О прямых методах управления пучками траекторий в линейных дифференциальных и дискретных играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В, И. РОМАНОВСКОГО

Г Г 5 0;]

_ О НМ~] .пру

' 'Ч-ч Да прлпах рукописи

МАМАДАЛИЕВ Нуъманжон

О ПРЯМЫХ МЕТОДАХ УПРАВЛЕНИЯ ПУЧКАМИ ТРАЕКТОРИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ИГРАХ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1997

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете имени Мирзо Улугбека.

Научный руководитель:

член — корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор, Н. Ю. САТИМОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

РИХСИЕВ Б. Б., кандидат физико-математических наук, доцент

исканаджиев и. м.

Ведущая организация Самаркандский Государственный Университет

Защита диссертации состоится « Ф'Я » 1997 г.

в рЦ^ часов на заседании Объединенного Специализированного Совета Д 015.17.01 в Институте математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент—143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « » 1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета/ л/1

доктор физ.-мат. наук Уи - Ш. А. ХАШИМОВ

ОБаЬ\Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Во второй половине двадцатого века одним из интенсивно развилагвдхся направлений математики является теория управляемых процессов.Теория диф|еренцдэльпых игр является гкзвия разделом математической теории управляемых процессов. Ото-fiiKз дифференциальных игр, как задача управления, состоят в наличии, противодействия к управлении сс стороны противника п неопределенности в информации в процессе движения.

Одним из первых основопологающих исследований по теории даф-'2ереяалзлыая игр является монография Р.АЙзекса, опубликозан-П2л в 1965г. а переведенная на русский язык в 1967г. Дальнейшее развитие теории дифференциальных игр прежде всего связано с именами академиков H. Н. Красовского и Л. С. Понтрягина . При формализации теории дигййренцдалышх игр возникали определешше труд аосгл, например, при постановке задачи с определением приемлемого поал'гкя стратегий игроков. Для преодоления этих трудностей H.H. ;{рас'вс:ач з его учениками был предложен позиционный способ уп-равлг-гия. что жд позволил дать строгую постановку задач теории д:г£'ереяцаалышх игр и доказать основную теорему об альтернативе.

Л.С.Понтрягян предложил рассматривать диффереяциальнуэ игру отдельно с точки зрения преследования и отдельно с точки зрения преследуемого, в связи с чем возникают либо задача преследования, либо задача убегания. Ни будем придерживаться формализации дифференциальных игр преследования, принадлежащей Л.С.Понтрягину.

Основным вопросом при реаеняи задачи преследования является задача о приведении траектории, исходящей из заданной? начального полоаэния ZQ,Ha терминальное множество И1. Развитие этого вопроса приводят к изучении задачи о приведении всех траекторий (пучка траекторий), исходящих из заданного начального многостза й0, на терминальное множество М1. При этом стратегия, построенная для преследуи:;5го трока, должна зависеть не от начальный точки ZQ, а от начального множества М0.

Еце одно важное направление в теория дифференциальных игр -игр с различными ограничения® на управляющие параметры игроков. Такие игры изучались в работах М.С.Никольского, Н.В.Сатимова, А.Я. Азимова, В.С.Ледяева, И.С.Раппопорта, А.В.Мезенцева, А.З.Фазылова. Б.Б.Рихсиева, Н.В.Цветковой, В.Т.Саматова, М.Тухтасинова и др. В последние годы интенсивно развиваются исследования управление пучками траекторий с различными ограничениями на управлявшие

парамотры. Поэтому поиск hobuz достаточных условий представляет большой интерес для развития теории дифференциальных игр.

3 настоящее время параллельно с дифференциальными играми интенсивно изучался их дискретные аналоги, так яазывземш диокрот-ннс- ш'ри, где- непрерывные процессы заменязтея последовательностями отдельных шагов. Таким образом, в теории дискретных игр рассматриваются конфликтнее ситуации, описываемые уравнениями в конечных разностях. Важше результаты в теория дискреташх игр получены Р.Дйзс-ксом Ш, А.А.Чикрием С751, Н.О.Сат;иовнм [60], А. Азамовым [41, А.З. Фазыловым [69] и др. Их методы получили в дальнейшем глубокое развитие.

