О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

правах рукописи

005008245

Замалиев Руслан Рашидович

О ПРЯМЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРЕ

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ЯНВ 2012

Казань - 2012

005008245

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Габбасов Назим Салихович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гарифьянов Фархат Нургаязович

кандидат физико-математических наук, Соловьева Светлана Александровна

Ведущая организация:

Национальный исследовательский

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится "16" февраля 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан "_" января 2012 г. и размещен на официальном

сайте ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет": www.ksu.ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре.

Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого и второго родов, сингулярных интегральных уравнений. Подробный обзор установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях А.Ф. Верланя и B.C. Сизикова, В.В. Иванова, в специальных обзорных работах В.Г. Габдулхаева, 3. Пресдорфа, И.К. Лифанова и Е.Е. Тыртышникова, а также в монографиях С.М. Белоцерковского и И.К. Лифанова, Г.М. Вайникко, В. Вольтерра, Б.Г. Габдулхаева, Ф.Д. Гахова, В.В. Иванова, Л.В. Канторовича и Г.П. Акилова, Л.В. Канторовича и

B.И. Крылова, М.Л. Краснова, И.К. Лифанова, А.Ю. Лучки и Т.Ф. Лучка,

C.Г. Михлина и Х.Л. Смолицкого, Н.И. Мусхелишвили, 3. Пресдорфа и др. В то же время ряд важных задач теорий упругости, плазмы, переноса нейтронов, рассеяния частиц, а также теорий уравнений смешанного типа и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом приводит к уравнению третьего рода

Ах = u(t)x{t) -XÎ K(t,s)x(s)ds = y{t) (t g [a,b]), (1)

J a

где Л — числовой параметр, коэффициент u{t) — непрерывная функция, имеющая на отрезке [а, 6] конечное множество нулей степенного порядка, K(t, s) и y(t) — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами "гладкости", а x(t) — искомая функция. Первые результаты по уравнениям третьего рода, скорее всего, принадлежат Э. Пикару, именно он назвал уравнения вида (1) интегральными уравнениями третьего рода. Им было рассмотрено модельное уравнение вида (1), где v{t) = t, a < 0 < 6, Kit, s) и y(t) — аналитические функции. Методом сведения к сингулярному интегральному уравнению он указал необходимые

и достаточные условия существования аналитических решений. Дальнейшие исследования уравнений третьего рода были продолжены в работах Ш. Платрие, А.Р.Хволеса, В.Шмайдлера, В.А. Морозова, Х.Г. Бжихатлова,

B.Б. Короткова и П.Н. Денисенко. Во всех этих работах решение уравнений ищется в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или других функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D понимается пространство обобщенных функций, построенных при помощи функционала "дельта-функция Дирака", а под V — пространство обобщенных функций, построенных при помощи "конечной части интеграла по Адамару". Впервые в пространстве обобщенных функций уравнение третьего рода исследовалось Г.Р. Бартом и Р.Л. Варноком. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н. Расламбекова, Г.Р. Барта, Н. Сукаванама, К.Б. Бараталиева,

C.Н. Расламбекова. Все эти работы посвящены теории Нетера для соответствующих уравнений третьего рода в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор полученных результатов и библиографию можно найти в монографии Н.С. Габбасова (2006 г.). В диссертации Абдурахмана (2003 г.) исследовано уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором в главной части. В предположении, что исходные данные являются точечно "гладкими", построена теория Нётера для соответствующих уравнений третьего рода в классах гладких и обобщенных функций. В статье Д. Шулаи (2007 г.) рассмотрены уравнения третьего рода с коэффициентом cos t, имеющим на промежутке интегрирования конечное множество нулей. В случае гёльдерова ядра интегрального оператора и правой части из класса Мусхелишвили методами теории сингулярных интегральных уравнений установлены необходимые и достаточные условия разрешимости исследуемых уравнений в классе Мусхелишвили.

Уравнения третьего рода точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных

методов их приближенного решения в пространстве обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н.С. Габбасова, который исследовал уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа О получены в определённом смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В. А. Золотаревского (2003 г.) некоторые результаты Н.С. Габбасова (1990 г.) в частном случае пространства типа £> перенесены на уравнения третьего рода в комплексной плоскости. Диссертация С.А. Соловьевой (2007 г.) посвящена приближенному решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа V. В работе построены и обоснованы оптимальные по порядку точности прямые проекционные методы решения изучаемых уравнений.

Дальнейшее развитие теории уравнений третьего рода с регулярными ядрами и упомянутые выше приложения привели к необходимости исследования уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. В статье В. Янга и М. Цуи (2008 г.) исследовано уравнение третьего рода с коэффициентом, имеющим простые нули, и ядром с особенностью в начале промежутка интегрирования. Предполагая исходные данные точечно "гладкими", построено точное решение в виде ряда в пространстве производящих ядер. Показано, что частичные суммы (т.е. приближенные решения) порождают монотонно убывающую последовательность погрешностей. В работе Л. Ферыо (2009 г.) рассмотрено уравнение третьего рода с коэффициентом, имеющим на бесконечном промежутке интегрирования один нуль степенного порядка меньше единицы. При этом ядро интегрального оператора имеет слабую особенность, а правая часть уравнения является достаточно гладкой. В зависимости от промежутка интегрирования исследуемое уравнение третьего рода редуцировано либо к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, либо к системе двух таких фредгольмовых уравнений. Приближенные

решения последних построены методом Нистрёма — специальным вариантом квадратурного метода. Установлены оценки погрешности и доказана сходимость приближенных решений к точному в определенном пространстве непрерывных весовых функций. В указанных работах по уравнениям третьего рода с фиксированными особенностями в ядре аппарат обобщенных функций не привлекается. Первые результаты по разрешимости уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в классе обобщенных функций получены Н.С. Габбасовым (2009 г.).

