О распределении нулей собственных функций краевой задачи на графе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

гЧ6 0.1

1 5 'НОЯ ШЙЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МЬ-ОБЕЙД ЛВДО

О РАСПРЕДЕЛИМ! НУЛЕЙ СОБСТВЕННЫХ ФУ1ШЩ!П КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

Специальность 01.01.02 дкфферощгюлыив

урпштгал

АВТОРЕФЕРАТ диссертации ня соискание ученей степени-кандидата физико-математических нау;<

Вороне* 1993

Работа внполнена в Воронежском государственном университете.

Научны'.! руководитель: доктор физико-математических науг,

профессор Ю.В.Покорный,

Официальные оппоненты: доктор физико-маюметических Шур."

профессор Б.II .Садовский; кандидат физико-математичеоких ir ук дилент И.Н.Гуроьа.

ВеДущпя организация: Московский государственный университет имени М.Е,Ломоносова,

Защита диссертации состоится 30 ноября 1993 года в 15.10 на заседании специализированного совета К 0G3.iC.09 по полсу"-де/nw ученой степени, кандидата физико-математических iiayit и Воронежском государственном университете по адресу.: .39-1693, г.Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический фпкуг.ь-

С дис кфтециеП можно ознакомиться в (¡иблиут!. ;:о Вороня»;.-• скиго государственного университета.

ApiuptifipiiT р.чггсслы! -0\ "_jj____1993 года.

Уче(п-»Я секретарь спгикплисчмчн-ччного

совета К Of3.48.05 "Нг^^ В.Г.Задором,!f!

ОЕЩАЯ XAPAKi'EFHCniliA РАБОТЫ

Актуальность то-щ. В диссертации иэунглзтся качественные

■нросм спектральной теории краевых задач'для линеПных дпр-

рснциальпых уравнений второго порядка на связных графах.

iD"-

■г'; понимается геометрически, как множество из К » вкга-гг'.ее не только псрдииы, но и все точки päöep (в других •

ппх грг>"р - одномерное клеточное пространство или тололо-гческол сеть). Уравнение на графе скаляр но на каждом ребре, этепия склеивается во внутренних верзилах из реяениЯ- на рёб~ ix в соответствии с условиями непрерывности и специальными :ловнлми гладкости. Уравнения на графах моделнрупт целый [д г/лзнческих яплеций: колебания механических систем, сос-:р.-;е;;ннх из упругих континуумов (струн, стер-тнеИ), электронна колебания в сложных молекулах (р теории рассеяния), про-;ссм в электрических цепях. Кроме Того, уравнения на гро$ах ¡Являются, например, при изучении спектра оператора Лапласа i ричсноЕом многообразии сужециим его на некоторою сеть* ¡удес-вляю'-дуо триангуляция этого многообразия.

Измени« дифференциальных уравнений на графах и краевых Viii для них началось в первой половина 80-х годов. Первые яультаты по данной темвтике связаны с членами Павлова B.C., здева Н.Д. (1983), Покорного Ю.В., Провоторовой -E.H. (ЬШ), 'Ленина С.Л. (1983), NicaiSi? S.Ü98G). Вторая половица 2-х 'и v.vitv.Q 90-х сопровождались появл^ш^м в теории лицей-ос ДУ второго порядка на графах ряда важных результатов, пэ эторых следует выделить аналог теоремы сравнения Штурма

ШоКорми.1 D.B., Пенкин 0. M. ), су^остзованис я представление функции Грина (По'корний У.В., Пенкин 0. M., Кашлии» ИЛ'.), исследование асимптотики спектра (Зангородний Н.Г. ). Перечисленные результаты (правде всего, аналог тооремп Штурма) СоЗДОЛИ ПоЧВу ДЛЯ ЦЗучСнИД осцнлллцнотимх свойств спектру ., крпеч.,',1 :jîv;!v-i; на грпфе (таких, как геометрически! краткость собстпешых значений, количество нулей и Зон зцакоиостог.пствг собственных функций и т.д.), чему и посвящена настоящая работа.

. Цель работы состоит I) в'исследовании-рекуррентной (по. числу рёбер rpafa) зависимости геометрической краткости собственного значения краевой задачи; '¿) в изучении зависимости числа -нулей и Зон Знакопостоянства собственной функции краевой задачи от ai номера} 3) я нахождении (на основании предыдущих исследований) условий осцилляционности спектра краевой ' задачи на графе.

Методика исследования. В диссертации используются качеез '. в синие методы как классической теории ОДУ, так и теории ОДУ на графах,

Яаучтшя ;iQV.tk]in. IJct; pe3y,Y>ïат; диссертации лрллютсп новыми. 13 числе наио'олоч вакнпх следует отметить:

а) вод1, стоимость спектра краевой задачи на графе-дереве (в т.ч. и в Hccavoeoiip/M-OHHOM случае);

б) представление Г(.гМ'.;тр;гчсской кратности СобстгопюГо t-il'i-чения аада"к на гргЯе через его геометрические кратности, кги

.собственного значения задач на подгр-флх;

в) nq" мекашоить спектра краевой зада';п на графе-дереве со спектрами краевых задач на подграфах, образованных г;.- кехед-

- ь -

с rpr.jbû пыбрпсиптшем однсП из перзлт?

