих стохястхческах до4*Твреииаальпвх уреишг.иИ Над вйлпзи ка которых лоЕерхлосї&й, коїорио яглявтсг ичпармактньгиг шо-лмстасьа спсгош соотеєтствуяких лвкеГакх с-юхасютвсгах wrfcepeii-диальккх уравлемпіі .

Ь rartors рслользуптся методы кгк теорск обнькогокм.’х дг-Г'Т тарок-щалькрх у).аилеї!і'.:' , гак и we тоді; твори; ротоятпосте".

^LJ£l£S!i-

1. Изучение К6Ї0Д0В ЦОСТі-ООИСЯ Wipapittli'.-iux ШіОгйаСПЗ для систем иєлр^зГпкх сгохЕомгчвсіаас дю^ерпкштіаїх У£ЄБНЄ«:Я.

2. Исследование догедеине реииккя кедкквіїЕоЯ сїохас'ги'їсс.а'* сисгомь к близи нлЕариакїкого инохестиа лшіосркзкроракм? систєцн усю!

ПППОС'і’Ь 110 вероятное?!!, йбДОСТТйЖССТЬ, гіСЦШТОїІіЧвСІСЗіі ЦОП іони s J.

Ваагшаедша.& ішіїії&шьщшзва*

• Ь дііссоі-гуі^'и егігором получегл следуїете рс;ультгта: підучамі услогкя усїоі!.ч::ео'ііїи по вероятности ;:игарШ'Л'.>::>го Miov.fiLо:а, услэь нєііостг-’шмосиі ангор». лгного мвээдстга, мдоскг&шостя нгтсоторс!! поверхности, условия псгкхода реьекйя гз оЗлссзг ::e:r.ty дпгш з:гі*а— рианшла: иясгеогггик, ясследогало cow>se.\'ae 'луоивсса г ньгеогорих спецпальг.вх областях, послеиоголє устойчивость куля, уеїт.пзглві-о

СУДЄСТВОГОМІЄ. ПаЕ&рЯЛІ.ТііНХ MfJO'KOCVE,

ГІ0ЛУЧЄШ1ЬЮ результати ЯГЛЯЮТСЯ ЛОРІ.’ШІ Д КОГУТ бить ;і:СІІОЛІЗОГ:ОЄ при иссдсдогенки тех рзг.лы.кх прэиосеог, гди щ годится у« тсквоп 2'ЛИЯІШб C^’I£ii'!:’JX сил.

Осяорйнє результаты дасоерт-оцяі; доллгдіт'алкь в обсу"'алі!сь «і

РбСПубЛЕКОКСКОІ. семкльро СО ОбЫККОЮЯКШ ДЯд,т01 ОПІІЙЯЛЬГИ'М >ровнеш

да прк мфдре штегральккх к ди^ехонглглгльх ypainw.i;’’- лтскоп

- з -

государеттеяиогэ университета, ка кок:Терект<кях " Нелинейные краевые задачи «а тема one стой физики и ех пркдэяомя” Приэльбрус'ьо 198Эг., 'Таэрнвные дияймтеские системі’’1 г.Мвано-Чраяковск ISSOr., г,Ужгород 109 Іг. ■

йуджкатв. ' .

Основные результати диссертации оиубликовявы в 7 работах. Сп;укт.,тіа и обьем работа. Длссертйцяя состой? из введения, двух глав и списка литература т 62 наименований д изложена'на Ss страницах машиносисвого текста.

Бо введении обосновывается актуальность теми, формулируется цель ксследования, даете," кратки?} анализ современного состояпия

чепг.их результатов. '

V ■

Глава I посвяиеяа нахождению инвариантных множеств сист: мы стохастЕчоских даТферепциальиь'Х уравнений "

I

СОДЕРЖАНИЕ .ВДССЕРиіСИІ.

рассматриваемых в диссертаїди вопросов, приводится алиотацяя полу-

/V

и системі; обыкновенных ди:Т'?ереншалт>т.х уравнений

4f=brx),

и/

Р|ч=,(-1)Єр V / ^(°)Є і.

Б §1 приводятся условия того, чго кпгараагтаое множество системи /І/, описывается ур&вкешіои С(х)=С .