Таким образом, из приведенного выше краткого обзора работ по уравнениям третьего рода с фиксированными особенностями в ядре следует, что вопросы разрешимости таких уравнений в пространстве обобщенных функций мало исследованы. В частности, задача построения, обоснования и оптимизации методов приближенного решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в классах обобщенных функций, по существу, оставалась открытой.

Цель работы — построение полной теории разрешимости уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим в промежутке интегрирования конечное множество нулей степенного порядка, и ядром, имеющим особенности произвольного степенного порядка на концах рассматриваемого отрезка; разработка и теоретическое обоснование методов приближенного решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций.

В диссертации, следуя Л.В. Канторовичу и Б.Г. Габдулхаеву, под теоретическим обоснованием приближенных методов понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности решения приближенного уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных уравнений; д) оптимизация по порядку точности предлагаемых приближенных методов.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенно используются теории обобщенных функций, операторов Нётера, приближения функций и общая теория

приближенных методов анализа. При этом подходы и доказательства, приведенные в работе, основываются на использовании результатов и методики исследований, предложенных в монографии научного руководителя.

Научная новизна. В диссертации введены специальные пространства основных функций, изучены их свойства, и построены специальные элементы теории приближения в этих пространствах, приспособленные к приближенному решению уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. Для исследуемых уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре построена полная теория разрешимости в пространстве обобщенных функций (фредгольмовость, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения). Проведено теоретическое обоснование как классических, так и разработанных в работе специальных методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций. Решена задача оптимизации проекционных методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре, при этом установлены оптимальные по порядку точности "полиномиальные" и "сплайновые" методы решения этих уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы и полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах обобщенных функций, а также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к такого рода уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 — 2011 гг.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2009" (Казань), на Республиканских научно-практических конференциях "Наука, технологии и коммуникации в современном обществе" (Набережные Челны, 2009 — 2011 гг.), на международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань,

2009, 2011 гг.), на Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2010 г.), на международной конференции 'Теория приближений", посвященной 90-летию С.Б. Стечкина (Москва, 2010 г.), а также были представлены на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — ХХГ (Воронеж, 2010 г.) и на VI международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2010 г.). Результаты диссертационного исследования в целом докладывались и обсуждались в Казанском федеральном университете (КФУ) на семинаре кафедры теории функций и приближений (2010 г., руководители — проф. Ф.Г. Авхадиев, доц. Ю.Р. Агачев) и на совместном заседании кафедр математического анализа и теории функций и приближений (2011 г.), в филиале КФУ в г. Набережные Челны на семинаре кафедры высшей математики (2011 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов), в Набережночелнинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2010 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 86 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя обоснование актуальности темы исследования, обзор работ по теме диссертации и краткое изложение полученных автором результатов.

В первой главе вводятся основные пространства, изучаются их функциональные свойства, необходимые в дальнейших исследованиях, и строится специальная теория приближения в этих пространствах.

В §1.1 вводится класс У = С0{™};{р} точечно "гладких" функций, изучаются некоторые его свойства. В частности, доказаны теоремы о вложении банаховых пространств.

Пусть С = С(1) — пространство непрерывных на I = [-1,1] функций с обычной тах-нормой и т е N. Через Сг{от} = С{т; «0} обозначается класс функций д е С, имеющих в точке t0 е (-1,1) тейлоровскую производную порядка т.

Пусть р € К+. Через С{р; 1} обозначается пространство функций д € С, имеющих левые тейлоровские производные 1) (г = 1, [р]) в точке ( = 1, причем в случае р ^ [р] ([•] — целая часть) существует конечный предел

lim

3=0 J-

(i-ty

Векторное пространство С{р, 1} снабдим нормой

л

где

Sg =

9(t) -¿<7{Í>(1)

(í -1)'

i=0

(i - t)-p = G(t) e c,

Л = A(p) = [p] - (1 +sign([p] -p)), G(l) = Дт G(t). Далее образуем основное пространство

К ^ ее cif^(l) ЕЕ {у е С{ш; 0}\Ty G С{р; 1}}

(считаем, что С{0; 1} = С, а следовательно С,0{.°1}'{0} ее С). Пространство Y полно относительно нормы

т-1

1Ы1г = га{р}+;>>«(0)| (yev).

Здесь

¿=о

Tf =

т-1

№ - Ef{i}WW

1=0

рт =*"(«) б С.

В §1.2 вводится пространство X = 1)^{т;0}, устанавливаются некоторые его свойства, в частности, доказывается, что пространства А'

и У являются взаимно союзными, а также приводится ряд необходимых определений и вспомогательных фактов.

Через X обозначается семейство обобщенных функций хЦ), определенных на основном пространстве У, вида

т-1

x{t)=z(í) + J27iSl4t),

i=0

где t е I, z € С{р; 1}, 7¿ G К — произвольные постоянные, a Í и — соответственно дельта-функция Дирака и ее „тейлоровские" производные, определенные на У по следующему правилу:

(5{¿},y) н /! 5{*}®у(№ = (-DV>(0) (у е Y, i = о^гт).

В §1.3 строятся элементы специальной теории приближения в пространствах X и У. В частности, устанавливаются аналоги теоремы Вейерштрасса, исследуются поперечники по Колмогорову множеств в X и У, вопрос о наилучшем приближении функций из X и У. Обозначим через

nf ЕЕ П^т+А+1 = UV(П^) © Пт+л =

{1-1 л ш-1 Л

г (i - i)' £ aie + г £ & + ¿ 7if a¡) Ai 7¿ € R 1=0 1=0 j=o J

(n+m+A -f 1 )-мерное подпространство пространства Y. Здесь üj — множество всех алгебраических полиномов степени не выше I : ГТ£ = span{t'}lQl Uf = r/(¿), Vf = (1 - t)PJ{t) (/ € С).

