О задаче Штурма-Лиувилля для уравнений четвертого порядка на пространственных сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ. -

§1.Понятие геометрического графа и связанная с ним терминология.

§2.Некоторые основные классы функций на графе.

§3.Понятия дифференциального уравнения и краевой задачи на графе.

§4.Математическая модель малых деформаций "стержневой решетки".

§5.Основные классы рассматриваемых на графе краевых задач.

ГЛАВА И. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.

§1.Критерий невырожденности краевой задачи на графе.

§2.Некоторые качественные свойства скалярного уравнения

4-го порядка.

§3.Принцип максимума для уравнения 4-го порядка на графе.

§4.Невырожденность краевых задач для уравнений 4-го порядка на графе.

ГЛАВА Ш. ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.

§1.Некоторые основные свойства функции Грина скалярной краевой задачи на отрезке.

§2.Существование функции Грина краевых задач на графе.

§3.Основные свойства функции Грина краевых задач на графе.

§4.Функция Грина одной краевой задачи для уравнения 4-го порядка на простейшем одномерном графе.

ГЛАВА IV. ПОЗИТИВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.

§1.Позитивная обратимость краевых задач для уравнения

4-го порядка на отрезке.

§2.Позитивная обратимость краевых задач на произвольном графе из R%

§3.Позитивная обратимость краевых задач на одномерном графе Г].

§4.3накопостоянство функции Грина краевых задач на графе.

§5.Некоторые спектральные свойства оператора L~l.

ГЛАВА V. ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.

§1.Основные понятия и термины.

§2.0сцилляционные свойства спектра задачи на цепочке—

§3.Доказательство основного результата.*.

§4.0с.цилляционные свойства спектра задачи на графе Г из

Rn, в случае линейного распределения массы.

ГЛАВА VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.

§1.Некоторые условия разрешимости нелинейной краевой задачи.

§2.Положительные решения нелинейной краевой задачи на графе.

§3.Нелинейная спектральная задача на графе.

1°. Математические модели естествознания являются побудителями и источниками большинства разделов современного анализа. Ярким примером тому является задача Штурма - Лиувияля, поставленная Штурмом в начале XIX века в связи с изучением неоднородной задачи рассеяния. Называя результаты Штурма замечательными, Гильберт считал их эталоном успешного проникновения математики в физические проблемы. Доказанные для самосопряженной задачи

-(ри1)' 4- ди = Атщ и( 0) = «(0 = 0 результаты Штурма в современных терминах звучат так (коэффициенты предполагались непрерывными, причем р(-), ш(-) - строго положительны, а д(-) - неотрицательна): а) спектр Л описанной задачи состоит из неограниченной последовательности вещественных собственных значений; б) все точки спектра Л строго положительны и имеют единичную геометрическую и алгебраическую кратность;

Если перенумеровать точки спектра Л в порядке возрастания До < А1 < Л2 < . и через ^«ьУь^»-" обозначить соотвествующие собственные функции (каким-либо образом нормированные), то в) собственная функция соответствующая ведущему собственному значению А0, не имеет нулей в (ОД); г) имеет в (0,0 точно к нулей (к = 1,2,.), все нули ^ простые; д) нули щ и (рк+1 перемежаются, т.е. при каждом к между любыми соседними нулями щ имеется точно один нуль <рк+1.

Распространения свойства а), а также свойства полноты системы собственных функций на более, общие задачи привело к созданию, начавшейся в начале XX века, спектральной теории дифференциальных операторов. В то же время наиболее важные для приложений свойства б)-д), выраженные в физически наблюдаемых терминах, долгое время оказывались без существенного развития. Только лишь простота ведущего собственного значения стала продуктом достаточно мощной теории положительных операторов в пространствах с конусом, созданная М.Г. Крейном и развитая М.А. Красносельским. Весь перечень свойств а)-д) в полном объеме удалось перенести на уравнения 4-го порядка лишь в 40-е годы (Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн), охватив тем самым гармонические колебания упругой балки. Лишь в 70-е годы перечень свойств а)~д), получивших название осцилляцион-ных свойств спектра, был перенесен на достаточно общие случаи не только двухточечных, но и многоточечных задач (Карлин С., Левин А.Ю., Степанов Г.Д., Покорный Ю.В., Дерр В.Я. и др.). Следует отметить, что развитие соотвествующей теории было связано с достаточно глубоким анализом функции Грина.

С другой стороны, проблемы собственных колебании и свойства амплитудных функций, соответсвующих ведущим собственным частотам, всегда составляли предмет самого живого внимания конструкторов и технологов, которых мало утешала имевшаяся у математиков информация о колебаниях одного упругого континиума, закрепленного на концах. Простейшие и актуальные примеры - сетка из упругих тросов и решетка из упругих стержней. Подобные объекты для инженерных нужд анализировались или обсчитывались с помощью очень большого числа дифференциальных уравнений в сочетании с еще большим числом условий связи, что не позволяло в конечном счете описывать качественные свойства данного объекта какими-нибудь разумными способами.

Чисто математически анализ систем, составленных из упругих кон-тиниумов, начал проводиться сравнительно недавно. Практически одновременно на подобные системы была расширена задача Штур-ма-Лиувилля С. Никезом (S. Nicaise) (Франция) - при триангуляционной аппроксимации лапласиана на римановом многообразии в связи с анализом задачи рассеяния, B.C. Павловым и М.Д. Фаддеевым (Санкт-Петербург) - при анализе малых электрических колебаний в сложных молекулах, Ю.В. Покорным и его учениками (Воронеж) -при анализе малых деформаций и упругих колебаний сетки из струн.

В Воронеже за последние 15 лет это направление получило бурное развитие и привело к созданию достаточно глубокой теории дифференциальных уравнений 2-го порядка на пространственных сетях (см. [12,13,20,62,63,69-75,80 и их библиогр.]). Наиболее сильные результаты этой теории связаны с переносом всего пакета свойств а)-д) на случай пространственных сетей без циклов.

Настоящая работа примыкает к воронежской теории уравнений на графах. Однако в центре внимания у нас находятся уравнения не 2-го, а 4-го порядка. Рассматриваемый нами математический объект вкратце можно описать так: пусть в пространстве Rn имеется конечный набор {т»}^! попарно не пересекающихся линейных интервалов, которые могут иметь общими лишь концы. Объединение Г этих интервалов вместе с некоторыми их общими вершинами, являющееся геометрическим графом, мы называем пространственной сетью или просто графом. Множество Г всюду предполагается связным. В физических реализациях в качестве Г служит конфигурация стержневой конструкции и разные л отнесены к разным стержневым звеньям. На каждом интервале 7г-задано уравнение 4-го порядка к(*Ю" - (ф(аЫУ + ri(x)yi = fi(x) (х € 7i) (0.1)

В общих точках, где смыкаются смежные 7j задаются условия согласования, адекватные в приложениях типам сочленения стержней. Например, если а -одна из таких точек смычки, то условие непрерывного сочленения имеет вид

Ш(а) = у;-(а), (0.2) условие у'Ца) = 0 (0.3) при всех соответсвующих i означает шарнирность сочленения, а условие ^{аШуЧУ - qxj';]{a + 0) + к(а)у(а) = 0, (0.4) г где суммирование ведется по 7,;, примыкающих к а, означает, что в точке а система к тому же упруго подперта.

Мы используем следующий подход. Решением описываемого уравнения мы считаем функцию у(х)у определенную на всем Г. Дифференциальным уравнением на Г мы называем совокупность всех уравнений (0.1) вместе со всеми условиями согласования (0.2)-(0.4). В целом наше уравнение будем записывать в виде

ШуУ - (яШУ + r(x)y = f(x) (х € Г) (0.5)

Тем самым мы при каждом ъ обыкновенное зфавнение 4-го порядка (0.1) считаем реализацией уравнения (0.5) на 7,-, а для каждой точки а, где смыкаются несколько ребер, все условия (0.2)-(0.4) считаются реализацией уравнения (0.5) в точке а. При такой трактовке уравнения 4-го порядка на графе Г, многообразие его решений имеет размерность 2к, где к - число свободных (граничных) вершин Г. Если Г состоит всего из одного ребра, то к = 2 и размерность пространства решений равна 4, т.е. совпадает с порядком уравнения. Если же к > 2, то размерность пространства решений превышает порядок уравнения и выделение из общего решения какого-то фиксированного требует 2к (> 4) дополнительных условий, что исключает использование начальных условий типа задачи Коши. Поэтому мы для уравнения (0.5) изучаем лишь краевые задачи, задавая дополнительно к (0.5) по паре условий в каждой граничной для Г точке Ь:

Нетривиальность обсуждаемого объекта проявляется уже в случае, когда рассматриваемая система является пучком стержней, скрепленных в одной точке. Этому случаю посвящена работа [44], а также кандидатская диссертация Провоторовой Е.М., в которой рассматривался пучок струн. В настоящей работе мы для более общего случая обсуждаем следующий круг вопросов: начиная от вариационного обоснования основных постановок задач, анализа их корректности, построения функции Грина, знаковой разрешимости дифференциальных неравенств, вплоть до описания уело

0.6) вий простоты ведущего собственного значения, усиленной положительности функции Грина, описания условия существования и однозначной разрешимости нелинейных краевых задач и выделения некоторых физически реальных ситуаций, для которых справедливы осцилляционные спектральные свойства типа Штурма. Своеобразие изучаемого объекта потребовало создания новых методов не только в плане многомерной структуры Г, но и в плане чисто одномерного анализа уравнения 4-го порядка на отрезке.