ТеорвіМГ, Г.І.І, ПуОГЬ Тіуг.кцяя С(*)&С (*&) , Ддя того, чтоби

множество, оакзиьаеше уравсенквм С(х)=С » где било Енвариептлш множеством системы /І/ для всех X необхо-

димо Р. Д!ШО Я ДОСГЗГОЧ.Ю, Ч'Ю&і

(уС(х},ЬСх)і) = 01

(р-См.аоо)- £ ((рС(х), \?Ь(х})'Ь(х)) = о .

Пригодятся различие иетоха и'зхождеккя ляьариайтлих множеств скстень обыкковеглкх дилерадшадіккх уравкекий /2/ и их связь с ипвариакт-иикк. мкаяесгш.иг сгохасткческоА сяст.и /I/.

Б §2 главы I выписан'дани** вид идвариаятких ы.о.’геотв системі' обшсновечьыг дв^ервишальяих уравнений с лостояккши коаГ<!ішкевтамі

£-Вх Ы

в предположении, чю ідаїриЦа В приведена к ■тордкьоноЗ *орш. Дан метод нахсоадэния инвариантных и и оке с та'с і: с тої., и /о/ с не їряке і} общего вида. '

Глава 2 иосі'-яітока взучаїїис. яогвдовая реи«шг 5(0 оклеив-.кел'лне-лп;;: сгохт-срлбсига. £к*<*ерекиздлш>:: ’^-егясш:' /7/ рблизи і;и:;аріШі;'г:!ого ішотесгай С(х) = С сесїшк ліа:е*'г.кх сто.хасїлчос-•щ;х даИ'вх.вкцколыах урашег.»Ч

о/ £=(<:)=-/Ц(*:)оИ: + В %Ц)о1\Л/и) /

соответствующе? дойной нелина і!кой системо /І/.. а(х) = У?х + а.(х.) , Ь(х) = Р>(х)+Ь(х-).

Е §1 главк 2 спачая?. находятся усдогкя недостижимости для про» цесса 'ь(^) £еко'горо:; кроете': ъ смело Йордана погеря’.ости ^(Х)=‘0> где *уикцвя ^('іс)Є С2(&*У * а ьатеї.: услог-кя г.едосткжшостя

процессов ^) ішіаркаятисго г.чожстг.з щікоаркзотоваиг.о" сію— теми /4/. , .

Теопема 2.1.1. Пусть уравнение ^(к)-О описнгеет некоторую простуй ь сг..ь’сло Уордаїга повег.хкос'.ь г ^ , оу::кіі:л ,^ес гхи

и трчка Х° п;-і;і;цдлє::іи? облости ) > О . їзді; в области ^(Х)>0 для кокаторо:'! аостояяаоЛ Є> О норко квраїексиво

(у$<х), аі*))+-£ Сі(х)-(?$(*), Ь(*>)1(х)

то множество ^ (х) = О квлостгліімо для протасса .

Замечание. При- у с лото т^орзкн приобретут гкд

Х1й1(я)-^(х)>-ехгі . /5/

Рассмотрим ряг-арв!-.ат!:ііС ілютестра системи /3/, которое будут иибя-pUQhT.ll .'Я ДЛЯ СЙСТО..Л-- /4/ . С^ояночка порез о<5 листь В ^ !

такую, что V ук: и:я СоОєС (*&), і.«сть іч-акаца ойлсіти , ^ ои;:сьт-м,т<зі> Уі^"т і.п<; Хі~ О , іГаЧ-лссяруем псстояккуа и ттедаіи ;:огуо Туилціг1 ^00*- С(к)-« С . ОЗозмчем пашжу області:

чаре" У . Вознохни два случая 4. уо {xt-oJ= ф. г. yn{xi = oJ/^.

О^оэпачим CijfxJ ~ 2ZJ• '^аГхГ ^х-)+^Ч<хХ6*); + £>; (х) (вх) ^ )

■ г>

Теорема 2.1.2. Пусть Ь*(х) = 0 - ураБыяие швариаятяого мяожэств системы /4/ и точка х°е jGxfxJ:>oj0{*i >03 . Воля для яекот

рой постоянно" Сх?о в области J 6jfi(J>0J(7f *x*oJ верво нврг веястио ' .