Введем обозначение наилучшего приближения функций у е У, элементами уп£Уп =

£f+m+A+iЫ = inf IIу - yn\\Y (у е У).

Уп^Уп

Теорема 1.3.2 Для любого у eY при любом п <= N существует элемент Уп е ъ наилучшего приближения, причем

Enlm+xM = En-xiSTy), где Ei (g) наилучшее равномерное приближение g ЕС полиномами из П(.

Пусть

К = П^+т+л+1 = У(ип_г) ф пл © зрап{бЫ{1)}™-1,

Е'1+т+Х+Лх) = М \\х - Хп\\Х (хеХ),

а ¿г(<5,Х) обозначает 1-й поперечник по Колмогорову множества С} в пространстве X.

Теорема 1.3.5 Для всякой обобщенной функции х е X при любом п <Е N существует элемент хп б П* наилучшего приближения, причем

Я«+т+л+1(*) = Еп-1{£ГГих).

Теорема 1.3.6 Для любого множества <2 С X справедливо соотношение 4+т+А+1(<2, X) = сЦЗШЙ), С) (п е К).

В §1.4 устанавливаются аппроксимативные свойства специальных линейных "полиномиальных" операторов. Во второй главе излагаются полученные в работе результаты по теории разрешимости уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве X. Кроме того, дается теоретическое обоснование ряда классических прямых методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций.

§2.1 посвящен исследованию разрешимости уравнений третьего рода

(Ах)(() = (СЛг)(4) + {КхЩ = у{1) (С е /), (2)

где {их){Ь) = Г*(г), (Кх)(Ь) ~ ¡\к(1,з)(1 - з)-"хШз, р е Р> теЩ К и у- известные непрерывные функции, а х - искомый элемент. Устанавливается фредгольмовость оператора А : X V при выполнении условий:

К 6 С^(/2), КЦ, •) 6 Г, = 1) е к (г = 6Д),

11

т3{Ь) = 0) € Г и = 0^7);

ч = С4{т}(/2), = ««(О, б) 6 С (£ = 0,т-1); (3)

и = Г,и е с/р}(/2), = ^>(1, а) е С (г = од);

даются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения в виде требований ортогональности правой части всем решениям соответствующего однородного союзного уравнения.

В дальнейшем при обосновании приближенных методов решения операторных уравнений существенную роль играет непрерывная обратимость соответствующих операторов. В связи с этим в §2.2 даются достаточные условия непрерывной обратимости оператора А, определенного соотношением (2), и указывается метод отыскания точного решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве X обобщенных функций.

Теорема 2.2.1 Пусть выполнены следующие условия:

1) ядро удовлетворяет требованиям (3), у € У;

2) число Л = -1 не являбтпсл собственным значением ядра 5) ===

3) линейная система

тп-1

Х>(дФ0{Л(о) = (Оу)Ю{о) О? = мг=Т),

<=о

гдеЯ = Е-КЕ.Т :У

У, Е - единичный оператор в У, К — разрешающий

оператор ядра Ко,

« / • \ ¡-¡-1 - Е (!) П (р+к) (*=мгл),

1=0 V í / ь=о

имеет единственное решение {ш*}^1.

Тогда для любой правой части у € У уравнение третьего рода с фиксированными особенностями в ядре (2) имеет единственное обобщенное решение х* 6 X, которое дается формулой

т-1 т-1

х'(1) = (ЯГу)(0 - ][>*(ЯГФг)№ + £(-1)4*%)-

¡=0 »=0

Следствие. В условиях теоремы интегральный оператор третьего рода А : X У непрерывно обратим.

§'2.3 содержит постановки задач обоснования и оптимизации прямых и проекционных методов решения линейных операторных уравнений и ряд вспомогательных результатов из общей теории приближенных методов.

В §2.4 дается обоснование вычислительных схем методов моментов, коллокации и подобластей для уравнения (2) в пространстве X.

Пусть дано уравнение (2), в котором ядро К удовлетворяет условиям (3), у 6 У. Приближенное решение ищется в виде п-1 Л т-1

1=0 ¿=0 1=0

где неизвестные коэффициенты = с-"^ (г = 0, п + т + Л) находятся согласно методу подобластей из условий: П+1

Г

•1Т,

{Ахп-у){Ь)И = 0 0' = 0,га + ш + Л), (5)

здесь {г;-}о+т+А+1 — система узлов Чебышева второго рода, обогащенная концами промежутка I.

Справедлива

Теорема 2.4.5 Пусть Ах - 0 имеет в X лить нулевое решение, а функции Н = 5ги (по I), а,- = БТф^ Ц = б~А), & = ЯТ^ (г = 0,т- 1), 5Гу 6 = 2(т + А + 1)), причем производные /г^ (по 4 равномерно

относительно в), а®, ¡3?\ (БТу)® принадлежат классу Дини - Липшица. Тогда при достаточно больших п € N приближенные решения £.*(£), определяемые из (4), (5), существуют, единственны и сходятся по норме X к точному решению УТРФО (2) со скоростью

Л т-1

+Е +Е Е+е^ту) >=0 ¿=0

п! 1пп>.

Результаты §2.4 показывают, что при решении уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре классическими приближенными

методами, для их сходмости требуется большая степень гладкости. В этой связи в третьей главе строятся и обосновываются специальные прямые методы, имеющие существенное преимущество перед классическими методами по скорости сходимости приближенных решений.

В §3.1 предлагаются и обосновываются специальные "полиномиальные" методы.

