О прямых разложениях смешанных абелевых групп конечного ранга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

¡.211232

санкт-петербургский государственный университет

На правах рукописи

клмлра н'ошра

о прямых разлояениях смешанных ашевых групп конечного ранга

01.01.06 - математическая логика» алгебра и теория чисел

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ ЕУКОВОдаШЬ - доктор физико-математических наук,

профессор ЯКОВЛЕВ Анатолий Владимирович

0®Ц1АЛЫЫЕ ОППОНЕНТЫ- доктор физико-математических наук, доцент аШШ Александр Александрович

кандидат физико-математических наук БЛАШЩЕНСКАй Екатерина Анатольевна

ВВДУЩ/Ш ОРГАНИЗАЦИЯ - Киевский университет им.Т.Г.Шевченко

Зацита состоится "30" ^ 1992 г., в

часов на заседании Специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 196904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет).

Защита будет проводиться по адресу:

Cri]efrief(^r, W^f>.к.ЗН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.A.M. Горького Санкт-Летербургского университета.

Автореферат разослан " OS " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических 'наук, доцент

Р.А.ШШДТ

! 5 г-ПА ! РОССИЙСКАЯ |ДКЧ-'ЗзЗ|

БЙБЛИОГсЛА

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Настоящая диссертация посвящена изучению прямых разложений сметанных абелезых групп конечного ранга.

Теория абелевых групп интенсивно развивалась и достигла больших результатов {см., например, Л.йукс. Бесконечные абелевы группы, тем I, П. Изд.-во Мир, М., IS74, 1977). Она естественным образом разбивается на три раздела: периодические группы, группы без кручения, смешанные группы. Наиболее глубоко разработанным является раздел периодических групп. Хотя и здесь иного нерешенных вопросов, связанных о группами больших мощностей, но для счетных периодических групп имеется исчерпывающая структурная теория, вершиной которой является теорема Ульма.

Для групп без кручения непреодолимые препятствия возникают yse при попытках классифицировать группы, имеющие конечный ранг. Как было показано в 1976 г. А.В.Яковлевым, задача классификации абелевых групп конечного ранга без кручения содержит в себе "дикую" задачу линейной алгебры, о классификации пар квадратных матриц одного и того se порядка с точностью до сопрязения при помощи одной и той se матрица.

В работе "Абелевы группы конечного ранга без кручения и их пряыыо разложения" (Зап.науч.сем.Л(ЖИ, т. 175(1989), с.135-153) А.В.Яковлев раззил новый подход к абелевым группам конечного ■ ранга без кручения. Этот подход основан на влозении категории абелевых групп конечного ранга без кручения в бесконечное число категорий (отвечающих простш числам и 0), в каждой из которых теорема Крулляч&щдта выполняется, гарантируя однозначность разложения в прямые суммы неразложимых объектов.

Смешанные абелевы группы еще меньше изучены. Если периодическая часть гиуппы конечна или имеет конечный период, то она всегда выделяется из группа прямим слагаемым. Имеются лишь изолированные результаты по поводу описании смешанных групп. Исчерпывающее описание есть лишь для групп, факторгруппа на периодической части которых имеет ранг i. .

ЩЛЬ РАБОТЫ. Целья настоящей диссертации является распространение выше упомянутой теории А.В.Яковлева на широкий класс сиеЕанных групп конечного ранга.

НАУЧНАн НОВлЗНА. Бее основные результата являются новыми. Среди них отметил:

I) Построена категория ТЛ, являющаяся хорошим прибливе-нием категории смешанных групп конечного ранга, все группы мор-фязмов в которой - о'ез кручения и имеэт конечной ранг.

'¿) Доказано, что смешанные г руслу из одного рода раскладываются в прлмие суммы одинакова образом.

3) Вопрос о прямых разлоксниях смешанных групп конечного ранга сведен к вопросу о раздогениях векторов в некоторых конусах целочисленных решеток.