Цель работы. I) Применение методов теории дифференциальных игр преследования к реиенил задачи о приведении траекторий из начального множества М0 нз терминальное множество И, за конечное время и получение новых достаточных условий ее разрешимости; ¿) Получение новых достаточных условий для возможности перевода пучков траекторий из множества é!q на множество И, за конечное время при различных ограничениях на управляющие параметры. 3) Получение новых достаточных условий возможности перевода пучков траекторий из множества MQ на множество М( за конечное число шагов для линейных дискретных игр.

Научная новизна. I. Получены некоторые новые достаточные условия возмозиоста перевода траекторий из множества MQ нз_ множества М( с геометрическими ограничениями.

2.Найдены достаточные условия для случая,когда управляющие параметры связны,т.е. (u,v) е В ( в с вгп ).

3.Получена новые достаточные условия для возможности перевода пучков траекторий из множества MQ на множество Н1 при различных ограничениях на управляжив параметры.

4.Построен дискретный аналог первого.второго и третьего методов решения задачи преследования и получены достаточные условия для возможности перевода пучков траекторий из множества MQ на множество ЬЦза конечное число шагов.

5.Найдены ноЕые достаточные условия для возможности перевода пучкг траекторий в линейных дискретных играх из множества MQ на шо-ssctbo при интегральных ограничениях на управляющие параметры.-

Методы исследования. В работе используатся метода теории дифференциальных игр, теории даИеренцизлышх уравнений. теорий

Функций, выпуклого анализа, теории многозначных отображений, теорема об измеримом выборе Л.Ф. Филиппова.

Т е о р о т и ч в с к а я и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и является продолжением ранее известных исследований. Результата полученные в диссертации могут бить применена к математическим моделям реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями.

. -Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к решении задач, возннкащих в технике, экономике, военном деле и др.

Публикация и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 научных статей (список приводен в конце автореферата), в которых отражено основное содержание работа.

Основные результата диссертации докладывались и обсуждались на III Всесоюзной школэ "Поатрягинские' чтения-оптимальное управление, геометрия и анализ" (Кемерово, 1990), Всесоюзной конференции "Дифференциалние уравнения и оптимальное управление, (Аихабад, 1990), XI Всесоюзной конференции" Проблемы теоретической кибернетики" (Волгоград, 1990), XI Всесоюзном совещании по проблемам управления (Ташкент, I&39), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1993), Международной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (Ташкент, 1993) научной конференции " Механика и ее применения" (Ташкент,1993) заседаниях семинара по "Оптимальным процессам и дифференциальным играм", руководимого член.-корр. АН РУз, Н.О.Сатимовым, общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям Института математики АН РУз им. В. И. Романовского руководимым академиками Т.Д. Джураевым и М.С. Салахитдиновым, научной конференции профессорско-преподавательского состава Ташкентского государственного университета (Ташкент, 1989-1994), а такта на других семинарах и конференциях. Структура и обьем работы .Диссертация состоит из введения,

3-х глав, разбитых на параграфу, и список литературы включающего

93- наименований. Обьем работы-123 страницы маспсюписного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается тема исследования, формулируются цели задачи диссертационной работы и приводится обзор ее содержания.

В первой глиЕе изучается задача перевода траекторий из начального мнозвствэ HQ на терминальное множество М1 за конечное

время называемое максиминяим.

Рассматривается линейная дифференциальная игра проследования

Z = Cs - и +• y , (I)

где 2с Rn, n > I; С - постоянная матрица, и - управляющий пара -мэтр преследования, у - управляющий параметр убегания, и с ?, ï е Û, Р н Q - непустые компактные подмножества Г(Г\Ь пространстве КП заданы множества MQ и Й,. Мноазства М0, из точзк которого исходят траектории уравнения (I), называется начальным множеством,

множество М,- терминальным множеством: оно имоет вид К. = К,., 1 р 1 1 о

где И10 - линейное подпространство R , И, - произвольное непустое подмаоа&ство 1 - ортогонального дополнения К10 в Rr' .

Пусть и(.) и v(.) - произвольные допустимые управления со значениями из шожвнств Р и Q. Управлениям и( • ) , v(.) ставится в соответствие траектория ZÇ>,u(•),v(•)), уравнения

Z = Cs - u(t) + v(t), Z(0) = Z0 e K0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ I.I. Будем говорить, что в игре (I) можно перевести траектории из М0 на К, за время Т, если для любой точки ZqÇI^ и произвольной измеримой функции v(t), 0 ^ t ^ Т, v(t) ê Q, существует измеримая функция u(t), О t < Т, u(t) с Р, такая,

что траектория Z(t), 0 ^ t < Т, уравнения Z = Cs - u(t) + y(t), Z(0) = ZQ e И0, попадает на M, : 2(t) f E, для некоторого t = = t'f 10, TJ.

