О приближении многомерных объектов одномерными

Комаров, Андрей Валерьевич

О приближении многомерных объектов одномерными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Комаров, Андрей Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О приближении многомерных объектов одномерными»

Автореферат диссертации на тему "О приближении многомерных объектов одномерными"

На правах рукописи

Комаров Андрей Валерьевич

О ПРИБЛИЖЕНИИ МНОГОМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ ОДНОМЕРНЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки,

доктор физико-математических наук, профессор

Покорный Юлий Витальевич,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Ростовский государственный

университет

Защита состоится 28 октября 2003 г. в 15:40 на заседании диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского госу-

профессор

Садовский Борис Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор

Хромов Август Петрович

дарственного университета.

Автореферат разослан сентября 2003 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

2.00j-/i

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых геометрических графах (Г. Люмер, Ю.В. Покорный, B.C. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С.А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник, Э.Санчес-Паленсия и др.).

Конкретно, в работе изучается низкочастотная часть спектра частот собственных колебаний сетки из струн, закрепленной на границе некоторой области и достаточно густо заполняющей эту область. К настоящему времени в решении подобных задач конкурируют два основных подхода. С одной стороны это метод усреднения, точнее его вариант недавно разработанный В.В. Жиковым, и метод асимптотических разложений. Следует заметить, что метод усреднения применялся исключительно к периодическим механическим системам. Более того, именно для таких систем он и разрабатывался. В конечном итоге он обеспечивает достаточно простое описание решений краевых задач, связанных с упомянутыми системами в терминах их близости к решениям аналогичных усредненных задач в классических областях. Метод асимптотических разложений более автономен (задача изучается вне ее связи с какой-либо усредненной задачей) и не предполагает наличие какой-либо периодичности. Однако, описание решения в достаточно сложных (непериодических) случаях получается трудно обозримым, в особенности когда речь идет о низкочастотной части спектра колебаний упомянутых систем.

В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества

метода усреднения распространить его на непериодический случай. В

общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует

ожидать ее быстрого решения. Однако, для згс^ач^ дЦ^од

| """библиотека , I С.Петербург /,

' ОЭ

в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на основе техники, близкой к разработанной Г.М. Вайникко в 70-х годах и относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-леркина, Ритца и др.). В итоге нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область Г2 С Яп близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п = 2 | мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.

Цель работы. Получить описание низкочастотной части спектра частот собственных колебаний сетки из струн, достаточно густо заполняющей область в пространстве Яп в терминах его близости к спектру упругого континуума, заполняющего ту же область.

Методика исследований. Использовались методы спектральной теории алгебраических графов, методы функционального анализа (спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах). Использовались также результаты теории уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах и обыкновенных дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В числе их отметим следующие:

1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки

из однородных струн сходится к соответствующей части спектра одно- т родной мембраны вместе с кратностями.

2 Найдены естественные физические условия близости спектров непе- }щ риодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и

ту же область.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Результаты могут быть применены при распространении метода усреднения на непериодические структуры.

Аппробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в [1]-[6] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач"в 1999-2003 гг, на семинаре проф. И.Я. Новикова при Воронежском госуниверситете в 2003 г, на семинаре проф. Б.Н. Садовского при Воронежском госуниверситете в 2003 г, на семинаре проф. Ю.В. Покорного при Воронежском госуниверситете в 2003 г.

Структура и объем работы. Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 81стр. Библиография содержит 27 наименования. Текст иллюстрируют 6 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в Д".

Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в В.п натянута сетка Г/,, состоящая из струн л, связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и "заполняющая" некоторую область Г2 с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах - их множество обозначим через ОТд, лежащих в сЮ. Множество остальных узлов обозначим через J(Гh) и будем называть внутренними вершинами графа Гд. Математической моделью собственных колебаний описанной сетки является следующий набор соотношений:

ани"{х) + Аирни{х) =0, х е 7г (1)

+ Хьт>>и(х) = °> х = аз е ЛГл) (2)

.е/(х)

и{х) = 0, х = а, 6 <ЭГЛ. (3)

Здесь дифференцирование производится по натуральному параметру на каждом ребре. В уравнении (2) под и'{(х) понимается производная по

направлению "от вершины" a.j. Через I{a.j) обозначается множество номеров ребер, примыкающих к Oj. Величины <тд, рь равны соответственно натяжению струны и ее плотности, а т/, - величина массы, сосредоточенной в узле Oj. Предполагается, что сгд, рд постоянны, и на всех струнах одинаковы. Также предполагается, что тд во всех узлах одинаковы. Рассматриваемые функции и : Г/, —> R непрерывны во всех внутренних узлах.

Нас будет интересовать, при каких коэффициентах спектр данной задачи близок к спектру мембраны, описываемой системой уравнений

оАи + А ри = 0, (4)

«|эп = 0. (5)

Здесь р(= const) - плотность распределения масс и сг(= const) - натяжение мембраны.

В пункте 1.2 приводятся некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений на геометрических графах.

В пункте 1.3 задача (1)-(3) сводится к задаче о спектре некоторого алгебраического графа. Откуда получается такое утверждение

ТЕОРЕМА 1 . Спектр Ah задачи (1)-(3) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений

f I—о~ \ iVc-iVv

Um(hJ\h^)) =0, (6)

|G-pJ| = 0, (7)

где Nc - количество ребер в графе Г/,, Nv - количество внутренних вершин в том же графе,

р = 2ncos (h\¡hí)h) — ти\ sin (h\lh^h),

V 07» y Ph<Jh V °h

a G - матрица смежности алгебраического графа, полученного из Г/, выбрасыванием граничных вершин (аа € 9Гд) и ребер, к ним примыкающих. •

Пункт 1.4 посвящен изучению частного случая задачи (1)-(3). А именно случаю, когда область П 6 BJ1 является гиперкубом со стороной длины I. Следующее утверждение позволяет получить полное описание спектра в этом случае.

