О разрешимости краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Краевая задача для стационарной модели вихря

Глава 2. Устойчивость стационарных решений задачи

0.10/

§1. Необходимое и достаточное условие отрицательности спектра задачи /0.13/

§2. Смешанная задача для неоднородного линеаризованного уравнения.

§3. Устойчивость стационарных решений

Глава 3. Смешанная задача для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени

§1. Оценки решения задачи /0.14/ в пространстве обобщенных функций

§2. Классические решения задачи /0.14/

§3. Классические решения задачи /0.15/

В диссертационной работе рассматриваются смешанные задачи для эволюционных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Уравнения такого типа возникают, в частности, в математической теории течений жидкости и газа.

Пусть в цилиндре радиуса происходит движение вязкой однородной несжимаемой жидкости, причем выполнены уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах (**> у* , *3)

Ц + - -/V /ол/ rf&f zs =о где ТГ~ (<£,,иг,и3) - вектор скорости, р - давление ,/>=co»s&?o-плотность, V ~ COhft - коэффициент вязкости жидкости, ось л> направлена по оси цилиндра.

Переходя к цилиндрическим координатам

X, = * cos?

Uf = и Cbftp + V <Р = и Av, — * cesp хг = w - 2 ~ ■£ после замены й = , v = , w=w, /Г =/ система /0.1/ запишется в виде B if у,/ , 6£1+\/г , , j?. 4 - 4? - ^ w v-Ъ* x 7? X"

0.2/ % uwx - |r ^ - ^ дл - -—J- "x

Указанная выше замена переменных впервые была предложена Д.Сулливаном fl].

Результаты экспериментов [2]-[4] показывают, что в вихревых камерах цилиндрического вида возможно образование зоны, в которой движение однородной вязкой несжимаемой жидкости является осесимметрическим, причем радиальная и тангенциальная компоненты вектора скорости зависят лишь, от расстояния до оси цилиндра, осевая же компонента линейно / по г / растет вдоль оси цилиндра.

Для описания такого рода процессов естественно искать решение системы /0.2/ вида и - и (х, Н v = v(x,H w == w1 (х,+ ) + *w2

Тогда относительно функций U , у , w, , Wi , Р получаем следующую систему уравнений:

Z х

-*ихх - j-uux -f fcu'sfer$ = /0.3/

Л-14 - f * 14 = xv,

XX жх Р

Ьх где.

0.4/

0.5/ /0.6/ /0.7/

Яг - ' 4ро

Условием регулярности вектора скорости (и, v, w) является требование и(о,4) - v(o,-t) -= О /0.8/

В качестве краевых условий и начальных, данных для системы /0.3/-/0.8/ рассмотрим следующие:

U(x,o) = гг0<:х) , \/06с) , W^ (х, О) = W,°(x)

Ш1* о = ^^ * 66 = ^^ ' = 2

Без ограничения общности можно считать , что • Та

7V ким образом по заданной функции (f) требуется найти функ-щи u(yt+) , , , удовлетворяющие уравнениям /0.3/, /0.4/, /0.6/, условиям /0.8/ и tf^rf) = Uffr), Ux(ft-i-) - ^ , t/^^-; = 14 И) , и(f> + ) = Щ (*),

U(x,o) - Uo(X) , V (у, о) = v0 (у) , W, (у, о) - w,°(x)

Основную трудность при решении этой задачи в стационарном случае составляет нахождение функции F(x) и числа ^ таких, что х , г (о) = О , jc(f) = ^ , F'(f) =/3 где *< и р - заданные числа, штрихом обозначено дифференцирование по х ; в нестационарном же случае - нахождение решз-ния ибе,*'-) задачи = (Х"х*)*х + £ U« U**) uLf=</(4) > /оло/ а/ - 24 (х) о

Задача /0.10/ получается из /0.3/ двукратным дифференцированием по х , Обратно, двукратным интегрированием уравнения /ОЛО/от О до X получим /0.3/.

В монографии М.А.Гольдштика f5] исследовалась задача /0.9/ /в основном на основе расчетных данных/, там же был приведен явный вид решения при специальном соотношении чисел и fl , указаны примеры вихревых камер, в которых возможно осуществлении движения жидкости, подчиненное уравнению /0.9/. Рядом авторов - Э.П.Волчковьм, Т.И.Зеленяком, В.И. Кислых, О.Г.Проворовой, И.И.Смульским и др. - проводилось описание полей скорости в приосевой зоне цилиндрического стационарного вихря на основе уравнения /0.9/. В [3] предложен алгоритм расчета решения задачи /0.9/, использующий специфику уравнения.

Задача /0.10/ изучалась В.С.Белоносовьм и Т.И.Зеленяком (б]. Ими были получены теоремы о разрешимости в "малом" по;

-Ь и об устойчивости в стационарных решений по первому приближению.

Поля скорости жидкости в приосевой зоне вихревых камер зачастую описывают на основе решений вида F-ay задачи /0.9/ /см. [2] , [4],[б] Л Кроме того, функции вида ах являются одним из даух известных в настоящее время однопараметрических семейств решений задачи /0.9/, представимых элементарными функциями /под параметром в данном случае понимается число а /. Поэтому важным представляется определение тех значений параметра & , при которых имеет место устойчивость или неустойчивость стационарных решений вида и=ах задачи /0.10/.

Полученная В.С.Белоносовым и Т.И.Зеленяком теорема об устойчивости стационарных решений задачи /0.10/ по первому приближению дает достаточно точный критерий устойчивости проиа-вольного стационарного решения, однако проверка того, условия, что спектр соответствующей линеаризованной задачи лежит в левой полуплоскости, достаточно трудна.

В диссертации получены достаточные условия устойчивости стационарных решений задачи /0.10/, указаны значения параметров CL , при которых имеет место устойчивость /и неустойчивость/ стационарных решений вида и-ах , исследован вопрос существования и единственности решения задачи /0.9/ и дано описание ряда свойств этих решений.

При исследовании вопроса устойчивости стационарных решений вида и-ах задачи /0.10/ одним из основных моментов является получение оценок решения соответствующей неоднородной линеаризованной задачи:

Uxx+ = (XUXX)XX + f - %axx a H

U/ixsQ = t/0(x)

Задача /0.11/ является частньм случаем смешанной задачи для уравнения М<и + -f в Or /0.12/ где L и М - эллиптические операторы порядка ^ и ^^ соответственно,

Уравнения вида /0.12/ возникают также и в других задачах гидродинамики, например, в теории малых колебаний вращающейся жидкости.

Смешанная задача и задача Коши для уравнений вида /0.12/ изучалась, целым рядом авторов - С.Л.Соболевым, С.А.Гальперном, Г.В.Демиденко, Т.И.Зеленяком, Б.В.Капитоновым, А.Г.Костюченко, И. Ш. Могиле вским, В.В.Сказкой, С.В.Успенским, М.В.Фокиннм, Л.С. Франком, Г.И.Эскиным и др. Литература по вопросам, связанным с постановкой, разрешимостью и различными свойствами решений смешанной задачи и задачи Коши для уравнений вида /0.12/, настолько обширна, что привести полный обзор результатов не представляется возможным. Укажем лишь обзор [7], в котором имеется достаточно полная библиография по этому вопросу.