Введем следундие обозначения. Пусть t 3» 0, а € 10, tl, тс-ope -ратор ортогонального проектирования из Rn на L: тс: Rn Ь,

w(t) = тсехСР * TceaCQ, H (t)=[ К + } «(тХП: ] i TcetGid , t > О

о

под операцией * понимается операция геометрического вычитания .

ТЕОРЕМА. I.I. Предположим, что при некотором t = 11 емзьт место включение 0 с ff (t). Тогда в игре (I) можно перевести траекторий из К0 на К1 за время T = t1. При этом для конструирования и(.) использувтся X и значения v(t) параметра v.

Теперь рассмотрим первое приближение альтернированного интеграла л.С.Понтрягина . Пусть t > О,

«ï_(t) = + fxe'cCP(lx] i [>etcti + }тсегС0(1х], t > 0. г о о

ТЕОРЕМА 1.2. Предполоаям, что при некотором Х-г имеет место

вклинение О е ft'2(t). Тогда в игре (I) можно перевести траекторий

из К0 на М1 38 время Т = хг.

йше управление u(.) зависело от ZQ и ?(•). Теперь мы предложим достаточные условия, при выполнении которых управление u(t), о s; t < ï, u(t) е Р. и время т не зависят от точки ZQ е И , а управление u(t). зависит только от Функции y( •)•

о ПРЕДЕЛЕ: КЕ 1.2 Будем говорить, что в игре (I) мозяо равномерно перевести траектории из множества MQ на многестао К, за время Т, если для любого измеримого управления v(t), 0 < t < Т, v(t)çQ. существует измеримое управление u(t), О < t ^ ï, u(t) ç?, что для любой точки Z0 е й0 решение Z = Z(t).Gt$t-;î, задачи

Кони ï - Cz - u(t) + v(t), 2(0) = ZQ e ы0 поаадает па H,: т.е.

Z(t) € fi1 при некотором t = t е 10,41.

Рассмотрим следующие множества. Пусть t > О,

s тс etc!i0,t) = [M,, ï it etciy + } wCOda, t > 0, «ЛИ., s Tcetc!i-,t)=[(M., t xe1 cMn)+j7ce'rC?di:] * J"ïceTCCdt, t>0.

4 i 1 U 11 U Q Q

^(t))^ = i 7tM0, 1 = I, 2. 3, 4.

•ГЕОРЕМА 1.3. Предположим, что при некотором t = t, имеет

то

место включение о е ï^i'i, 1 i тсе^М0, t). Тогда в игре (I) можно равномерно перевести траектории из MQ на М1 за время T = t3. ТЕОРЕМА. 1.4. Предположим. что при некотором t ™ t4, имеет

место включение 0 е «д (M,, i 7cetC:i0, t). Тогда в игре (I) можно равномерно перевести траектории из И0 аз М, . за время î = t^. Во втором параграфе доказываются эти теоремы и исследуются связь между множествами ^(t), 1=1,2 ж ]=3,i (леммы 2.1 - 2.4).

В конце параграфа рассмотрены примеры дифференциальных игр.

В третьем параграфе рассматривается задача о равномерном переводе траекторий из И на И. в игре (I) со связными управлениями, т.е. (и.7) б R, где R - компактное подмноаество К . Для этого применяются модификации первого, второго, и третьего методов решения дифференциальных игр.

Введем в рассмотрение следующие множества:

Q = { у. u, (u,v) € R }, Ру= { u :(u,7) е R).

Пусть т ^ 0. tetû.Tl, w(t)= П 7tetc(Pw-7).

Y€Q 7

ï тетСИ0. x) = [*,, i xe^sy + } «(t)dt, т > 0.

ТЕОРЕМА 3.1. Предположим, что при некотором х = х,, зама а т

тП

масто вклшенш 0 с И, I те И0, х). Тогда в игре (I) жшю равномерно перевести траектории из UQ на И, за время Т = х,. При этом для нахождения u(t) используются t и значение v(t) параметра ?.