ТЕОРЕМА 2 . Спектр Лд задачи (1)-(3) с учетом уточнения в начале пункта 1.4 совпадает с объединением множества корней следующих уравнений

sm(hx[xA) = 0, (8)

V <?h

2 J2 cos (^A) = 2n cos (h^JxA) - m.ySsin {h^xA), (9)

(ft = MV^T)

где I - длина ребра гиперкуба, a N = ~ - целое число, an - размерность

гиперкуба.

Замечание 1 . Решения уравнения (8) имеют кратность (N—1)"-1((п-l)iV + l).

Решения уравнений (9) при фиксированной сумме ^Г^/З? сливаются

i=i

при h —> 0, что опять же определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (8) видно, что решения Ад этого уравнения при малых h как угодно далеки от нуля. Поэтому "начало спектра" Л/, сетки Г/, определяется уравнениями (9).

В пункте 1.4.3 в явном виде выписывается спектр исследуемой задачи в случае, когда га/, = 0, т.е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует, а именно

г п Ч2

1 7ГН ТЪО"

Xh,k = ± arccos (- cos (уА)) + 27tk jjr, к&Т,. (10)

¿=1 J

В пункте 1.4.4 рассматривается общий случай ненулевых тд. При этом приводится асимптотическая по h формула для собственных зна-

чений:

А" = ?ЁА? + о(л2). (11)

Рр ^

Легко видеть, что выражение в правой части (11) в точности совпадает со спектром задачи (4), (5) в случае, когда П = [О, I] х • • • х [0, Т.е. в рассматриваемом нами случае

Ад = А + 0{к2).

В пункте 1.5 рассматривается случай произвольной области с кусочно гладкой границей. Основным утверждением этого пункта является следующая

ТЕОРЕМА 3 . Спектр Лд задачи (1)-(3) совпадает, с объединением множества корней следующих уравнений

,-— N яс-лг„

зт^Ад^Л =0, (12)

2п - Ас-/г2 а

2п сое (/ц— ш^л/—(13)

V сгл у рдсгд V <7Л

где Ыс - количество ребер в графе Гд, Л^ - количество внутренних вершин в том же графе, а Хспробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Г^) варианта задачи (4), (5).

Используя теорему (3) мы получаем следующий результат:

ТЕОРЕМА 4 . 1. Для любого А € Л существует последовательность {Ал : Ад € Лд} такая, что Ад А, причем А = Ад + <Э(/12).

2. Если Ад —А, Ад 6 Лд, |А| < оо то А 6 Л, причем А = Ад + 0(Л2).

Во второй главе рассматривается непериодическая сетка из струн с переменными коэффициентами.

Пункт 2.1 посвящен постановке задачи. Пусть Я С I2 - ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек а; 6 П.

Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий а,- своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г ГШ назовем внутренними и их совокупность обозначим ^/(Г). Остальные вершины (т.е. лежащие в дП) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дГ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через л, предполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины.

Задача о спектре частот собственных колебаний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений:

(а{и')'(х) + А(ци(х) =0, I 6 7; С Г, (14)

сг{и'ъ(ц) + Апци(сц) = 0, а,е ЛП> (15)

Ш(а})

и(ак) = 0, ак € дГ. (16)

Здесь сг; - натяжение, р; - плотность струны л, т;- = т(а;) - точечная масса в узле а^.

Задаче (14)-(16) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий ее аналогию с задачей о спектре частот собственных колебаний мембраны:

У(а°Уи) + А р°и = 0,

«I - 0.

С этой целью определим на Г меру ц, договорившись мерой ц(Г) фрагмента Г С Г считать сумму

м(Г) = ^^1(ГП7.) + ^м(ГПа0, (17)

71 °>

в которой П7г) - одномерная мера Лебега части 7,-, попавшей в Г, а = 1 (нульмерная мера Лебега точки полагается равной единице).

Определим оператор дивергенции У^ на векторном поле, касательном к Г. Можно показать, что

Г(х), X е 7»

У^я) = <

<6/(о,)

Е г Ы челг).

т.

Векторные поля, для которых существует дивергенция естественно назвать гладкими. Задача (14)-(16) может быть представлена в виде

А^и + А и- ^У(сгУи) + Аы = 0, (18)

= 0, (19)

аг 4 '

Здесь через р обозначена функция на Г, равная р,- на 7; и равная т(а_,) в вершинах а^. Она предполагается непрерывной на каждом 7,- (множество таких функций обозначается'С7(Г)) и положительной. В уравнении (18) поле аХ7и должно быть гладким (чтобы выражение УДсгУи) имело смысл). Для этого достаточно потребовать, чтобы а допускала продолжение по непрерывности во внутренние вершины вдоль каждого ребра и была непрерывно дифференцируемой внутри каждого ребра. Легко заметить, что значения сг в вершинах не используются в уравнении (18). Для определенности можно считать а(а^) = 0. Внутри каждого ребра сг предполагается строго положительной (<т > а > 0).

Мы будем рассматривать последовательность сеток Г^. Обозначим через к(Гк) максимум длин ребер, входящих в Г*. Данная последовательность порождает семейство задач Штурма - Лиувилля:

^У(<т*Уи) + Хи = 0, (20)

В предположении, что дТк С д£1 и /г(Г^) -> 0 (к оо), нас будет интересовать вопрос о сходимости спектра Л^ задачи (20),(21) к спектру Ло задачи

+ Хи = 0, (22)

и( - 0, (23)

где р° - некоторая положительная плотность, внешний значок V - обычный оператор дивергенции в Ж2, а внутренний - градиент скалярной функции и. Под сходимостью Л/с к Ло мы будем понимать следующее:

1. для любого Ао £ Ло найдется последовательность {Л^} (Л^ € Ль), сходящаяся к Ао;

п. если последовательность {А^} (А*; € Л*) имеет конечный предел Ао при к ->■ оо, то Ао £ ЛоВ пункте 2.3 приводится некоторая абстрактная схема из спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах. Задача, рассматриваемая нами укладывается в следующую абстрактную схему, описанную, например, в [?]. Пусть рассматривается задача о спектре или, например, задача на собственные значения

и(Х)и = (А - А 1)и = О, (24)

где 1/(А) - линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство Р (разумеется Е должно быть вложено в Р). Наряду с задачей (24) рассмотрим последовательность задач вида

ик(Х)щ = (Ак - А 1)ик = 0, (25)

где оператор ик(А) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Рк. При определенных условиях задачу (25) можно считать близкой задаче (24). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида

Е Р

Рк

EkmFk

в которой {pfc} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (]> сходи мост и) последовательности {ик} (ujt € Ек) к элементу и G Е\ мы пишем ик и, если — pjfcu||jst —> 0 при fc -4 оо. От операторов рк требуется выполнения следующих двух условий

• рк - аддитивный и однородный оператор;

• ||р*«||е» IN|e при к оо при любом и е Е.

