О разрешимости задачи Стефана с конвектиным переносом тепла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ - АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ и ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 517,958.

АБИРОВ АККАЕЫЛ КУСАИНОВИЧ

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СТВША С КОНВЕКТИВНЫМ ПЕРЕНОСОМ ТЕПЛА

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико - математических наук

АЛЫАТЫ - 1997

Работа выполнена в Алматинском государственном университете имени Абэя.

Научные руководители - академик ИА РК.лзуреат Госпрвмии РК,

доктор физико - математических наук, профессор Ш.С.Смагулов, кандидат физико-математических наук С.Т.МухамСетжанов

Ведущая организация - Южно - казахстанский технический университет

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор М.А.АОдрахманов, кандидат физико-математических наук У.К.Койлышев

Защита диссертация состоится Ц1997г.

вна заседания диссертационного совета Д.53.04.01. при Институте теоретической и прикладной математики МНРК по по адресу: 480021, Алматн, ул. Пушкина, 125. О диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке ИТПМ МНАН РК

Автореферат разослан 1997г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д - 53.04.01. кандидат физико-математических • Кулахметова

Актуальность теш. В последние года возрос интерес к исследованию задач фазовых переходов при неизотермической фильтрации. Как известно, большое значение фильтрация имеет в нефтяном деле и теория фильтрации составляет целую область гидродинамики. С появлением мощных современных ЭВМ возникла необходимость построения математических моделей для описания процесса вытеснения одной жидкости другой, а такке разработки методов решения конкретных задач и их численные реализации на ПЭВМ. Кроме того, при разработке нефтяных месторождений термическими методами основную роль играют разнообразные задачи гидродинамики и теплообмена, и превде всего задача Стефана. При этом считается, что изменение агрегатного состояния пористой срэда под воздействием внешних и внутренних источников тепла. Передача энергии в каждой фазе рассматриваемого вещества описывается уравнением теплопроводности, а поведение границы фазового перехода, называемой свободной границей-условием Стефана. Последнее выражает баланс энергии при переходе среда из одного агрегатного состояния в другое. Ключевым условием на свободной границе помимо условия Стефана, является равенство температуры среда температуре плавления данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Это условие имеет характер аксиомы, так как не следует ни из какюс фундаментальных законов, по оно достаточно точно отражает многие реальные процессы. С другой стороны вместо уравнений сохранения импульса в теории фильтрации используется экспериментально полученный закон сопротивления пористой среда движущейся в ней жидкости - закон Дарси. Применение последнего в теории фильтрации полностью не отвечает всем требованиям разработки нефтяных мес-

торовдений.Многие процессы протекающие в продуктивных нефтегазо-пасыщенных пластах по физической природе более сложны. Известно, что в результате снижения пластовых и забойных давлений, нагнетании в пласты газов и пара, внутрипластовом горении и различных физико - химических воздействиях на пласты и призабойные зоны, осуществленных с целью повышения нефтеотдачи коллекторов.

Если при условиях, близких к термодинамическому равновесию, характерной величиной, определящей перенос анергии, является температура,то при отсутствии равновесия определяющая величина -объемная плотность энергии. Перенос энергии осуществляется в направлении ее наименьшей концентрации. Значение этого важного положения состоит в том, что с направлением перемещения энергии связано и направление перемещения ее материальных носителей.

Теоретические основы и математические методы моделирования при решении проблем, связанных с разработкой нефтяных месторождений, заложены в работах П.Я.Полубариновой-Кочиной, И.А.Чарного, В.Н.Монахова. А.Н.Коновалова, С.Н.Антонцева, Н.В.Хуснутдиновой, О.Б.Бочарова, Ш.О.Смагулова, Н.В.Зубова и др. А задача Стефана в различных постановках исследованы в работах Л.И.Рубенштейна, О.А.Олейник, Е.И.Кима, О.Н.Харина, Г.И.Бижановой, А.А.Кавокина, Д.Н.Шабдирова, И.Г.Гетца, И.А.Калиева, С.Т.Мухамбетжанова и др.