Пусть теперь оо - произвольное разбазние отрезка [0,xi, о> = Ю = tQ< t,< ... < tk= х ), 1=1,2,...k, v^(г), tj^ S г « tj, - произвольная измеримая фушсцяя со значениями из Q. G - произвольное замкнутое подмножество множества И, 1 ж тсе'1:СМ0,

А° = 0 ' ' t

А. = П Г Л1 , + Г тоз^СР - т1 (r))dr ], А,, = Ak(G. со). 1 v1(.)L 1-1 ti., "i(r> 1 J к к

жа,х)= n Ak(G,w), ft'(G,0)=G; W2=(Mn * tc^Mq.x)^ W(G.x), х >1

ТЕОРЕМА. 3.2. Пусть при некотором х= х2 имзет место включение

0 е тсехСН0, а). Тогда в игре (I) можно равномерно перевести траектория из К0 на Н, за время Î = х2. При этом для нахождения значения u(t). t > 0, в каждый момэнт времени t используются: u(S). О < S < t, jty(5), 0 ^ S <i t +• е, где е- произвольное фиксированное положительное число. Ипожоства I те^Ч^, х),

1 = 1,2 - аналоги первого и второго интеграла Л.С.Понтрягннв для рассматриваемого случая. Пусть по- прежнему 1 = I, 2, 3,...k, а

MU)= U J^ { П • [И, ,(г) + *етС(Р_ - уП } dr, t1-t l viQ 1-1 ;

где И0(г), t Q < г < t,, - призвольная измеримая замкнутозначная

многозначная функция, t,

Г M0(r)dr С l£t0>. Н<°> = ¡i,, i те'1СЦ0; K^Cr). t^ « г « tj

го

1 > I,- произвольная изиэргмая замкнутозначная многозначная функ-

Ч

ция, J-A Hj^tDdr с М(1_1). Полоты а(к)(С0) = И(к),

4-1

R3(Mt1 à 7сетСй0.т) = П Ц(к)(ш), х > 0;

ТЕОРЕШ. 3.3. Предположим, что при некотором х=хэ имеет место тС

вклотение 0 е «дШ,, I тсе Е0. х). Тогда в игре <1> можно равномерно перевести траектории из И0 на М1 за время Т = х3> При этом для нахождения значения иШ параметра и использувться г, значе-

ния u(s), О --S S < t a v(s), 0 < S t.

ТЕОРЕМА 3.4. Предполозлм, что существуют число х .> О, вектор t с •» л

й t К _» не 4 М0 и суммируемая функция w(t), О t с;хЛ, w(l)€wt),

1 x

такие, что d + j"w(t)dt ^ О, |£| - f4A.(t)dt « О,

о о

где £ = - d - J'4w(t)dt, \(t) = mr Mt.v),

O 7€Q

(x ~t)C

Mt.v) = sup {А. :>- 0:X.r) e те 4 (Py- v) - w(x4- t)J. -q = £ |

Тогда в игре (I) можно равномерно перевести траектории из MQ на ¡¡^ за время f = х . При этом для нахождения значения u(t) используются г и значения v(s), О ^ S < t.

3 четвертом параграфе доказываются эти теоремы и в конце параграфа рассмотрены известные примера дифференциальных игр:простое "преследование-уклонение", контрольный пример Л.С.Понтрягина. Наконец в последнем, пятом параграфе рассматривается задача Ке-ленджэридзе для уравнение (I) и доказывается, что траектория Z(t). О ^ t < оо, на отрезке [0,Т), не попадает на терминальное множество М = {О}. В конце параграфа рассмотрен пример.

В глзве 2 изучается задача о переводе пучка траекторий из начального множества fiQ на терминальное млозвство М1 при разно-тинных ограничениях на управлякцио параметры.

Рассмотрена линейная дифференциальная игра преследования, описываемая уравнением

Z = Сг + Bu - Dv, (2)

где Z е Rn, п Я; и £ Йр, v е Нч; С, В, D - постоянные матриц!!. Параметры u, v называются управляющими параметрами преследователя и убегающего соответственно;они выбираются в виде измеримых функций u('), v{■). Терминальное множество М имеет е;:д = К10+ Кп.

где И - линейное подпространство Rn, ¡£п - выпуклое компактное подмножество i - ортогонального дополне)шя И50 в R".

