О разрешимости уравнения свертки в некоторых пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ _ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ_

Специализированный совет 1С 063.52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

МАЛЬЦЕВ Игорь Михайлович

I

О РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ СВЕРТКИ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ

0i.0l.0l - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1992

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю. Ф. Коробейник

Официальные оппоненты: д. ф. -м. н., зам. директора Института

математики с Вычислительным центром Уральского отделения РАН Р.С.Симухаметов к. ф. -м. н., докторант математического института РАН им. В. А. Стеоова , -С.В.Знаменский

Ведущая организация: Московский Энергетический институт

Защита диссертации состоится "Л? " а^Ъ1992г. в " ^ ~ " ка заседании специализированного ссшета К 063.52.13 по физико-катеиатшесккм наукам в РГУ по адресу: 344104,» г.Ростов-на-Лрну, ул. Р.Зорге, 5, мехмат.

С диссертацией ложно ознакомиться в научной библиотеке РГУ С ул. Пушкинская, 148).

Ученый секретарь специализированного совета профессор

С.Б.Климентов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопрос о разрешимости уравнения свертки Lay = f в различных пространствах аналитических функций стал объектом исследования математиков в первой четверти XX Бека. Им занимались многие советские и зарубешьв математики (А.О.Гель-фонд, А.Ф.Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, В.В.Напалков, 0.3.Епифанов, В. А. ТКЗЧВНКО, С.В.Знаменский, В. В. МоряаКСВ, H.Muggly, ït. P. Boas, В. Mal grange, A. Martinean, L. Gruirían И ДРУГИе). Оператор СБврТКИ

La с характеристической функцией a<z>- целой функцией экспоненциального типа Cu.ф.э.т.) можно определить на множестве аналитических функция как интегральный оператор с ядром, зависящим от разнести переменных:

Здесь контур г ЕЬбирается гак, чтобы при фиксированном г он лежал в области аналитичности, подантегральноя функции; фикция, ассоциированная по Борелю с асю. Интерес и этим уравнениям определяется тем, что они находят пршгашния при исследовании многих задач комплексного анализа.

Настоящая работа посвящена вопросу об зпнкорф-юстн оператора сезрткк эдо+ж) —»яесо) в лрэдгюлоЕЗНиях, что зсз>-ц.ф.эл., О- произвольное связное кншастхо в с, з- сощшнзшхя диагранка функции ас=>. ¡Сак обычно, Я*©- пространства ростков функция, аналитических на а. Отметин, что ранее данный вопрос рассматривался в случаях, когда О- область, занъианиз ограззсчзк-ноя области, ацикличное кноевство (то есть одкэсвязная область

С

иди дополнение до одюсвязнок области) или произвольная отрезок прямой.

Цель работы. Получение едитериев эпиморфности оператора свертки и разработка кетодики применения этих критериев к конкретный пространствам аналитических функций.

Методика исследования. Систематически используются метода работ О. Ф. Коробейника, С, В, Знаменского и 0. В. Епифанова о разрешимости уравнения свертки, освдв&ше на синтезе идея функционального анализа и теории целых функция. Привлекаются результаты топологического и геометрического характера, связаннье с вопросами связности, классификации граничных точек выпуклых множеств и их свойств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, получение б диссертации, носят теоретически характер и является новыми. Они могут быть прикеюны к решению операторных уравнения в свертках и систем таких уравнения, а также к тек задачам комплексного анализа, е которых эти уравнения встречается. Апробация работы. Основньв результаты диссертации докладывались на научной семинаре кафедры математического анализа Ростовского Госуниверситета; на 5-ся Саратовской зимнея школе по теории функций и приближении (январь-февраль 1990г.); на 3-ея СевероКавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, сентябрь 1991 г.); на региональной конференции "Ядерные пространст--ва Фреше и их приложения" (Архыз, сентябрь 1991 г.). Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, две из которых выполнены в соавторстве с Ю. Ф. Коробейником С автору принадлежат и вклхчены в диссертацию §§7-11 из [1] и §4 из [2]). Слисок работ приводится в конце автореферата.

Структура и объеи диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, списка часто Естречахадихся обозначения, трех глав, списка литературы из 51 наименования и шстм рисунков. Объем диссертации - 118 страниц шаиногисного текст?.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены необходима определения, кратко изложена история вопроса, описаны основнье результаты диссертации.

В главе 1 установлены критерии зпшорфисти свертки для ряда специальных ююйеств из с и получен набор необходимых для зпикорфности оператора условий.