Аналогично, с помощью семейства {%}, определяется g-сходимость последовательности Vk 6 Fk к v € F. Теперь можно определить понятие так называемой pg-сходимости семейства операторов (А) к оператору {/(А). А именно, мы пишем {/*(А) £/(А), если из р-сходимости к и последовательности {ы^} следует g-сходимость к U(X)u последовательности {C/jfc(A)ufc}. Иными словами:

hit - Vku\\Ek -* 0 =» ||E/"fc(A)ti* - ?417(А)и||д, 0 (26)

Сама по себе pg-сходимость мало что дает; для приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства (£/fc(A)} к U(А). Это, помимо pg-сходимости, предполагает обратимость всех операторов Uk(А) и ограниченность в совокупности норм операторов А) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам ?Я{Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности Е/*(А) к U(А) при всех A G Ж{А).

Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы £/*(А),£7(А) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Ак оператора {/*(А) к спектру Ло оператора U(X). А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 Пусть А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте К ЕС при всех к е N имеет место неравенство

mex\\Uk(\)\\<C=C(K).

Тогда, если последовательность Uk{А) устойчиво сходится к U(А) при А е 5Я(Л), то Ак Л0.

Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (26) будем требовать выполнения условия

IK - РИк 0 =» ||С/к(АК||п -+ ||{7(A)u|[Í\ (27)

Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk : F —> Fk- Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно эхо ослабление рд-сходимости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций.

В пункте 2.4 описываются условия на коэффициенты в уравнении (20), обеспечивающие близость спектра Л* задачи (20),(21) к спектру Ло задачи (22),(23). Они легко усматриваются из физических соображений. Ясно, что масса мембраны, сосредоточенная на участке шсП должна быть близка к массе струнной сетки, сосредоточенной на Г* Лш. Отсюда наше первое условие

J pkdii-Jp°dx <Cíh(rk) J p°dx, (28)

TiOu) ы til

Наше второе условие связывает между собой ак и <т°. Требуется, чтобы для любого отрезка [а; Ь], лежащего в £1 (см. рисунок) и фиксированного направления V, ортогонального этому отрезку, выполнялось неравенство

]Г <т? cos {V,7¿) - J <т° di < C2h(Tk) j <r° di, (29)

7i [a;i>] [a;6]

где l - натуральный параметр на отрезке [а; 6], a суммирование производится по всем ребрам, пересекающим этот отрезок. Данное условие означает, что сила, действующая на отрезок [а; 6] в направлении V со стороны мембраны, обусловленная ее натяжением, близка к силе, действующей в этом же направлении со стороны сетки.

Если, к примеру, Í2 - квадрат на плоскости и все сетки Г* имеют квадратные ячейки, и если при этом р° = const, = const, то полагая все

струны однородными можно взять их плотности и натяжения такими, что Сх = С2 = 0.

Функциональные пространства, используемые в главе 2 приводятся в пункте 2.5. Также в этом пункте описывается последовательность связывающих операторов.

= -У(сг*Уи) Рк

действующим из пространства в пространство Опре-

деления этих пространств аналогичны классическим. Сначала определяется пространство Ь2рк(Г&) как пополнение С(1\) непрерывных на Г* функций по норме || • ||о,* (к - номер графа), определяемой скалярным произведением

= 10окиь)(х)й11к, г*

где цк - мера, описанная в пункте 2.1. Аналогично определяется 1у,(П) и норма || • Цо^, определяемая скалярным произведением

(и,у)ро = У (р°иу)(х)й(м°, п

где с1(м° = ¿х - обычная мера Лебега в К2.

Определим также пространство Сд (Г*) как множество функций, непрерывных на Г*., непрерывно дифференцируемых на каждом ребре 7; и обращающихся в нуль в окрестностях точек из дГПредполагается также, что первые производные допускают продолжения по непрерывности во внутренние вершины графа Г &(вдоль каждого ребра по отдельности; при

этом пределы могут оказаться разными). Теперь определяется

как пополнение Сд (Г^) по норме

Аналогично определяется пространство и норма в нем

И««!^ = (Н«|1§д, + Нл/^ТР5 *.

Наконец, Я^^Г*) определяется как сопряженное к Я^^Г*) со стандартной нормой сопряженного пространства. Аналогично определяется и норма || • ||_1,0.

Через Л (и) обозначается сглаживание функции и по Соболеву-Фридрихсу.

о о

Связывающий оператор рк : Нросто(^) Я*4(г4(Г*) определяется как сужение Т^ на множество Г* функции

= ^к{Х2ски)(х) = У ш€к{X - у)Х2еки(у) п

где число вк фиксируется для каждого Г\ по отдельности так, что е^ О при А; —>■ оо, а Хе _ характеристическая функция множества

Пе = {х € : й(х, дП) > б}

Сглаживающая функция ше = —-) определяется стандартно.

6 б

Лемма 1 Пустпъ и,д° € С(П), дк 6 С{Тк), д°{з) > 0, дк{х) > 0. Пусть ш С и выполнено неравенство

I дЫц." - 1< СI «, ЧЛ

ГцПы ы «

(30)

тогда

У з*« V - J д°у ¿11° <С ! д°ь V + сюс(и;ы)(С+1) ^

Г4Пш

где озс(у;и) - колебания функции V на си.