2°. В работе широко используются методы качественной теории неосцилляции, а также теории операторов в функциональных пространствах со специальными структурами. Остановимся вкратце на этих методах, чтобы, с одной стороны, мотивировать их обусловленность спецификой задачи и, с другой стороны, оттенить возникающие здесь трудности, порождаемые опять же своеобразием этой задачи. Первое, главное соображение, использованное нами - переход от исходной задачи к интегральному уравнению с последующим анализом соответствующего интегрального оператора. Первый шаг на этом пути - выяснение возможности однозначного обращения дифференциального оператора

Ьу = (л/У - (0-7) порождаемого левой частью уравнения (0.5) при г(*) = 0 и краевых условиях (0.6) на границе Г. Здесь мы используем знакоре-гулярную технику анализа скалярных дифференциальных уравнений, восходящую к работам Пойа [61] и широко применяющейся к осцилляционной теории, начиная с работ Крейна М.Г. [28]. Техника эта основана на подсчете числа нулей и перемен знака производных (квазипроизводных) различного порядка от решения соответствующей задачи и на примере оператора

Ьоу = (ру'У т.е. при #(-) = 0, как это было в работах Крейна М.Г.), для случая скалярной задачи на отрезке (0,0> выглядит она так: если у(х) - решение однородного уравнения Ь^у = 0, то для него третья квазипроизводная (ру")'(х) есть константа и, очевидно, вторая квазипроизводная (ру")(х) есть линейная функция. Поэтому (ру")(х) меняет знак на [0не более одного раза. Этим же свойством обладает и вторая производная у"(х) = если р(х) > 0 при х £ [0,1]. На каждом из двух участков зна-копостоянства г/'(ж), предыдущая производная у'{х) монотонна и, следовательно, имеет на промежутке [0,/] не более двух перемен знака и, более того, не более двух нулей с учетом их кратности. По аналогичным причинам, само решение если оно отлично от тождественного нуля, должно иметь не более трех нулей в [0,^, что противоречит характеру краевых условий. Например, если стержень упруго защимлен на концах, то у(0) — г/(0) = 0 и у[1) = у((1) = 0, т.е. уже концы имеют у у(х) суммарную кратность не меньше четырех. Это соображение, связанное с четырехкратным применением теоремы Ролля и достаточно эффективно используемое в теории скалярных краевых задач — эффект обеспечивает естественная факторизация оператора при переносе его на случай уравнения на графе сталкивается сразу с двумя трудностями. С одной стороны, неясность понятия числа перемен знака на графе (простые контрпримеры показывают, что в качестве этой характеристики сумма перемен знака на всех ребрах графа оказывается несостоятельна) и, с другой стороны, неясностью даже однократного применения теоремы Ролля в случае, когда граф отличен от отрезка. Здесь удается отчасти воспользоваться соображениями для уравнения 2-го порядка на графе, развитыми Ю.В. Покорным. Дальнейшая модификация этих соображений позволяет показывать в естественных случаях, что решение дифференциального неравенства вида L0y > О знакопостоянно на Г. Детализация этой техники позволяет нам далее показывать и строгую положительность соответствующей функции Грина.

Теперь о функции Грина, анализ которой позволяет установить большинство основных результатов работы. Трудность ее начинается уже с ее определения. При традиционном подходе функция Грина является фундаментальным решением, достаточно просто определяемым , как решение уравнения

Ly = 6(х — з).

В частности, для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке, функция Грина совпадает с функцией Коши, возмущенной конечномерным ядром. Этот подход, стандартный со времен Гильберта, в случае уравнения на графе заведомо не применим, так как функция Коши на графе определению не подлежит (из-за невозможности задавать задачу Коши) и, более общее, не поддается определению на графе, и дельта-функция с носителем в одном из узлов графа. Поэтому мы используем другой подход, определяя функцию Грина как ядро интегрального оператора

7)(«) = / (0.8) г обращающего дифференциального оператора (0.7). Интегрирование в фолмуле (0.8) производится по всему графу Г, причем интеграл по Г мы трактуем как сумму интегралов по всем ребрам графа Г. Мы показываем, что если оператор Ь однозначно обратим, то такая функция Грина наверняка существует. Эта функция (т(а?,з) оказывается достаточно сложно организована. Хотя бы потому, например, что вместо привычного для скалярного случая квадрата 0 < < она определена на множестве Г х Г, в котором аналогом диагонали х = з (где в обычном случае третья квазипроизводная терпит скачек) является множество, структурно адекватное Г, которое делит "квадрат" Гх Г уже не на два, а на существенно большее количество частей, что делает непонятным даже фразу типа "при переходе через диагональ". Нам удается разобраться во всех этих трудностях и доказать, например, что С(х,з) допускает оценку вида

Уъ{х)Ьл{з) < С(х,з) < уо(х)Н2{з) {х,з € Г).

Последние оценки, устанавливаемые комбинацией качественных методов, обеспечивает интегральному оператору (0.8) усиленную положительность в пространстве функций непрерывных на замыкании Г. Это пространство С(Г) полуупорядочено конусом неотрицательных функций, причем этот конус оказывается нормальным и телесным по М.Г. Крейну. Последние два обстоятельства открывают для нашей задачи возможность использования методов теории положительных операторов в пространствах, полу упорядоченных конусом. Главное, что здесь приходится отслеживать формулировки получаемых результатов в терминах исходной задачи.

Описанная общая схема применяется нами для двух разных типов задач, отличающихся как на ребрах графа Г (для одного из этих типов д(-) = 0), так и реализациями уравнения (0.5) во внутренних вершинах графа Г. Эти различия существенны и с физической точки зрения и с точки зрения конкретных приемов, используемых нами для доказательства знакорегулярных свойств. И хотя оба класса изучаются по одной общей схеме, описанной выше, мы анализ каждого из этих классов излагаем отдельно, избегая повторения общих мест.

3°. Перейдем теперь к более подробному обзору работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы.

Основные результаты главы V отражены в следующих публикациях автора [35,43,46,48,51,54,78,79].

Шестая глава диссертации под названием "Нелинейные краевые задачи для уравнении 4-го порядка на графе" посвящена исследованию нелинейных краевых задач на графе.

Рассмотрим на графе Г нелинейное дифференциальное уравнение

Ьу = (р(х)у'У - (q(x)yj = F(xt у) (х € Г), (0.30), предполагая, что его решения ищутся в классе 1>(Г) функций у(-), удовлетворяющих во внутренних вершинах а € /(Г) условиям согласования (0.2)-(0.4), а в граничных вершинах b е дТ краевым условиям (0.8). Всюду далее предполагается, что функция F(x,y) удовлетворяет условию Каратеодори (см. [84]) в его естественном толковании на случай графов. Простейшие условия разрешимости нелинейной краевой задачи (0.30), (0.8) дает

Теорема 6.1 Пусть р(х) > 0 и q(x) > 0 (q(x) ф 0) при х е R(Г), а функция F(x¡y) является равномерно ограниченной на Г х R1. Тогда задача (0.30), (0.8) разрешима.

Вопрос о единственности решения краевой задачи типа (0.30), (0.8) может анализироваться общими методами. Однако, более тонкие условия единственности требуют изучения поведения решения нелинейного уравнения (0.30), типа свойств Штурма.

Теорема 6.2 Пусть функция F(x,y) не возрастает по у. Тогда для любых двух решений yi(x),y2(x) уравнения (0.30) их разность У\{х) - уъ(х) не имеет ни одной пучности.

Теорему 6.2 можно трактовать и как теорему единственности, а именно: если Го - некоторый непустой подграф из Г и решения yi(x).ij2(x) принимают одинаковые значения в каждой из граничных вершин Го, то yi(x) = на Го.

Во втором параграфе настоящей главы приводятся условия существования положительных решений у нелинейной краевой задачи (0.30), (0.8) на графе Г.

Как известно (см. налр., [25]), одним из способов получения условий существования неотрицательных решений является отыскание тех или иных конусов, инвариантных относительно соответствующих операторов, с последующим применением топологических методов теории положительных операторов. На этом пути ранее были получены автором ряд результатов, относящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом |, а также к первой краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка [33]. В данной работе эти результаты переносятся на нелинейные краевые задачи на графе.