усяэвис обЦ"ОСТИ ПОЛсЯе«ч:я, п котором спектр Кр.'СЗсП эпца-

т ГрГфе ОСЦИЛЛЛЦПОНС'И,

11гпктчч<;скпл il тс^р^тг^скал анпчр'пить. рл6п,"П тюскг ¡рттичсскиЗ хграптгр. Результата дкссгртпцип лсЯти

"••".ценно ггри изучен'^! рпгличщдх noiîpocoa спе.'-лрг-.тьио'П vcoprn riïirux и нелтсНгых npnwux задач для ДУ ка Pprî?x.

ргбрты. СсноТ5*-1!!: резу.-ьттгм дгссергг.цш iелись на следуозпх кртфгрсткгтх:

•a rc:;ptpe5!4mi 'М'п|;ор!.!глп:о!пг^е технологи'! п с поте?!, Тся»?е-:чг-гесу.ис задачи г.пхеники сплошных сред". - Горо!?гл» 1^??, г, кжоло "Теория функция. Днр.ргрпшпгтьшо урпинснгл з уу- j-TimccKcti модеЛ!!розешп!". - Ворон ст., 1Ç33, аг.;-до на семнигро по качеств uvo'l теории хрг."-.'". orvr.'i ЦТ.' тгматк.ча ЕГУ inpc!;. D.D, Покоргп'.-Л).

Пу6лтя:пт'чт1. Но теме диссертации опублккопг.ио 4 есЗо'»?!, рг.-^-зкя« оснозное содержание работа. В пэслрдмс'! рг.5оте автору прп'гдлегмт только дояязательетпр ли» 1.

Г1'-.-;;'» и структура рсботы. Дксссрт-из'отт.'л ргЛота '.тглопста i l'î?~:*:t страницах п состоит из сведения п тр-г^ глг-ч, p-ri«-il-; m 3 jrparpr "'оя, БиЗлкогреекпЗ список ссд?г :::т Г"; : --

ЮДЕРЛШЕ РЛБоШ.

тедентщ приводятся комментария пстор?г-!сского хпра:;-:ра по рассматриваемо!! в диссертация теме, библиографические пзлппя и краткое 1г?ло-~сипе результатов диссертации.

- б -

Негпал глава слукит для введения основных понятий. Центральными является понятия гра^а и диЭДереццгальпого уравнения на граТ)С. П этом пункте 1-й приводен эти понятия,- а остальное будем вводить по мери надобности.. '

Пусть задач конечный набор= 1 ) П1 ^ открытых попарно непересекающихся интерпалов из , т.е. множеств веда.

Дополнительно ой отом наборе будем предполагать, что У; /] У-. -' при 1- = ] (здесь - замыкание в 1л. ). Пусть А -множество концов интервалов у. , а - ьиго-кество тех концов стих интервалов, которые являятся общими как'минимум для двух интервалов.

Пусть А1 - некоторое-' подмножество Ад . Если множество. Г ,

представляющее собой объединение интервалов У- (Как множеств

П,г А Ю- 1 •

из (к ) и множества появляется связным в.Цч. , .то его ш будем

называть открытым.связным геометрически градом (п дальнеЯ-асм,

■во избежание загромождения текста, - просто градом)* При отом •

точки изД С уд см называть вершинами гргфа Р ,. точки из А,.- -

внутренними воршиипми Г , а то"ки из Д\Д- .грайичдаши всриш-

ПШ-'И Г.

Множество грани1«»!-!* вераил { нпн будет удобно в даль-исйасм обозначать через?»] , а игдоептпо его внутренних вершил - через ]. Ни'-е всегда будш предполагать, чтп.Ы £0. Интервалы будем именовать ребрами Грефа 1- . Объединение всех реОер [ , как множеств ну , будем обозначать Через

Для лябой вершщги О. гргфа I через {(о)буд!.;.; обозначать множество |1 г | а ^ У ^ | .

С калдоП внутренней вершинойае^(Г)Ьудем связывать набор ло*нтильцых чисел |с^(сО| 1£ I (а)|. Эта наборы (псоду да-е они считгятся фиксированными) требуются для определения нятия гладкой на Г функции.