В данной диссертационной работе исследованы задачи фазовых переходов при неизотермической фильтрации жидкости в пористой среде и полученная задача представляет собой задачу Стефана с конвективным переносом тепла.

Цель работы. Основной цель» работы является исследование возникновения переходной фазы в задачах нвизотермичэской филь-

трации жидкости в пористой среде. Провести качественное исследование задачи Стефана с конвективным переносом тепла, установить разрешимость полученной математической модели в случаях сжимаемой и несжимаемой жидкостях.

Научная новизна. Установлена разрешимость задата Стефана с конвективным переносом тепла, получены условия существования пореходной фазы. На основе теоремы сравнения изучено асимптотическое поведение решения при неограниченном возрастании времени.

В массовых переменных Лагранжа исследованы разрешимость задачи Стефана с конвективным переносом тепла в случае сжимаемой кидкости и качественные исследования решения.

С помощью предельных переходов получена задача Стефана без конвективного переноса тепла, а также классическая разрешимость задачи Стефана с конвективным переносом тепла в целом по времени в переменных Мизеса.

Практическая значиыосгь. Исследование задачи Стефана с конвективным переносом тепла позволяет получить теоретическое обоснование о движениях парафшистой нефти в пористой среде и при транспортировке высоковязких нефтей. А также полученные результаты позволяют составить качественную картину фазовых переходов при неизотермических процесса^ фильтрации кидкости.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на юбилейной научной конференции посвященной 50-летии развития математики в Академии Наук Казахстана /г. Алматы,1995/, на региональной научной конференции по теме "Качественная теория дифференциальных уравнений и их приложения" /г. Актюбинск,1995/, па 1- ом съезде математиков Казахстана /г. Шымкент,1996/,на 1-ом Республиканском

съезде по теоретической и прикладной механике /г. Алматн,1Э96 /, на меадународном научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития науки и техники в области механики, геофизики, нефти, газа, энергетики и химии Казахстана" / г.Актау ,1996 /, на на мовдународной конференции "Математическое моделирование в естественных науках",посвященной 75-летиг академика АН РК, профессора А.Т.Лукьянова /г.Алматы,1997/, на семинаре лаборатории теорий и функционального анализа ИТПМ под руководством чл.-корр. АН РК, д.ф.-м.н., проф. Блиева Н.К., на семинаре лаборатории теории дифференциальных под руководством д.ф.-м.н.,проф.Умбетжанова Д.У. , на семинаре кафедры прикладного анализа АГУ им. Абая под руководством чл.-корр. АН РК, д.ф.-м.н.,проф. Отелбаева М.О., на семинаре механики сплошной среда под руководством академика НА РК, лауреата Госпремии РК, д.ф.-м.н.,проф. Ш.С.Смагулова, на семинаре кафедры уравнение матфизики под руководством д.ф.-м.н., проф. Темирбулатова С.И.

Структура в объем работы. Диссертационная работа изложены на 110 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, списка литературы из 93 наименований.

Во введении дается общая характеристика работы. Проводятся литературный обзор по исследуемой тематике.

Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней приведены основные функциональные пространства, теоремы вложения и некоторые результаты с теории параболических уравнений, которые применяются в последующих главах, а такте основные результаты по задаче Стефана без конвективного переноса тепла.

Вторая глава посвящена исследованию задачи фазовых переходов

неизотермической фильтрации несяимвемой жидкости.При этой основное внимание уделено к разрешимости задачи Стефана с конвективным переносом тепла и качественным свойствам решения. Исходя из общего соотношения механики сплошной среда в дивергентной форма моделируется один из вариантов задачи фазовых переходов в пористой среде для несжимаемой жидкости. Не умаляя общности искомой задачи второе уравнение относительно скорости вшдаости полностью не рассматриваются, ибо она определяется из условия несжимаемости.