Пусть имеем уравнение (2), в котором исходные данные К и у таковы, что выполняются условия (3) и у € У. Приближенное решение ищется в виде (4), где искомые коэффициенты {с^+т+А находятся согласно обобщенному методу подобластей из условий:

/

{ЭТАхп - БТу) = О и = 1^),

\

(.Ахп - »)»(()) =0 (г = 0,т — 1), (6)

(ТАхп-Ту)Щ1) = 0 (у = ОД),

где — система узлов Чебышева второго рода, содержащая концы I. Верна следующая

Теорема 3.1.5 Пусть кегА = {0}, а к = (по Ь), а^ = БТФ], /?г = ЙГФ;, БТу принадлежат классу Дини - Липшица. Тогда при всех п е N (п > п0) приближенные решения х*, построенные согласно (4) и (6), существуют, единственны и сходятся к точному решению х* с быстротой

А т-1

К-ЛЬ) + ^ Еп-!(ау) + £ £7„_1(Д) + Еп^БТу)

3=0 1=0

1гт

Следствие. Если 1г (по I), о,- (Зи ЗТу е Нга (0 < а < 1,г + 1 е М), то в условиях теорелш 3.1.5 справедлива оценка

\К~х*\\ = 0(п-г~аЫп).

При т = р = 0 рассматриваемое уравнение превращается в уравнение второго рода в С, а проекционный метод (4), (6) — в известный метод подобластей, причем БТу = у, Н == К. Следовательно, теорема 3.1.5

содержит в себе известные результаты по обоснованию метода подобластей для уравнения второго рода.

Аналогичные результаты получены для обобщенных методов моментов и коллокации. Основные результаты сформулированы в теоремах 3.1.1 и 3.1.3.

В §3.2 предлагаются и обосновываются специальные "сплайновые" методы решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве X, являющиеся в некотором смысле обобщением известных методов сплайн-коллокации, и сплайн-подобластей на базе сплайнов первого и второго порядка и обладающие существенным преимуществом перед ними в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений указанных уравнений (2).

В §3.3 устанавливается, что предложенные в диссертации специальные обобщенные методы подобластей, моментов и коллокации оптимальны по порядку точности среди всех "полиномиальных" проекционных методов, а обобщенные сплайн-методы — среди всех прямых проекционных методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. Приведем один из установленных результатов.

Следуя Б.Г.Габдулхаеву, через обозначим оптимальную оценку

погрешности всевозможных проекционных методов решения данного операторного уравнения на классе К Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых в X уравнений вида (2) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству УЩ = {у е У\БТу € #£} (г+1 е М). Пусть 6п2) = {Г„} — совокупность всех "полиномиальных" операторов Гп : У ->■ УП) удовлетворяющих условию ЦГпЦге"^^-1) = о( 1) (п оо), отображающих У на подпространство Уп размерности п + тп I- А +1.

Теорема 3.3.1 .Пусть /-1 = УЩ. Тогда

(ЛГ = п + т + А + 1)

и этот оптимальный порядок реализует предложенный выше обобщенный метод подобластей.

В §3.4 приводятся заключительные замечания о переносе всех изложенных результатов по разработке, обоснованию и оптимизации прямых методов решения уравнения (2) на исследуемый общий случай уравнений

третьего рода с фиксированными особенностями в ядре.

Заключение. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена теория разрешимости интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим нули степенного порядка, и ядром с фиксированными степенными особенностями (фредгольмовость, условия разрешимости, метод отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения).

2. Обоснованы вычислительные алгоритмы классических прямых методов решения исследуемых уравнений в пространстве обобщенных функций.

3. Разработаны и обоснованы специальные прямые методы решения изучаемых уравнений, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами в смысле скорости сходимости приближенных решений.

4. Решена задача оптимизации проекционных методов решения уравнений третьего рода с особенностями в ядре, установлено, что предложенные в работе обобщенные методы являются оптимальными по порядку точности.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Габбасов, Н.С. Об одном уравнении третьего рода с фиксированными особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев /,/ Материалы респ. Науч.-прак. конф. "Наука, технол. и коммуник. в совр. обществе". — Наб. Челны, 2009. — Т. 2. — С. 41-44.

2. Габбасов, Н.С. Обобщенное решение интегрального уравнения третьего рода с фиксированными особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2009. — Т. 38. — С. 76-79.

3. Замалиев, P.P. Об одном аппроксимирующем операторе / P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2009. — Т. 38. — С. 129-131.

4. Замалиев, P.P. Прямой метод решения интегрального уравнения третьего рода с особенностями в ядре / P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, мат. сьва, 2009. — Т. 39. - С. 218-222.

5. Замалиев, P.P. Оператор обобщенного метода подобластей / P.P. Замалиев // Материалы 15-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2010. — С. 74-75.

6. Замалиев, P.P. Обобщенный метод подобластей для одного интегрального уравнения третьего рода /' P.P. Замалиев // Тез. докл. междунар. симп. "Ряды Фурье и из приложения". — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2010. - С. 72-73.

7. Замалиев, P.P. Один новый вариант сплайн-метода подобластей для интегрального уравнения третьего рода с особенностями в ядре / P.P. Замалиев // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XXI". — Воронеж: Издательско-полиграф-кий центр Воронежского гос. ун-та, 2010. — С. 92-94.

8. Замалиев, P.P. К оптимизации проекционных методов решения одного класса интегральных уравнений / P.P. Замалиев //' тез. докл. междунар. конф. "Теория приближений", посвященной 90-летию С.Б. Стечкина. - М., 2010. - С. 32-33.

9. Замалиев, P.P. О двух вариантах метода коллокаций решения одного класса интегральных уравнений / P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2011. — Т. 43. — С. 141-144.

10. Габбасов, Н.С. Новые варианты сплайн-методов для интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46. — № 9. — С. 1320-1328.