Теорема 6.5 Пусть выполнено одно из следующих условий:

1) правая часть уроавнения (0.30) пред ставима в виде

F(x,y) - а(х)у + <р(х,у), где а(х) G С(Г), а (р(хуу) равномерно относительно ж 6 Г удовлетворяет условию iimdyl"1) \ф,у)\ = 0 Ы-»о и позитивное собственное значение Л0 уравнения

ХЬу = а(х)у (х € Г) (0.31) при краевых условиях (0.8) удовлетворяет условию Ао < 1;

2) Ло = I, имеет, место представление

F(x, у) = а(х)у + g(x, у) + ф, у), , ¡где д(Х)у) - однородный относительно у член порядка а < 1 g{x,ty) = fg(x,y) (®el\i >0), а е(х,у) - член высшего порядка малости, т.е. соотношение

Hm ЬГ'И^у)! = О

Ы—о выполняется равномерно относительно х € Г. и для неотрицательной собственной функции уо(х) уравнения (0.31) при краевых условиях (0.8)} отвечающей Л0 = 1, справедливо неравенство g{x,yü) < О.

Тогда задача (0,30), (0.8) имеет по крайней мере одно неотрицательное решение.

В случае, когда задача (0.30), (0.8) имеет тривиальное решение (т.е. когда F(x,0) = 0), приводятся также условия существования второго, ненулевого решения задачи (0.30), (0.8).

В третьем параграфе данной главы исследуется нелинейная спектральная задача

Ьу — XF(x, у) (х в Г), (0.32) соответствующая задаче (0.30), (0.8). Исследование проводится методом м0-вогнутых операторов [24]. Здесь получен следующий результат

Теорема 6.9 Пусть функция F(x,y) непрерывна по совокупности переменных и не убывает по у при у > Q и каждом х £ Г. Пусть F(xty) удовлетворяет также условию

F(x,ry) = rF(xfy) (х £ Г) при любом у > 0 и т £ (0,1).

Тогда позитивный спектр задачи (0.30)-(0.8) образует интервал (Аоо,Ао), неотрицательные собственные функции ух(х), отвечающие А € (Аоо,Ао) образуют непрерывную ветвь бесконечной длины, причем уд (ж) при каждом ж € Г монотонна и непрерывно зависит от А.

Следует отметить, что подобные вопросы для дифференциального уравнения 2-го порядка на графе были рассмотрены в [1,74,80]. Результаты данной главы отражены частично в следующих работах [14,33,50,53].

1. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 3, 14, 15, 33-55, 78, 79.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ

3. Приводимые ниже понятия геометрического графа и его элементов принципиально отличаются от соответствующих понятий алгебраической теории графов (определения последних можно найти, например, в 11,59.).

4. Пусть в Н% задано множество точек А = а С? = {7;}^=! —некоторая совокупность непересекающихся интервалов с концами в А. Под интервалом 7 с концами в точках а и Ь из Еп понимается множество7 = {х £ Ип : х = 1а + (1 *)&, 0 < I < 1} = (а, 6).

5. Дополнительно о совокупности 0 предполагается, что л П ^ = 0 при ъ Ф 2ч где 7; — замыкание 7<? в К'\ т.е. 7/ = а,6.

6. Пусть А) — множество точек из А, являющихся концами не менее чем двух интервалов из 0.

7. Определение 1.1. Если множество Г, состоящее из объединения всех интервалов л и некоторого подмножества А\ из Ао связно, то оно называется открытым геометрическим графом.

8. Поскольку в дальнейшем мы предполагаем рассматривать только открытые геометрические графы, то, как правило, всюду ниже для краткости вместо "открытый геометрический граф" мы будем говорить просто "граф".

9. Введенные понятия и обозначения проиллюстрируем на следующем примере.

10. Пусть на плоскости К2 задано множество точек А = {«1, а2, а3, а4,0.5}-Рассмотрим множество попарно непересекающихся интервалов

11. Индуцируя на Г топологию Ип (например, порождаемую евклидовой нормой), назовем подграфом любое связное открытое под1. Г= гиаг.

12. Г1 = 7з и {а3} и (03,61) и (азЛ)А1. Рис.1.2.и вершины, и ребра геометрического графа суть элементы одной природы (множество точек из й^), что с позиции алгебраической теории графов исключено.§2. Некоторые основные классы функции на графе

13. В настоящем параграфе вводятся основные классы функций, необходимые для определения дифференциального уравнения на графе.

14. Для любой вершины а е 1{Г)идТ графа через 1(а) будем обозначать множество индексов г ребер 7»-, примыкающих к а.

15. Для всякой у(-) такой, что у(';К(Г)) € С(И(Г)), и любых а € J(Г) и дГ иге 1(а) под Уг{а) будем понимать1ш1 Уг(х).х~*а * х ''для указанных функций этот предел существует и конечен ввиду их равномерной непрерывности на каждом 7^

16. Через С (Г) будем обозначать множество непрерывных на Г функций у(-), обладающих дополнительно тем свойством, что у(.;Д(Г))€С(Д(Г)).

17. Чтобы определить дифференцируемые на Л(Г) функции, зафиксируем на Г произвольную ориентацию его ребер. Точнее говоря,поставим в соответствие каждому ребру л один из двух колли-неарных ему единичных векторов; обозначим этот вектор через Ы.

18. Через С^(Д(Г)) обозначим пространство функций из C(R{Т)), обладающих на каждом % равномерно непрерывной производной. Очевидно, что свойство равномерной непрерывности производной функции у(-) на ребре у; не зависит от выбранной на этом ребре ориентации.

19. Через С№(Н(Г)) ниже обозначается множество функций у(-) из С(Я(Г)) таких, что уЩ:) € С{ЩГ)) для всех = 1,2,. Д-.

20. Перейдем теперь к описалию класса функций, играющего важную роль в определении дифференциального уравнения на графе.1. Рассмотрим множество3.(Г) {у(-) € С(Г)|у(.; Д(Г)) е С<8>(Д(Г))}

21. Определение 1.3, Решением уравнения (1.3) будем называть любую функцию у(х) иэС®(С; Г), удовлетворяющую ему на каждом ребре графа Г.

22. Иными словами, функция у(х) есть решение уравнения (1.3) тогда и только тогда, когда каждое ее сужение у^х) на ребре 7| удовлетворяет уравнению

23. ЫФГ)" (ФЫУ + п{х)У1 = Щх) (х £ (1-4)причем во внутренних вершинах Г это решение непрерывно и удовлетворяет условиям (1.2).

24. Уравнение (1.3) можно понимать как набор обычных уравнений (1.4). Связь между различными уравнениями (1.4) отражается в понятии решения уравнения (1.3); нужно обеспечить выполнение условий (1.2) в каждой внутренней вершине а 6 </(Г).

25. Проиллюстрируем сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим уравнениерШУ = /(з) (х е а,О и «,&.), (1.6)решения которого удовлетворяют в точке £ следующим условиямсогласования

26. У«-0) = у« + 0)> У"« 0) = у"« + 0) = 0, (ру7К - о) - (рунт + 0) - ку($ = /о.1.7)

27. В следующем параграфе будет показано, что к рассмотрению уравнения (1.6) именно с условиями согласования вида (1.7) приводит вопрос о малых деформациях шарнирно сочлененных стержней.

28. Вопрос о том, для каких наборов С функционалов вида (1.1) возможна перезапись соотношений (1.2) в виде подобном (1.8), мы в данной работе не обсуждаем.

29. Для дифференциального уравнения (1.3) мы будем рассматривать краевые задачи с граничными условиями видау) = Е Е <(ь)у?\ъ о) = о, (1.9)к= 0 ¿€/(6)

30. Ь € ЗГ;г € 1{Щ;з = 1,2), где —0) означает з-ую производную функцию у(х) в точке х = Ь вдоль ребра л при ориентации л в направлении "к 6".

31. Ц{Ь\у) = Е 4Шк)(ь- о) = о (be дГи = 1,2). (í.io)к=О

32. Краевая задача (1.3), (1.10) имеет ряд физических интерпретаций; речь об одной из них пойдет в следующем параграфе (см.также 4,39,52.).§4. Математическая модель малых деформации "стержневойрешетки"

33. Функции с перечисленными свойствами (все эти свойства диктуются физикой задачи) будем называть допустимыми, обозначая их множество через М.

34. Работа А{(у{) по перемещению ¿-го стержня (соответствующей ребру тi) выражается формулой1. Ai{yi) J fi(x)yi(x)dxy ъа изменение внутренней энергии г-го стержня — формулой1. Шм) = \ /biMs/f +

35. П(у) = Е + <нШд2. + M*)Vi}dx Е <а)у\а).l7i а€ J(F')

36. По теореме Ферма, если у(-) минимизирует П(у) на то первая вариация 6И(у)6у должна равняться нулю при любой Sy(-) е

37. М. Вычисляя первую вариацию II, получимт

38. Щу)*у = £ ¡{-ЫШ^у" + + Мх)6У1}ёх1=1 т;- £ к(а)у(а)6у(а). (1.11)а€./(Г)

39. Под производной по нормали п функции д(х) мы будем понимать9пЫ = г!н£ -Г--—г ^ = 1>2л—*а, | Щ х |

40. ЧУ^у}(1х = I(дуУЬуйх + ду'п(а;)6у(щ).х ¿1 ¿='1

41. Проведя интегрирование по этим формулам в каждом слагаемом (1.11), и сгруппировав полученные внеинтегральные членыдо вершинам, получим-ф(У»)»)%Ка) ~ Е ЫуК^Уп.(а) ~ к{а)у{а)6у(а)}+

42. Е {((р/); фюздн - [ру^к«)}.1. Здесь 1(а) = {»:<*€ 7»}.