В диссертации изучается смешанная задача для уравнения /0.12/ в случае, когда mvg . Существование и единственность обобщенного решения этой задачи доказана в [Q]. При этом на оператор L и функцию /fo-^J наложены очень сильные ограничения, которые удалось существенно ослабить в настоящей работе.

Сильное влияние на структуру ре пения смешанной задачи для уравнения /0,12/ оказывает тот факт, являются ли L и М равномерно сильно эллиптическими в QT операторами или же хотя бы один из них допускает вырождение на каком-то участке границы 9Qr , а также характер вырождения.

Случаи, когда оператор М имеет особенность при х=о , рассмотрен в диссертации на примере задачи /0.II/. Используемый же метод получения оценок решения удалось применить: к исследованию вопроса существования и единственности обобщенного и регулярного решения смешанной задачи для уравнения /0.12/, а также при оценках регулярного решения смешанной задачи для уравнения

2т - е-<)

La, = Ми * fM.u,Zpizzzg) где, L и М - равномерно сильно эллиптические в Q-r операторы, ~ произвольная достаточно гладкая , например, трижды непрерывно дифференцируемая/ функщя своих аргументов.

Приступим к изложению основных результатов диссертации!.

Первая глава посвящена изучению задачи /0.9/.

Через OZ обозначим множество пар чисел (d,р , для которых задача /0.9/ разрешима в С fo, f] *

Теорема I.I. OZ - замкнутое в ^ множество.

Кроме того, (г4,0) 4&1 и, следовательно, существует бесконечно много различных пар чисел (/, уз) , для' которых задача /0.9/ неразрешима.

Решение задачи Коши х , хР"=г* +Jrtfy -¥

F(o) = О , F'(o) = а. будем обозначать через F(x,ol,%) /число считаем заданным/. Доказан ряд лемм, основное содержание которых можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема. F(x,Ol,c£) - аналитическая по X функция при Если q Ф - ф , то Вс/п F(x}a,q)=+oo и имеет мес

2. оо то одна из двух ситуации:

I/ либо F"'(x) t F"(x) , F'(x) стремятся к при X стремящемся к +<=о t

2/ либо F'"(x) монотонно возрастая, а F"(x) монотонно убывая стремятся к нулю при х стремящемся к z

Если же = . то F(x,<z,ci)=ax .

Далее, на примере /ъ ■= О показано, что решение задачи /0.9/ неединственно.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе исследуется спектральная задача, соответствующая линеаризованной на решении вида U-aX задаче /0.10/, а именно: uyx + Zfttxxx -§-U-xx /0#13/ и! = и/ = ах( — о х ~о '*<= 1 х '*= <

Через W2 (0,i) обозначим замыкание множества бесконечно дифференцируемых функций и(х) , удовлетворяющих краевым условиям U(O)-U(i)=Ux(1)=0, по норме

О, /) - гильбертово пространство относительно скалярного произведения i u,v)~ts, , -f(x2uyxy vxxx +-ol v)Jx v Co, 1) о

Теорема 2.1. Собственные функции задачи /0.13/ образуют ортонормированный /относительно некоторого скалярного произведения, эквивалентного ранее введенному/ базис пространства ^ з

W2(o,i) , причем все собственные числа вещественны и однократны. При OL >-$ все собственные числа отрицательны; при а--£ имеется одно нулевое собственное число, остальные - отрицательны; при одно собственное число положительно, остальные - отрицательны.

Во втором параграфе получены оценки решения задачи /0.11/. Обобщенным решением задачи /О„И/ функцию СССХЛ) € С[о,ту wf(ot D] , имеющую обобщенные производные и, иХУХ)( , ^Ххх , такие, что т t f f (x3uxxx)c -f- xul^ ч~и.г)с1кс/4 * ©о , причем: о о

I/ U(x,-t) удовлетворяет уравнению /0.II/ почти всюду,

2/ существует предел //и(х,-У) - -г/0Сх)//~3. . - О,

2 (0,1)

Теорема 2.2. Пусть иаСх) € W* (о, о о 0

Тогда существует и единственно обобщенное решение и,(Х>1) задачи /0.II/, причем ^ oUSt M(wltoff) + (ff(y2ujL**x* * *

При постоянная С(т) не зависит от 7*.

Здесь и в дальнейшем через \Л4к(о,т), где к - вещественное число, будем обозначать пространство С.Л.Соболева.

Пусть С Со, ij - множество функций иМ $ С [о, 1J таких,

- 12 что Хи,(х)е С*Го,г] и шо) = и(г)~ах(г)=о.

В дальнейшем нам понадобятся банаховы пространства функнормы элементов которых будем обозначать, соответственно, tfQr (o,f) <р,Т) QT символами /Г , //- //к , //-//е , //-/^ , где К , б , с* е(о, г) , /зе- (о, г) - произвольные неотрицательные числа, <f - целое положительное число. Определения этих пространств широко известны /см., например, [д],[ю]; в [э! эти пространства обозначаются буквами // /;

С ^(Sr) = Г С °(5г ) , гае

С°Лог) = СГ°,Г; е0Го,т]] , = cfrr;с%,з].

С*Со, fj - банахово пространство относительно нормы

1/и1е,Го а = /и/™* //xu/£'f).

Регулярным решением задачи /0.11/ будем называть функцию

U(x}-ir) € С Го, Г; С*ГС, rjJ П CZ) f (Qr) , удовлетворяющую в QT уравнению /0.11/ и такую, что и(х)о)=и0(х). Теорема 2.3. Пусть выполнены следующие условия:

I/ cu(x)e c*fo,rtt

2/ -f(x,£) & /3 е(о, г) - произвольно,

- произвольно,

4/ fx-Rxtb^ + -# +ffx,o)]cix=C>.

Тогда существует и единственно регулярное решение ^feyi-) задачи /0.11/, причем

ЦиЦ3> о + MxuH^^ -ь /focJIZ)C - с(т)-(//u0If3 M0 Г (ffxf'dx^) * /А/Ух/^ ^//r/^/ v J

ЗуЗ ft? о о W£Yo,T/

При Ct у ~ в постоянная ССт) не зависит от Т" .

Условие 4/ теоремы 2.3 является условием согласования функций tu(x) и и выполнение его необходимо для существования регулярного решения.

В третьем параграфе доказаны теоремы об устойчивости стащонарных решений задачи /О.Ю/.