11. Габбасов, Н.С. Новый вариант метода подобластей для интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 5. — С. 12-18.

Подписано в печать 11.01.12 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Тираж 120 экз. Заказ 9/11

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. 233-73-59,292-65-60

ВВЕДЕНИЕ

Глава

ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НИХ

§1.1 Свойства класса основных функций

§1.2 О пространстве обобщенных функций

§1.3 К теории приближения в пространствах основных и обобщенных функций

§1.4 Аппроксимирующие операторы в пространстве основных функций

Глава

К ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРЕ

§2.1 О разрешимости исследуемых уравнений

§2.2 Непрерывная обратимость интегрального оператора третьего рода

§2.3 Постановка задачи приближенного решения уравнений и вспомогательные результаты

§2.4 О классических прямых методах решения исследуемых уравнений

Глава

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРЕ

§3.1 "Полиномиальные" методы.

§3.2 "Сплайновые" методы.

§3.3 Оптимизация прямых проекционных методов

§3.4 Заключительные замечания и дополнения

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре вида где t е I ее [-1,1], tj е (-1,1), rrij е N {j = 1,0; РъР2 6 М+, К и у — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами "гладкости" точечного характера, x(t) — искомая функция, а интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару (см., например, [2, с. 144-150]).

Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого и второго родов, сингулярных интегральных уравнений. Подробный обзор установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12,46], в специальных обзорных работах [27,58,67], а также в монографиях [10,11,13,26,28,30,45,48,49,56,57,59,60,62,66] и др. В то же время ряд важных задач теорий плазмы [85], упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., напр., [47,80] и библиографию к [80]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [7-9]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [68]) приводит к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода:

Ах = u(t)x{t) - A f K(t, s)x(s)ds = y(t) (ie[a,6]), (0.0.2)

J a где A — числовой параметр, коэффициент u(t) — непрерывная функция, имеющая на отрезке [a, b} конечное множество нулей степенного порядка; K(t, s) и y(t) — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами "гладкости", a x(t) — искомая функция. Первые результаты по уравнениям третьего рода, по-видимому, принадлежат Э. Пикару [81], именно он назвал уравнения вида (0.0.2) интегральными уравнениями третьего рода. Им было рассмотрено модельное уравнение вида (0.0.2), где i/(t) = ¿, а < 0 < 6, K(t, s) и y(t) — аналитические функции. Методом сведения к сингулярному интегральному уравнению он указал необходимые и достаточные условия существования аналитических решений. Дальнейшие исследования уравнений третьего рода были продолжены в работах Ш. Платрие [82], А.Р. Хволеса [78], В. Шмайдлера [83], В.А. Морозова [61], Х.Г. Бжихатлова [7-9], В.Б. Короткова [50, 51], П.Н. Денисенко [32]. Во всех этих работах решение рассматриваемых уравнений отыскивается в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или других функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается пространство обобщенных функций, построенных при помощи функционала "дельта-функция Дирака" (соответственно "конечная часть интеграла по Адамару"). Впервые в пространстве обобщенных функций уравнения третьего рода исследовалось Г.Р. Бартом и P.JI. Варноком [80]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н. Расламбекова [71-74], Г.Р. Барта [79], Н. Сукаванама [84], К.Б. Бараталиева [6], С.Н. Расламбекова [69,70]. Все эти работы посвящены теории Нетера для соответствующих уравнений третьего рода в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор полученных результатов и библиографию можно найти в монографии Н.С. Габбасова [19]. В диссертации Абдурахмана [1] исследовано уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. В предположении, что исходные данные являются точечно "гладкими", построена теория Нетера для соответствующих уравнений в классах гладких и обобщенных функций. В статье Д. Шулаи [85] рассмотрено уравнение третьего рода с коэффициентом cos £, имеющим на промежутке интегрирования конечное множество нулей. Считая, что ядро интегрального оператора гёльдерово, а правая часть из класса Мусхелишвили, методами теории сингулярных интегральных уравнений установлены необходимые и достаточные условия разрешимости исследуемых уравнений в классе Мусхелишвили.

Уравнения третьего рода точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в пространстве обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н.С. Габбасова [14-19], который исследовал уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа D получены в определённом смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В.А. Золотаревского [44] некоторые результаты Н.С. Габбасова (1990 г.) в частном случае пространства типа D перенесены на уравнения третьего рода в комплексной плоскости. Диссертация С.А. Соловьевой [75] посвящена приближенному решению общих уравнений третьего рода в пространстве типа V. Используя соответствующие результаты и методы, предложенные Н.С. Габбасовым, ею построены и обоснованы оптимальные по порядку точности прямые проекционные методы решения изучаемых уравнений.

Дальнейшее развитие теории уравнений третьего рода с регулярными ядрами и упомянутые выше прикладные потребности привели к необходимости исследования интегральных уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. В статье В. Янга и М. Цуи [87] исследовано уравнение с коэффициентом, имеющим простые нули, и ядром с особенностью в начале промежутка интегрирования. Считая исходные данные точечно "гладкими", построено точное решение в виде ряда в пространстве производящих ядер. Показано, что частичные суммы (т.е. приближенные решения) порождают монотонно убывающую последовательность погрешностей. В работе Л. Фермо [86] рассмотрено уравнение с коэффициентом, имеющим на бесконечном промежутке интегрирования лишь один нуль степенного порядка меньше единицы. При этом ядро интегрального оператора имеет слабую особенность, а правая часть уравнения является достаточно гладкой. В зависимости от промежутка интегрирования исследуемое уравнение третьего рода редуцировано либо к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, либо к системе двух таких фредгольмовых уравнений. Приближенные решения последних построены методом Нистрёма (т.е. соответствующим вариантом квадратурного способа). Установлены оценки погрешности и доказана сходимость приближенных решений к точному в некотором пространстве непрерывных весовых функций. В указанных работах аппарат обобщенных функций не привлекается. Первые результаты по разрешимости уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в классе обобщенных функций получены Н.С. Габбасовым [20].