43. Пусть теперь у(х) £ М — реальное состояние стержней системы. Воспользовавшись необходимым условием экстремума (6Л(у)6у = 0) получаем, чтопг .

44. Е / 1-ЫУ"У + (фу!)' + /¿.%<&* + Е {- Е1^ «еЛГ) ¿е./(а)

45. Е 1('РгУ"Уп фЫ'».(а)%(о) - л(а)у(а)£у(а)}+е1(а)

46. Е {(и/Х «4.(«)*У(<0 - [(РУ")(Ш(в)} - 0 (1-12)ег?Гдолжно выполняться для £/(•) € М при любых 6у(х).

47. РгШУ {<иШУ = /М (х € 70- (1-13)

48. Набор уравнений (1.13) (для каждого ребра л) описывает зависимость деформации от нагрузки внутри ребра графа.

49. Е Ы'Ш «¡(«¡)'J(») - <а)у(а)}Ьу(а) = 0.е/(в)

50. Отсюда, в силу произвола 6у(а) имеем

51. Е \Ы)п ~ ф(уЛ.(<») <а)у(а) = 0. (1.16)1. Ш(а)

52. Это условие означает равновесие сил, приложенных к шарниру и выполняется в каждой внутренней вершине графа Г.

53. А именно, к рассмотрению (1.22), (1.25) приводит задача о малых деформациях системы из двух шарнирно сочлененных стержней с упруго опертым шарниром (где к — коэффициент жесткости упругой опоры в шарнире).

54. Аналогична мотивация и для описания класса краевых условийдля рассматриваемых ниже классов уравнений.2°. Перейдем теперь к описанию исследуемых в настоящей работе классов краевых задач для дифференциальных уравнений 4- то порядка на графе.

55. Пусть Г — произвольный геометрический граф из .&%/( Г) — множество его внутренних, а т- © -.- множество его граничных вершин, Через -/¿(Г) будем обозначать, как обычно, объединение всех ребер 7¡(i — 1, т) графа Г.

56. В случае, когда стержневая решетка не растянута, (д(х) = 0 на Я(Г)), уравнение деформации на ребрах графа примет вид1.y = (р(х)у")" = f(x). (1.28)

57. Решение уравнения (1.28) будем искать в классе функций у(х) из ;Г), где Со ~~ набор следующих функционалов1.(ayy) = у1;(а) (а € J(P); j G 1(a)), Ш у) = Е \ШУ + 0) + к(а)у(а) (а € /(Г)),1. Ш(а)где все числа п(а) и к(а) неотрицательны.

58. Для уравнения (1.28) на графе Г мы будем рассматривать краевую задачу, задавая в граничных вершинах b е дТ условия

59. Ub; у) = а(Ь){(ру"У ту'}(Ь - 0) - у(Ъ) = 0,1.29)1.l2(b;y) = ту'ХЪ) + 6Ш(Ь 0) = 0.

60. Вышесказанное относится также и к функционалам ¿1(6; у) и 1\(Ь; у) в краевых условиях (1.27) и (1.29).

61. Ly = (ß(x)if f (q(x)yiy = f{x) (х е Г)h(b;y) = а(Ь){(ру"У Я3/.(Ь - 0) - у(Ь) = 0 (6 € дГ), 12{Ь; у) = ß{b)xf{b) + S(b)y!(b - 0) = 0 (b е дГ).1. ЗАДАЧА (В):1. Loy = (рШГ = f(x) (х е Г)

62. ЦЬ; у) = а(Ъ)1(ру")> ту%Ь - 0) - у(Ъ) = 0 (b G дГ),k l2(b; у) = ß(b)y"(b) + 6{ЪМ(Ъ 0) = 0 (b € дТ). Или, вспоминая трактовку уравнения на графе Г во внутренних вершинах графа Г,1. ЗАДАЧА (А):

63. Ьу = (р(х)у>У {дШУ = Л®) (« е Я(Г)) у) = У?(«) = 0 (а € </(Г),€ /(а)),е/(а)1(6;») = о (й€0Г), ЗАДАЧА (В):ь0у = (К®)УТ = /(«) (« е Д(Г))

64. Ка.к и в случае общего графа, будем говорить, что на графе Г i задано дифференциальное уравнение (1.26), если его решения ищутся в классе функций у(х) из IY), где С — набор следующих функционалов

65. ЩаиУ) = У"("д (i = 1 >m l;j = 1,2), 2у) = £feí/jy + 0) + /c(o¿)y(o¿) (i = 1,т - 1),i-iгде /c(a¿) > 0 при всех i = 1,т 1.

66. Уравнение (1.28) на графе Г х, может быть дополнено до краевой задачи заданием системы условий на граничных узлах Ь\ и

67. ЦЬ^у) = а^Жру'У гу'.^ + 0) + 1/(61) = 0,

68. ЦЬх;у) = ДОО/^) ¿(^'(¿>1 + 0) = 0, ¡1(&2;у) = а(&2)(ру")' - - о) - у(ь2) = о, №2; у) - + <5(52)2/4^2 - о) - 0,где а(-),{3(>),6(-) > 0; причем /?(•) + <$(•) > 0.

69. Таким образом, задачи (А) и (В) для случая одномерного графа Г 1 описываются следующим образом1. ЗАДАЧА (А 1):% = /на ттл1.{щ)у) = 0г = 1 ,т 1;,? = 1,2),о(а»; У) = °г = 1,т-1)к ¿1(6*;у) = к(Ьк;у) = 0 (/г = 1,2).1. ГЛАВА П.

70. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ 4—ГО ПОРЯДКА1. НА ГРАФЕ

71. Ьу = (рШГ ШуУ + т(х)у = /(*) (х € Г), (2.1)h(bv) = Е <*ц(ь)г/-к)(ь о) = о (ь е dv;j = 1,2). (2.2)ь=о

72. Теорема 2.1. Краевая задача (2.1)-(2.2) невырождена тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача (т.е. задача (2.1) (2.2) при /(х) = 0) имеет только тривиальное (тождественно равное пулю) решение.

73. Доказательство теоремы 2.1. Рассмотрим оператор Р действующий из С,(-!(Г) в €{-3)>(ЩГ}) (определение этих классов функций см. в §2 гл. I) по правилу

74. Обратный к Р оператор Р~1 однозначно определен на множес

75. Оператор Q линеен и взаимно однозначен (это проверяется непосредственно), а обратный к нему оператор Q~l может быть определен формулой

76. Q Lz)i(x) = zí(t¡y—^Цу) (х € тцi = l,w), i о* а,г ггде (ф""^^-) -сужение функции на г -ое ребро графа Г.

77. Непосредственной проверкой показывается, что если и решение задачи (2.5), то г = С)и есть решение задачи\\bi-щ II"4 Ш)Ш!Т- II к щ II"2 l(Qp)i(t)4'+

78. Покажем замкнутость этой системы. Для этого достаточно убедиться, что количество функционалов Ц(а\ •), /¿(а,; •) и lk(h; •) равно 4 т.

79. Отсюда., с учетом того, что степень граничной вершины равна 1, т.е., что |/(/;)| = 1 для любой h £ дГ получаем7Щ + Ш2 + ТП3 = Е 2т« + Е 2 =2 • Е |ВД| = 4т,так как сумма степеней всех вершин графа вдвое превосходит количество его ребер.

80. Ниже непосредственно на основании теоремы 2.1 доказываются следующие два утверждения

81. Предложение 2.1. Краевая задача (2.7), (2.10) невырождена.

82. Предложение 2.2. Краевая задача (2.7), (2.11) невырождена тогда и только тогда, когда к, > 0.

83. Доказательство предложения 2 Л

84. Подставляя функции (2.14) в краевые условия (2.10), получаем4 4- 46; + 4 / = 0 (г = 1,2), (2.17)а4 + с\4 / = 0 (г = 1,2). (2.18)а М*/1. Ь Ь'

85. Отсюда 4 = -4 4 = = 1,2). Поэтому4 + 4а = 4^ (» = 1» 2), (2.19)где. обозначено

86. Подставляя полученное для с^+с^а выражение в (2.16) получаем систему(-1 + 4 Ч- с| = О, | -4 + (1 + кВ2)<% = 0.