Гладкой на Г называется равномерно непрерывная на функция !((*), ¡элгащая на каждом ребре равномерно ¡прсрирцые произродлие н удовлетворяющая равенств см

-¿.(а) и\ (а) - О (аеЗ(Г)). (X) Ы На) 1 1 -(1)11. (а) означает производив <$уцкцгя !(.-(•)» посчотгчпгуэ направлении "от С\ " вдоль ребра ^

СбоЗначш через С (Г). С (Т), (^2(Г)'Ч'0^ества фуцкц,':Л( 1ррделешпж на £(Г) и обладсяцих на ккздом ^ рввиомер:'о гпрерывщ-иш производными до, соответственно» 1ту-"сз0г0| п>?р~ )Г0 П второго порядков вклэчителыго. йЬюЯеСТЯП ГЛГЗДК1К фун-ди!1 из и из О (I/ будем обозначать, соответственно,

Под лтптейньм дифференциальным уравнений второго порядка а граЬе П понимается соотношение

-(риУ (£еП. (2)

•••'•л о того уравнения раскрыв петел в понлгигт о» о резстггет« ;.;::> ург.гпгнил (2) называется фуншрт кз С*"(Г) , удоплс-"г;; Пцгл на ::гпдом ребре У". "обичному" урлэнсигэ

^ и

-(р£ и') и. = (16^),

НС и^-), Р,- (•;, q:l^)l {,(') - сужения ЦП. фу,(:.циП II М, )(')> 4-(') - Всоду далее предпо'легпптел, что

е ; относительно р('*) допогзоггачьгго пред-

олстается, что

{р(ос)| хе Е(П]

>0.

- О -

Для уравнения (Р.) ыо;,сцз ставить 1:/>аез>!е задачи, доб^лля к неду какие-либо условия н-- границе Г . В основном ш рас-сматрипаеи случай условий Дирихло

V-

Кгаовой задачей {'¿), (3), как уг:о отмечалось, опиа^атзя ыалгл д^ор.мацяя упругой сетки ни струн (в о том случае 0(0 , а в ка-(.'атво в услошп глсдксстг: • (I) поступай?'г-дог*-

1-ой с труты в точки О. .

Гла^а 11 пссвячсна нрегау^естзеннс '.¡зучинта волоса о гео-ыетротиско" кратности собственник- значений 'зядг.чи

-(ри У + аи = Л п и ( х-е Г)

и|*г = 0

V.

в которой А -спектральный (вообще говоря,-, комплексной) 'паралеар, - положительная и отделенная от нули -фу'нщ:." и:

С(П. На результаты о той главы оштрштся йсслецоваи;:л, фх-водч.ше ь третьей главе,

Окйзисяется, что несмотря на оозм{«нув мессгб.соппкя^т.'тосу зецечи в смысле скалярного произзодонил

( и,'У) ~ и(-:с)уУ(х)с1

х г

пмеит мг.сто следуосая'

Т е р р е и а И. 1. Волн I - гра$-дерсво (т. е. Г н-иисьт подано хеств, гсмес^огфних округлости), то 'спектр згдп-ЧИ .(4) п^естиенен.

Следующие три тюри.ы представляет юкки самостоятелен;!!! интерес, иЬо дслт рекуррентные формулы для начисления геомет-

- g. -

!Ч j'j:cc:T Гфптпостн собственных значения зядс,чп .(■?)..

Toon е н а 2.2. Пусть С - некотспм гнутрсниля ■рп.'нп rj-гН-дсрепа I . Пусть для некоторого I--i„ € 1('с)

¡дача

¡-(pu/f qiWlru (xeTi(c)) f

no Pj (с) г компенет'та o^?ci:occ!! гчгсяссспа » содс-

э r-Jc)

I -

: ; ,,; ) ггусе? при решение, исгрииа'ьноз на V". r

-гд-д .vTSo» pirtcrnte задач;? (4), о?яечг::';се , c'lpr'-irc^-i

i в гуль я точке С . причем .

/Ч ч WUO 3

дс >'- {.'V гсс,'(-'':е:,ческ.'1г; тфат'-'осс» : г г::

задачи ("О, а его гесг'Ь-рггспкгп

с,dс\"1С''.:т"Го оцачснпя задачи (Гу),

7 о о п с ч a о. Пус:ь О' - некоторая виутгстггл f7-t:r;a гря^а-дерега Г . Пусть д;:я .тейого II (с ) всякое г'-зечк?. задача (И, ствечг.^ее , трпэиздьпо its lf\ •

о.^дл если зсякое решите задачи (4), о?асчг;;соо Л = А-.- , ''гт"дется в т-уль в течке С , то

U lie) 1

Т !} о п с н а 2,4. Пусть в" \слсз-!лх ntxjpi'U 2.3

ЛЛ0

существует решение задпчп (4), не обрпцгочееся в »«уль точке С . Тогда

■&ГЛЛ=4Е=1. ic.fAj + i! IG. I (С) 1

Следузпне четыре теореш предстааллзт собой аналоги тео~ put 2.2 - 2.4 в случае произвольного графа. В условиях эТ:ос

- ш -

теорем А0 вещественно. ^ ~

Пусть О - внутренняя вершина Г , а - ком-

поненты связности множества Г\ [с]. Пусть ij для всякого j = 1 ; - это множество ^ • Рассмот-

рим следующие краевые задачи

I -(¡эц')Ч с|Ц -Лг и (х-еГ|')

Террема 2.5. Пусть при некотором зада-

ча имеет при А=А0реиение, удовлетворяющее неравенству

оС-£ (с)и- (с) ¿о.