В начале §1 приводится критерия зпикорфности оператора свертки для случая, когда многество О совпадает с С:

С) - ЯЗС С) аСОЗ «» 0. (1)

Далее доказывается, что в случаях, когда кнонаство а содержит бесконечно удаленную точку или дополнение <3 до с га является связным и а(г)-ц. ф.э.т., справедлив критерий:

Ь^Щ 0+3) - ЗДО) ♦♦ а(2) - СвтрС аг), С,«еС, С*Ю. С 2)

Критерии (1),(2) позволяет нам в дальнейшем рассматривать лишь случаи, когда а - односвязное множество в С, то есть, когда множества <2 и сча связны.

Результаты, приведанныз в 51, имеет несложные доказательст-

ва, огшракшиеся на 1ктоды работ ИФ. Коробейника1 и некоторьв рассуждения топологического характера.

В §2 описываются некоторые свойства граничных точек выпуклого шовества (из С) и доказывается, что е-расширение любого закккутого ограниченного выпуклого мнонэства (из С) гладко в каждой точке своей границы при любок е>0. При этом, множество а называется гладош в точзсв и сЕоей границы, если опорная прямая к л, проходящая через и, единственна.

В §3 доказывается лета согласно которой любое множество кз с ломаю представить в виде объединения его линейных компонент (я. к.).

Напомним, что ынокество Dec называют линейно связным (л.е.), если для любых двух точек кз D существует непрерывная путь, соедкнявдий эти точки к лежащий в D. множество Е называет л.к. множества D из с, если Е л.с. к если для любого л. с. мно-KSCTEa EjCD зз вжлхмзния ЕсЕ1 вытекает, что Е=Е1.

Результаты §¡2.3 косят вспомогательный характер.

Основной результат §А сформулирован в виде следующей леммы.

йеыни 1.4.3. Пуааь Q- ¿.с. жюизсяЗо в С с л. с. дапо/кзчивл до С и при нэкяххгрёх зкачэнияг (f-, гей дхахеапВо (£fr,q>):Hz sQ: Reizsxpt-up^izr} не ввлязася л.с. Тогда £z' ,г"£.0£(г,<?)ПЗ^С-т,<г»-х): z.' и z" прикаЭлеяля poswwus л.п. £}lQS3CZ&a (^(г,?) и одной А.К. 0*(~Г,<?+71).

1 Корабейож О.Ф. Суцзствовгние аналитического решения диффз-рзнцкалького ураннзнш бесконечного порядка к к&рактер его области аналкгичкосгн/Л!аг.сб. -1939. -Т.80С 122). -S. 52-75.

Он играет клшевую роль при доказательстве того, что условие л*сд[<23 необходимо для эпиморфности оператора Ьа> Здесь л*-ввзденная Ю. Ф. Коробейником в вшеупомянутоя работе, совокупность предельных точек последовательности /»{-оггтА^}, где нули

а(-г); а! — совокупность направления шпухлости множества 0, то есть, таких что для любого гей множество о£(г,<р) связно.

В леммах 1.4.4, 1.4.5 доказано, что если О- односвязная область в с или линеяно связное множество из с, обладавшее линеяно связным дополнением до с, то понятия направления выпуклости и направления линеяноя выпуклости множества <2 совпадают, то есть имеет место равенство <?й[<Э] = <?£0]. Здесь совокупность

направления линеяноя выпуклости множества <3, то есть, таких ото для любого ген мноквстбо <3*сг,ч>; л.с.

Доказательства результатов §§2-4 проводятся топологическими и геометрическими методами.

Наконец, в §5 выводится ряд условия, необходимых для эпиморфности оператора свертки. <?

Перед их ^юрмулировкая . ведем следующие определения и обозначения.

Пусть 0- односвязное шжэстео из с, г, »ее, <рей, с>0, /ЗеС О.зг/2); Г- совокупность всех 2л-перкодическнх функция, деяет-вущих из я в С0,я/2), З'сГ; р- метрика в с. Полоним

ЕеКг-кЭагрС-фЭЬО, 7п[Сг-м)охрС-ц?)]>0>,

из ?СсЭ»{«€С: {?0[Сг-и)&грС-«р>]>О и г, *)<£},

[2,и] » { и « С1 - ТОг * А», 03^1 >, =« { и = (1 - «г + Ъ>, ОзЛ<1 >-

Символ СЮ обозначает замыкание кношства а в с, а рго : - сю п сцс\0)- границу о.

Следущка два определения играют существенную роль в работе.