■¿ЕТОДлКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методики и результаты теории абелевых групп, теории колец, теории целочисленных представлений, теории категорий.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ К ПРАКТ/КЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Она найдет применение при дальнейшем изучении смешанных групп.

АПРОЗАЦ'.Я РАБОТН. Результаты докладывались на Санкт-Петер-бургсксм алгебраическом семинаре иа.Д.К.Заддеева.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертацчи подготовлена статья [1].

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и 12 параграфов и занимает 92 страницы машинописного текста. Библиография содержит 23 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ даССЕРТАЩИ

Первый параграф состоит из определения смешанных абелевых групп конечного ранга. Абелеву группу А (восыогно с кручением) называем группой конечного ранга, еслиона представила в виде А 1 6/'С , где 3 - абелева группа без кручения конечного ранга.

Параграфы 2,3 содержат технические результаты о.смешанных абелевых группах, р-кокпонента периодической части которых конечны. Все смешашые редуцированные группы конечного ранга принадлежат этому классу. В дальнейшем мы ограничиваемся только

рассмотрением редуцированных групп конечного ранга.

Параграф 4 посвящен построении категории 771 объекты которой - абеяевы группы конечного ранга (возмовно с крушением), а ыэрфизмы 771 определяйся следунцим образен: пусть А, В объекты из 771, Т(А), Tfi) их периодические части. Всякий гомоморфизм v : А__ & индуцирует гомоморфизмы и.: Т/А)__ TIB)

« : А/Г(А) -+ 3/r(8) . 2сги пол сиять Я-. firm (А, 8) , Л'

MHosecTBO гомоиорфизмоэ <*: А__ 8 для которых и (А) е. TIS)

тогда за Hom^lA, б) ын пркникаеи И/Ч^ . Группу А называем почти неразделимой, еаа для всякого ее прямого разложения А = 8 5> С одно кз слагаемых периодическое.

ТЕОРЕМА 4.1. Группа конечного ранга А тогда и только тогда почти неразложима, кода А - неразложима как обье::т категории Ж .

ТЕОРЕМА 4.2. Две группы конечного ранга А , 8 изоморфны в категории 71L тогда и только тогда, когда существуют их прямые разложения Az А, в Aj , вг 8, Ф вг , где Aj , Sj

периодические, а А, из спорней В/ (обычный изоморфизм).

ТЕОРЕМА 4.3. Для всякого целого числа П f в уннпаение на % является в категории 771 изоморфизмом А на п-А В параграфах 5,6 напомнила некоторые факты о категориях. Параграф 7 посвяцен построении аддитивной категоряч /71' над полем рациональных чисел Q . Объекты категории 7Л' -

абелевы группы конечного рзнга. Для всяких групп А, & конечного ранга имеем (А,Ч) s fie/n^/Atd) 0 Si •

ТЕОРЕМА 7.1. Группа конечного ранга изоморфна в категории Ш* лвбой своей подгруппе конечного индекса. Обратно, если

группы А, В изоыорфкы з Ш' , то существует подгруппа А. конечного индекса в А , изоморфная В в категории Ш .

В параграфе 8 построена категории Ш* отвечающие всем простым числам р . Для всякого простого р объектами

категории являются группы конечного ранга. Груша мор-

физм о в в объекта А в объект 6 равна

Ноттр(А,&) = Цаъ^СА.Щ&Т/, , где г

= * о-/4 * &! }.

Влозения 52 с—». , С, с—»- © индуцируют

функторы /Л- т._„ т!, Ж'.—И*г Ш-»Ж

В параграфе 9 определяются роды абелевкх групп конечного ранга. Две группы конечного ранга А, В принадлежат одному роду, если для всякого простого р,^ и 6 изоморфны в категории .

ТЕОРЕМА 9.1. Если группы А, 8 из категории ЙЪ изоморфны в категории ЙТ-* , то для всех простых р , кроме конечного числа, А и В изоморфны р категории ШЛ . Обратно, пусть для всех простых р заданы группы из Штакие,

что для всех р Н°(^) и Я'(А) изоморфны, и для всех

р , кроме конечного числа, ) и ^(А) изоморфны.