Через "V" обозначим банахово пространство, которое получается замыканием множества бесконечно дифференцируемых в Го, il функций по норме

6ц =(/Сх*игхху + Uz) </х) . v о

Обобщенным решением задачи /О.Ю/ назовем функцию U(x,-i) € С Со, 7~;VJ имеющую обобщенные производные ссхухх , , ах*х такие, что ff(xsuL« + < — , о о удовлетворяющую почти всюду в QT уравнению и краевым условиям /О.Ю/, причем //и(х,£) - и0(х)//^

Определение I. Стационарное решение гГ(х) задачи /0.10/ назовем устойчивым в , если для всякого найдется такое, что как только и0(х) и WU,

W/fcvf) то существует единственное обобщенное решение аСхД) задачи /О.Ю/ с начальными данными гГб0-ь&о(х) и краевыми условиями причем для всех 4 ^ О Ц ССЫ,-У) - И~з(0 ^ < £ • Регулярным решением задачи /0.10/ назовем функцию U(x,i)G C3'°(QT)n С ' (QT) такую, что:

I/ € С*,О(0т) ,

2/ U(x,-tr) удовлетворяет уравнению /О.Ю/ всюду в Фт , з/ u(o,-£) = o, иха,-б)=/ьШ , а(*,о) = и0о<).

Определение 2. Стационарное решение тУ(х) задачи /О.Ю/ г, назовем устойчивым в С Со, 1 J , если для всякого £7<э найдется $ 70 такое, что какова бы ни была функция сСоМеС^ИЬ,!], из выполнения условий

I/ Ги./г,АО <5-. о следует, что существует и единственно регулярное решение U(X,-b) задачи /0.10/ с начальными данными тГ(Ю +• UoМ и краевыми условиями U-/y=Q - О , U/^ i - tTCO , t причем для всех

7^ о fu(x,4) - trfx)/d*Го < е .

Первое из указанных в этом определении условий является традиционным при определении устойчивости по Ляпунову, второе же является необходимым для существования регулярного решения "возмущенной" задачи.

Теорема 2.4. При а у-б стационарные решения вида ах являются устойчивыми в W2 и в С [0,1] решениями задачи /0.10/.'

Теорема 2.5. Пусть г/?*) &,<7 - стационарное решение задачи/0.10/, причем 1Ух(о)ъО и . Тогда iffi является устойчивым в решением задачи /О.Ю/.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, исследуется корректность задачи lu+ = ми + в qt

0Л4/ р где Qr * (о,~т) , о < Т ^ 00 , SL - ограниченная в (R область с границей Г , Г^ = Г к (оу~Г) , П - вектор единичной внешней нормали, L ж М - эллиптические операторы порядка 26 и 2т соответственно, Г&Сгт, Пусть оператор М представим в виде

М(х,4) = М0Ш) + , j где М - дифференциальный оператор порядка не выше 2т-/ , а Мо - дифференциальный оператор порядка , причем для всех и, v ё Wz2m(Ji) П (Л) //M°ul'w;eu) - bf'^ejo

MoU,v)Liш = (Ми, Я(JL) где М - дифференциальный оператор порядка m ; ^ , , , С - положительные числа, не зависящие от ^ . Относительно оператора / будем считать, что

ZW) =-U*M + L<6<,-b) , где операторы L ж L1 удовлетворяют тем же требованиям, что Мо и М1 , если всюду заменить на ^ .

Точные требования на гладкость коэффициентов операторов L и М указаны в диссертации и ввиду громозкости мы их приводить не будем. В дальнейшем для упрощения формулировок будем считать, что коэффициенты операторов L ж М суть бесконечно дифференцируемые функции своих аргументов.

Пусть ни при одном -Ь £ [о,т1 нуль не является собственным числом задачи

МхЛ)и(*) = и/ . «, /

В первом параграфе исследуется вопрос существования обобщенного решения задачи /0.14/.

Обобщенным решением задачи /0.14/ назовем функцию и(х,1) такую, что:

I/ U(X,i) € U (о,У; W^CJDnwrCJO) ,

2/ существует обобщенная производная 1ц < Lz(o,t\ w^(jif) 9

4/ функция ^fo-^J удовлетворяет /0.14/ почти всюду. Теорема 3.2. Пусть

J € 1г(огт; W^(jl)) , ^Л) .

Тогда существует и единственно обобщенное решение и(х,±) задачи /0.14/, причем

W.-V^U» + W; ^Ч-и,"

Во втором параграфе исследуется вопрос существования регулярного решения задачи /0.14/. При этом считаем, что

Л «СОИ).

Регулярным решением задачи /0.14/ будем называть функцию и(к,-Ь) такую, что:

I / U € С (Ог) Г) С (<?т) , где d€Co}i) -произвольно, г/ е с сот) , з/ £ Г ^ > , /

4/ U/rT = •■• = ъР^Ъ ~ ' 5/ « 24,00 ,

6/ функция U(x,-t) удовлетворяет уравнению /0.14/ всюду в QT .

Через L обозначим оператор, формально сопряженный с L относительно скалярного произведения в Lz (ог<) . При п\ъ2.е через ^, J — I,., , обозначим решение задачи Коши О

Э*'М*шо ~ f х^о = о . если /=0,1 причем s «Р .При /wff^,^) через , у =1,. обозначил решение задачи

LV = о, = flx=f = . = f U = ^ U =° fi +Ш) f 0, если j четно r J LT (f.) = f , где f. = 7 v v / I, если у нечетно

2e-/n-<r+ f. +№) (fL Л Г , , * = Л ■», .

Теорема 3.3. Пусть i?/?? > ^^ , ote (ог/) и выполнено: х/ «,(*) е С*"**rvJ л wf Ш) , SfrV € С*' *

2/ /-tfxtf ^Mlotx G С To,T] , где у = I,., jf для m & 2в и у' = I,., при

3/ /Го)аоЫ) + /Гх} o)J- %Гх,оУх = О для всех J .

Тогда существует и единственно регулярное решение и(у^) задачи /0.14/, причем v ^ см- (//*оЦСо,,> + ы, ^ у . У ^ J

В заключении параграфа приведен пример, показывающий, что требования 1/-3/ теоремы 3.3 являются необходимыми для существования регулярного решения задачи /0.14/.

В третьем параграфе исследуется вопрос существования регулярного решения задачи

2m-e~i) or,-,-) /0-15/ где 7• -iSjgM^e)- достаточно гладкая / например, триады непрерывно дифференцируемая / функция своих аргументов. Более точные требования на гладкость функции -f приведены в третьей главе настоящей диссертации.

Определение регулярного решения задачи /0.15/ совершенно аналогично определению регулярного решения задачи /0.14/.

Пусть О является стационарным решением задачи /0.15/ то есть у о, . , о) ~ о.