1 ^ Ьо

Тогда-если всякое решение задачи. (4), отвечиэщсе Л = обращается в нуль, в точке С , то , 361-1

Где (Л0) - геометрическая кратность Х-о ,:ак собствен-■ но го значения задачи (С|0.

Террема 2.6. Пусть в условиях теоремы '¿. Ь существуют при А = А0 решение задачи (4), не обрац&оцеесл к гуль в точке С . Тогда

1сГЛв)=,Е=Ь_ (Г) 1 = 1 1 _

Тео рема 2.7. Пусть для любого J = "22 всякое решение задали (бр. отвечслцео Л-Л0, удовлетворяет равсн-. ству

^ : а^с) и\ (с) = о.

Тогда если всякое решение Задачи (4), отвечслцсч А = А-0 , об-

сдается .в нуль в точки С , то выполнено (7),

Т (! орем а й.8. "ели в условиях теогеми 2.7 судест-уст при Л= рс-пенно задачи (4), не обга'цпцеесл в нуль В' очке С , то

зсСЛв)=^==— СЮ + I. ,

и <

В тпетм.'Л, зоклочительно^, главе н?. основании резу.г-татоя редиду^е;! главы псследучтся. оецкллящгонные свойства спектра , сдачи (4) в случае, когда. Г - гра£-дер$ао. Эти всслинозмпя пнр.тэтел на метод математической ^'дукцнн, пгэтгму пнзчглз '¡сеыатриэаотся простеР.шгй случаи - случай грп^о-пухшо (т.е. рпга, ¡певчего в точности одну внутренней п «глину). ¡Ь^"'.": !гс'грумег!тсм п эт:к ^следованиях яз-кгятся тгот>е."у Г.'гурча длл рягнеч'М (2).

Пусть |Л> { ) = чеубывгачрл пэслеяопз?едьнос:ь,

зет •¡«ленная из точек спектра А задачи ('О, пр;гч сн каздое }.'.:ствегпю« Лнлчении г.з А встречается в этой последсвпт-одь-;г;ти п тс ль ко- роз, какова его геометрическая - кратность. Пусть ?.[] = 0;с>0 ] - неубывпачгл последовательность, сЬсглплш

г'< сп^стаиных значенгЯ. задач (5{), пр!г-м.м рсяг.-' (V ) поеледазпт«злъности встречается п неП

Теорема 3.1. Если

1Э(Г)!~1 (т.е. Г

^•-(¡ууэк), То 1)Л,< 90 ; '¿) ДЛЯ лаб:Го ] ) , а из = ^ м

, {орЛуЛГрСВКИ СЛОДУСПИХ ТССрО! »»ГМ Понадобится понятие чнеетн ранения Уравнения (?.).'

л

ИЗ

Всякое отбытое подмножество гр&ра Г (открытое в сгшсло топологии Гра+аГ , индуц'!ройанн,>Г| из будем называть

Подграфом грй£а Г • Пучностью пк^тш Ь-(') из С'" (Г)

будим называть такс!-' подгрг^ грсра Г , на котором !*(•) не имеет нулей и на границе которого она обращается в тфль. Следующие две теопи'.и: отгрс^тс;; на предидотцун. Т с о г ь м а 3,Пусть Ц1(Г)!Н • Пусть Л г [ -ое собственное Значение задачи (4). Тогда если л' ,

где Л/ - объединение спектров задач (5|), то колячсз^о цучиосгсЯ собственной функции задачи (4), отзсчыцеЯ Л - А^ , ргдаге

' . I

? К {А ; ) .

J ~о

i

Т с о р с и п 3.3, Пусть в услоВ!шх. предадуце;! теорс;и Я^ £ N . Тогда максимально возможное количество пучносте: собственной функции задачи (4), отвечс^чей .

¿'.г.. s'

, lcl(.)

где о - количество пучностей собственно!' функции задачи (Ь отвечюцзй А^.

Метод математической »«дуадш позволяет доказать oxw¿m обобщении теорем 3,1.

_ Т е о т> е а 3.4. Пусть J - гро$-дерово._Тогда

1)\в< ^о ; 2) для Iiaüovo выполнено ^ ^j+f ^

Из этой теорелы штекит следуюциесйЬбчения теорем 3.11 к 3.3.

"Г1 °

ТерремлЗ.Б. Пусть 1 - гра^-дерезо. Пусть N объединение спектров задач (5j) по С и по Í . Тогда если

- ы -

о

ф -'V , то К0ЛИЧ1:СТР0 пуччоет- !1 СпЙСТЖГ'-о:'! Ой-

да-.!« (-1), отч».'»гэм»А .А ~ Л ^ , равно

е

-ЕЛ к (А..).