Тогда существует такая группа В из 711, что для всех р

f,(S) и +'(6) изоморфны.

ТЕОРЕМА 9.2. Пусть абелевы группы конечного ранга А = = А,® А^ и- 5 принадлезат одному роду. Тогда & =

'Ь,® ^г, где А^увсИ'Ы) принадлеват одному роду.

В параграфе 10 построены категории 772/ и Ж\ Пусть р - простоо число, - кольцо целых р-адических

чисел, - поле вдических чисел. Сначала построим катего-

рии Ш!'* , Ш/>'1 с теми ее объектами, что и в Группы морфизмов в

ив Ш' определяются следующим образом: для всяких А, & из Ш (значит и из

(А,в)* Но»,ш(А,д)в>^ , .

Категории ТЯ и Ш получаются из 131'\ Ш-'' добавлением "мнимых" прямых слагаемых.

Вложения , , ^С-уЛс+й, индуцируют функторы Ш*-- П?, -» ЙГ',

С?: ЛС_Так зе, всякий морфизм любой категории

мояет рассматриваться как морфизм более^широкой категории.

ТЕОРЕМА ЮЛ. В категориях Ж", Ш, Щ! справедлива теорема Крулля-Шмидта, т.е. кавдый объект в этих категориях однозначно с точностью до изоморфизма раскладывается в прямою сумму неразлояимых объектов. ,

ТЕ0РЕ11А 10.2. Если^две абелевы группы конечного ранга изоморфны как объекты •'Ш то они изоморфны как объекты дЛ?.

ТЕ0РЕ!,1А 10.3. _Если абелевы группы конечного ранга изоморфны как объекты • то они изоморфны как объекты

ТЕОРЕМА 10.4. Пусть X -объект Ш, С ,-абелева группа конечного ранга. Дня того, чтобы существовала абелева группа кокечного_ранга изоморфная как объект Ж' группе ' О и как объект группа X необходимо и достаточно,

чтобы X и С были изоморфны как объекты'

В параграфе II построена универсальная категория Ш. в которую понадобится вкладывать все категории "Щ?

Она получается из Ш, при помощи поля комплексных чисел так ке, как при помощи . Вложения

*

индуцируют функторы к. : №._? .

ТЕОРЕУА 11,1. I) В категории ¡Л справедлива теорема Крулля-Шмидта.

2) Если У, У - объекты Ш и РМ, Я ЧУ)

изоморфны в ш , то У, У изоморфны в Ш: .

Введенные категории и связывающие их функторы собраны в следующей диаграмме.

Н'-- Г1*'.

/Г'/'

где гг - г Г', Н*

1Е0РЕМА 11.2. I) Пусть А, в - такие абелевы группы конечного ранга, что для всех простых р объекты #Г(А) и

м категории Ж изоморфны. Тогда А и. 3 принадлежат одному роду,

2) Пусть для всех простых р заданы объекты X, категории ¿Й. и» кроме того, задана абелова группа конечного ранга С. Для того, чтобы существовала группа А « Ш- такая что для каждого р объекты

нЧа) и изоморфны в

и что Н'(Ю и Н'(С) изомог$ны в Ш* необходимо и достаточно, чтобы для всех р были изоморфны объекты и К'Не(С) категории 7П- и для почти всех простых р (кромо конечного числа) объекты Ур и

были изоморфны. (По первой части теоремы группа определена однозначно с точностью до принадлежности одному роду.)