Таким образом, вопросы разрешимости уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций исследованы недостаточно. В частности, задача построения, обоснования и оптимизации методов приближенного решения таких уравнений в классах обобщенных функций, по существу, до сих пор оставалась открытой.

Цель работы — построение полной теории разрешимости уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим в промежутке интегрирования конечное множество нулей степенного порядка, и ядром, имеющим особенности произвольного степенного порядка на концах рассматриваемого отрезка; разработка и теоретическое обоснование методов приближенного решения уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций.

В диссертации, следуя Л.В. Канторовичу и Б.Г. Габдулхаеву, под теоретическим обоснованием приближенных методов понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности решения приближенного уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных уравнений; д) оптимизация по порядку точности предлагаемых приближенных методов.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенно используются теории обобщенных функций, операторов Нётера, приближения функций и общая теория приближенных методов анализа. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на использовании результатов и методики исследований, предложенных в упомянутой выше монографии научного руководителя.

Научная новизна. В диссертации изучены функциональные свойства основных пространств, используемых в исследованиях, и построены специальные элементы теории приближения в этих пространствах, приспособленные к приближенному решению уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре. Для исследуемых уравнений построена полная теория разрешимости в пространстве обобщенных функций (фредгольмовость, условия разрешимости, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения). На базе этих результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем на основе ряда классических прямых методов, предложены и обоснованы специальные прямые методы решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре в пространстве обобщенных функций. Решена задача оптимизации прямых проекционных методов решения уравнений третьего рода с фиксированными особенностями в ядре, при этом разработаны оптимальные по порядку точности "полиномиальные" и "сплайновые" методы решения этих уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы и полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах обобщенных функций, а также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 — 2011 гг.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2009" (Казань), на Республиканских научно-практических конференциях "Наука, технологии и коммуникации в современном обществе" (Набережные Челны, 2009 — 2011 гг.), на международных Казанских летних научных школах-конференциях "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009, 2011 гг.), на Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2010 г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения — XXI" (Воронеж, 2010 г.), на международной конференции "Теория приближений", посвященной 90-летию Сергея Борисовича Стечкина (Москва, 2010 г.) и на VI международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2010 г.). Основные результаты диссертации в целом докладывались и обсуждались в Казанском федеральном университете (КФУ) на семинаре кафедры теории функций и приближений (2010 г., руководители — проф. Ф.Г. Авхадиев, доц. Ю.Р. Агачев), в Набережночелнинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2010 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов), в филиале КФУ в г. Набережные Челны на семинаре кафедры высшей математики (2011 г., руководитель — проф. Н.С. Габбасов), в КФУ на совместном заседании кафедр математического анализа и теории функций и приближений (2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]- [24], [35]- [41]. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 114 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена специальная теория приближения в пространствах основных и обобщенных функций, приспособленная к приближенному решению интегральных уравнений третьего рода с фиксированной особенностью в ядре.

2. Построена полная теория разрешимости интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом, имеющим нули степенного порядка, и ядром с фиксированными степенными особенностями (фредгольмовость, условия разрешимости, метод отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения).

3. Предложены и обоснованы вычислительные алгоритмы на основе классических прямых методов решения исследуемых уравнений в пространстве обобщенных функций.

4. Разработаны и обоснованы специальные прямые методы решения изучаемых уравнений, обладающие существенным преимуществом перед классическими методами в смысле скорости сходимости приближенных решений.

5. Решена задача оптимизации прямых проекционных методов решения уравнений третьего рода с особенностями в ядре, и построены оптимальные по порядку точности методы решения этих уравнений.

1. Абдурахман Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором в главной части : дис. . канд. физ.-мат. наук. / Абдурахман; Ростовский гос. ун-т. — Ростов-на-Дону, 2003. - 142 с.

2. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978. 351 с.

3. Агачев, Ю.Р. Сплайновые приближения решений интегральных и дифференциальных уравнений : дис. . канд. физ.-мат. наук. / Ю.Р. Агачев; Казан, гос. ун-т. — Казань, 1987. — 144 с.

4. Агачев, Ю.Р. О сходимости метода сплайн-подобластей для интегральных уравнений / Ю.Р. Агачев // Изв. вузов. Математика. — 1981. № 6. - С. 3-10.

5. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж.Уолш. — М. : Мир, 1972. — 316 с.

6. Бараталиев, К.Б. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода / К.Б. Бараталиев // Исследования по интегро-дифференц. уравнениям. — Фрунзе, 1985. — Вып. 18. — С. 31-39.

7. Бжихатлов, Х.Г. Об одном интегральном уравнении третьего рода / Х.Г. Бжихатлов // Изв. АН Уз. ССР. сер. физ.-мат. наук. — 1970. — № 2. С. 18-23.

8. Бжихатлов, Х.Г. Об одной смешанной краевой задаче для уравнения параболо-гиперболического типа / Х.Г. Бжихатлов // Сб. науч. работ аспирантов. — Нальчик, 1971. — Вып. 3. — С. 7-9.

9. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением / Х.Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9. — № 1. —1. С. 162-165.

10. Белоцерковский, С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С.М. Белоцерковский, И.К.Лифанов. — М. : Наука,1985. 254 с.

11. Вайникко, Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений / Г.М. Вайникко. — Тарту : Изд-во Тартуского ун-та, 1970. — 192 с.

12. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков — Киев : Наукова думка,1986. 544 с.

13. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтерра. — М. : Наука, 1982. — 304 с.