Теорема 3.4. Пусть 2т-?3в , o£€-(o*f). Тогда для всякого найдутся положительные числа М(Т) и <Г(т) такие, что если

2т , f ./77^ . (Ojf)

I/ Ua(x)€ С Со, fjn W2 Со, г) , //V°//2/r7^ < S(T)7 2/ /гМ(х, о) им) ~f~ -F(x. 0,с/О)., 6/f"-e-f))]. (fi(x,o)dx ^о где J =/,., 2в для и J- /, 2Сгл-е) при /г? , то существует единственное регулярное решение Ufr-fi) задачи

0.15/, причем е „ Q-r (°>f)

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. Т.И.Зеленяку за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.н. В.С.Белоносову за ряд полезных замечаний. шм i.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДМ СТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ ВИХРЯ.

Постановка задачи. Пусть сС и ft - вещественные числа. Рассмотрим уравнение tF'= ъ* * km - /1.1/ о и граничные условия

F(o)=o , Fff)-oC , F'«)=ft>. /1<2/

Задача, которую мы изучим в этой главе, состоит в нахождении числа ^ и Функщш F(x) , удовлетворяющих уравнению /1.1/ и условиям /1.2/.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения /1.1/ при фиксированном :

F(о) - о , f'{o) сг. д<3/

Лемма I.I. Решение задачи /1.1/,/1.3/ единственно в классе трижды непрерывно дифференцируемых /при а-«?о /функций.

Доказательство. Пусть Ft Сх) и F^{x) - два различных решения задачи /1.1/,/1.3/. Положим и(х) = SyOc) - Fz (х) . Тогда

2х<с~(х) = ~Л«>" -F/-U и," /1Л/ и (о) = Сб'{о) = и "(о) = о

Из /1.1/ следует, что

F" = &IF*- F"(P*2) откуда /г"'(о) = рг'"(о) = f YfV г)

Таким образом и '"{о) - О . Тогда

I/ либо строго положительна /строго отрицательна/ при x€(o,eJ для некоторого £>о ,

2/ либо найдется последовательность различных точек К' , 1 =1,2. таких, что к- J - U , ' oiXtXi

Рассмотрим первый из этих случаев. Без ограничения общности можно считать, что > ° при х € Со, £ J . Пусть $ор и."'(х) достигается в точке Хо Так как

Oi Х££ о ^ & сс'"(х0) х при х (o}£j , то для малых х>о

6> £ сс'(х) й u'"(xo)-x* , о ± и (к) £ x2j

ZXo /«■»&)/ ^ + Ли "fa) - f~ "(Ха) ■ и(Хо) +- (r/fxo) -f- {['fro^-a'(xj - /[fa) и "(х0)^ otx^e o&x&z О&ЛЕ

-h S-uf f/^(X)f ■ Го или г * s«p /$%) i + Seep /Ь(Х)! чего не может быть при достаточно малом £>о , поскольку Fz(o) ^о.

Рассмотрим второй случай. Из /1.4/ следует, что

2/к'к)/ - +

-(Xj u%J / ± ( /Ff%)l xt +

JX*'ми) ■/«•(*)/ а это невозможно при достаточно больших l .

Таким образом решение задани /1.1/,/1.3/ единственно при достаточно малых X ? О . Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений /см., например, [П]/ следует справедливость леммы. Лемма доказана.

Решение задачи /1.1,/1.3/ мы будем в дальнейшем обозначать через F(x,a, f) или Fix) , где это не может вызвать недоразумений. Как показано в £3], суть аналитическая в окрестности точки Х= О функция:

F(x, а,^) = J! Xе где dt = &> » ^ - , а для остальных коэффициентов ряда имеет место рекурентное соотношение п =г ^^ + -к +2-кХг/с-п--г)

2 (n+tf (»+г)

7 — J у 2 у • • • j откуда следует оценка ii а„/ ^ 2./%!) , п = i,2,.

Следовательно, функция F(x1G-1iJ,) аналитична при г ifafz + 2/гО Т .

Доказательство следующего утверждения имеется в [5].

Лемма 1.2. Пусть F(x}a,f) € С [о,х°) , Х0 >0 .

2.

Тогда при £ ^ - ^г х) О при всех X€LO> Хо) , при £ ~ ~ 2Г 6L,1) ~ ах .

Доказательство. Действительно, F*'" (о) =• /jgr ^^ . 2

Если , ТО - О-Х t При уФ-в^

Р0И(О) ? (7 .

Пусть точка х*^(о,Х0) такова, что F (х*) = 0 и f- (х) >0 при xefo,x*) . Из /1.1/ имеем: г 2.

Следовательно, Р(И(х*) ~ ^ 0 t откуда F(U}(x*) = 0 . Из равенства xF™ F"F"' - ^(f+v - £—£' и/) j, получаем, что F (х )= О . Далее,

ХР™ = (p«>f + fr(u/). (F+. го) ^ ^ то есть = F"'(x*)= О. Нетрудно видеть, что отсюда следует равенство F(*}(x*) - О , /Г= 2,3,. .

Ввиду аналитичности функции Это означает, что

F(x^ а, = CLX » а это невозможно. Лемма доказана.

Функция F{x,citq) аналитична по X в некоторой окрестности Х-о и, следовательно, существует точка <f , у г. + с*=> , такая, что аналитична на интервале и не является анаяитичной /если у г.+ <=><> / ни на каком интервале для любого сколь угодно малого > о . Эту точку у мы будем называть правой границей аналитичности функции F(xya1 и всюду в дальнейшем обозначать через у о - .

Лемма 1.3. Либо Xo(a^)~-h<>° , либо , но тогда /&п + ~ .

Х-ч» Ко-О

Доказательство. Предположим противное, то есть х0(аф<* и выполнено одно из следующих утверждений:

I/ существуют конечные пределы .

Го-О •*"-> ДГ„ -О

2/ хотя бы один из пределов ^ или не существует; з/ Ш < , + — .

В первом случае из /1.1/ следует, что существует предел а, значит, функцию можно аналитически продолжить на некоторый интервал fo, х0 + s) } г>о , что противоречит определению ха (а, <£) .

Во втором случае обязательно найдется бесконечно много различных точек , с =1,2,. , таких, что с%/ =1,2,. , или

Fr(X£ ,л*<1) ~ , , с ,/ =1,2,. .

Это означает, что найдется точка хе (о,х0) такая, что f— О»), ,

F (х) .

Последнее невозможно ввиду леммы 1.2.

Рассмотрим третий случай. Проинтегрируем /1.1/ по х от

О до х :

2. *

XF'-F = + f(*-SKrs'fet$ ~ fо x

Отсюда /I = = .

С другой стороны /S°(*o ~f) (F<fctс f * sc? /(х0 -j; /j V/; / - / //у /* о 0£г% 4 Хс о к С- / -f) /=;($)/ , так как / £ / fFs'/c/c + /J, / + /Ffa-z)!, где мало,

0 о

- 25

Заметим, что Сх0-$) F'($) = о.