87. Допустим теперь, что в условиям (2.9) коэффициент к = 0. Тогда равенство (2.16) примет вид с\ = с|. Поэтому из (2.19) следует4 с?) + (4 - 4)а = 4№ - ^з).

88. С другой стороны, из (2.15) в силу непрерывности функции у(х) в точке а имеем4 4) + (4 - 4)« = о- (2.20)

89. Доказательство предложения 2.2« Пусть у(х) -решение однородной задачи (2.7), (2.11) (/(ж) = 0) .

90. Ниже мы всегда предполагаем, что /(ж) > 0 при х € (а, Ь) и что у(х) отличное от тождественной постоянной решение уравнения2.23), удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25).

91. Пусть ю(х) — (ру"У(х). Тогда функция ю(х) является неубывающей на (а, Ъ). Поэтому она либо сохраняет нестрогий знак на промежутке (а, 6), либо меняет значения с отрицательных на положительные. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

92. Лемма 2Д. Пусть функция и(х) ф 0 сохраняет на (а. Ь) нестрогий так. Тогда функция и(х) = у3(х) также сохраняет нестрогий так на (а,Ь) , причем противоположный знаку функции и(ж).

93. Таким образом, если v(x) > 0 (v(x) ф 0) на (а,Ь) то у'{х) = и(х) < 0 при х Е (а,6).

94. Аналогичными рассуждениями показывается, что если v(x) < 0 (v(x) ф 0) на (сц &), то и(х) > 0 при а? 6 (aji). Лемма 2.1 доказана.

95. Так как и(х) = у'(х) то из леммы 2.1 непосредственно следз^ет

96. Рассмотрим теперь случай, когда функция v(x) на отрезке (а, Ь) меняет значения с отрицательных на положительные.

97. Если учесть, что и(х) = у!{х) то из только что доказанной леммы следует

98. Следствие В условиях леммы2,2 каждое решение задачи(2,23)-(2.25) является на промежутке (а,Ь) либо монотонной, либо имеет точку максимума в (а,6).

99. Отметим, что из леммы 2.1 следует выполнение заявленных в вей свойств решений и для однородного уравнения (т.е. для случая f(x) ее 0 в уравнении (2.23)).

100. Действительно, в этом случае v(x) = (puf)f(x) = с = const. Если с ф 0, то аналогичными рассуждениями, приведенными при доказательстве леммы 2.1 получаем, что на отрезке (а,6) выполняется и(х) < 0 при с > 0 и и(х) > 0 при с < 0.

101. Таким образом., имеет место утверждение

102. Из леммы 2.3 вытекает следующее свойство решения однородного уравнения (2.26), которое является аналогом известного принципа максимума для уравнения четвертого порядка.

103. Пусть у(х) решение уравнения (2.27), удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25). Если ввести обозначения

104. Ы/У т/){к) = у'{х) = и(х),88то на отрезке («,&) получим соотношениери'У~ди = ду (2/28) а в граничных точках а , Ь соответственно, условияи1 (а) = 0, (2,29)ри'{Ъ) 4- 6и(Ь) = О (/?, 6 > 0; /? 4- <5 > 0). (2.30)

105. Напомним вначале некоторые свойства решений задачи (2.28) -(2.30), которые затем будут использованы при исследовании краевой задачи (2.27), (2.24), (2.25).

106. Согласно известному результату Пойа (см. 61.), для неосцилляции 1{и) на [а, Ь] необходимо и достаточно существование таких функций <р(*), не имеющих нулей на [а, 6] , что1. Поэтому спр ав едл ив а

107. Лемма 2.4. Если р(-) > 0,q(-) > 0 и p'i/) £ С\щЬ.} то существуют, положительные функции £ С{а,Ь] такие, чтоpuf)1 qu}(-) = ^{hu)')^).

108. Всюду в дальнейшем предполагается, что р{х) > 0, q(x) > 0 при х £ (а, Ь) причем q{x) ф 0.

109. Лемма 2.5. Пусть функция д(х) = (ри')' — qu.(x) сохраняет на инетрвале (а,Ъ) знак. Тогда любое нетривиальное решение и(х) задачи (2.28) (2.30) сохраняет строгий знак на {а,Ь), противоположный знаку д{х).

110. Доказательство. Пусть д(х) > 0 при х € (а,Ь). Тогда на (о,Ь) имеем дифференциальное неравенствори'У qu > 0 (2.31)

111. Покажем, что для любого решения и(х) ф 0 дифференциального неравенства (2.31), удовлетворяющего граничным условиям (2.29) и (2.30), справедливо и(х) <0 (х € (а,&)). В предположении противного существует точка максимума £ функции и(-) в которой и(£) > 0.

112. Предположим, что итах — = 0 и £ внутренняя точка промежутка (а, 6). В этом случае, в силу леммы 2.4, вместо (2.31) можно рассмотреть неравенствор(ф(Ы)У > 0.

113. Отметим, что при доказательстве этой леммы использованы рассуждения из 73.

114. Следствие. В условиях леммы 2.5 каждое решение у{х) ф const задачи (2.27), (2.24), (2.25) является строго монотонной на отрезке (а,Ь) функцией , причем возрастающей, если д{х) < 0 и убывающей, если д(х) > 0 (хе(а,Ь)).

115. Аналогично, если и(с) является положительным максимумомфункции и(х) в с, 6., т.е. и(с + 0) > 0, то такал точка £ существует в (с, 6].

116. Рассмотрим теперь случай, когда f(x) = 0 при х е (а,Ъ). Пусть у(х) решение однородного уравнения1. РУ'Т ~ (ЧУ*)' = 0, (2.32)удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25). Тогда (py")'-qy(.(x) = const = gQ.

117. Если g0 ф 0, то из леммы 2.5 следует, что любое нетривиальное решение и(х) уравненияipu')' -qu = g0,удовлетворяющее граничным условиям (2.29) и (2.30), является знакопостоянной функцией на промежутке (а, 6), причемgQu(x) <0 (ж € (а, 6)). (2.33)

118. Если же fifo = 0, то можно показать, что однородное уравнениери'У -qu = 0 (2.34)при краевых условиях (2.29) и (2.30), имеет в (а,Ь) только тривиальное решение.

119. Таким образом, справедливо утверждение

120. Из этой леммы следует следующий принцип максимума для уравнения вида (2.32).

121. Теорема 2.3. Пусть р(х) > 0fq(x) > 0 (q(x) -ф 0) при х € («,&). Тогда решение у(х) const задачи (2.32), (2.24), (2.25) достигает своего экстремума только на концах промежутка а,Ь.§3.Принцип максимума для уравнения четвертого порядкана графе.

122. Ца; у) = Е Ы')' + 0) + к(а)у(а) = 0, (2.39)iel(a)где pi(a) > 0 и $(а),к(а) > 0 для всех а £ J(Г), i £ 1(a).

123. Таким образом, доказано, что при к(а) = 0 функция у(х) не имеет максимума в вершине а, а при к(а) ф 0 не имеет неотрицательного максимума в этой вершине.

124. Аналогичными рассуждениями показывается, что у(х) не имеет минимума в вершине а £ J(Г) при к(а) = 0 и не имеет неположительного минимума в этой точке при к(а) ф 0.1. Теорема 2.4 доказана.

125. Рассмотрим теперь уравнение (2.36) на одномерном графе Г*1 (см. гл. I, §5, п.З). Теорема 2.4 может быть переформулирована для случая одномерного графа Г. следующим образом

126. Теорема 2.5. Пусть р(х) > 0, q(x) > 0 (q(x) = 0) при х £ R(Fi)> тогда любое решение у(х) ф const уравнения (2.36) награфе удовлетворяющее условиямy"(h) ~ i + 0) = 0,2.40)

127. У) = Е Ы'У nyï\(a + 0) + к(а)у{а) = 0, (2.41)i£l(a)где п(а),к;(а)- неотрицательные числа, соответствующие вершине a, a в граничных вершинах 6 € дТ заданы граничные условия (2.37).

128. Если же а вершина первого ранга, то к ней примыкают как внутренние, так и плечевые ребра графа Г. Для всех внутренних ребер 7i, примыкающих к а, где у(а) = утаж, имеем

129. ЫУ Ша, + 0) = ~пу(а + 0) > 0.

130. А для плечевых ребер 7», примыкающих к а, в силу леммы 2.3 имеем

131. Р:У"У + 0) = {Pjy'J)f{a + 0) - + 0) = с - + 0) > 0

132. Аналогичными рассуждениями показывается, что у(х) во внутренних вершинах графа Г не имеет неположительного минимума, если в этих вершинах к(а) > 0 и не имеет вообще минимума, если к(а) = 0.1. Теорема 2.6 доказана.

133. Итак, рассмотрим уравнение (2.35) на графе Г, где во внутренних вершинах a G J(Г) вместо условия (2.41) выполнено

134. Е №У(* + 0) + к(а)у(а) = 0 (к(а) > 0). (2.43)i€l(a)

135. В граничных же вершинах b € дГ, по-прежнему предполагается выполненными условия (2.37).