Направление назоЕеы направлением правосяарспаей

кбазьнэвгтуклости. СН1Ю множества й, если ЗгеОпРгО: либо ЗмеС?гОЧО)пН*Ср): 1г,и]сКгС! и >Л/е[г,*0 дс>0: ?СеЗпО=0, либо н'срэсопрга и 3с>0: и, ^согуь».

Направление 9ей назовем иаяравлекизд, левосторотюй кбавшювъзпукдосяи (Н/Ю множества 0, если ЗзеОпРгСЬ либо ЗиеСРгО\а)Г£ССр): [г,и]сКга и Ууе[г,ю 3г>0: ^СеЗпо^с?, лкоо 1ГСр)сОП?га и УуеН~Ср)и{2> 3£>0:

Введем следующие мкоезства в Е:

с^.^+рэ, если <?-НШ: мкокаства О, 0 , В прогивши <;луЧ22,

Ср-р.^э, если 9-ШС множества а. 0 , в противном случае,

Орф » ОГ^ и 0-С93. О,

Основньин результатами первой главы является следухщие две теорем

Т в о р е и а 1.5.2. Если 0 и С\0 - л.с. ¿нохэспба, да ЦИМ) - ЗХШ * 1) С <?[Ш, 2) ЗусГ: О П Л* ■ 0.

Т е о р е и с 1.5.2. Если а - оЭншвйзноэ ¿¡«оеэспйо 6 С,

т а

- ХШ =г> ЗуеГ: су Л Д% 6. При юс доказательства использушся иетоды , развила

- я -

Ю. ф. Коробейником.

Во второй глаЕе диссертации рассмотрены достаточные условия и получен критерий эпиморфности оператора свертки La, в предположении, что характеристическая функция a(z) имеет вполне регулярный рост (в.p.p.). Этот критерий применяется к некоторым конкретным пространствам аналитических функция.

Условия. обеспечивающие эпиморфность оператора получены в. предаолоквнии, что множество Q обладает одним из следувдих сеойств:

С в о Q с г в о (Р): V^eDIQ] УуеГ HSeDlQ): DSc^. 2)B*IQ1: = <7°tQJ\Q_ с д[$].

о а

Свойств о (Р): V^eWQ] yj'sr SSteDlQ]: iJ^c^.

4 u

Здесь D[Q]- совокупность всех односвязных областей, содержащих Q.

о

Т а о р е а а 2.1.1. Пусть зСгЗ- ц.ф.э.я.в.р.р., Q- одно-

сдшное /шхесяво в С, облаЗащее свойстг£ол (Р), К' с (^[Q],

__ й*

ЗуеГ: Q п Л = г?. Тогда L SfCCWSi - SECQ).

у а

Теорем а 2.1.2. Яусяь aCzJ- ц.ф.э.п.в.р.р., 0-одчосвязнсе лнозэспво 8 С, обмзЗсхг~ээ свсОсгЛал CP), Л с qiСЗ, ЗусГ: Q п а" я. Тогда L SKCWO - DSCCD.

о а

Сопоставляя результаты, получвнныз в теоремах 2.1.1 и 1.5.1, приходим к первому критерии зпнкорфности свэрткк, являшзмуся осноеныи результатом §1 главы 2:

Т с о р с и а 2.1.3. Пусяь аСг)- ц.ф.з.а.в.р.р., Q ц С\С-

л.с. мнохвстВа, 0 обладает свойством (Р). Тогда

ш А

I зесо*2э - <* з;л с дссп, 2)зуеГ: о п л ~ 0.

э о

В §2 приводятся результаты Ю.Ф.Коробейника2, В.В.Напалкова л И.А.Рудакова3 о разрешимости уравнения свертки в случае, когда множество <Х является произвольным прямолинейным отрезкам в с. Они дополняет результаты, полученные в диссертации. Кроме того, здесь же описывается использованных Ю.Ф.Коробейником метод (той же работы) построения вспомогательных областей для прямолинейных отрезков, который в дальнейшем применяется в видоизмененной форме, в более сложной геометрической ситуации.

Далее следует §3, в котором мы проводам построение вспомогательных областей для выпуклой кривой.

В оставшихся трех параграфах (§§4-6) главы 2 приводятся примеры множеств, удовлетворяющих свойству (Р), и формулируется соответствующие критерии зниморфности оператора свертки 1-а.

В кавдок из рассмотренных конкретных случаев, доказательство того, что мюййство а обладает свойством (Р), проводится конструктивно, то есть, по фиксированным области !?1еБ[Ш и функции уеГ, строится область §еО[Ш, удрвяетворявдач необходимым условиям.

Коробейник D.4. 0 разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций // Ыатем. заметки.-1931.-г.49, £2. -С. 74-63. .