Действительно, если этот предел существует, но не равен нулю, то F*(x) 4 LffotXo) , а это невозможно. Остается рассмотреть случай, когда предел (Хо-$) F'fs) не сущест

-О вует. Пусть J2 ~ * °"<0 /случай - - <=*-=> рассматривается аналогично/. Ясно, что

Хе-О иначе F'6d <$ /. Тогда найдется последовательность точек , /? = 1,2,. , такая, что:

У if < f 2 * • • • ' ^ = ;

-О схэ

2/ F* (&*-/) > Р'(§гк) . * = 1,2,. .

Следовательно, существует бесконечно .много различных точек в fo,x<>) , = 1,2.таких, что для всех и . Это противоречит лемме 1.2.

Таким образом доказано, что (x0~g)F'fs)=o и, зна

§ -*>X<ro

Лемма доказана.

Лемма 1.4. Пусть £ ^ - . Тогда

Доказательство. Так как /•" (х) 7 0 при xefo,x>)t то существует предел F(x,a.,f) . Из /1.1/ следует, что а, значит, при FM С -£ F^Cx) у о , то есть м

F (х) полохштельна и монотонно возрастает. Поэтому

Пусть /У/ . Заметим, что тогда ввиду леммы 1.3 х0 = , а также Fwfo)co . Действительно, если F"to)2o, то, поскольку F^fx) положительна, F'"(x) у о при х>о , F"7x) у при для любого / и, значит, У = + .А это противоречит предположению /^А®-.

Покажем, что монотонно возрастая стремится к нулю при X стремящемся к

FM = F(o) * X■ F'(о) + £ гЧо) YsHS о

Поэтому если F'" (х<)~? О хотя бы в одной точке ху , то F'"(x) > Ff"(xf) при х у xf и + ~ . Если же

F"'(x)&S£0 при всех х о , то, очевидно, - <*<=> . Значит, F*^ о.

Х-*? " '

Далее, Z7 >0 . Действительно, если F fo)^0 f то ввиду отрицательности F'"(x) функция F*(x) монотонно убывает с ростом X . Из равенства У

F(x) = FM+ x-F'(o) +/er-f)F'r§)<Sf следует, что .7=-<=-=> ,

Покажем, что F"(x) монотонно убывая стремится к нулю при х стремящемся к + . Предположим противное, то есть либо F"(x) > О при xzo , либо найдется число /V> О такое, что F"(*) £-cT<zO при X^/V . В первом случае J^ + оо , во втором - У= - о-=» . Таким образом, FY*) -О.

Из /1.1/ , ^ = /г 7х) - ЩМ. + ~ о при , то есть Если же проинтегрировать равенство /1.1/ по X от 0 до X , то получим:

ХА '-/ = //Г- £Г/ S С для всех х ^ о , где с: О - некоторая постоянная.

Заметим, что F'(x) о при х&о • Это следует из положительности F"Oc) при х & о /если FTx) & о хотя бы в одной точке х , то + /. Следовательно,

О б - х F'fx) £ с х у С + С- f/Fj/*/f ^ с + С-/у/ то есть / =0 > откуда f'6c)~o при х* о . Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 1.5. Дусть £ ¥=■ ~ . Тогда верно одно из двух: I/ /7*) , ^fcJ, F'fr), F'Yx) стремятся к при * стремящемся к А» ;

2/ /^/ЭД монотонно возрастал, a. Z7^ монотонно убывая стремятся к нулю при х стремящемся к ■+• сх> .

Доказательство. Так как F( }х) т-о при x€-CofXo) , то существует предел &r> F'" fx) - С.

Если С = <=х=> , То справедливо первое утверждение леммы. Пусть Со % С <=>-=> л тогда из неравенства С^О следует, что Ffx)-** - при с»®; если же С О , то по лемме 1.4 и

F%-) = Сх -f-oCx)

F'U) = +o(x>) F(x) - с** + где / / = . ввиду /1.1/ откуда С - О , что противоречит нашему предположению.

Тахсим образом, С-о t то есть F*'Cx) монотонно возрастая стремится к нулю при X стремящемся к . Поэтому существует предел

F"M = *

Если К < О f то Ffo) = - , что невозможно в силу леммы 1.4. Если К>о , то К* +°(х)

F (х) = + о(хг) и из /1.1/ имеем: ос**) - х F"— -f(F}TJf -¥ = 7Г* +° то есть Х-О . Лемма доказана.

Лемма 1.6. Функция FM -F0<ry-f,o) удовлетворяет утверждению I/ леммы 1.5. Введем обозначение: =

Из леммы 1.4 вытекает, что С О . Если ^ , то из /1.1/ получаем: о(х) = = fPyf^ ~ = Т* ^^

Это невозможно и, значит, . Имеет место равенство 2хР(ЯО=

Пусть точка xf т> о такова, что при Ffx) >0 и /^Yxho . Тогда ^ ^

Проинтегрируем это неравенство по X от Хг до у /х>хг>$ /: & ,r~(S)i£ < -/if ^

Так как Р'Мпри *-•> , то

ПРИ если AV достаточно велико. Следовательно,

6? "70//* < ^ или v

Из /1.1/ имеем: при X & хг с' /г " с г+г F' fYF+2) а, значит, найдется постоянная такая, что

ИЛИ ^ ✓ 1 ^

F'M ~~~ Г'(хг) если . Для тех же X

2х F *' = (F 'f-F 7^2) Z (Ft -at" -М-/г'

Левая часть этого неравенства стремится к нулю, а правая -к при X стремящемся к •*- . Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 1.7. Для любых а и £ С

Доказательство. При а,* , откуда

- 30 -~ f*) = + — .

Пусть <£ Ф - . Если выполнено утверждение 2/ леммы 1.5, то Хо )=*+*>*>. Поэтому без ограничения общности можно считать, что

Р (х) + ~ при Х-* У- -О } К =0,1,2,3 / F(d)= F /, то есть выполнено утверждение I/ леммы 1.5. Пусть Ха . Тогда найдется точка х,<х0 такая, что

F (х) > с? при о) , /С= 0,1,2,3.

Из /1.1/ имеем, что /:» = р'р". р"'{F+i,') а, значит, при хе/лу,*®} F'M > ^ или &(Р(х)+4) > £

Ff'(x) ^ Cf F(x) где Cf , - некоторые положительные числа. Пусть xf х < х* . Тогда

ЛГо F(y) /г*; ■/ с2 j

Выбирая у настолько близким к х, что f (x^-flct^ * ^ У получаем

F(x) б +FYy)-fx-f) + jg-J при Х€ (у, Хо) и, следовательно, Ffr) что противоречит предположению. Лемма доказана.

Лемма 1.8. Пусть (сх - фиксированная пара чисел, с5><9 и jV->o - два произвольных числа. Тогда найдется число о такое, что выполнение неравенства

Оо (<£ -<?0f £ означает, что

F(x, а, <г) - F(x, <2°,

Это утверждение доказывается стандартным методом /см., например, [II], [12] / с использованием следующего результата.