136. Efes/f )V + о) + «(^)у(а1) = о (2.44)1

137. В силу у(а}) = Утах имеем yl(x) < 0 для всех i = 1,п, при ориентации ребер 7» в направлении "от а1". Поэтому из леммы 2.3 следует: либо числа = (piy")'(x) > 0, либо а = 0 и yi(x) линейная функция на т¿.

138. В первом случае из (2.44) следует у (а1) < 0, чего не может быть. Поэтому с» = 0 (г = 1,п) и yi(x) линейные на л функции. Отсюда, в силу (2.44), получаем у(а1) = 0.

139. Таким образом, справедливо следующее

140. Теорема 2.8 для случая одномерного графа Т\ гласит следующим образом

141. Из всего сказанного следует следующее замечание к теореме 2.9

142. Наряду с уравнением (2.46) рассмотрим в граничных точках а и Ь краевые условия видау" (а) = О, Р(Ъ)У"(Ь) + 6Ш(Ь) = 0, (2.47)а(а)\(ру"У qy%d) + у(а) = 0, а(Ь)(ру"У - <?у')(6) - у(6) = 0. (2.48)

143. Отметим, что краевые условия (2.47), (2.48) являются знако-регулярными (см. 6.), если <*(•),/?(•),ё(-) > 0 и /?(•) + б(-) > 0 (последнее необходимо для неколленарности обоих условий в точке 6).

144. Покажем, что уравнение (2.46) при знакорегулярных краевых условиях (2.47) и (2.48) имеет в (а, Ь) только тривиальное решение.

145. Точно также показывается, что у{х) не может быть возрастающей на (а, Ъ) функцией. Поэтому у(х) = const (х е (а,&)), следовательно в силу (2.48) у{х) = 0 при всех х € (а,&). Таким образом, справедливо утверждение

146. Лемма 2.8. Пусть р(х) > 0,q(x) > 0 (q(x) ф 0) при х € («, 6) и граничные условия (2.47), (2.48) являются знакорегулярными. Тогда однородная краевая задача (2.46) (2.48) имеет в (а, 6) толькотривиальное решение.

147. Я(Г) задано дифференциальное уравнение1. = (р(х)у'У (q(x)y'y = f(x) (х € #(Г)), (2.50)во внутренних вершинах а е J(F) выполнены условия согласования1. У»(«0 = УМ (*, j € 1(a)),t si (в) = 0 (i €/(«)), (2.51)

148. S J(ft»fУ + 0) + к(а)у(а) = 0 (л(а) > 0),а в граничных вершинах 6 G с?Г заданы краевые условия.а(ъЖру"У-яу'Жъ-о)-у(ь) = о> | (2.52)1./?(%"№ + ¿Ш(Ь о) = о,где a(b),j3(b),S(b) > 0; причем /?(Ь) + $(Ь) > 0 для любого Ъ € дГ.

149. В настоящем пункте исследуется вопрос об однозначной разрешимости при любой непрерывной на Г правой части /(ж) (т.е. вопрос о невырожденности) краевой задачи (2.50) (2.52).

150. Теорема 2.11. Пусть р(х) > 0,q(x) > 0 (q(x) = 0) при х € #(Г). Тогда задача (2.50) (2.52) является невырожденной.

151. Доказательство. В силу теоремы 2.1 нам достаточно показать, что в условиях теоремы 2.11 соответствующая однородная задача (2.50) (2.52) (/(ж) = 0) имеет в Г только тривиальное решение.

152. Полученное противоречие означает, что у(х) = const на всем графе Г. Тогда из первого равенства условий (2.52) следует у(Ь) — 0. Следовательно, у(х) = 0 на всем графе Г. Теорема 2.11 доказана.

153. Рассмотрим теперь на одномерном графе Гх задачу (А\) (см. гл. /, §5, п.З): на множестве R(T) задано дифференциальное уравнение (2.50), во внутренних узлах щ (г = 1,п) выполнены условия согласованияу{щ 0) = у(щ + 0),у»(щ 0) = у"{щ + 0) = 0, (2.53)

154. I(РУ"У ~ ЯУ'Ко.- 0) - (ру'У - Яу<.(щ + 0) - к{<ц)у{ъ) = 0, где >0 (г = 1,га — 1), а в граничных узлах Ь\ и &2 заданыкраевые условия

155. Г «(ЬОКй^)' <n/.(b! + 0) + s/(6i) = о, m)y"(bi) - ¿(bMih + 0) = о,1 а(Ь2){{ру"У qj/.{h - 0) - y(b2) = 0, m)y"(b2) + ¿(&2M&2 - 0) = 0,2.54)где a(6i),/9(6i),<5(6^) > 0; причем fi(bk) + $(bk) > 0 при к = 1,2. Из теоремы 2.11 в частности, следует

156. E iPiVi)'~ ПУЖ^ + 0) + к(а)у(а) = Q («(a) > 0),t€/(a)а в граничных вершинах 6 G заданы краевые условия1. ШРУ"У ~ 0) - у(5) = 0,2.57)6(Ь)г/(Ь- 0) = 0, где a(b),ß(b),6(b) > 0; причем Д(Ь) + 6(Ь) > 0 для всех 6 € 0Г.

157. Теорема 2.13. Пусть р(х) > 0 при х € Ä(F) w в условии связи (2.56) коэффициент rs(a) > 0 для всех i € /(a), a G J(F). Тогда задача (2.55) (2.57) является невырожденной.

158. Доказательство. Отметим, что для доказательства теоремы 2.13 нам достаточно (в силу теоремы 2.1) показать, что однородное уравнение1.y = (р(х)уУ = 0 (2.58)при условиях (2.56), (2.57) имеют только тривиальное решение.

159. Теорема 2.13 для случая одномерного графа Ti гласит следующим образом

160. Е Ы')'(« + 0) + *(а)у(а) = 0 (к(а) > 0), (2.59)i€l(a)

161. Эту задачу, в отличие от задачи (В) назовем задачей (С).

162. Теорема 2.15. Пусть р(х) > 0 при х € Л(Г) и в условии (2.59) коэффициент к(а) Ф 0 для всех а € J(Г). Тогда задача (С) является невырожденной.

163. В предположении противного, в силу теоремы 2.8 имем, что решение у(х) однородной задачи (С) (f(x) = 0) либо не имеет экстремумов во внутренних точках графа Г, либо у(х) = const .

164. Если же граф Г первого ранга, то опять в силу замечания к теореме 2.9 имеем, что задача (С) является вырожденной в случае, когда в условиях (2.57) коэффициент 6(Ь) — 0 для всех граничных вершин Ь € смежных с а.

165. Таким образом, справедливо следующее замечание к теореме 2.15.

166. Отметим также, что из теоремы 2.13 и 2.15 следует

167. Теорема 2.15 для случая одномерного графа Г1 может быть переформулирована следующим образом:

168. Теорема 2.17. Пусть р(х) > 0 при х € Г1 ив условии связи (2.60) коэффициент к(а{) ф 0 при всех г = 1,ш — 1. Тогда задача (С\) является невырожденной.

169. Как и в случае общего графа Г, из теоремы 2.17 в силу замечания к теореме 2.9 следует

170. Отметим также, что из теорем 2.14 и 2.17 непосредственно следует

171. Теорема 2Л8. Пусть р(х) > 0 при х € Л(Г}). Тогда, для того, чтобы задача (В\) была невырождена, достаточно, чтобы в условиях связи (2.53) коэффициенты и к(щ) были неотрицательными, причем #(«0 + > 0 выполнялось для всех а£ (г = 1,т — 1).

172. В заключение отметим, что результаты, изложенные в настоящей главе отражены в следующих публикациях 3, 34, 35, 37, 38, 40, 44, 47, 49, 55.1. ГЛАВА III.

173. ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ

174. Прежде чем говорить о функции Грина краевой задачи на графе Г, напомним определение и основные свойства этой функции для скалярной краевой задачи, рассматриваемой на отрезке (см.23.). Рассмотрим на отрезке (а, Ь) дифференциальное уравнение

175. Фундаментальное решение важно потому, чтоьу{х) = J g(x,s)f(s)dsапредставляет собой решение неоднородного уравнения (3.1).sign у{х s) 2p(s)W(s)

176. Если соответствующая краевой за-даче (3.1) — (3.2) однородная задача (/(•) = 0) имеет только нулевое решение, то существует единственная функция Грина €}(х,<§) этой задачи и функцияьпредставляет собой решение задачи (3.1) — (3.2).

177. Важнейшие свойства функции вытекают из приведенноговыше ее определения. Перечислим еще некоторые свойства этой функции, которые будут использованы в дальнейшем при определении функции Грина краевой задачи на графе.

178. Отметим прежде всего, что в силу невырожденности краевой задачи (3.1) — (3.2) имеем Д = йеЬ || ¡¡¿¿=17^ 0- Поэтому существует такая фундаментальная система решений {ч>з(х)}\ уравнения Ьу = 0, чтогде — символ Кронекера.