(vQfxj.acx^l-GliW-CvQfx;, bw^^-c^Cx),

а в случае 2 вшоляяэтся z /5/, то ыяожество G^xJ^O яедосют

для процесса .

§2 главы 2 содержит условия, при которых процесс Sl^J не вк-

ходит из области, заключенной меяду двумя иихариа; гьвш ьшокестваы; Gfx ),= С.£ Q(-x) * , С* .

Теот» -а 2.2.Г. Пусть (?{Х)=С^ и £(xj = - уравяеикя иивг гаят

ПЫХ ЫНОЖ0СТВ1 СИСТЕМЫ /4/, ^1>Сг>0 t (*ушщия б(Х,)е С г

х°е{Сг<С(х) <CXJ . 2слк в области Cl<zG(x)<Cx ддц йеко

торых постКчнпвх Кх^О и Кг?0 верно Еерав=нств:> .

* * ■?. " ' (C(xj-Cj)((pG6cJ, ^CX^I-Q^^-^fx), Ьск^-К?(GСх)- Сг3, ^--4'

тогда яроцесс s(^) на выходит из области С2 ^ .

В §3 ксслодуется вопрос устойчивости по вероятаостл для уравке ВЯЯ /I/ ИЕВарГЛИТИНХ множеств G(xj=C с1.сте:-н /1/.

Пусть СА(х)= б(х|- С f ф _ некоторая область в £ , такая,

что '<*{x;eCHJ ; Гл - граница обл ^ ;ти “ЭЬ описртпется уравгл .виеы Xi - О ,• ' ' ■ .

гарвДя;ле(ше. Ця- :ёство 0х(*)~О

взывается стс” ЕопарЕЬ’к для правления У!?, еслл- оно является инвариантном множеством соот-1»ству;-зде'1 лилеррпзировакно^ системы /4/.' Е

йоо] =оі Ім\ =о

Теорема 2.3.іі. Пусїь Сх(х)~С> _ уг.огмойііо стаиао.'і :глого мпожв-С'ГЕЗ СИСТОМІІ ЛЄЛИИЄ’,!ПКХ сто/.астичсокгх ДГ.Тч'ОрвПЦ'.'.СЛЬЛІ X УіІЛї.СІ’.яЯ /І/, гдо г.-7ні:иі:я

Сі(х)‘^С (<І>) и y^’^fXl=oJ

. ІІ).е.Щ!Ола:ї5И4,

что (£4(хв)>0 ,,;слз гутестгуот таї.оо, ч?? {о<С{х)<£ІсетЬ

і: в о^стіі {^ <0(х)< £ З О {X* > о } поро “.гц'/іг-ам7Т>о

(?£(*), (Мх)) + |г&,.(*) ^ О (

то г.'.'о’їсс-іто 6^(к) уо?о’!чіа:> кз воіолсяости .аля <? істоии /Г/.

£4 гл"ги іі йосі-кил-н гпучеїлгс ког догия іє.і.о;::ія 4(0 евг"омн

/І/ В 0К1.0СЇ.П0СТИ Ь'/ХГ-і;,:: УСЛ0Р1'.;І, ЧТО 11 Сі:ООС ::0 гихоянт

г.ч облне?;: і.:с>Т' пі'.’м" г,г пр-питт ма > гт о:л: &(*■)--Сі ;і

І :іі, глг.п; ~ приссе 5<1) е случно п« 2 • аекдадкппотея яа;

Л е калолокп: - їп^зльн’/і! 'ї(і) ;; 7гло’. уп уЧ) .Гоесуиттітается

•і'От і-.шсс с:;с:о.л /4/, г,дя і:сто]гх ."гл'арі'я.'ітиое «о’аестпо опвенгпется

уХд ♦ Хг = С . 11П'/Чі..0ГСЯ ногодояно углотоМ компо-епт*.

у (і) іі долив. ;'оі:лзгиїі теоремо о сорпйдойіш впгг-ршіа .чіих мвожс-ств с::сгом /І/ и/4/. Обозяпчнм Х^Ісоі^,ипЧ3), ^ к(г^)^1,(гссіу>г^пу), П(і,^-а(гщт.(,ііу>),(і,і>)*(£(ї, ^ \ Х~] _ Лусть штрг: •’ А я в »!*»*» *ДД .