Лемма 1.9. Пусть (а-, - фиксированная пара чисел, - произвольно. Тогда найдутся такие числа о и , что выполнение неравенства a-a)z + ~ *г означает, что

F(x, а, ъ) - F(x, a, ' f

Доказательство. F(x,a,%) = ^ ^ причем ^ (3/%/) 7

2Г

Поэтому для любых , f таких, что (а-а.)*C^-^f ^ * молено найти Cf = С4 (a.,<i)-7 0 такие, что сьтл)!

Докажем индуктивно справедливость формулы /&Г/- С , где ~ (а, £) -а^ (a., £) , C-pJC, и £оу0 - произвольные числа, 2>(г0 ,с)-?о достаточно мало.

- 32

Действительно, если сГ > О достаточно мало, то из неравенства (<2> -а:?2'* 6 5"* следует, что а;/ & С £0 , £ .

Пусть А, для i- 1,2,., м + f . Для краткости обозначим через . Тогда /см. /~3J /

ZC*+i)z Сп+£) Для f £ К 4* У? , <?0 ± i

I (а* I - /а* ■ а. о

JC л+г-K

-к / £ cf • с ■ е. + к /7+2 cf С го С • с. «Го ^ <Го о , и, следовательно, / £ С •<£» • Далее, о * w д: * гь «s -с'яг' = лГтбг - ^

В качестве можно взять любое число, меньшее чем .

Без каких-либо изменений оцениваются величины х - 1,2,3,4.

Лемма доказана.

В дальнейшем нам понадобится тождество, справедливость которого нетрудно проверить: для всякого X у О

F(kx7 at q,) = F(x, ка, .

Положим OZ = {ft) t существуют числа cl и такие, что «с , F^f^tZl-fi} .

Теорема I.I. OZ есть замкнутое в множество.

Доказательство. Пусть OZ , /7 = 1,2,.,

И при " при /7 -><*:>

Надо показать, что £ . Пусть <2.* , таковы, что

F(f, а», ) - , Р'С/,а*,?») •

Предположим, что существует постоянная С ? О 9 удовлетворяющая неравенству s *т*х (/<*»/, StyJ) £ с дЛЯ воех * д.5/

Без ограничения общности можно считать, что существуют пределы а.^ •= J Я™ = Q

Из леммы 1.8 следует, что

F{f, ^ , ^'/У, J?,Q) = /i , то есть £ . Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать справедливость /1.5/.

Можно считать, что сп ф о , /? = 1,2,., ji а.

Z„ === ^г* при " с*»

Е= —> при /, -> .

Пусть Ф - ^ . положим /7w =" F(x, .

F(x) удовлетворяет требованию I/ или требованию 2/ леммы

1.5. Справедливость неравенства /1.5/ установим отдельно для каждого из этих двух случаев.

Если выполнено утверждение I/ леммы 1.5, то найдется число х > о такое, что при X >х

F(x)> ot +2 , F'fx) >2 , F"(x)->2 , f"Yx)?2.

Из леммы 1.8 следует, что для всех, за исключением конечного числа, , верны неравенства

F„M F(x, > , при

Если неравенство /1.5/ не выполнено, то для достаточно больших /7 F(х, а» , то есть , что невозможно.

Л СХЯ

Значит, функция F(x) удовлетворяет условию 2/ леммы 1.5. Кроме того, имеет место одно из трех: I/ либо <£о > О , 2/ либо - О , 3/ либо <0 .

Второй случай невозможен ввиду леммы 1.6 /так как тогда — * / или <2* — - / /.

Пусть О . Обязательно найдется точка ~х~гО такая, что

F(x) > ot+2 ? F'fx) у О } F7r)>0

Не ограничивая общности доказательства можно считать, что все /-„ (х) удовлетворяют либо утверждению I/, либо утверждению

2/ леммы 1.5. Предположим, что реализуется первая из этих двух возможностей. Ни для одного достаточно большого номера п не найдется точки А у х такой, что //, ///„ . х<1 = ° , F„ fx,) , так как в этом случае

-?*) = £ ((K!(x,)f-в,%)■ (в.М +2) +2*.)-,о что невозможно.

Значит, можно считать, что для всех п

Отсюда следует справедливость /1.5/, так как в противном случае для достаточно больших " Fft, « •> <* + f f что противоречит предположению с/» = еХ . и -о

Таким образом, осталось рассмотреть случай ,

Ffx) удовлетворяет утверждению 2/ леммы 1.5.

Зафиксируем А/> О , г > о . Можно считать, что для всех п яр /F(x) - F„(x)l ,

F'{a/) > О , F"{/v) > О , F"Y,V) ,

FH'{A/) > о , Fh"(/V) 7 о , F„ "(/v) ±om

Число M можно выбрать настолько большим, что Ff/v) будет больше любого наперед заданного числа .

Если среди Fn fx) , /? =1,2,., найдется подпоследовательность функций, монотонно возрастающих при Х&// , то из тождества

F(f, А», 4*) - ЫсЛ следует справедливость /1.5/. Поэтому можно считать, что для каждого /7 найдется точка Л)" ^ А/ такая, что F„'(x?)=o% Это, в свою очередь, означает, что функции Я, М при достигают /и притом в единственной точке/ локальный минимум, Действительно, так как F(x) удовлетворяет утверждению 2/ леммы 1.5, то есть

F Го)

Я'/О) то можно считать, что для всех

Так как /£ (х) > О при х&О , то функция fc'fx) не может иметь более трех нулей и, следовательно, при x*Xf F, (х) имеет единственную точку локального минимума. Далее, существует > Xf , т =1,2,., такие, что F'(*») 9 и ? X? , я =1,2,., такие, что .

Понятно, что jf* £ гч, .

Покажем, что последовательность Н» , у? = 1,2,., ограниченной быть не может. Действительно, пусть, напротив, найдется постоянная X > О такая, что для всех /7

Fn(2~U & к.

Из /1.1/

Л/у. -/^'//у -£yaj-a. + ffj.e» - /к7% или

Так как то в,'(у.) - ' поскольку fo*0 , то можно считать, что и для всех /7

Если ^n-fi , * - 1,2,., не ограничены равномерно по /7 , то ввиду положительности />Г М при х^р»

Fh Ш - ь /уJ = /V^V* * ■ £ (ft.) или

2 sec? (izzZ» /JJ^J j = ^ . л?

Так как О с F^ ty) = ■ + 4) / то значит, л** /F„ С-в*,)/=, что противоречит сделанному ранее предположению. Таким образом, существует постоянная М >О такая, что для всех >7

Л?„ /

Далее, о с 2 -в, = Yzjf а, значит, гуА; * - AJbL * AM .

Поэтому из /1.6/ следует, что л " то есть без ограничения общности можно считать, что г- о» .

Т0ГДа -b'W - я'(*„■)-Fn'(?») = Д < &-#.) г* f* С-М-Fj'f^)

Из /1.6/ * /fj- ± с. м• f"(г*)-+• fbM^h&K г или а, 4 с'лг + § -у*) что невозможно ввиду равномерной ограниченности г* ,

Таким образом, доказано, что f {-2») - ©о .