Т о 1) е м а 3.6. Пусть Г - грс'ф-д.рего. ']огда если ;ч (= А' , то существует С £ Ц (Г)„т«.!:оя, что маисг.гаъно всоус~яоо количество пучносте!! ссбстпеч?»оП функции задачи (-1), •»таечсязеЯ . павно

т; , тих »

. I е I (с)

Р I

где Овд-); - максимально возможное количество пучностей соб~ стретптоЛ функции задачи отвечтщеП Л. = Л ~ь

Из теорем 3.5, '¿.'¿. и к. Л вытекает достаточное условг" ос~ цилллш'оччоети епектпа задачи (4)* А пенно» верна

Т е о г о м а 3.7. Пусть Г - Грп£-дерсяо. Тогда если еп'Л'Три ||,]|^с)за,дпч (Ь|) попарно ие пересекается, то спектр пздг.чя и)• осцилляциои«'!»» т.е. нее собственные значения задач!! М) просты и образуют строго воэрпетао:цуп последователь-чг-г.ть {Л(, = о, оэ | г отнемл'.'ц-дея к ь е-о , причем есС-'г-

I ■ \ 0 " -

,,,.., , ^ ».у»;сц!Н ОЛДР-"Я I'!/, оТПеЧ'ГЛ!.1РЯ • ( -О''У СО,!ОТи'Л"'??Т»'

•¡*.-!п, г'сст и Г ровно 1 нулеЯ.

1 зякл-оенп! а?,тер гыратоет особую признательность сго-ьчу'ч;.!-;.- руководителя. При работе над данной диссстточн--<" I - '"ль и поддерчка пгор. Г.В. Покорного и1:а~&яи немалуч ус.-:;, иг ';птогу: достаточно отметить, что определение круга

т, ч'чггпг'лечнл ис следе в."» и"! дснноП диссертации пгн-

Ь'п Л " • ' И Т ' 1 '.у.

Автор благодарит такяе участников семинара но качественной теории краевых задач под руководством профессора И.В. Покорного за полезные обсуждения результатов данной работы. Особенно это относится к В.Л. Прядиеву.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Аль-Сбейд А. О количестве зон знакопостоянства собственных функций краевой задачи на сети: Тез. докл. школы "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании". Воронеж, 1993. - С.9.

2. Аль-Обейд А. О количестве зон знакокзстоянства собственна функций-задачи Дирихле на сети (Грефе) // Деп. в ВИНИТИ 13.04.93, )? 933 - В 93. - 8 с.'

3. Аль-Обейд А. О перемежаемости Спектров краевых задач на сетях // Деп. в ВИНИТИ 10.09.93 > Ш11 - В 93. - 26 е.,,

4. Аль-Обейд А., Прядйев В.Л. О геометрической кратности соб-

• ■ I

ственних значений задачи Дирихле на гра}>е // Деп. в ВИНИТИ I2.ei.93, № &7 - В 93. - 12 с.

'¿Г

•Заказ 349 от 25.10.93-г. Тир. 100 экз. Формат 60X90 1/16. Объем

I п.л. Офсетная лаборатория ВГУ.

- J -

ОЫДАЯ ХЛ 1,ЛН'(Кр1'СП-"СА PABOIU

Необходимость рмаеция сингулярно гоз-ущ'нг'нх краевых задач ЮЗЬЗ) возникает и самих различных £>б-астях пауки и техники, например, ч небесно А ме.хв»ико, задних оптимального уравнения, при расчетах океанических тече-и!(.

Решения СВКЗ обладает особенностями, которые состоят в рачительном росте производных в окрестности границы. 13 связи этим возникает необходимость разработки специальных методой зучем'я таких задач. Асимптотическим методам посвящены -работа .II. Тихонова, М.И. Велика, Л.Л. Лпстерника, Л.Б. Васильевой»

Кутузова, С.Л. Ломова и дпугих авторов* На основе Ki^fiop— ацчч о качественных особетп'остях тиснения, которуо даит .-зинптотичоски'! методы, разрабатываются специальные числение методы. Этим методам решения СВЮ посвящены работы I.C. Сахвалопо, A.M. Ильина, М.В. ДлрксеевскоГо, Б. М. Бага-па, И. П. Ьоглаева, lü.II. Боглаепа, D.H. Задержка, К. В. Кмель-новл, В.Ц. Игнатьева, В. Д. Л-лсеПкина, Г. И. Шишкина, H.H. !м''"Яо, У. Ааера, Р. ВаЛса, ¿Vs« Миллера, J j. А сяк ера и др. ольши»ство работ относится к разностным схемам для линейных I ;;'1г.зилчнейных СВКЗ второго' порядка. Численные методы для ильно нелинейных CMC и СВКЗ более высоких порядков развиты ."п';о. Этим и обосновывается выбор темы диссертации.