А =

/6/

ГДО - ПрОІИПОЛЬВйЯ ПООТОЯІіЯЯЛ.

Тоопекп 2.5.2. !іу;ть иогати . п /3 систомп /4/ йме от вид /б/ 2 2 р * >. о лі:ш;к к^хг-Сі, ** г будут стиіпонариш..,,! для систоми /І/.'*Ісля

l.(b(itr)Jy)=OAW,r)jb+f&(i'Y)tJ)=c>,

топги^^о • ' .

. . .. . при т ^ о ..

г

У- -

/ л

^ ** du.

2' шуи/о, (а(ъ,г), Лх)^Шг,^,А)~^-(Ыг,ч>)^)^

, О <-ff + ^ ( Ыг-,1/’), « С ,

то .

р1Ь,^=-тИ-

з. -wy4+-i-((a(^,v>J#(М^З,і/ « fl-ff ) , О -yt/ ' (*, ‘/’j -йї‘Г J

и

v\£,(L

в

j '''*, . о б 00

й

? -2

і

■у ?[-3WL.l{v

if -6 2erv> •*• , ., ,

'pfi ■■-• g^TTy /y’/-^- 0<A

da

Пользуясь случаем вьражаю свою искреннюю и глубокую сЗлагоцарность научному руководителю профессору Хригорию ^огмновичу Кулинпчу за постоянное гтланнв к работе и поддержку.

Осяоггпг; результаты днссертш.ин опуЗлиуо! аки е слидукжшх работах:

I. /.еы'.сога ii.L. Об услЯпигэсти но ророятиоси: инроркактнсго множества очко" сгстеыи стох&стач( ск1!х Eii’-'opei I ::г..ьш х урарнена?- И !1элиней-W с гр. ение задсчп ^г-тси^тическо? лизни: и их приложения.- Киев: i'.n-т метепотак!. /.!! УССР ICJ.O.- С. 41—1.;.-

с. Аояисог>8 ИЛ.:. К вопросу устойчивости некоторых инвариантных множеств дгя СЕСТГ>.>. СГЭХЬС'П:ЧЯСК.ИХ ди^еренишдьхих УрОБКОНПЧ // Коя-

'"ерониия "Рапр.игкье дккгшичоекке систоык". ?езисн докладов. г.Ива-но-^ргшсог-ск,- IV-u.- С.Г;.

3. ДеьисоЕа II.L. Ьекоторке замечания о norGj.or.:■-к рои,опия стохастического :ц'Т. fej “.нишл! ног о уряги^нкя вблкзп кнг лркэатиого множества Ц ,:.:сллно”::>;о эголкксошше уршвкия в пр.ккллг,-’-х задачах,- Киев:

.:к-т катометгки ЛН JbJP.- Ь‘Л,- С.о*1—iib.

4. /.oHMCOta 11.L. О поведении решения систаш яв.и:иеикнх стохастических

п.;'.' л' mrj у, itmo-!!" /] 1.он 'ореншя "Разривние динамические

скстсг.г". Тезисе локлгегое.г. Ужгород,- 1991,- С.15-16.

Ь. ^ег.исова ИЛ. 03 устойчивости инвариантного множества системы стохпстпчссккх кв*'* ор«и| кальнгх у|яснени? // 1.;оркя вероятностей я мат. CTi.TUCTi'.i!;.- 1С£~,- ‘‘.С.- С. ZG-tj3.

С. /.онпсога V.,'L. о цостатшиосп! и устойчивости инвариантного множества скстс-ын стохсгтечесглх дп;р',ерем1иальт'х уравнений // Укр. мат. жури,- .44, 4.- C.5VL-5V4.

’!• KufinicK & JC., D?mi ova. S.Yu. o| a fofuiion o|

a vj.vtem a i-kjcka.i'tic oWffJ'tentiaf c^uaiion s //

Random opetaiiont, and 5Wia?iic e<fiita.ti0ns~ (99Zr 1 < — P Я - 4 S

' ■ 0 ^ ‘ За*. N>80. тар. 100. Уч.тил. КГУ. 1892 г.

_ Бульвар Т. Шаеченю. (4, Ккеа.