14. Габбасов, Н.С. Новый прямой метод решения интегральных уравнений третьего рода / Н.С. Габбасов // Мат. заметки. — 1991. — Т. 49. — № 1. — С. 40-46.

15. Габбасов, Н.С. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода / Н.С. Габбасов // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32. — № 9. С. 1192-1201.

16. Габбасов, Н.С. Методы решения одного класса интегральных уравнений третьего рода / Н.С. Габбасов // Изв. вузов. Математика. — 1996. — № 5. С. 19-28.

17. Габбасов, Н.С. Оптимальный метод решения интегральных уравнений третьего рода /Н.С. Габбасов // Докл. РАН. 1998. - Т. 362. - № 1. -С. 12-15.

18. Габбасов, Н.С. Методы решения линейного интегрального уравнения с ядром, имеющим неподвижные особенности / Н.С. Габбасов // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 5. — С. 12-20.

19. Габбасов, Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщенных функций /Н.С. Габбасов. — Казань : Издво Казан, гос. ун-та, 2006. — 176 с.

20. Габбасов, Н.С. Методы решения интегрального уравнения третьего рода с фиксированными особенностями в ядре / Н.С. Габбасов // Дифференц. уравнения. 2009. - Т. 45. - № 9. - С. 1341-1348.

21. Габбасов, Н.С. Об интегральном уравнении третьего рода с фиксированными особенностями в ядре /Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Материалы респ. науч.-прак. конф. "Наука, технол. и коммуник. в совр. о-ве". Наб. Челны, 2009. - Т. 2. - С. 41-44.

22. Габбасов, Н.С. Обобщенное решение интегрального уравнения третьего рода с фиксированными особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 2009. — Т. 38. — С. 76-79.

23. Габбасов, Н.С. Новые варианты сплайн-методов для интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Дифференц. уравнения. — 2010. — Т. 46. № 9. -С. 1320-1328.

24. Габбасов, Н.С. Новый вариант метода подобластей для интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре / Н.С. Габбасов, P.P. Замалиев // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 5. — С. 12-18.

25. Габдулхаев, Б.Г. Некоторые вопросы приближенных методов / Б.Г. Габдулхаев // Функ. анализ и теория функций. — Казань, 1968. — Вып. 5. С. 20-29.

26. Габдулхаев, Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б.Г. Габдулхаев. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. — 232 с.

27. Габдулхаев, Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / Б.Г. Габдулхаев // Итоги науки и техники. Математический анализ. — М., 1980. — Т. 18. — С. 251-307.

28. Габдулхаев, Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральныхуравнений первого рода / Б.Г. Габдулхаев. — Казань : Изд-во Казан, ун-та, 1994. 288 с.

29. Габдулхаев, Б.Г. О полиномиальном методе решения интегральных уравнений со слабой особенностью / Б.Г. Габдулхаев, П.Н. Душков // Приложения функционального анализа к приближенным вычислениям. — Казань, 1974. — С. 37-57.

30. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. — М. : Наука, 1977. — 640 с.

31. Даугавет, И.К. Введение в теорию приближения функций / И.К. Даугавет. Л. : Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

32. Дудучава, Р.В. О теоремах Нетера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровых функций с весом / Р.В. Дудучава // Тр. симпоз. по механ. сплош. среды и родствен, пробл. анализа. Тбилиси, 1973. - Т. 1. - С. 89-102.

33. Дыбин, В.Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае / В.Б. Дыбин // Мат. анализ и его прилож. — Ростов-на-Дону, 1974. Т. 6. - С. 45-61.

34. Замалиев, P.P. Об одном аппроксимирующем операторе / P.P. Замалиев // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань : Из-во Казан, мат. о-ва, 2009. Т. 38. - С. 129-131.

35. Замалиев, P.P. Прямой метод решения интегрального уравнения третьего рода с особенностями в ядре / P.P. Замалиев //Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 2009. — Т. 39. С. 218-222.

36. Замалиев, P.P. Оператор обобщенного метода подобластей / P.P. Замалиев // Материалы 15-й Саратовской зимней школы

37. Современные проблемы теории функций и их приложения" (27.01.10 -03.02.10). — Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2010. — С. 74-75.

38. Замалиев, P.P. О двух вариантах метода кол локаций решения одного класса интегральных уравнений / P.P. Замалиев //Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2011. — Т. 43. — С. 141-144.

39. Замалиев, P.P. О двух вариантах метода коллокаций решения одного класса интегральных уравнений / P.P. Замалиев //Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 2011. — Т. 43. С. 141-144.

40. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

41. Золотаревский, A.B. О приближенном решении интегральных уравнений третьего рода в комплексной плоскости / A.B. Золотаревский // Тр. междунар. симп. "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". — Харьков Херсон, 2003. - С. 136-140.

42. Иванов, B.B. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В.В. Иванов. — Киев: Наукова думка, 1968. — 287 с.

43. Иванов, В.В. Методы вычисления на ЭВМ. Справочное пособие / В.В. Иванов. — Киев : Наукова думка, 1986. — 584 с.

44. Кейз, K.M. Линейная теория переноса / K.M. Кейз, П.Ф. Цвайфель. — М. : Мир, 1972. 384 с.

45. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В.Канторович, Г.П. Акилов. — М. : Наука, 1984. — 752 с.

46. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. — М. : Физматгиз, 1962. — 708 с.

47. Короткое, В.Б. Об общих интегральных уравнениях третьего рода /

48. B.Б. Короткое // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т.15, № 6. —1. C. 1097-1105.

49. Коротков, В.Б. Интегральные операторы / В.Б. Короткое. — Новосибирск: Наука, 1983. — 224 с.

50. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. — М. : Наука, 1981. — 544 с.