Назовем П простой областью, если ее пересечение с любой прямой состоит из конечного числа компонент связности. В этом случае область Q допускает разбиение на сколь угодно малые части u>i,..., ш„ также являющиеся простыми. Нам также будет удобно переформулировать условие (29) следующим образом.

Лемма 2 Пусть w С. О. - простая область и v - фиксированное направление. Тогда

J ak(x) cos2 {v, jxW - f a°d(j.° < C2h(Tk) J a°dfj.°, (31)

Г*Пш ш и

где "fx - ребро, содержащее точку х, пробегающую Г* П ш. Заметим, что поскольку во внутренних вершинах ак(х) — 0, то интегрирование по Тк П ш сводится к интегрированию только по участкам ребер графа Г*, лежащим в и>.

Лемма 3 Пусть ш такая же, как и выше, a v Е С(£2). Тогда j ak{x) cos (¿7,7х) sin (¿7,7^)1/(1) d¡ik < C2h(Tk) J a°v d/i°+

Г*Пш

osc(v,u)(C2h(rk) + 1) Ja°dft°.

Теорема 2 Для любой функции и £ выполняется равенство

lim ||p*(«)lli,i = Н|i,o.

*-Юо

В пункте 2.6 доказываются некоторые оценки прямых и обратных операторов. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов &Pkak + XI к оператору Apg^ + XI.

Лемма 4 Пусть и е Я^^Г*). Тогда

||Д^и + Au||_1)Jt < (1 + |А|)||и||и. (32)

То, что оценка зависит только от Л, но не от Гц важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Аркак — I, также независящую от IV

Лемма 5 Пусть и € Тогда

> ||u||i,jfc.

^ Также, в этом пункте показывается, что Аркак : Н1^^ (Г*;) —> (Г\)

является изоморфизмом, а оператор Аркак + XI является фредгольмо-вым с нулевым индексом при каждом к и любом Л. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных Л, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор —Д^* формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в М. Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора —Дркак дискретен.

В пункте 2.7 доказывается дискретная, а потом и устойчивая сходимость операторов + XI.

о о р

Теорема 3 Пусть ик S Н^ак{Рк), и € Нроао{^)- Тогда из щ —> и следует, что

lim ЦДр^и* + Aujfc||_i к = ||Ap<v>M + Au||_ii0

k-> оо

Теорема 4 Пусть выполняются условия (28), (29) и Л(Г*:) —> 0 при к —» оо. Тогда

i. для любого Ао S Ло найдется последовательность {А*} (Хк S Ак), сходящаяся к Xq;

ii. если последовательность {A*} (Xk € Ак) имеет конечный предел Ао при к оо, то Xq € ЛоВ заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность

Ю.В. Покорному и О.М. Пенкину за постановку задач, полезные комментарии и обсуждение результатов работы, поддержку и помощь в работе.

Список литературы

[1] Комаров A.B. О спектре равномерной сетки из струн/A.B. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Известия ВУЗов. Математика - 2000 - Ш- С.23-27.

[2] Комаров A.B. О спектре тканной мембраны/ A.B. Комаров; Воронеж. гос. ун-т.-Воронеж, 2002 - 7с- Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, М720-В2002.

[3] Комаров A.B. О равномерном неравенстве Пуанкаре/ A.B. Комаров; Воронеж, гос. ун-т.-Воронеж, 2002,- 5с- Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, №1719-В2002.

[4] Комаров A.B. О частотном спектре многомерной сетки из струн/A.B. Комаров// Межвузовский сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения и их приложения.- Самара, 2002.-Выпуск 1.- С.114-117.

[5] Комаров A.B. О частотном спектре многомерного аналога тканой мембраны/A.B. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Доклады РАН. Математика - 2003.- Т.390, №2,- С.151-154.

[6] Комаров A.B. О приближении многомерных объектов одномерными/A.B. Комаров// Труды математического факультета. - Б.м. -(Новая серия).- Воронеж, 2002,- Выпуск 7.- С.53-58.

Заказ М^Згот //. Off.2003 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

SLoog-/]

1483 9

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Комаров, Андрей Валерьевич

* t Введение

1 Спектр сеток с квадратными ячейками

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательные сведения из теории графов.

1.3 Сведение задачи к задаче о спектре алгебраического графа

1.4 Спектр гиперкубической сетки.

1.4.1 Некоторые факты из спектральной теории алгебраических графов.

1.4.2 Общее уравнение.

1.4.3 Случай без масс.

1.4.4 Случай с массами f 1.5 Случай произвольной области

У ^ 2 Произвольные сетки

2.1 Постановка задачи.

2.2 Равномерное неравенство Пуанкаре.

2.3 Об аппроксимации многомерных задач одномерными

2.4 Условия близости спектров Л* и Ло

2.5 Связывающие операторы.

2.6 Некоторые оценки прямых и обратных операторов.

2.7 Сходимость операторов Д+ XI.

Введение диссертация по математике, на тему "О приближении многомерных объектов одномерными"

Проблематика данной работы тесно примыкает с одной стороны к общей спектральной теории дифференциальных операторов на так называемых геометрических графах (Г. Люмер, Ю.В. Покорный, Б.С. Павлов и др.). С другой стороны имеется связь с теорией усреднения дифференциальных операторов на сингулярных структурах (В.В. Жиков, С.А. Назаров и др.), выросшей, в свою очередь, из теории усреднения в перфорированных областях (В.В. Жиков, С.М. Козлов, О.А. Олейник, Э.Санчес-Паленсия и др.).

В связи с этим представляется актуальным сохранив преимущества метода усреднения распространить его на непериодический случай. В общем объеме эта задача представляется сложной и вряд ли следует ожидать ее быстрого решения. Однако, для задачи, рассматриваемой в данной работе удалось получить продвижение в этом направлении на основе техники, близкой к разработанной Г.М. Вайникко в 70-х годах и относящейся к изучению сходимости проекционных методов (метод Га-леркина, Ритца и др.). В итоге нами найдены достаточно естественные физические условия при которых низкочастотная часть спектра сетки из струн, достаточно густо заполняющей область П С й" близка к аналогичной части спектра некоторого упругого континуума (при п = 2 мембраны), заполняющего ту же область. Ранее подобные результаты получались только для случая периодических систем.

Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике выделим в следующие несколько пунктов:

1 Показано, что низкочастотная часть спектра периодической сетки из однородных струн сходится к соответствующей части спектра однородной мембраны вместе с кратностями.

2 Найдены естественные физические условия близости спектров непериодических сеток из струн и спектра мембраны, заполняющих одну и ту же область.

Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.

В целом, в первой главе изучается спектр периодической сетки из струн с квадратными ячейками, заполняющей некоторую область в FC1.

Пункт 1.1 посвящен постановке задачи. Пусть в Rn натянута сетка Гл, состоящая из струн 7;, связанных между собой в виде графа с квадратными ячейками и "заполняющая" некоторую область £1 с кусочно гладкой границей. Предполагается, что сетка закреплена в узлах - их множество обозначим через дГ^, лежащих в д£1. Множество остальных узлов обозначим через J(Th) и будем называть внутренними вершинами графа Гд. Математической моделью собственных колебаний описанной сетки является следующий набор соотношений:

Thu"(x) + \hphu(x) = 0, х е ji (0.1)

Oh ui(x) + *hrnhu(x) = 0, X = dj e J(Th)

Ш(х) u(x) = 0, x = a,j G dTh.

0.2)

0.3)

Здесь дифференцирование производится по натуральному параметру на каждом ребре. В уравнении (0.2) под и[{х) понимается производная по направлению "от вершины" a,j. Через I(a,j) обозначается множество номеров ребер, примыкающих к a,j. Величины <т/», рь равны соответственно натяжению струны и ее плотности, а ть - величина массы, сосредоточенной в узле a,j. Предполагается, что сгь, ph постоянны, и на всех стру нах одинаковы. Также предполагается, что тн во всех узлах одинаковы. Рассматриваемые функции и : Гд —У R непрерывны во всех внутренних узлах.

Здесь р(= const) - плотность распределения масс и сг(= const) - натяжение мембраны.

В пункте 1.3 задача (0.1)-(0.3) сводится к задаче о спектре некоторого алгебраического графа. Откуда получается такое утверждение

ТЕОРЕМА 1 . Спектр Ah задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений jAu + Л ри = 0

0.4) вп = 0.

0.5)

0.6)

G - р/| = 0,

0.7) где Nc - количество ребер в графе Th, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, р = 2ncos (h\lk*>h) — rrih\ ^h sin (h\[h*>h).

V (Th V Ph&h V (Th a G - матрица смежности алгебраического графа, полученного из Th выбрасыванием граничных вершин (аа Е дГл) и ребер, к ним примыкающих.

Пункт 1.4 посвящен изучению частного случая задачи (0.1)—(0.3). А именно случаю, когда область О, € является гиперкубом со стороной длины I. Следующее утверждение позволяет получить полное описание спектра в этом случае.

ТЕОРЕМА 2 . Спектр Л& задачи (ОЛ)-(О.З) с учетом уточнения в начале пункта 1.4 совпадает с объединением множества корней следующих уравнений sin(/iA/v^) = 0, (0.8)

V (Th

2 Т cos Ai) = 2n cos (h.[xA) - mhJ-^~ sin (h.fxA), (0.9) I \ (Th у Ph<Jh V ah

A = 1,N-1) где I - длина ребра гиперкуба, a N = - целое число, an - размерность h гиперкуба.

Замечание 0.1 . Решения уравнения (0.8) имеют кратность (N — l)n-\(n-l)N + l). п

Решения уравнений (0.9) при фиксированной сумме У^ Д? сливаются i=l при h —У 0, что опять же определяет кратность общего решения как точки спектра. Из (0.8) видно, что решения Ад этого уравнения при малых h как угодно далеки от нуля. Поэтому "начало спектра" Ад сетки Th определяется уравнениями (0.9).

W *6 z- (01°)

В пункте 1.4.3 в явном виде выписывается спектр исследуемой задачи в случае, когда т^ = 0, т.е. загрузка массами в узлах сетки отсутствует, а именно

Xhk= ± arccos (— V cos (~0i)) + 2я- к

71 I t=l

В пункте 1.4.4 рассматривается общий случай ненулевых тh. При этом приводится асимптотическая по h формула для собственных значений: тЙ^ + оС"2)- С-11)

Легко видеть, что выражение в правой части (0.11) в точности совпадает со спектром задачи (0.4), (0.5) в случае, когда Q = [0, I] х • • • х [0,I]. Т.е. в рассматриваемом нами случае

Ал = A + 0(/i2).

ТЕОРЕМА 3 . Спектр Л/, задачи (ОЛ)-(О.З) совпадает с объединением множества корней следующих уравнений

I—— \ nc-Nv sm(hJ\h^)j =0, (0.12)

2 п - ЛА2 = 2n cos - mhJ-^- sin (0.13)

0 \(?h у Ph(Th V cr/t где Nc - количество ребер в графе Гд, Nv - количество внутренних вершин в том же графе, а \спробегает спектр Лс дискретизированного (по сетке Th) варианта задачи (0.4), (0.5).

Используя теорему (3) мы получаем следующий результат:

ТЕОРЕМА 4 . 1. Для любого A G Л существует последовательность {Ал : Ад 6 Лл} такая, что А л —>■ А, причем А = Ал + 0(h2).

2. Если А л А, Ал € Лл, |А| < оо mo А е Л, причем А = Ал 4- 0(h2).

Во второй главе рассматривается непериодическая сетка из струн с переменными коэффициентами.

Пункт 2.1 посвящен постановке задачи. Пусть С R2 - ограниченная область. Пусть далее задана конечная совокупность точек щ € П. Через Г обозначим связный геометрический граф, имеющий щ своими вершинами. Вершины, лежащие в Г = Г П Г2 назовем внутренними и их совокупность обозначим J{Y). Остальные вершины (т.е. лежащие в dQ) будем называть граничными вершинами графа Г и их совокупность обозначим дТ. Ребра графа Г, обозначаемые далее через упредполагаются прямолинейными интервалами, соединяющими некоторые вершины.