Пусть Р и Q - компактные подмнозжства пространств Rp и R'1 соответствешо. Допустимые управления - измеримые функции и (•). v(•}, определенные на [О, со) я удовлетворяющие ограничениям:

00 Р ? 00 Э Р

J"|u(t) | dt < р , J|v(t) |2dt < о2 в игре G ; (3)

о о

00

f|u(t)|2dt ^ p2, 7(t) « Q, О ^ t < со, в игре G„; (4) о

-1000 ? 5.

и(1) € Р. 0 г < оо, Х|у(г)|гаг ^ ог, в игре (5)

О

где р, а - неотрицательные константы.

Пусть и = и(1). О ^ г < со, и у = уШ, 0 г£ г <оо- произвольные допустимые управления в игре С^, 1=1, 2, 3. Управлениям и(.). у(•) и множеству М0 ставится в соответствие пучок траекторий г1(и(.),т(.), М0) уравнения I - Сг + Вии) - БУШ, выходяших при г = 0 из точек множества мо.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Будем говорить , что пучок траекторий 21(и(.),у(О.М0) в игре С^, 1 = I, 2, 3 переведен из множества К0 на множество ЬЦ, если существует момент времени I такой, что доя каждой траектории 2 = 2 (г), О 1; < со, принадлежащей пучку 21(и( •). К0), имеет место включение й(г) е М,, г=г е ГО.ТЗ,

число Т- называется временем перевода.

Здесь рассматривается игра .Пусть т - фиксированное положительное число. Сформулированы следующие предположения.

ПРЩЩОЛОЕЕНЖ 1.1. Для всех г € [0,т] имеет место включение

При выполнении предположения 1.1. существует матричная функция

Р(т-г):Вч » Ир, 0 ^ г « я» такая, что •гсе(т-1;)СВ?(т;-г) = те(т~1;)СЯ

для всех t е [0,т]. Пусть х= зир 0Р(т;-г)|}.

(Хкт

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть выполнено неравенство р > ох-Введем в рассмотрение многозначное отобрагвние

ГА.

где 0 < 1; < т, V € йч, Л. > О, шар радиуса г^ с центром в нуле

г, ^

пространства Ег при этом

гя = г(Ъ,т;,у,Л.)' = У\~! Сс-г )у | г+Л& , б=рг-огхг. О < г ^ ч ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.3. Выполнено неравенство

I- 1пх х л.(г.т:.у)аг « о,

|У(.)|«7 о

где мг.т.у) = эпр^ Я > 0:Л(Ип ж тс е'сСМа)П и(г,т;,у,Я) ^ 0 |

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть при х =т1 выполнены предложи®ния 1.1-1.3. Тогда в игре (2) пучок траекторий из множества М0 можно перевести на множество К1 за время 1=1^. В этом пункте изучается игра Сг.

ПРЕДПОЛОШШ 1.4. Пусть выполнено неравенство Х(т> < Р» где х(т) -арифметический ко}«знь числа

Хг(х) = sup | J' |P(x-t)v(t) |гсИ: Y(t) t Q, 0 « t « .

Определим множество w(t.t;)= П Гхе* ice^T-t^cDv],

YeQ гА.

где Л.» U. s£ -шар радиуса г^ с центром в нуле пространства Rp, при A. v___

атом г^гЦ.т.у.А.) = v^IFíT-t )v | г + л.<3 , ô=p2-o2x2, <K t

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.5. Существуй число 1>0, вектор dfM, tto^Mq

и суммируемая функция w(t), О < t < т, n(t) € s?(t,T) такие, что т i

d + /w(t-T)dt * 0, | Ç |-/Mt)dt о,

0 t 0

где g = d + /w(T-t)dt, A.(t)= lai X(t,t,v),

о vêQ

Mt.t.y) = 5up|A>0:^T) + w(T-t)çrÀ7te('i:"t)CBS^i ite('lc:~t)CDv},

t] = £/1 £ |, если g 0, t) = 0, если £ = 0. ТЕОРЕМА 1.2. Пусть при некотором выполнены предположения I.I, 1.4, 1.5. Тогда в игре (2) пучок траекторий из множества MQ можно перевести на MHO.tecTBO М^ за время Г = т2.

В этом пушсте изучается игра G3 для задачи управления пучками траекторий. Существенным в этом пункте является то, что управление Y(t), 0 í? t < <», представляется в виде суммы двух измеримых функций v1(t), v2(t). Oí t o». Cira определяется следующим образом:

Vt)=j

y(t), при |v(î)|< a(t).

a(t) (y [t| | ' ^ |v(t)|> a(t).