Без ограничения общности можно считать, что h -=> j^o -Л

Через jf , J^ , щ =1,2,., обозначим такие числа, в. an = ^ г//У =

- V) v < £ * а. < £

Эти числа определяются однозначно при достаточно больших п , а значит можно считать, что они определены для всех П . г"

Пусть f3 , /7 =1,2,. - точка локального максимума функции fit*)»

Если fn"то

Ifi Ъ (&")l 2 /Fn (§*) - (£)!-*> + при H +CXO .

Пусть fh (ft О. Так как /£"(у* + п ■=><> , то можно считать, что с* S с +

Jf d* 2.

Тогда вввду положительности F>ff(x) при

Далее, Jz

Таким образом доказано, что /Г^7/,7/ = ^ У&Я'глу/ - - — ■

1 о-»

Но это невозможно, так как либо

- /а», h 00 при ' либо fF'ft,при *-•><=><=> , а по предположению /3* -/3

Таким образом неравенство /1.5/ доказано в предполох-се-нии, что г

7Z

Пусть теперь fa =• - . Случай = о невозможен. Случай <2о о рассматривается совершенно аналогично предыдущему. Если же £ О , то

F(x, ?о) = при X -*> о° .

Функции

F(r, , n = 1,2,., неограничены снизу в совокупности:

F„(x) — - <=*=> Х90

Так же, как и в случае fo^-^r » получаем: lF'(f, f»- Fj(fj/ ->+<=><> при , где - точка, в которой ^'"ю -о.

Так как f'ff= ft* —>/3 при /?-*&<> , то полученное противоречие и завершает доказательство теоремы. Теорема доказана. 2

Заметим, что . Действительно, пусть

-4,о) & OZ . Тогда что невозможно ввиду леммы 1.2.

Следствием же теоремы I.I является существование такого положительного числа £ , что

0гп{ы./*)1 +/зг = * .

Теперь мы приступим к описанию функций F(x) ~F(x, Arf) при всевозможных параметрах & и £ . Поскольку для всех К 7> О то нам достаточно рассмотреть функции

F(x,a, /) и F(x, л, -г) при й е^/ос.; и F(x9±f,o).

Введем несколько определений.

Через Л1 будем обозначать множество тех параметров glc-JT , для которых F'(x) равна нулю в единственной точке у-у(а) причем F(<f, CL,-f) ^ .

Множество параметров лг-Jz , для которых Flfir') равна нулю в единственной точке g ^fffa) > о , причем

F(y, <г, -/) > , обозначим через Лг , если функция F(x, а., -{) удовлетворяет утверждению I/ леммы 1.5, и через J2.3 , если F(x,a., удовлетворяет утвервдению 2/ леммы 1.5.

Наконец, через обозначим совокупность параметров а <- \/Т ,,для которых FCxtO., -/) имеет две точки локального минимума, а через JZj- - те А с-/Г , для которых Ffaa.,-/) имеет один, a -f) - два нуля при X > О

Теорема 1.2.

I/. Функции F(*> t) при и 6 являются монотонно неограниченно возрастающими при Х^О , причем Fff(x,a.,l) у О При всех сь^Го,***) и х*о 2/. При а. <? о) функции F(x, a, f) и F(x,-f,o) имеют положительную при х 5? о вторую производную и единственную точку локального экстремума - точку локального минимума.

3/. При a функции Ffx?6t,-f) , FYxjA, -/) ,

F"(X) Ol, - положительны при у у О . 4/. При а , функции F(x,a, -/) имеют единственную точку у локального минимума, причем

F(y, л,-О * -4s~

5/. UЛ. — (-причем все множества J1L , с - 1,2,3,4,5, непусты.

Доказательство. Сначала покажем справедливость двух первых утверждений теоремы. Заметим, что

Fu(ot <z, г) = .

Если хотя бы в одной точке у л, f) =0 9 то F~M ^ f/r'te)]2- +2 о Ч

Значит, для всех о и для всех а. еС-^ > . Аналогично для всех у* о о) * О.

Отсюда следует справедливость первого утверждения теоремы. Ввиду положительности F"{x} а., /) при а. £(-<><=>, о) , существует и единственна точка такая, что f) = о .

Понятно, что это точка минимума функции F(x,<z, f) . Таким образом доказано и второе утверждение теоремы / справедливость его для функции F(xy-f,o) следует из тождества

F(x, €, f) = F(/<?/*, - f, £) для всякого / ^ О и того, что для всякого /V е (о, о=>) f FC*FCx,-Oo-)J[ =о

Третье утверждение теоремы следует из леммы 1.2 и того факта, что при а, > * /2*

Пусть ае(о, х/?). Тогда F f О) г. О и F (О) . но утверждать, что найдется точка такая, что и F'(*) > О при хб[Ъ,уо). Действительно, если это не так, то, ввиду леммы 1.5, найдется точка такая, что а, значит,

F .JL(FYt)- F'fa ~ F'fa ■ (Ffi) + 4)) <■ о, что невозможно в силу леммы 1.2.

Поэтому найдется точка tf^jf* ' в К0Т0Р°й

F'fy)-0 , f7/)>o и Fmfy)>0 .

Далее, из получаем:

Ffy)

Понятно, что при х-ъу F'fx) >0 и, значит, у - точка минимума функции

Ffx) .

Если а. 6 6-i/T, о) , то

F'fo) со , F"fo) * О , F'Yo) то .

Ввиду леммы 1.2 F^fic) О при х&о . Поэтому только в одной точке у? О FYy)-0 . Отсюда и из леммы 1.8 следует справедливость четвертого утверждения теоремы.

Из определения множеств Л; , t = 1,2,3,4,5. следует> что = £ л.

Осталось доказать, что все эти множества непусты. Так как F(х-, -/Г^, —f)~ -/Гх > то в СШ1У леммы 1.8 (-/Г-F, -/Г) cz для достаточно малого € у о Легко убедиться, что

F(y, ? -2) = - £[/- е

Поэтому е~Л3 .

Рассмотрим функцию Ffx, о) . Ввиду уже доказанного второго утверждения настоящей теоремы существует и единственна точка у локального минимума функции F(xt-ft о) , Покажем, что Ffa-fjO) y-lf .

Действительно, если это не так, то найдется точка £-еСо,у) такая, что

7*., - f, о) = и F'fo -^o) < о а, значит, что невозможно /лемма 1.2/. Из тождества f{/я/*,/*/ j и леммы 1.8 следует, что непусто.

Поскольку функции F(x, /) сколь угодно "близки" друг к другу при достаточно близких значениях параметра /лемма 1.8/, а (-4, о) 4 /то есть из -г) = следует, что Ffy, а.,-*/)^ О /, то непусты и множества и -JI5- . Более того, для всякого tf&O найдется число CL £ —/Г такое, что функция достигает значения Af как свой локальный максимум. Отсюда следует, что задача/1.1/,/1.2/ при имеет, помимо О , еще хотя бы одно решение. Теорема доказана.