Задача о спектре частот собственных колебаний сетки из струн описывается следующим набором дифференциальных соотношений: ъи')'(х) + Apiu(x) = О, х G л С Г, (0.14)

Пи'ъ(аз) + = 0, aj е *7(Г), (0.15) u(afc) = 0, ак£дГ. (0.16)

Здесь <7j - натяжение, pi - плотность струны у£, rrij = m(a,j) - точечная масса в узле aj.

Задаче (0.14)-(0.16) удобно придать «классический» вид, подчеркивающий ее аналогию с задачей о спектре частот собственных колебаний мембраны:

V(<j°Vu) + А р°и = 0, и =0. д(1

С этой целью определим на Г меру р,, договорившись мерой р(Г) фрагмента Г С Г считать сумму р(Г) = ]Г ^(Г П 7,) + £><,(? П щ), (0.17)

7< <h в которой fj,i(t fl7i) - одномерная мера Лебега части 7*, попавшей в Г, а Ho(a,i) = 1 (нульмерная мера Лебега точки полагается равной единице).

Определим оператор дивергенции V^ на векторном поле, касательном к Г. Можно показать, что

VF(x) = <

F'(x), хе уi

Е F Ы, ajejp). iel(aj)

Векторные поля, для которых существует дивергенция естественно назвать гладкими. Задача (0.14)-(0.16) может быть представлена в виде

А^и + \и = iv(trVu) + \и = 0, (0.18) и 0, (0.19) аг v '

Здесь через р обозначена функция на Г, равная pi на 7* и равная m(a,j) в вершинах a,j. Она предполагается непрерывной на каждом 7,- (множество таких функций обозначается С7(Г)) и положительной. В уравнении (0.18) поле aVu должно быть гладким (чтобы выражение V/t(crVn) имело смысл). Для этого достаточно потребовать, чтобы <т допускала продолжение по непрерывности во внутренние вершины вдоль каждого ребра и была непрерывно дифференцируемой внутри каждого ребра. Легко заметить, что значения а в вершинах не используются в уравнении (0.18). Для определенности можно считать a{a.j) = 0. Внутри каждого ребра о предполагается строго положительной (а > а > 0).

Мы будем рассматривать последовательность сеток Г*. Обозначим через Н(Гк) максимум длин ребер, входящих в Г*. Данная последовательность Гл порождает семейство задач Штурма - Лиувилля:

-p-V(akVu) + Хи = 0, (0.20) 0. (0.21) и дгк

В предположении, что дТк С дО, и /г,(Г*) 0 (к —> оо), нас будет интересовать вопрос о сходимости спектра А к задачи (0.20),(0.21) к спектру

Ло задачи iv(<r°Vu) + Ли = 0, (0.22) где р° - некоторая положительная плотность, внешний значок V - обычный оператор дивергенции в М2, а внутренний - градиент скалярной функции и. Под сходимостью Ajfc к Ло мы будем понимать следующее: i. для любого Ло £ Ло найдется последовательность {Л*} (Хк € Л*), сходящаяся к Ло; ii. если последовательность {Л*} (Лд- £ Л*) имеет конечный предел Ло при к —У оо, то Ло 6 ЛоВ пункте 2.3 приводится некоторая абстрактная схема из спектральной теории линейных операторов в банаховых пространствах. Задача, рассматриваемая нами укладывается в следующую абстрактную схему, описанную, например, в [12]. Пусть рассматривается задача о спектре или, например, задача на собственные значения

U{\)u = (А - \1)и = 0, (0.24) где U(Л) - линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово пространство F (разумеется Е должно быть вложено в F). Наряду с задачей (0.24) рассмотрим последовательность задач вида

Uk{X)uk = СА* - Л/К = 0, (0.25) где оператор Uk(X) действует из банахова пространства Ек в банахово пространство Fk. При определенных условиях задачу (0.25) можно считать близкой задаче (0.24). Один из вариантов описания такой близости состоит в задании диаграммы вида

Е F

Л 1"

EkmFk в которой {рк} - семейство так называемых связывающих операторов, позволяющих придать смысл сходимости (р-сходимости) последовательности {и*} (ujfc G Ек) к элементу и € Е\ мы пишем щ —^ и, если — PkV>\\Ek —>• 0 при к —)> оо. От операторов требуется выполнения следующих двух условий

• Рк~ аддитивный и однородный оператор;

• Ibik^lUk —* |Н|# при к оо при любом и 6 Е.

Аналогично, с помощью семейства {<&}, определяется ^-сходимость последовательности Vk Е Fk к v £ F. Теперь можно определить понятие так называемой до-сходимости семейства операторов (А) к оператору U(А). А именно, мы пишем Uk(\) U(\), если из р-сходимости к и последовательности {г**} следует g-сходимость к U(X)u последовательности {Uk(\)uk}. Иными словами:

IK - рки\\Ек 0 =► - qkU{\)u\\Fk 0 (0.26)

Сама по себе до-сходимость мало что дает; для приложений требуются дальнейшие ее уточнения. Для наших целей важную роль будет играть так называемая устойчивая сходимость семейства {£/*(А)} к U{\). Это, помимо до-сходимости, предполагает обратимость всех операторов Uk(А) и ограниченность в совокупности норм операторов С/^"1(Л) (резольвент операторов Ак) начиная с некоторого номера. Разумеется об устойчивой сходимости можно говорить лишь при А, принадлежащих всем резольвентным множествам ^Я(Ак) операторов Ак, начиная с некоторого номера (своего для каждого А). Мы потребуем устойчивой сходимости последовательности Uk(А) к U(А) при всех A G 91(Л).