0 , при |v(t) l« a(t),

l (v(t>-a{t)]yf[-ï-}-j— , при |v(t) | > ct(t),

где a(t), O^t^t, - произвольная неотрицательная измеримая функция. Через H(v(.)) обозначим множество тех точек t отрезка СО,т 1, для которых |7(t)|>a(t). Пусть

C(T)=i-rTCexCnv:>(t)dt:||v;>(-)!| <о)={ -J- 7ietcD[v(t)-

I О 2 2 J 41(7 (•))

-0t(t)J ||v(->| о] .

ПРЕДПОЛОЖИ®E 1.6. Существует выпуклое, компактное множество

такое, что М^ $ С(х)сМг.Определш множество оэ^.т:^):

¿(г.т.у^ = те(г~г)СВР - те^-^0]}?,. у^ 5а(г .

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.7.Выполнено неравенство т

I- шг г\(г,х,7(г))аг «о. |у(.)Иа о

где яад.у) = вир|\ > 0:\(МП ж тсе'сСИ0)П »(г.т.у.А.) * 0

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть при х=х3 выполнены предположения 1.6, 1.7. Тогда в игре (2) пучок траекторий из множества М0 можно перевести на множество М1 за время В §2 доказываются теоремы 1.1-1.3.

В третьем параграфе приведена два примера иллюстрирующие применение теоремы 1.1.

В главе 3 рассматривается дискретный аналог дифференциальной игры (2), описываемый рекурентными уравнениями

а(к+1) = Са(к> - Ви(к) + Ву(к). (6)

где к номер шага, к = 0, I, 2,..; я(к) е Еп,п > 1,С,В,Б- постоянные матрицы; и(к)-значэшш управления преследования и на к-ом шаге; V(к)-значений управления убегания 7 на к-ом иаге. Изучается задача перевода пучка траекторий из множества Ы0 на множество М1, где (¿^-начальное множество, -терминальное множество, на Ы1 игра заканчивается.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Будем говорить, что в игре (6), можно перевести пучок траекторий из Ы0 на Ы, за N шагов,если по любой последовательности 7 (О) ,7 (I).... ,у (N-1) ,7 (к) е к=и , к-1, значений управления убегания можно построить такую последовательность и(0), и(Г),..., и(Н-1), и(к) « Рк, к=0ТТП, значений управления преследователя, что решение ШП, 2.(2), .... гШ))" уравнения г (к+1 )=Сг; (к)-Ви(к)+Ву (к>, к=071Гг1, й(0)=2о«Мо, для произвольного :;0 попадает на :а(к) е И для некоторого К ^ N.

Пусть

i \ гтг га -.

если т=0, . [хС-^ВР тсС11Х!1а_1_1], если т=1,2,.

если т=0,

ИЛИц % хС%.т) = | 11~ 0 1 11 0 I ш *

тсСП1И01+й'(т), если т=1,2,... .

ТЕОРЕМА 1.1. Предположим, что для некоторого натурального т имеет место вклшение 0 е ^(М,.,* ■л:СшИ0,т), и пусть К,- наи-

кеньшее из таких ш. Тогда в игра (6) ношо перевести пучок траекторий из множества М0 на множество И1 за шагов.

Пусть <5 - произвольное подмножество множества [М()£ тсС^М^!. Рассмотрим следумщю множества

»(0.0)=5, »(С.1) = [»са,0)+тсВРт_1 Г-втсЕОщ.,.....

»(а,и)=с»(а,ш-1 >+'яРст"1вр0] 17ссл"1 м0.

Далее положил

Г И * тсй . если ш=0 , «МИ,.» хс%,т) = { " 0 2 11~ 0 1ч(С,М), если т=1,2.....

ТЕОРЕМА 1.2. Предположим, что для некоторого натурального и имеет место включение О € >»г (И( 1 * тс СТ5М0,т), л пусть 1>г -наименьшее из .таких и. Тогда в игре (6) можно перевести пучок траекторий из множества М0 на множество М1 за 1?2шагов. Определил множество

п(ш) = {н(л)=(м0,и1.....Ча.1)г%м1с я*0> ^.Ц«^}-

Полежим

»(М{гв),а) ='^2 [(М^тсС^д^^) й тсС1»^.^], И, Ш0, если т=0 ,

Г И.Д Яз(Нп1 *С%.т> = ^

Щ{М(т),а), если т=1,2,... .