3 Напалков В.В., Рудаков H.A. Оператор сЕертки е пространствах вещественно аналитических функция // Матем. заметки. - 1ь91,-т. 49,ЙЗ. -С. 57-55.

Привадам осковньв критерии, получению в §§4-6.

Пусть i - кривая в с, задаваемая уравнением z»Wt). где t принадлежит промежутку 9 вещественной оси, одного из сяедувдих видов: (с,d], Ce,d], [c,d3, (c,d), -oo<c<d<+». Здесь функция Mt) определена и непрершна на $ л удовлетворяет условии: уц- при t/ist"'. потребуем, чтобы кривая ( обладала линей-

но сеязным дополнением до с и удовлетворяла условию: 3<s>0: {2=XCt>, teCC.C+S)}, {Z=XCO, isCd-S,d)> есть внпукльв КрИБЫЭ. Тогда для кривой i однозначно определяется ее вонцы (конечна или бесконечно) ^»«с), w2»?ld) (здесь Х(с) и J(d! понимается как соответстзущке предельные значения). Так определенную кривую i будем называть выпуклой вблизи концов.

Т d о р о м а 2.4.1. Пуспь I- произвольная, бгту.ися вблизи, концов кривая, a(z3- ц.ф.э.ъ.в.р.р. Тогда

L £?Сг+ЗЭ - CÍO « 1 )А'' С , 2)ЭУСГ: t П Л° « р.

л т

Г о о р 0 i: а 2.5.1. Пуст.ъ заеннупое бъяугиое .sHossar£o U' из С и кхюз-лиДо под&юхесг.&о Е его границы гаксвы, чгго lí=U'\E-л.с. ¿ногеагЗо. Пусть, далее, aCz3- ц.ф.э.т.в.р.р. ТогОа

L гсич-53 = XCID в С <7[Ш, U О Л* =» я. .

а с

Т а о р е ц а 2.6.1. Яуспь MfcC;- хнохстЗо, голхгсекчоэ из ваддаудего ¿эюгауголъкшеа пу.гол удаления кэкахорой части ого гроащ>л, а(г)- ц.ф.э.п.в.р.р. Тогда

L ЯСМ+Я) - ЯСМ5 «> С cttí], 2)--yaV: П П Л* п а.

a w

Крохе того, в £5 выдвигается гипотеза л, а силу которая тобой односвязное множество Q из £ обладает сеопстбои CP), и приводятся примеры друг ж! нноквстз (отличнк< от ого-кскша з теорз-ках 2.4.1, 2.5.1., 2.6.1). удовяетюряокзос-свойству CP).

В последней главе ш отказываемся от требования вполне регулярного роста характеристической функции aCzD оператора свертки La и вводим новые свойства одкосвяэных мношств из с.

Пусть s(-0)- опорная функция множества ciCcnwQ с CotwQ-выпуклая оболочка множества Q), £tQ]=intR{eeK: ¿"(©НйСОХ)} СintjjjA- внутренность множества A), ct[Q]=i©elR:• gi©)=+«}.

Свойство (Р' }. VJ^eDIQ] УуеГ 3!?eD[QJ: Ше^, 2)&[Q] с q[$], 31В IQ1 <i[QJ n С-<7°[(2Ш Ч С-Oh с £{£].

во f

Свойство (P- ). V^eDtQ] vyer 3geD[Q]: Шс^, 2)В*ГСН с qtg], 3)B [Q] := C5[Q] П С-дСОШ \ C-Ch с 5Ш.

в a T

В §1 главы 3 устанавливается следующие наборы условий, обеспечивающих эпиморфность свертки.

Теорема 3.1.1. Пусть Q- односвааное множество us С, облаЗащее сбоОспвол (?'}; fcxfl Q]; XcC-q°(Q]3nC6[Qlux[Q]) ; ЗуеГ: Q плв=0 и aCz) имеет в.р.р. на лучах z=reipC«f>3, г>0,

О

^е-С^,. Тогда 1а-зтшлорфизл ЖССМО wa SfCQJ.

Т в о р е и a 3.1.2. Пусть Q- односвааное мнох&ояво us С, облавахярв свойства» CP'); A*cql Q]; Q]3nCS[Q]UCX[0]); ЗуеГ:

Q гл%йг u aCzD ti*eea 6.p.p. на .«/чаг z=rexp(.tip), r>0, <pe-Q*. у »

ГогЗа L -згтлсрфизл ХСО*Ю на «(.CO. а

Здесь я- множество направлении (лучей) не вполне регулярного роста функции a(z3.