Устойчивая сходимость при некоторых дополнительных требованиях на операторы £/*(А),?7(А) обеспечивает близость (в указанном выше смысле) спектра Ак оператора Uk(X) к спектру Ло оператора U(А). А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 0.1 Пусть А и Ак фредгольмовы с нулевым индексом и на любом компакте К € С при всех к £ N имеет место неравенство ты\\ик(\)\\<С = С{К),

Тогда, если последовательность Uk(X) устойчиво сходится к U(А) при X е ЩА), то At Ло

Нами будет использоваться ослабленный вариант pg-сходимости. А именно, вместо (0.26) будем требовать выполнения условия uk-Pku\\Ek \\Uk(X)uk\\Fk (0.27)

Это избавит нас от необходимости вводить связывающие операторы qk : F Fk. Рассуждения, проведенные выше справедливы и в случае такой сходимости. Следует отметить, что именно это ослабление pg-сходи мости лишает нас возможности обсуждать близость собственных функций.

В пункте 2.4 описываются условия на коэффициенты в уравнении (0.20), обеспечивающие близость спектра Ак задачи (0.20),(0.21) к спектру Ло задачи (0.22),(0.23). Они легко усматриваются из физических соображений. Ясно, что масса мембраны, сосредоточенная на участке ш С Г2 должна быть близка к массе струнной сетки, сосредоточенной на Г* П со. Отсюда наше первое условие

J pkdfj, — j p°dx <Cih{Tk) f p°dx, (0.28)

Г/fcDu; и w

Наше второе условие связывает между собой ак и <т°. Требуется, чтобы для любого отрезка [а; 6], лежащего в Q (см. рисунок) и фиксированного направления V, ортогонального этому отрезку, выполнялось неравенство

TV?cos(i?,7i)- j a°dl <C2h(Tk) J <r° dl,

7< M [a;6j

0.29) где I - натуральный параметр на отрезке [a; b], а суммирование производится по всем ребрам, пересекающим этот отрезок. Данное условие означает, что сила, действующая на отрезок [а; 6] в направлении и со стороны мембраны, обусловленная ее натяжением, близка к силе, действующей в этом же направлении со стороны сетки.

Если, к примеру, £1 - квадрат на плоскости и все сетки Г^ имеют квадратные ячейки, и если при этом р° — const, <т° = const, то полагая все а, струны однородными можно взять их плотности и натяжения такими, что Ci = C2 = 0.

Начиная с этого пункта мы приступаем к реализации схемы, намеченной в разделе 2.3. В первую очередь займемся построением связывающих операторов. Нам будет удобно (не меняя требований на гладкость коэффициентов) рассматривать оператор деления этих пространств аналогичны классическим. Сначала определяется пространство L^(Tk) как пополнение С(Г*) непрерывных на Г* функций по норме || • ||о,л (к - номер графа), определяемой скалярным произведением

Apia* = —V(<7*Vll)

Рк о 1 действующим из пространства Н^ак (Г^) в пространство Опрегде цк - мера, описанная в пункте 2.1. Аналогично определяется L^iQ) и норма || • ||о,о, определяемая скалярным произведением a где dfjp — dx- обычная мера Лебега в R2.

Определим также пространство Cq (Г*) как множество функций, непрерывных на Гл, непрерывно дифференцируемых на каждом ребре 7* и обращающихся в нуль в окрестностях точек из дГк- Предполагается также, что первые производные допускают продолжения по непрерывности во внутренние вершины графа Гк(вдоль каждого ребра по отдельности; при о этом пределы могут оказаться разными). Теперь H^^i^k) определяется как пополнение С^Г*) по норме о

Аналогично определяется пространство Н^ао и норма в нем IMIi,o=(ll<o + llv^V<o)*.

1 ° 1 Наконец, Hpk(jk(Г^) определяется как сопряженное к Н^^О^к) со стандартной нормой сопряженного пространства. Аналогично определяется и ноРма II ' 11-1,0

Через J€(u) обозначается сглаживание функции и по Соболеву-Фридрихсу. о о

Связывающий оператор рк : Н^^о —>• Нркак (Г*) определяется как сужение Тк на множество Г* функции

J%(u) = Jek(X2eku)(x) = J иек(х - у)Х2еки(у) dy, n где число €к фиксируется для каждого Тк по отдельности так, что ек 0 при к —)• оо, а Хе ~ характеристическая функция множества {х € Q : d(x, дП) > с}

- 1 ,Х—у у.

Сглаживающая функция ш€ = -) определяется стандартно.

6 €

Лемма 0.1 Пусть v,g° £ C(ft), дк € С(Гк), g°(s) > 0, дк(х) > 0. Пусть w G £1 и выполнено неравенство

Г*Пы ш

J gkdfj,k - J g°diA° <С J </V, (0.30) ш тогда

J gkv dfj,k — J g°v

ГкПо; ш с f 9°V dp*

U) ш где osc(v; ш) - колебания функции v на из.

Назовем ft простой областью, если ее пересечение с любой прямой состоит из конечного числа компонент связности. В этом случае область ft допускает разбиение на сколь угодно малые части ., изп также являющиеся простыми. Нам также будет удобно переформулировать условие (0.29) следующим образом.

Лемма 0.2 Пусть из С ft - простая область и V - фиксированное направление. Тогда j ak{x)cos2{v^x)dnk - J<C2h(Tk) J(0.31) r*Dw и Ш где - ребро, содержащее точку х, пробегающую П из. Заметим, что поскольку во внутренних вершинах ак(х) = 0, то интегрирование поТкГ\из сводится к интегрированию только по участкам ребер графа Tk, лежащим в из.

Лемма 0.3 Пусть из такая же, как и выше, a v Е С(ft). Тогда

J orfe(a;)cos(i7,7x)sin(i7,7X)v{x) < C2h{Tk) J a°v dn°+ Ш osc{v,u3)(C2h(Tk) + l) J(7%°.