М(т)€П(т)

ТЕОРЕМА 1.3.. Предположим, что для некоторого натурального ш

имеет место включение 0 е г731 £ к С^^.ш), и ; пусть й3 -наименьшее из таких ш. Тогда в игре (6) можно перевести пучок траекторий из множества М0 на множество И1 за К3шагов.

В этом пункте строится функция А,(1,у) для случая, когда терминальное множество й, - многогранник.

Ж— 4

Ш-1

11оТ5 м тгЛ^Г

Введем обозначения: ЯГ(т) = 2 "(1)» «(1) = тсСГВР % тсО^БО.

т. 1 = 0

Допустим, что тсС М з* »(т) для всех т. Тогда найдутся векторы

(1 е тсЛ,, и яе^Оп). такие, что й - V? ^ О. Далее, в соответствии с

° ш-1 - __

определением сумма 2 я<1)» существует функция «(I), 1=0,ш-1, 1=0

Ш-1

«(1)€ «(1), что « = 2 полозам С = 1 -1=о

Определим функций Я(1.?):

А(1.У) ■= sup^A ^ 0:Лг} € тгС1 BP - ттС1!^, 7} =

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ I.I. Существует натуральные числа шип, n^ m,

для которых имеет место неравенство

( m п m -,

шаг I [С(ф ,7uCHq)- lnî Е A(i,v(l))('P ,Tj)- £ (<p„,w(i))]-r„ko. Gl 13 U V(1)1=0 1=0 "■>

гда нормальные векторы многогранника й,, г„ - расстояния от

I а _

начала координат до грани многогранника Ы,, С (ф3, тсС М.,)- опорная функция множества tciAq.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть для некоторой пары ш,п выполнено продполо-2£8ние I.I., и А- множества первых компонент таких пар, N4 - наименьший элемепт &. Тогда в игре (6) можно перевести пучок траектория из множества KQ на множество И, за N4 шагов. В конце параграфа метода изложенные в теоремах I.I.-I.4. перенз-

сены на случай "интегральных " ограничений, т.е. ограничений вида ю ? ? 00 ? ?

2 |u(i)|2 « рг, S 1г<1)1г < ог. 1=0 1=0 где р(>0) и о(^О)- некоторые фиксированные числа.

Пусть о)а , иР - два набора .упорядоченных по индексам,

wa = [ а,. аг'i;., а^ } . J* = { р,. рг.....рш } .

гдз а j + + ... + а^ î аг , ß^ + ß| + ... ßjjj ^ ß2 . С помощь® наборов «Jх , опрэдзлим следуыщге глнозаствз :

. а*1» = с"1 { [ м^1 ) BS(Qm_l+1 ) ] х DS(ßm_l+1 )} .

I i 1 i ш с начальным множеством = Mt ï <F%0 .

Пологим

И<®> = H(ffl)[coa, wP) , »,(¿,10% , m) = П f U M(Œ>(wa. uP) 1

Выаэ С обратная матрица матрицы С. Если у матрицы С не существует обратной. то под выратениэм C~1z будем понимать полный прообраз точки г. Далее, S(ct), S(ß)-aapu в пространствах S'P и и^ радиусов аир соответственно. Цонтры обоих ларов лежат в начале координат своих пространств.

ТЕОРЕМА 1.5. Предположи, что для некоторого натурального числа m имеет место включение О с W2(K1 $ С%0, m), и пусть

N& - наименьшее из таких ш. Тогда в игре (1,1) можно перевести

иучок траекторий из множества М0 на множество М1 за шагов.

Пусть 1 = 0, 1, с\, ...®ш-1,- произвольная последователъ-ность множеств , удовлетворявших следующему включений

ГГ-1

"I И, с К1о), где К(0,= Мп * тсС®^.

1-0

Рассмотрим следующее множество:

Ш-1 , .

"(ж) I [ М1 + *С1И5<ат-1_1> ] « чсС^ОЗщ.,^) | . Далее .положи

«2(МП 1 тсС^.го) = пД и »(т) ] ,

и*-1

где Б(а), Б(|3), о/1. со^ определены ■ выие (см. теорема 1.5).