И--ль работы. Обоснование метода сплэЛн-коллокации для :и"Сй>'оО сингулярно возму^етгноЯ задачи Коши для уравнения -го г.'оппдкп и для решения краевой задачи для системы второго Ю'-ядка.

Общие методы исследования. В работе применяются общая теория проекционных методов, асимптотические метода, методы сплайн-коллокаций, линейного функционального анализа, линейной алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научнея новизна. Изложен и обоснован метод коллокации приближенного решения линейных СЗКЗ для векторных уравнений ¿¿-го порядка со специальными краевыми условиями. Доказывается теореш существования решения коллокациониых систем урознинкй н выводятсн точные оценки точности в нормах пространствч

С [0,1].

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные методы могут бить положены в. основу написания программ для решения СВКЗ с высокой степенью точности. Дано обоснование схем 4-го порядка точности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Воронежском государственном университете и на конференции "Теория функций, дифференциальные, уравнения в математическом моделировании" в г. Воронеже.

Публикации. По .теме диссертации о публикой я но 2 работы, список которых приведен в конце автореферата. В диссертации включены результаты, полученный автором самостоятельно.

ОбьIм работы. Работа состоит из введения, двух глаа, содержит 1Ы страницу машинописного текста. Список литературы вк/иоча^т 90 наименований.

О0ДЕРМН1С РАБОШ.

Прежде, чем переходить к изложении результатов диссертации, введем некоторые обозначения и уточним терминология.

n ~ 5 ~

Пусть' — Д - мерно1-' евклидово пространство с нор-

мой

llxll = max I

1 ^ i ^ а , j-

где Х^ - координата вектора ОС- (хИ".> ^п. ) Через С=-С [о, О ми будим обозначать пространство вектор-функций x(t),o <; t s; 1 со значениями в К . Пусть С*= С'3 [0,1] - пространство р - раз непрерывно диф-ференцируешх вектор-функций со значениям

ЦхНСр = /Нах sup ¡I

J-0,1, — »p 1

Через II All будем обозначай» норму квадратной матриц

II Alloo ~тах ¿Z | a^j!

Пусть Д 0 =• t0 < ... <■' — t - некоторое разбиение отрезка

[о, 1 ]

. Через будем обозначать про-

странство эрмитовых сплайнов степени 3 дефекта 2 на' сетке Д, а через — "tj - длину I -го частичного отрезка

А ; (£» всюду означает малый.положительный параметр. Через О, С\, С'2,... будем обозначать положительные константы, не оо-1-исяцис- от ¿1 и разбиения А . Будем говорить, что

о, К -у О , если для всех £ G (о, 8), К € (о, Ke_), | f (<S,k)l< $ С обозначения значений интегрального опе-

ратора с ядром G (t, ^/ часто будем употреблять сокращение Q)^ ^ = f ( 0 • Функциями типа иограцслоя в точке t-i будем называть гладкие функции

T(tyS) ,

удовлетворяющие оценкам типа

(jf (t,£)l ^ С eoep U^^o^lj. .

В автореферате сохраняется нумерация, принятая в диссер' тации. Первое число означает номер параграфа, а второе -номер формулы в этом параграфе. Формулы, занумерованные одним числом, взяты из введения.

Перейдем к изложении результатов диссертации. Во ове- ' денпи сделан краткий обзор литературы и кратко изложены основные результату диссертации.

Глава 1 поедящена разработке метода коллокации для скалярной задачи

ш-б и-си

и Ы = о (А)

где а(\)?>ао-7 0 и о<£<-<.

Предполагается, что С1С^) и достаточно гладкие

функции. В качестве точек коллокации возьмем

• 1) - узлы разбиении

ш-1 ч т

Ъ

LtA 4 4" ^^

о

0 достаточно большое фиксированное натуральное число

Всего 4 m + i точек коллокации.

Обозначим их через j^ij» где I — О,• -• > ГТ1 , перенумеровав точки так, чтобы для лабой из точек коллокации Xj

» I

¡Е j было верно X-t С Xj , если I <• ] . • Пусть Е - пространство

S(&,3tZ), F = LE , где L

оператор задачи (1). Тогдц dim £.-d\m Р= 4m4 i

етод сплзйн-коллокации ркцения задачи ( i ) состоит в тысквнии такой функции tf^ £ Е, , что

£U;„-a(t)llm-f(tj}|t=ri'0,i-^^ (s)

острот специальный базис | Sj. j пространства £ . Базис | пространства F=LE будет определен по формулам

k = L Sk = .

Вьцелим в разбиении отрезка [ö, ll три зоны. 1. Регулярная Зона. В качестве базисных АунКций возьмем

на отрезке

t, » t\ ] являются полннома).!н степени н<; больае 3 и ' к-( к-п

'дослетворяот следующим условиям

VU=sjt,„>-o, s,lk(tk)=i

S^CJ-S^ttJ.S^itJ-o

J t ^^lUO'ISUUVi Uli | Щ1 .