Б параграфе 12 построены категории Ш(&). Пусть 5» -

конечное множество неразложимых в. 7Й," групп АА™,

попарно неизоморфных в ТК . Пусть Р - конечное множество

простых чисел> и для каждого / * Р в категории выбра-

неразложимых попарно неизоморфкых

но конечное множество

объектов х/„..Хм ■ обладающих следующими свойствами:

все объекты Я (/с ) (. 1 * i t п \ раскладываются в прямые суммы —■ р *

объектов категории Ш , каждый из которых изоморфен прямому слагаемому одного из объектов ...t R'/TÍAm,) ■ Систему,

состоящую из P,S,,Sf будем называть Q } а через Ш1в) обозначим полную подкатегорию категории 7И, состоящую из таких групп А , что:

1) Н*(А) раскладывается в прямую сумму объектов категории 7$С каждый из которых изоморфен одному из неразложимых объектов

tt'CAi), ъ,)

2) Для fit Е объект tíf(A) раскладывается в прямую сумму нераэлоги.мх объектов, каждый из которых изоморфен одному

из объектов Xi (iíittof)-

3) Для ^ Е объект Н*(А) раскладывается в прямую сумму объектов (не обязательно неразложимых) каждый из которых

изоморфен одному из объектов

ИЧА;) Iii- ¿i. М.) . Тогда любая группа из Ш, попадает в категории Ш(в) для некоторого $

Пусть Л - целочисленная решетка, состоящая из наборов . целых чисел I 4; f (/1 £ о Ja} , /& * т ) f так что размерность

А равна т. * , Каждой группе А из Щ. (0). ■

поставим в соответствие вектор «LiА) из Д следующим образом: объекты Н'(А), НР(А) однозначно раскладываются

в своих категориях в прямые сукуы объектов И'//Ii) «i Li fn.)

или л с (fí¿í/»f). Если положим

Н'(А) : ¿¡Н74.) в — & c/^H'ÍAm,)

Mf(A) = d!x¡' е ... 0 ZKÍ

f Pf

тогда набор { ¿ц } определяет вектор в .Д., который мы

обозначим e¿ (Á) .

Далее, пусть 5 _ множество попарно- неизоморфных неразложимых объектов £ Ctí.j.bb.) категории 2TL , каждый из которых изоморфен неразложимому слагаемому одного из объектов

Р-'Н'(А1) С/4 <-'< причем .любое неразложимое слагаемое этих объектов имеет изоморфную копим в . Для объекта У*

представимого в виде прямой суммы объектов из 5 (в частности, таковы все объекты Я'Н'(А1], )}

обозначим через Ъ(У) вектор (Ъ, —, решетки Т со-

стоящей из строк длины я. с целыми компонентами. Положим

±{Я'Н'(Ас)), ш и м,)-, ^ Квр(х!)) , (/* - .

В решетке А выделим теперь подрешетку Г , состоящую из

Есех таких векторов { А?] * А , что для всех -Р выполз *

тр ъ р г*, , ,

нены равенства ^ <=(■ ^ =■ ¿2 «; £ ' В подрешетке Г равенствами еЦ ?и}и}) выделяется н еотрицательный конус Т*

ТЕОРЕМА 12.1. I) Если /1 группа из , то с!(А){Г+

2) для всякого вектора Р* существует группа А из ШШ, такая что сМА) 3) Если А, В - группы из 771 (в) , такие что <1 (А) = <1(Ъ), то А и Ъ принадлежат одному роду. 4) Если А - группа из Ш(в), такая что <МА)~ + Щ, где , с Р*, то существуют такие группы В, С .из

Ш(в) у что /4= ВВС , сНВ)^, У(С) . 5) Если А = = Ь, 0 Ь3 > где А - группа из ТЛЮ) , а 4г -группы из 272 , то существуют группы . С;, £ из Ш19), такие что /) с а ^ и для всех /*А» Л>} объекты

НЧС:)

,'а* /, г-) категории

пг изоморфны. 6) Абелева группа конечного ранга А из 1Л(Ю неразложима в категории 701 тогда и только тогда, когда сС. (А) - неразложимый вектор из Г+ .

. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЩИ

^•Яковлев' А.В. ¿Камара Н^йамара." Смешанные абелевы группы конечного ранга и их прямые разложения. Вестн.С-Пет.ун-та, сер. I, 1993, вып.2.

' Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность профессору А.В.Ьковлеву за постоянное внимание и поддержку при выполнении диссертационной работы.