Г*Пи> w о

Теорема 0.2 Для любой функции и £ H^ift) выполняется равенство lim \\pk(u)\\i,k = |M|i,o. «->00

В пункте 2.6 доказываются некоторые оценки прямых и обратных операторов. Данный пункт является подготовительным к доказательству сходимости операторов АРк(Тк + XI к оператору Др,,^ + XI. о

Лемма 0.4 Пусть и Е Я^ЦГ*). Тогда

Аи||м < (1+ |А|)|М|м. (0.32)

То, что оценка зависит только от А, но не от Г* важно для дальнейшего. Следующая лемма дает оценку норм операторов, обратных к Аркак — /, также независящую от Г*. о

Лемма 0.5 Пусть и е Н^ак(Тк)- Тогда

ApkakU - ii||i)Jfc > |M|1>jfc. О

Также, в этом пункте показывается, что : Н1^ак (Г*;) —У (Г&) является изоморфизмом, а оператор Д^* + XI является фредгольмо-вым с нулевым индексом при каждом к и любом А. Хотя формально мы должны рассматривать и случай комплексных А, тем не менее можно ограничиться случаем вещественных и положительных А. Это следует из того, что оператор формально самосопряженный и положительно определенный, а потому его спектр лежит на положительной полуоси в BL Отметим также, что в силу упомянутой выше фредгольмовости спектр оператора — Др*ст* дискретен.

В пункте 2.7 доказывается дискретная, а потом и устойчивая сходимость операторов Др*а* + XI.

О О р

Теорема 0.3 Пусть щ € « € НрТогда из щ —> и следует, что lim \\ApkgkUk + Aufc||-i,jfe = ЦДроаои + Au||i)0 k—too

Теорема 0.4 Пусть выполняются условия (0.28), (0.29) и h(Tk) —0 при к оо. Тогда i. для любого Ао Е Ло найдется последовательность {Л*} (X к Е Л к), сходящаяся к Ло; гг. если последовательность {Л*} (Хк € Ак) имеет конечный предел Ло при к —У оо, то Ло G Ао

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 15 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 81 стр. Библиография содержит 27 наименования. Текст иллюстрируют б рисунков.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Комаров, Андрей Валерьевич, Воронеж

1. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /Б.С. Павлов, М.Д. Фаддеев// Теоретическая и математическая физика.-1983.- Т. 55, № 2.- С. 257-269.

2. Покорный Ю.В. Теоремы Штурма для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Докл. АН СССР- 1989 Т. 309, № 6-С. 1306-1309.

3. Покорный Ю.В. О теоремах сравнения для уравнений на графах /Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин//Дифференциальные уравнения,-1989.- Т. 25, № 7.- С. 1141-1150.

4. Nicaise S. Estimees du Spectre de Laplacian sur une reseaux topologique fini/S. Nicaise//Comptes Rendus Acad. Sc. Paris 1986- t. 303, ser.8.- P. 343-346.

5. Олейник О.А., Соболева Т.С.//Успехи математических наук -1988.— Т. 43, № 4.- С. 185-186.

6. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения/О.А. Ладыженская М.: ГИТТЛ, 1953.-254с.

7. Цветкович Д. Спектры графов: Теория и применение/Д. Цветкович, М. Дуб, X. Захс Киев: Наукова думка, 1984.-348с.

8. Жиков В.В. Усреднение дифференциальных операторов/В.В. Жи-ков, С.М. Козлов, О.А. Олейник М.: Наука, 1993.-453с.

9. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости/В.В. Жиков//Мат. сб.-1996 Т. 187, № 8 - С. 1109-1147.

10. Жиков В.В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах/В.В. Жиков//Изв. РАН 2002.- Т. 66, № 2 - С. 81-148.

11. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей/С.А. Назаров//Тр. семинара им. И.Г. Петровского 1995 - Вып. 18 - С. 3-78.

12. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1976.- 160с.

13. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений/Г.М. Вайникко.- Тарту: изд-во Тартуск. ун-та, 1970 172с.

14. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн/А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Изв. ВУЗов. Математика.-2000 Л* 4.- С. 23-27.

15. Комаров А.В. О спектре тканной мембраны/ А.В. Комаров; Воронеж. гос. ун-т.-Воронеж, 2002.- 7с Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, Я® 1720-В2002.

16. Комаров А.В. О равномерном неравенстве Пуанкаре/ А.В. Комаров; Воронеж, гос. ун-т.-Воронеж, 2002 5с - Деп. в ВИНИТИ 11.10.02, № 1719-В2002.

17. Комаров А.В. О частотном спектре многомерной сетки из струн/А.В. Комаров// Межвузовский сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения и их приложения.- Самара, 2002.-Вып. 1.- С. 114-117.

18. Комаров А.В. О частотном спектре многомерного аналога тканой мембраны/А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Докл. РАН. Математика.- 2003.- Т. 390, № 2.- С. 151-154.

19. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными/А.В. Комаров// Труды математического факультета. (Новая серия).- Воронеж, 2002 Вып. 7 - С. 53-58.

20. Nicaise S. Relationship between the lower frequence spectrum of plates and networks of beams/S. Nicaise, O. Penkin// Math. Meth. Appl. Sci.-2000.- V. 23 P. 1389-1399.

21. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions/О. Penkin// F. Ali Mehmeti, J. von Belov and S. Nicaise eds., Partial differential equations on multistructures Marcel Dekker, 2001- P. 183-191.

22. Завгородний М.Г. О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях/М.Г. Завгородний, Ю.В. Покорный// Успехи мат. наук 1989 - Т. 44, № 4 - С. 220-221.

23. Friedman A. Partial Differential Equations/А. Friedman- Holt, Rinehart and Winston, 1969.- 262p.

24. Пенкин O.M. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах/О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный//Дифференциальные уравнения.- 1998.- Т. 34, ДО 8.- С. 1107-1113.

25. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах/В.В. Куляба, О.М. Пенкин//Докл. РАН 2002 - Т. 386, ДО 4.- С. 453-456.

26. Nicaise S. Fundamental Inequalities on Firmly Stratified Sets and Some Applications/S. Nicaise, O. Penkin// Journal of inequalities pure and applied mathematics.- 2003 V. 4, is. 1, art. 9.

27. Като Т. Теория возмущения линейных операторов/Т. Като.- М.: Мир, 1972.- 740с.