51. Крейн, М.Г. Про лшшт щлком непреривни оператори в функциональних просторах з двомя нормами / М.Г. Крейн. — Сб. праць ин-ту матем. АН УРСР, № 9. 1947. - с. 104-129.

52. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

53. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М. : Наука, 1971. - 104 с.

54. Краснов, МЛ. Интегральные уравнения / МЛ. Краснов. — М. : Наука, 1975. 303 с.

55. Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К. Лифанов. — М. : ТОО "Янус", 1995. — 520 с.

56. Лифанов, И.К. Теплицева матрицы и интегральные уравнения / И.К. Лифанов, Е.Е. Тыртышников // Вычисл. процессы и системы. — 1990. Вып. 7. - С. 94-278.

57. Лучка, А.Ю. Возникновение и развитие прямых методов математической физики / А.Ю. Лучка, Т.Ф. Лучка. — Киев : Наукова думка, 1985. 240 с.

58. Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий. — М. : Наука, 1965. 383 с.

59. Морозов, В.А. О выборе параметра при решении функциональных уравнений методом регуляризации / В.А.Морозов // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 175, № 6. - С. 1225-1228.

60. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М. : Наука, 1968. — 512 с.

61. Нагих, В.В. Оценка нормы некоторого полиномиального оператора в пространстве непрерывных функций / В.В. Нагих // Методы вычислений. Л., 1976. - № 10. - С. 99-102.

62. Натансон, И.П. Конструктивная теория функций / И.П. Натансон. — М.; Л. : Гостехиздат, 1949. — 688 с.

63. Пресдорф, 3. Сингулярные интегральные уравнения с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек / 3. Пресдорф // Мат. исследования. 1972. - Т.7. — № 1. — С. 116-132.

64. Пресдорф, 3. Некоторые классы сингулярных уравнений / 3. Пресдорф. М. : Мир, 1979. - 493 с.

65. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения / 3. Пресдорф // Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. фунд. направления. М., 1988. - Т. 27. - С. 8-130.

66. Расламбеков, С.Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в классах обобщенных функций /

67. С.H. Расламбеков // Изв. вузов. Математика. — 1983'. — № 10. — С. 5156.

68. Расламбеков, С.Н. Линейные интегральные уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим нуль любого порядка, в пространствах обобщенных функций / С.Н. Расламбеков // Изв. вузов. Математика. — 1986. № 11. - С. 41-44.

69. Расламбеков, С.Н. Теория линейных интегральных уравнений третьего рода в классах обобщенных функций и других функциональных пространствах : дис. . канд. физ.-мат. наук. / С.Н. Расламбеков; Ростовский гос. ун-т. — Ростов-на-Дону, 1987. — 99 с.

70. Рогожин, B.C. Теория операторов Нетера /B.C. Рогожин. — Ростов-на-Дону : Изд-во РГУ, 1982. 99 с.

71. Рогожин, B.C. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода / B.C. Рогожин, С.Н. Расламбеков // Дифференц. уравнения. — 1978. Т. 14. - № 9. - С. 1678-1686.

72. Рогожин, B.C. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций / B.C. Рогожин, С.Н. Расламбеков // Изв. вузов. Математика. — 1979. — № 1. С. 61-69.

73. Рогожин, B.C. К теории интегральных уравнений третьего рода / B.C. Рогожин, С.Н. Расламбеков // Изв. вузов. Математика. — 1986 — № 4. С. 77-79.

74. Соловьева, С.А. О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода в пространстве обобщенных функций : дис. . канд. физ.-мат. наук. / С.А.Соловьева; Казан, гос. ун-т. — Казань, 2007. — 111 с.

75. Стечкин, C.B. Сплайны в вычислительной математике /C.B. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М. : Наука, 1976. - 248 с.

76. Тихомиров, В.М. Некоторые вопросы теории приближений. / В.М.Тихомиров. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1976. — 304 с.

77. Хволес, А.Р. Об интегральных уравнениях Фредгольма третьего рода /

78. А.Р. Хволес // Сообщ. АН Груз. ССР. -1941. Т. 2, № 5. - С. 389-395.

79. Bart, G.R. Three theorems on third kind linear integral equations / G.R. Bart //J. Math. Anal, and Appl 1981. - V. 79. No 1. - P. 48-57.

80. Bart, G.R. Linear integral equations of the third kind / G.R. Bart, R.L. Warnock // SIAM J. Math. Anal. 1973. - Vol. 4. - No 4. - P. 609622.

81. Picard, E. Sur les equations intégrales de troisième espece / E. Picard // Annales de l'Ecole Normale. — Paris, 1911. — V. 28, troisième serie. — P. 459-472.

82. Plâtrier, Ch. Sur des solutions holomorphes de certaines equations intégrales lineaires de troisième espece / Ch. Plâtrier // Comptes Rendus. — Paris, 1913. V. 156, No 24. - P. 1825-1828.

83. Schmeidler, W. Integralgleichungen mit Anwendungen in Pnysik und Technik. / W. Schmeidler. Leipzig, 1955. - 611 S.

84. Sukavanam, N. A Fredholm-type theory for third kind linear integral equations / N. Sukavanam // J. Math. Anal, and Appl. — 1984. — V. 100. — No 2. P. 478-485.

85. Shulaia, D. Linear integral equations of the third kind arising from neutron transport theory / D. Shulaia //Math. meth. appl. sci. — 2007. — No 30. — P. 1941-1964.

86. Fermo, L. A Nystrm method for a class of Fredholm integral equations of the third kind on unbounded domains / L. Fermo // Appl. num. math. — 2009. No 59. -P. 2970-2989.

87. Minggen Cui The exact solution and stability analysis for integral equation of third or first kind with singular kernel / Wei Jiang, Minggen Cui // Appl.math, and сотр. — 2008. —No 202. — P. 666-674.