HRJIcrt t 1 .

11 ^^Ct^I^'iUo,..., ¿(m+i))'-

где С - некоторая константа, не зависящая от IV ( <5 .

'¿. В неглубоком ногранслое функции S^it),, S^j^y (О строятся такке, как для регулярной части, поменяв местами четные и нечетные функции. Используя другие нормирующие множители, установлены оценки веда (4 ), 'где k=plm+3»—> t 'о

3. Для глубо'"'"я погранслоя = Z т + i0 + m ) § ^

выберем как и для hs глубокого погранслоя. Для них гнрна опенка

(к=2т + 10 +1,-, Ит).

функция Г-'бирМ'ТСЯ Р РИДе

,, 0- . , { ё [ т #1 \ ( к=2го * т/ . / + >

где ^ / многочлен третьей степени, ( I/ - интерпо-

ляциОшг.Л: ормнто" силами функции П^ > а

¡сС^ | — 0 ( (~к~Г ) ' 11 здесь получен» аналогичные

оценки.

Т'е о р е м а 1. Найдутся такие числа <5 У О , Ь 7 О , > о . что для всех }|е (о,/<Д£ | Ел £ I £ У„ Ь ,

решение коллокацконноР задачи существует,.единственно и

^ ^ ^ ' где - точное реинние

Задачи (1), С не зависит от IV и £ ..

' Втирая глава посвящена разработке' метода коллокапии для системы второго порядка. .

" А(1)х=чСч . . (5)

хЩ^х'И,^)) г с;

где Д(1) имеет Достаточно гладкие коэффициенты, - глад) вектор-фу;гкция, £ - малый параметр.

Разделим ' [Ь,1 ] на Зт отреьков: Щ отрезков в лепом поГранелое, (П отрезков в регулярной части и Л1 отрезков "в правом пограцслое.

Б качестве точек коллокациЛ в,-берем точки сетки Д И

цякч енутри отриьког- разИтт. Но.го 6m Н то"1:-' коллона-[;ии. Опишем 'Vftt t'o'-:í;t'.

ÜyCTb l9 ДОСТПТО'11'О О ОЛЬ "JO ф1ТИС1Г1'0ППН110'- Н!>,тУрЧЛЬ[ГО! !\T!Cf.'oTpHf.l МНО:'"-'СТ['О ТО''-К OTp'-i-K't [ü, lj. 1) > ^ ~ О, m ? :'С>Ч('К J1!>L'! JJI.JfJffl А,

ч) "г_ [ . f -i h Jmll =Лт 4- ir bnwi >'

С/' * е - Vj + к -

- t f ^ Ь

' ¿ф-И ' Llm-i M 2т1 2mH P.m+2 i 3inH , V ]jmt¿ ' ^-m ' 'ГЬ2т Л'

н'Г; =tfc.f ,

* ^ > » -r- » -ТГ- >

!о"Ки ^ , 7 , С • >-,„.., точками

'ID-I ) m-1 'ímM, У?*}. .o „ , пслуколлоклции. остальные то^ки Г, , } р i k = г?7? С? Ш-l,

Í^^nit-í,' цаиыпаем точками коллокании.

i¡iVTb £ ^j- j - M»o:tecTPo точек коллекацин, элементы которого упорядочены так, что для л» Сих J < J верно С1?..

f h" I 'i h

|]у;'чь j у, г - множество точек, описям* :x рыв«.» гавиигтром, L J > -r=- » v- * к

гск.ч'онением точек гщлуколлокацин * j

экации \ , ^ . Эл< м .¡i

í'h'f tf h* t>j /. уиорядочщы ток, что/. <- /> для Ji<Jj . )>!можес'п>о

np(J U h

1 с М - точки, описанные гкле равенствами, -исключая точки

» *

полуголлокации 7 . и и Для номеров

Ь**" h** гm * í í Ь*"*/

верно < Л . Иночества 1 Ь, í и W . 4 Содепт.ат по

h ¡z f h / С J ' 1 J

6 ПН 1 элементов, (7yj О ГТ1- i - элементов.

Задачи (б) соответствует коллокащюннт задача:

построить пектор-фуикци» G £ » для которой справедливы равенства:

{LVm-^i't-T»

1 I т~ ^ tT,H

i

.. о.

(V

о

t -Т*

I 1 2m+ \

гди{'} - С-ая компонента вектора , £—-{,2.

Таким обрезом, полуиюг ¿(бж +l)

равенств. Так как 1ГЮ б: Е,

то выполнены краевые условия

Далее, (t)7 (S (Д, 3 , Л ) _ эрмитовы сплайны

на д . Тогда dim Ё -2. (6m-f <).