179. В силу этой формулы, для функции Грина краевой задачи (3.1) — (3.2), получим следующее представлениеаД

180. Доказательство этой леммы очевидным образом следует из представления функции Грина в виде (3.3).

181. Лемма 3.2 В условиях предыдущей леммы справедливо равенство

182. Р0Ъ.)> ~ М = а + 0). (3.5)

183. В то же время функция (рЯ"х)'х(%, а) на диагонали х = з терпит разрыв

184. Р0Ш« + 0, а) - 0,а) = 1. (З.б)

185. Рассмотрим задачу (А), т.е. на Г задано дифференциальное уравнениегде /(•) — непрерывная, д(-) — непрерывно дифференцируемая и р(-) — дважды непрерывно дифференцируемая на Д(Г) функции, причем р(х) > 0 и д(х) > 0 при х € Я(Г).

186. На каждом ребре 7; графа Г, система (3.12) — (3.13) представляет собой обычную двухточечную краевую задачу, котораяявляется, в силу теоремы 2.10, невыржденной. Ее функцию Грина обозначим через (г = 1 ,га).

187. Лемма 3.3. Функция К{®,в), определяемая формулойпри (ж,«)€7й,| (3.15)1. О, при (ж, а) 6 7»,-,«является фундаментальным решением уравнения Ьу = 0.

188. Покажем теперь, что для любой непрерывной на Г функции /(-), функция ?/(•), определяемая формулой (3.14), удовлетворяет на й(Г) уравнению (3.12).

189. Лемма 3.4. Функции ipj(s) = lj(K(-,s)) (j l,k) равномерно непрерывны на каждом л (i = l,m).

190. Доказательство. Пусть функционал I,- соответствует одному из условий непрерывности (3.8) в какой-нибудь внутренней вершине а € J(Г), т.е.i;(y) = УД<0 ~ УД<0 € /(а)).

191. В этом случае функция ф}(з) = ^(Х" (•,«)) определяется равенством

192. V>jM = Jim #(«,«) lim K(x,s).

193. Пусть функционал lj соответствует одному из условий гладкости (3.9) в какой-нибудь внутренней вершине а € «/(Г), т.е.1. Ш = У» (М € /(а)).

194. В этом случае фу(&) = lim K%x(x,s). В силу (3.15), если s не приxetp.надлежит ребру 7^, то ф.(&) = 0, а если s € 7^, тод2lim K"Jx,s) = lim—-гф„(ж,з).

195. Так как Qy,(x,s) — функция Грина скалярной задачи на отрезке 7^, то функция ¿¡¡¿5Qß(x,s) является непрерывной по совокупности переменных на квадрате следовательно, функция ф,(а) непрерывна на 7М и имеет конечный предел при s —» а.

196. Пусть теперь функционал Ц соответствует одному из условий связи (ЗЛО) в какой-нибудь внутренней вершине а € J(Г), т.е.fi€l(a)

197. Соответствующая функция ф;(з) в этом случае, имеет вид

198. ФЛ*)= Е ¡m,l(pKJ'x яК\{х,в) + /с(а) lim К(хьв).l(a) xej^ zejfl

199. Если sëто = 0, а если s е 7^ 0* € -/(а)), тод д2 д M*) = J^J^fa^ïh?®^ ~ ~3.16)

200. Пусть, наконец, функционал lj соответствует одному из краевых условий (3.11) в граничных вершинах b € с?Г, например,ify) = чШр^у т).{ь - о) - yj(b)

201. Функция i>j(s) определяется равенством

202. ФМ = cxj(b) lim\(pKl)'x qK'g.(x, s) - lim K(x, s) (b e &Г).1. X—>0, X—

203. Если s€7j, то ^j(e) = 0, а если s G 7/, тод д2 д Фз(з) = Qy) - Ктф(®,в),где Qj(xts) — функция Грина скалярной задачи на отрезке jj. Отсюда и в силу леммы 3.1 следует, что функция 0Д,s) является непрерывной на 7у и имеет конечный предел при s —> 6.

204. Аналогично, если функционал соответствует другому из краевых условий (3.11), т.е.1. Ш = + 0) № € аг),тоlim K»„{xt s) 4- 6}{Ъ) lim К'в(х, s) (b € ОТ).j a?€7j

205. Отсюда, если то = 0, а если s € 7,-, тод2 д1. Таккак Qj(xfs) — функция Грина скалярной задачи на отрезке 7h то функции

206. Справедливо следующее утверждение.

207. Теорема 3.1 Пусть р(х) > 0 и д(х) > 0(<?(ж) ф 0) при х € Я(Г). Тогда функция определенная равенством (3.20)является функцией Грина краевой задачи (3.7) — (3.11), которая является единственной в классе непрерывных на ГхК(Г) функций.

208. Применим по переменной х к обеим частям равенства (3.21) соответствующий функционал который порождает условие непрерывности во внутренней вершине а € «/(Г).

209. В силу выбора фундаментальной системы решений {¥>»(ж)}{, так как = в группе слагаемых под знаком суммы ненулевым будет лишь одно, получаемое при I — Ц. Поэтому ¿у ((?(•,«)) = = 0, что и означает (3.21).

210. Покажем теперь, что при каждом в £ Я(Г) функция С(х>з) удовлетворяет по х на градине ребер 7» как условиям связи (3.8) — (ЗЛО), так и граничным (3.11). Из равенства (3.20) при каждом Э = 1,к имеем*,-(#(.,*)) Е к(К^з)М^)). ¿=1

211. В силу выбора фундаментальной системы решений, =

212. Поэтому в группе слагаемых под знаком суммы имеется одно ненулевое, соответствующее индексу ъ = 3. Следовательно,•, з)) = I,■(*(•,*)) = о.

213. Значит, функция определяемая формулой (3.17), является решением краевой задачи (3.7) — (3.11), Это, в силу определения 3.2, означает, что функция 0(х>з) является функцией Грина краевой задачи (3.7) — (3.11).

214. Gi(x>s) = G2(x>s) на Г х Н(Г). Теорема доказана.

215. Невырожденность краевых задач (А) и (В) следует из соответствующих теорем § 4 главы II. Например, невырожденность задачи (А) в условиях теоремы 3.1 обеспечивается условиями: р(х) > 0 и q(x) > 0(д(х) ф 0) при ж € Г (см. теорему 2.11).

216. Из этой теоремы, в частности, при q(a) = 0(а £ J(Г)) следует, что если к(а) ф 0 для всех а £ J(Г), то для задачи (С) также существует единственная функция Грина G(x,s), непрерывная на Г х R(Г) и, которая представима в виде (3.20).

217. Если же к(а) = 0 для всех а £ J(Г), то в силу замечания к теореме 2.15, задача (С) является невырожденной только в том случае, когда граф Г имеет ранг единицы и в граничных условиях (3.11) коэффициент 6(b) ф 0 для всех Ь £ дГ. Отсюда следует

218. Рассмотрим на графе Г1 задачу (А1), т.е. на множестве Я(Г1) рассматривается уравнение

219. МКРУ'У ~ ЯУ'КЬг + 0) + у(Ьд = о, тШЬх) ¿{Ъ^уЧЬ + 0) = 0, '

220. Ьг)Ы'У ~ чу'.(Ь2 0) - у{Ъ2) = 0, Р(Ъ2)у"(Ъ2) + ¿(62)г/(&2 - 0) = 0,3.24)где коэффициенты а(-),/?(-),£(•) > 0, причем ¡3(•) 4- £(•) > 0.

221. Отметим (см. также п°3, § 5, гл. /), что если в условиях задачи (Ах) выполняется д(х) = 0 при х € #(14), но ф 0 при г = 1,т 1, то задача (А1) превращается в задачу (В*), а если еще д(щ) — 0 для всех г = 1,т - 1, то мы имеем задачу (Сх).

222. Если К(х, й) — функция Грина классической задачи Коши для уравнения (3.22) на (&ь&2)> то функция

223. К(хуз) яг{х) . к(К^з)) Цгг) . Ь(гк)1к(К(-уз)) . 1к(гк)3.25)обладает необходимыми свойствами обращения задачи (3.22) — (3.24) в виде интегрального оператора с ядром С?(®,а), т.е. — функция Грина этой задачи.

224. Из формулы (3.25) и из лемм 3.1 и 3.4 следует, что функцию можно доопределить до непрерывной на Г1 х ЩТг) функции. Кроме того, стандартным методом показывается, что так определенная функция С(х,з) является единственной.

225. Таким образом, имеет место утверждение

226. ЫУ */.(«> + 0) - \{Р9")' - Ч9'\(Во - 0) = 1.