ТЕОРЕМА 1.6. Предположим, что для некоторого натурального числа ш имеет место включение

О € !?,( Ип * тсЛ0, Ш ),

и пусть !ч'7 - наименьшее из таких т. Тогда в игре (1.1) можно перевести пучок траекторий из млозвства М0 на множество Н) за шагов.

Во втором параграфе доказываются эти теоремы. В третьем параграфе рассмотрены дискретный аналог контрольного примера Л.С.Пон-трягнна и задача "Два крокодила".

Основные результаты опубликованы в следующих работах.

1. Мамадзлиев Н. К снитималыюсти мзксиминного времени преследо-ния // Тезисы докл. XI совещания по проблемам управления. Ташкент: 1989. с.16.

2. Мамздалиев Н. К методам решения задачи преследования в линейных дифферэнииалных играх // рук. деп. в гос. фонд НТК ГКНТ РУз. 18.12.1992. Л 1758 - УзЗЗ. - 27 с.

3. Мамадалиов Н. Управление пучками траектор-.й при разнотипных ограничениях на управляющие параметры //Рук. деп. в гос. фонд НТИ ГКНТ РУз. 21.05. 1993. X Г838 - Уз 93. - 29 "с.

4. Мамадалиов Н. К оптимальности максимннного времени преследования //Труда ТашГ'У. Управляемое систем. Ташкент 1992.С.39-43.

а. Мамчдалиев Н.- О мзксимшшой задаче преследования // Узб. Мзт.

Журнал.-1993. С. 60-69. В. Мамадалиов Н. О методах упрзвения пусками траекторий в липей-

ных дискретных играх // Тезисы докл. Международной научной конференции "Выроадашиеся уравнения и уравнения сметанного типа". Ташкент. 1993, С. НО.

7. Мамадалиев Н. Управление пучками траекторий при разнотипных ограничениях на управляющие параметры // Тезисы дом. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов". - Киев, 1993. С. 92 - 93.

8. Мамздалкев Н. Управление пучками траекторий в линейных дискретных играх //Докл. Ail РУз.1995 JE I. С. 6-9.

9. Мамадалиев Н. Управление пучками траекторий в линейных дискретных играх при штегрзлъных ограничениях на управляющие параметры. // Тезисы докл. Международной конференции "Совромзн-1ШО проолема математики". Самзрканд. I99G, С. 136-127.

Abstract

On direct methods of control of репз11з of trajectories In linear differential ganeo and In discrete game3.

i'r. the dissertation the problem of transfer of the p«i3ll of the trajectories from the set Molnto the set H Is considered.The contra!, parameters of the playera are confined by geometrical restrict Ions. Also considered the ргоЫетз of transfer of the pensil of the trajectories when control parameters are connected (u,v) e

•sfi. Rcfrn) and when they are different (e.l.Integral restrictions are imposed on a control parameter of one playw and geometrical ones are Imposed on a control parameter of another player).

Sfew satisfactory conditions of transfer of the pensile of the .trajectories are obtained.In the dissertation the discrete analogues of the first,second and the thire methods of the resolve of the pursuit problem are constructed. The пея satisfactory conditions of possibility of transfer of the 'pensИз of the trajectories in linear discrete ganes from MQ in to with in integral restrictions on control parameter Is found.

Чизшуш дифференциалъ ва дискрет уяинларда траекториялар дастасзши беащариш усуллари хакида

Диссертацияда уяинчиларнмнг бощарув лараметрларига геометрик чегаралар брлганда траекторияларни М0т?лламдан li1 тупламга олиб келиб тушириш масаласи ?рганилган- Янги етарли иартлар елмнган. Щу билан бирга боэдарув лараметрлари ?заро богли яьни (u, v) в R булган хол учун хам етарли эартлар олинган. Зйинчиларнинг бопка-рув параметрларига xa:t геометрик. ха;< интеграл чегаралар б?лган холда хам траекториялар дастасшш М0 т?пламда.ч Mt тулламга олиб келиа учун етарли иартлар олинган. Диссертация сунгида дискрет уаиилар учун биринчи. икяинчи на учинчи усуллар модификация ки -яинган ва буларда траекториялар дастасини М0т?пландан Mt туплахга олиб келиш учун етарли иартлар олинган. С?нгра бопщаруз параметрларига интеграл чегаралар ДОйилган хол учун хам биринчи, иккинчи за учинчи усуллар модификация цилинган ва буларда траекториялар дастасини М0 т?пламдан М, тУпламга олиб келиш учун етарли иартлар олинган.