Следствие. Решение задачи/1.1/,/1.2/ при = о неединотвенно.

Далее, заметим, что вопреки §2 главы 3 [5], семейство функций F(x,a,-f) не является монотонным по <2~ , то есть неверно, что

F(x, <Z<, f) У F(x, <) при a,7>6Lz , x>o .

На самом деле,

Ffx, a, f) ~ Ff/a/x, Jrr > Так как -j = О , && то ввиду лемм 1.4 и 1.8 для всяких чисел //г-?0 , Л^-гО ц найдется число a.<-/Yf такое, что feyo Ffx, a., -f) > , ozx&s что и опровергает монотонность.

Итак, задача /1.1/, /1.2/ может как не иметь решение, так и иметь их несколько. В работах Гз], £б] на основе численного расчета проводилось определение параметров ^ при /3 =о и параметров при ^ - о , для которых задача /1.1/, /1.2/ разрешима. Также исследовался вопрос о числе решений этагх задач.

В Гз] был предложен следующий алгоритм. При фиксированном значении параметра а вычисляется функция

F(x,a,-{).

В окрестности начала координат F раскладывается в ряд

Тейлора <><=>

F(x,a,~i) ^ ъх1- /1.7/

Рекурентные соотношения на коэффициенты , с = 1,2,., были указаны выше/. В зависимости от значения оценок радиуса сходимости рада /1.7/, при некотором Х- Х> проводился переход к счету методом Рунге-Кутты с использованием полученных в точке xf значений F , F' , f" . Вычисляя таким образом F и F , находим такое, что Я или ft такое, что f'W = ft > ' где F> и Ff фиксированы. При заданном F> таких точек , очевидно, не более четырех.

Тогда функция — F(^cK) является решением задачи

1.1/, /1.2/с f = ~{foZ/2 , <Х =- F0 , а функция *?z(x) - Ffe/x) является решением задачи /1.1/, /1.2/ с , .

На основе указанного метода были построены графики зависимости от FYo,a,~j) -а, € (-2, Л ) /рис. 3 [з]/ и <1}(t) от F'faa,-?) /рис. 2 [з}/.

Согласно рис. 3 [3]задача /1.1/,/1.2/ неразрешима при fi-O , достаточно близком к -4, что следует и из полученных в настоящей главе результатов.

Кроме того, можно показать, что поведение графиков функций F и F' вблизи точек f7o,cl, ~2)=<z =- i такое, как получено с помощью вычислений на ЭВМ в £з]. Рассмотрим, например, функцию

FM « г(х, а., -{) при а € (о, f) . Тогда F'fo) О , ,f"Yo)^0.

Заметим, что обязательно найдется точка X* ^О такая, что

F'M =• о , F'%) о .

Действительно, если это не так, то существует точка Хг?о такая, что

F"(*z

Ь) = О , F"(Xi) , /г(у2) 7 о. что невозможно. х1 - точка локального максимума функции f(x) . так же, как и при доказательстве теоремы I.I, можно показать, что существует точка Xz такая, что

F'frz) = 0 , fYxz) у о , f7x2) , .

Через 2- % •? о обозначим точки, в которых

F(*) = Ffy) = о .

Заметим, что F'YxJ^O при x£f>(f,yj. Действительно, если через обозначить точку, в которой то из равенства

2хг F°"}(x,) - F'M f7x3) следует, что f'(x3) = f7x3) = то есть F"(x) £ о при х£ (xfjx3) и, в частности, Г "fx) £=0 при xe(Xr,yJ . Поэтому fYv) - Ft*)-*™ = -2 ' f-Xt

Если cz. стремится к I, то F(xf) стремится к v-<=»■=» / по лемме 1.8/ и ища-*, .

Это и означает, что нижняя ветвь графика, указанного на рис.2 [3], "уходит" на - о® при F'(o) стремящемся к I.

Аналогично можно объяснить поведение и других ветвей графиков, указанных на рис.2 и 3 [3] при F'(o) достаточно близких к ± /

глава 2. устойчивость стационарные решений! задачи /о.ю/.

1. tfcMt^a,» Ао^ел. J). /) Си/о - Sov&x jCo&c&os? of ?7a(,ifceb. — e^ost^co/JS. - J~. АеъоГ/эсьое

2. Смульский И.И. Исследование гидродинамики вихревых камер: Дис.на соиск.учен.степ.канд.техн.наук. /01.04.14/.- Новосибирск, Б.и., 1979.- 191 е.- В надзаг.: АН СССР, Сиб.отд-ние, Ин-т теплофизики.

3. Зеленяк Т.И., Кислых В.И., Проворова О.Г. Об одной модели динамики газа в приосевой зоне вихревых аппаратов.- В сб.: Динамика жидкости со свободными границами /ДСС, в.46/, Новосибирск, 1980, с.33-45.

4. Волчков ЭЛ., Кислых В.И., Смульский И.И. Экспериментальное исследование аэродинамики вихревой камеры. В сб.: Структура пристенного пограничного слоя. Новосибирск, Ин-т теплофизики, 1978, с.101-126.

5. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981. - 366 с.

6. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Об одной нестационарной модели вихря. В сб.: Нестационарные проблемы гидродинамики /ДСС, в.58/, Новосибирск, 1982, с.14-26.

7. Зеленяк Т.И., Капитонов Б.В., Сказка В.В., Фокин М.В. 0 проблеме С.Л.Соболева в теории малых колебаний вращающейся жидкости. Новосибирск, Б.и., 1983. - 20 с. - /Препринт/ ВЦ СО АН СССР; 471/.

8. Могилевский И.Ш. 0 разрешимости краевой задачи для одной нестационарной системы уравнений в частных производных. -Beстн.ЛГУ, 1975, ЖЕ9. Сер. математика, механика, астрономия,вып. 4, с.32-39.

9. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

10. Белоносов B.C., Зеленяк Т.Н. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск, НГУ, 1975. - 155 с.

11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -3-е изд., стереотипное М.: Наука, 1970. - 331 с.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

13. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. -455 с.

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

15. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1977. 504 с.

16. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427 с.

17. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего типа. Тр. МЙАН, 1965, т.83, с.3-162.

18. Ивасишен С.Д. Изучение матрицы Грина общей неоднородной параболической граничной задачи. В сб.: Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1971, изд-е Института математики АН УССР, с.3-74.

19. Белоносов B.C. Асимптотическое поведение решений краевых задач для параболических систем: Дис.на соиск.учен.степ.канд. физ.-мат.наук /01.01.02/. Новосибирск, Б.и., 1974. - 95 с.-В надзаг.: СО АН СССР, Институт математики.

20. Кейльман Н.Э. 0 некоторых свойствах уравнений, описывающих вихревое движение вязкой жидкости. В сб.: Нестационарные проблемы гидродинамики /ДСС, в.58/, Новосибирск, 1982, с. 60-72.