227. Пусть ^ — функционал, порождающий одно из условий, перечисленных в свойствах 1. б) и 1. в). Применим его к функцииш = =^(^(-»«о)) Е тш=о,1так как =

228. В точках € уц функция С(х,з) совпадает с функцией Грина <?{(ж,«) соответствующей скалярной задачи на отрезке 7». Поэтому свойство 2) леммы означает скачок третьей квазипроизводной по переменной х функции 0{(х^з) в точках диагонали х — з. Лемма доказана.

229. Установим еще одно свойство функции Грина 0(хуз), порождаемое спецификой графа.

230. Пусть а € <7(Г) и л — одно из ребер, примыкающих к а. Функцияgl(x)=¡imG(x,s)7¿ и Vназывается предельной срезкой функции Грина G(x,s).

231. Доказательство. Пользуясь определением фундаментального решения и представлением (3.20), получаем4 т9l(x) = Jim G(x,s) = Ё i)ij(pj(x)+s€7¿'4€ /(а))0,

232. Так ка,к {<pj(x)} — фундамента,льна.я система решений однородного уравнения Ьу = 0, а — функция Грина соответствующей скалярной задачи на ребре 7i, то функция д%(х), очевидно, удовлетворяет уравнению Ьу = 0 на Я(Г).

233. Итак, пусть х ф а и функционал 1и порождает, например, условие. гладкости (3.10) во внутренней вершине а* € J(Г):

234. Цу) = Е 1(р;у"У ~ я1у}1(а* + 0) + к{а*)у(а*).

235. В левой части равенства (3.27) имеемя(а*) Ит К(а*,з).

236. Если ребро л не примыкает к вершине а*, то К(х,з) = 0 для всех х € ^(з € /(а*)). Если же вершина а* совпадает с а или является другим концом ребра л> то = аПоэтомуд & ¡т>МК(-,*)) = Нт—(д—а,) + 0,*)+

237. Установим свойство 2) для внутренней вершины а € «/(Г). Пусть Л — ребро, примыкающее к вершине а и з € л- Обозначим через 0;{х,8) сужение по переменной х функции Грина з) на ребро 7;С? £ /(«■)). Тогда, в силу свойства 1) леммы 3.5 имеем

238. Отметим, что при х € л функция О^х^я) совпадает с функцией Грина скалярной задачи на отрезке л- Перепишем последнее равенство в видед д2 д Зфг

239. С другой стороны, в силу свойства 2) из леммы 3.5 имеет место- ++!£(г"£С;> - °-*>=^3.29)где через г4(з±0,з) обозначены производные по х функции щ(х, я), посчитанные в точке х — в при ориентации л в противоположных от 5 направлениях.

240. В силу леммы 3.1 третья квазипроизводная непрерывна по совокупности переменных на каждом из замкнутых треугольников, на которые разбивает квадрат % прямая х — а. Поэтому

241. Для функции Gi(x,s) также справедливод д1. С{)(а + = в>)(а + 0,а).

242. Поэтому в силу (3.29) имеем

243. Очевидно, для всех ^ € ф г, имеет место-«¿«гжа+о,.) =

244. Переходя теперь к пределу в равенстве (3.28) при « а, з € имеем, с учетом последних равенств,д дилид д2 д Отсюда, если обозначить через д){х) = lim Gj(x,s)(j € /(«)), то7 id д2 ■ д ■ ^d&iäz® щ^-К» + о) + = 1.

245. Лемма доказана. Таким образом, из лемм 3.5 и 3.6 вытекает

246. Рассмотрим теперь на графе. Г задачу (В). Для этой задачи существует функция Грина (7(®,з), если выполнены условия теоремы 2.13. Легко увидеть, что для функции остаются справедливыми утверждения демм 3.5 и 3.6. Поэтому имеет место

247. Аналогично, для задачи (С), устанавливается

248. Отметим, что в условиях теоремы 3.7 предполагается, что коэффициент к (а) ф 0 для всех а £ /(Г) в условиях (3.10). Если же к(а) = 0 для всех а £ /(Г), то, в силу теоремы 3.3, для задачи (С) существует функция Грина только в том случае, когда граф

249. Г имеет ранг единицы и в краевых условиях (3.11) коэффициент S(h) Ф 0 для всех 6 е ¿?Г. Поэтому справедлива

250. Рассмотрим на графе Г краевую задачу, где на множестве #(Г) задано дифференциальное уравнение1. РУУ Ш = /, (3.30)во внутренних вершинах а Е J(T) выполнены условия

251. У»(«) = &•(«)> У"(а) = 0 (М € /(а)),3.31)аг(а)(ра/?У Яьу!.(а + 0) + к(а)у(а) = 0 (а^а) > 0,1€/(а)а в граничных вершина.х Ь € дГ заданы краевые условия

252. Г а(Ъ)(ру"У ду'}(Ъ - 0) ~ у(Ь) = 0, | (3.32)(Щу"(Ь) + ё(Ь)уГ(Ь 0) = 0,где a(b),P(b)yS(b) > О, причем /?(&) + 6(Ь) > О для всех b € дГ.

253. Задача (3.30) — (3.32) имеет более общий вид чем задачи (А), (В) и (С). Например, если «¿(а) = 1 для всех а € J(T) и i е /(а), то мы имеем задачу (А). Ниже в настоящем пункте мы будем рассматривать задачу (3.30) — (3.32).

254. Доказательство. Существование, единственность и непрерывность по совокупности переменных на множестве Гхй(Г) функции Грина G(x,s) краевой задачи (3.30) — (3.32) могут быть доказаны ка.к в доказательстве теоремы 3.1.

255. Пусть функционал порождает одно из условий связи (3.31) в некоторой внутренней вершине а* € '/(Г):1. Ш= £ + + (3.34)а)

256. Пусть теперь а * = а0. Тогда из (3.34) имеем

257. У^Ь5)) = <^¿0(^0) (^¿о) ~ «о^ФоК^ + 0»«) +

258. Отсюда, в силу <^1о(ж,а0) = 0 и леммы 3.2 получаем1. Дла ФЛ8) = -«¿»(«о)

259. Дт фц(з) = -а»(«о) (* € 1{а0)).

260. Для непрерывности фр(з) в точке в = а0 необходимо и достаточно, чтобы числа а;(ао) не зависели от г € 1(ао)1 что доказывает теорему.

261. Рассуждения, проведенные в доказательстве теоремы 3.8 не меняются, если в уравнении (3.30) коэффициент д(х) — 0(х € Г). Поэтому функция Грина С(х,з) задачи (В) также обладает свойством равномерной непрерывности по совокупности переменных на ГхГ.

262. Лля уравнения (3.35) — (3.38) мы будем рассматривать следующие краевые условия в граничных точках Ь0 икоторые в физической ситуации означают защемления или жесткого закрепления концов стержней.

263. Пусть 70 = (6о»«)» 71 = и .й(Го) = 7о и 71. Ниже всюдупредполагается, что

264. Тогда, как было доказано в п°.2 § 1 гл. II (Предложение 2.1), краевая задача (3.35) — (3.39) является невырожденной, т.е. однозначно разрешимой при любой непрерывной на Г0 правой части

265. Найдем явный вид функции 0(ху з) и определим важнейшие ее свойства.

266. Если в (3.35) заменить /(ж) на ¿(ж—в) — дельта функцию Дирака при некотором з € Д(Го) (зф а), то при Ъ$<х<зжз<х<Ъ1 имеем простору'У = о.

267. Если обозначить через ¡Л.(х,з) сужение у(х,з) на множестве л х 7,-, т.е. у(х>з) Уу(®,«) при (ж,в) € 7« х7; и у(ж,з) = 0 при (х)з)ёлх = ОД), то при ¿з < а имеемcf + cfx + cflpQ{x) -I- cf ^о(ж), При bo<x< s, df + dfx + df<pb{x) + df$0(x), при s < ж < a,

268. Для определения коэффициентов cjf и воспользуемся условиями (3.36) — (3.39). Пусть сначала з < а, т.е. з 6 70. Из краевых условий (3.39) получаемc;° = cf = 0, <*;° = <4° = о.

269. Далее, из условий (3.37) следуетdf = -df . а, 4° = -4° • а1. Поэтому4Vo(®) + при bo<X<3,df 4- dj0® + <*Ф>(®)., при в < ® < а,yio(^>-s) = 4°N'i(iC) ~ ПРИ а < х < bi.

270. Аналогично, в случае, когда я 6 71, из условий (3.37) — (3.39) получаем

271. Ут(хуз) с\1{фъ(х) - ащ(х% при 60 < х < а,с}1 + с\1х 4- c\l\i}>i{x) a(pi(x).b при а< х < <s,d%-(pi(x) 4- ¿\1ф\(х)^ при з < х <Ь\,

272. Проинтегрируем теперь равенствору'У = 6(х з)при каждом фиксированном значении з € Я(Т0) (з ф а) в пределах от в 0 до з + 0 и, пользуясь при этом известными свойствами 6(х - в), получаем3.41)

273. Таким образом, в случае з получаем неопределенную системуcf = ей0 1,004 60

274. J Po(t) 4 l Po(t) l Po(t) 4 / po(t) 4o