В диссертации рассмотрено преобразование задачи (5), (б) I? расцепленному виду с помощьп замены . '

' t , w ■ f Л

так, чтобы система La = Ц преобразовалась к веду LU - »

(я)

= (.о)

R(t, <£■) - такая матрица, что

iPIt.ejllg. <с (o<t«i)..- <íl)

Решение уравнения LjW —(второе уравц'.'ние си>'.-темы (9)) имеет погрвцслсй вблизи точки t = i. ¡borowy часть сетки вблизи 1-0 для оператора L.

называем иугпкм гогг.ац-

слош, а вблизи t¡="j "спенм" тгрпцс.чсвм. Для ontyaTcpn L

- п -

шоборот, "свой" погранслпй - вблизи t = Ü. Построй базис^е функции Для уравнения L ¿ll ~ (t). При изучении базиса выделяли ТТ1И ppsr.rrUV.um С7г>ол:

1) регулярная зона;

2) "свой" иогранслой; J) "чу.-'.cîl" погранслой.

В регулярной зоне ( j fri - 1, •• • , ¿ П1 f f j функции S^(t)

V^'Äp;-] ihíUt tt-íb^-141;,

V. b-j-n

llpn j~ir)-1,m функция Sjj )-■) выбирается с другим нормкру-в-дш нно'кителем:

s,.

* L I

f-efrJ^.u^tj]

k^j+f.

, .'r¡ si

Игда, Fyl^L^ « vV^kAj + f •

В § 8 доказана оце«ка . I

■iF шн <íc ' e н

I VIL <

о , i^rtj-,; W

(a;

C13;

k -- , Ijn ; i = m-1

В "своем" неглубоком гюгранслое базисные.функции

- 1а

описываются елццувщим образ о;

г

а

I Д. | 3 ' * »

а а^ (

Л*? 1т + .

Дня случая неглубокого погранслоя справедливо

Т-1п: ' О , ^ Ф Н-1 '

(с = ,¿/-и / = + ¿с

Для глубокого погранслоя + + 'Зло.) описана формулой (14).

Функция в глубоком погганслое имеет вцд

о. аы

и

ад

(1С

^ О "В ОСТОЛШЫХ СЛУЧАЯХ

где 2. - эрмитов сплаЯн, интерполирующий решение сднорсд-ного уравнения 11= 0 > а функция 0^(1) имеет ввд

1

V.

О

К

I*1

> '

Ш)

'"> 0 Л (¡-¿п,)'каУ '

Из (16), (13) следует оценка

Г С

аю

О , ] < I < з ж

В "чужом" погранслое

СТроШ! Г.0

рмулк (14). {Т^-М И"еет ввд

,. (1-Ь

I

чо(,у?Г(У , на [о,

е Н - эрмитов сплайн, ннтепполируищий решение однородного о^нечия 11-0 • Константа 0.(^определяется формулой (П),

о

'1' "Чт-!)''

Отсюда верна оценке.

о 11 -

V"саци,.,]

) с т-1„ ,

' -Л- , I-

Л'7 с

О в остальных случаях

/П- А.

Л

Вектор-функция Г^ К - 1 , •»•, €т + <строится аналогично

.'.ег-т аналогичные оценки.

С иомсщьи биопсиях функций »родится крллокяционная матрица . П § 10 ДоКВЗГцО, ЧТО ^^ СВЯТИМО. ЬоЛеи того,

обратная матрица сРкол равномерно ограничена по <5 и- 17.1 , т.

'I с о п ц м а 2. Найдутся такие числа С0>0 . /* О .

>0 . '--то д;|я псих Е^(о,6а)Ле(оЛ,)

решении коллокационмой задачи существует, единственно и' || ОС^ ~ ^тИс ^ С 7п ^ » точное решение за-

дачи (5), 1С) и С - постоянна и нр зависит от & и 1У1.

В.заключении автор выражает благодарность своему научному руководители профессору П.В. Стрыгину за постановку задачи и постоянное внимание к роботе.

Некоторые и-' результатов диссертации опубликованы в следующих работах: . . • ' ' "■

1. Затици Р., Кузнецова К.В. Метод сплайн-коллокоции для лицеИной сингулярно возмущенной задачи-Коши первого пегядка на Сии и эрмитовых сплайнов // Деп. в ПШШ! 2о22-В У2 от 22.1Л\У2 г.

2. .Затини Р., Кузнецова Ь.В. Метод еплайн-коллокащ:!' ни базе эрмитовых сплай"оп для скалярной линейной сингулярно возмущенной задачи 1ю'ии // Теи. докл. школы "Теория .фуикцнГ, Дифференциальные уравнения в математическом моделировании". 15о; о-НеД, - С.!>Л ^

о,",!'.пз Щ!" от ^лол'З г. п», 1а; о.ч?. сях;ч; 1/1Г.. о..

I п.':. О.-петип'. лгк.с.рате:ч1: ;ЛУ.