Ыетод доказательства теорем 2.1.1, 2.1.2, 3.1.1 и 3.1.2, касающихся. достаточных условия эпиморфности оператора свертки,

опирается на возможность применения критерия О.В.Епифанова4 эга-морфносги оператора свертки в произвольных областях комплексной плоскости к соответствупдим односвязным областям, содержащим

мнонество а.

Сопоставляя утверждения теорем 1.5.1 и 3.1.1, приходим ко

второму критерию зпиморфности свертки, являхщгкуся основным результатом §1 главы 3.

Т е о р е и а 3.1.3. Лустъ О и С\0- л.с. янахвстба, О обладает свсвствал С?') и выполнены условия: Л с <—<?Е 033 П С$[0] и «1Ш>; ЗуеГ: аСг) илеет б.р.р. на лучах г^гехрОлр), г>0, Тогйа

ь жо+ы « эксо <* ил*г^у^еГ: а пл*»®.

В §2 исследуется связь кезду свойствами (Р) и С Р'). Доказательство основного результата этого параграфа проводится при помощи предложения 3.2.1:

Пусть <3- одиосвязное хнахество в С, овшянов оя всчки и првлолияеОного трввш, ^еОСО], уеГ. Тогда 0]; Ус^,

Доказательство этого утвзрадвния довольно слошо и носит в основной геометрический характер.

Используя это предложение, легко установить следукщй С основной) результат: если односвязное множество а отлично от пря-

4 Епифанов О.В. Критерия эгшорфности свертки в произвольных областях компленвноя плоскости // Матем. заметки. -1982. -т. 31, .»В. -С. 695-705.

нелинейного отрезка и точки, то свойства (Р) и (Р') эквивалентны. Он позволяет нам заменить в формулировке второго критерия злиморфности СЕертки свойство (Р') менее громоздким сеойстеом (Р) и сформулировать в §3 соответствующие критерии, применительно к конкретным пространствам аналитических функций, рассмотренным в §§4-5 главы 2:

Т е о р е и а 3.3.1. Пусть 5- одно из следующих множеств: произвольная бшуклая вблизи концов кривая, отличная т прямолинейного ащювка, содержащего по крайней лвре один из обеих концов; произвольное выпуклое лнохест&о о нвпустой внутренностью без насш границ; произвольный залкнушй многоугольник без часки своей границы. Пусть, далее, а(г)- ц.ф.з.т. и выполнены

л,

условия: ЯсС-д15])п££15}ия[5]1, ЗуеГ: аСг) шюет б.р.р. на лучах 2агвхрСир'), г>0, ^е-51. Тогда

I. = КС г) 1) Л* с <?[5], 2) 3 3» е Г: 5 п Л* = 0.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю О. Ф. Коробейнику за руководство работой и постоянное внимание.

СШССЖ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О разрешнкостн уразнаюй СЕзртки в комплексной области/ Кор^еяннк Ю.Ф.,Мальцев И.М. Рост. ун-т.-Ростов н/Д, 1939.- 45с.-Библ.24 казв. -Рус. -Дз'й. в ВИНИТИ £Ю05-В89 от 10.05.89.

2. К вопросу о разрешимости уравнений свертки в некоторых классах аналитических функций/ Кйробейнж Ю.Ф., Мальцев и. а. Рост. ун-т. - Ростов н/Д, 1589.-14с.- Библ. 4 казв. -Рус.-Деп. в ВИНИТИ Й352-Е33 от 24.07.89.

3. Мальцев И.М. О необходимых условиях и критериях разрешимости уравнения свертки в пространствах аналитических следов на некоторых множествах комплексной пяоскосгк/ТИзвестия СШ ВШ. Естественна науки. -Я&1991), С. 38-42.

4. Мальцев И.М. Разрешимость уравнений свертки в пространствах аналитических следовУ/Гезисы докладов Третьей СевероКавказской региональной конференции. Махачкала, 1991.- С.100.

5. О разрешимости уравнений свертки в пространствах аналитических следов на некоторых множествах комплексной плоскости / Мальцев И.М. Рост. ун-т.-Ростов н/Д, 1991.-58с. Вибл. 28 назв.-Рус.-Дел. в ВИНИТИ J&512-B91 от 17.06.91.

6. Об эпиморфности свертки в пространствах ростков фунвдия, аналитических на связньк множествах из с / Мальцев И.М. Рост, .ун-т. - Ростов н/Д, 1992.- 80с. Библ. 48 яазз.- Рус.- Деп. в ВИНИТИ Ж241-В92 от 18.04.92.