В параграфе 2.1. приведено основное соотношение сплошной среда в дивергентной форме:

«ЭР

— + div(P«v - G) = X. (1)

at

В частности в законе сохранения энергии Р=р•U, где р- плотность среды;U - удельная внутренная энергия; v - скорость двиае-ния гшдкости, газа и т.д.; G =-q, где q = -ae-vQ - вектор штока; X = i(:r,t) - источник тепла.

Для уравнения (1) неонородной области Q = Q+ U Q~ U а, где о - часть поверхности Г^, а в Q+ и <Г функции G, ч непрерывно дифференцируемы, выполняется условия на скачке

[?>(?>V - Vv) - G'Vl а 0, (2)

где Vv- скорость перемещения сечения ГШ гиперповерхности Гт плоскостью it = const) в направлении норлали v к этому сеченив.

Условия (2) следуют из уравнений (1) и предположения о структуре движения. В самом деле.кавдое уравнение (1) эквивалентно интегральному тождеству:

ь

5ф дХ

НС - Р.*)-Уф - Р-^ - х-ф } От « = О. (3)

т

с произвольной гладкой финитной в Птфункцией ф.

Как указано выше из (1) в случав закона сохранения энергии получим относительно температуры следупцее уравнение

аи „

— + т^и = й1У(ае-Ув) + (4)

at

Всвду в настоящей главе V - скорость фильтрации считается известной полокитальной функцией. Для определения скорости фильтрации в случае нескимаемой жидкости налагается условие:

с11т т = О

я расход шеей:

г|г = ф(х, г).

т

Оказывается при конвективном переносе тепла основополагающим моментом является монотонность функций расхода смеси ф(х^). В одномерном случае из условий (1) получено

ШГ . «99

(ЩИ (I) + О.*) + Ь)(--Ь*фШ~ (*)•*>> = ае —«Г Ш-ОД), (5)

едх

* * + 60 +

ЩЛ+О;) - ОДН--Ъ*.ф№+т,г)) - к — (Я+(г> + ол). (6)

«И ь вх

где х в в*(%) являются линиями сильного разрыва, предел удельной внутренней энергии со стороны жидкой фазы на линии х = (г) равен нулю,а со стороноы твердой фазы на линии х = И-(г) равен -Ъ. Из (5)и (6) получено условие существования переходной фазы:

- < Ь*.ф№ (*М) « Ь*.ф№+(*М) < -. (7)

« dt

К возникновению переходной фазы посвящена $2.2. настоящей главы в случае неоднородного уравнения теплопроводности.На основе результатов полученных в 52.1. рассматриваются разрешимости трех автономных задач. С помощью вспомогательных

Леша 1. Пусть а {СЧ-ю.О), а(в) > а > О, 8" í СаЮ,оо), в €

о о

€ Cal-1;x 1, 1, ф ( С2,1(П ), в точках х ж -1 ti>i выполнены

о т т о

условия согласования

8 (-1) = е"(о), u~(0) = и (-1),

о о

8 (х ) = 0, d8 (х - 0)/dx = О, u (х - 0) а О,

0 0 0 0 0 0

И G"(t) < 0 при t € (0,00), 8Q(X) < 0 при X € ГГ(О),

Их ,0) > 0, Ь*ф(Х ,0) < О.

о о

Тогда у задачи (А) на достаточно ыалоы интервале (0,Т8), О < < Т существует решение ÍR~(t), 8(x,t)> такое, что R" € Н^'МО.Т,], 9 € С3'1 (ГГ ).

Леша 2. Пусть данные таковы, что а е СЧО,га), а(з) > а >0,

о

8+ ? с3ю,<») ■ а е С2[х ,11, е Са-1 (П ), в точках х в х н

о о т о

х = 1 выполнены условия согласования

в (X )= О, 9 (1) => 8+(0), U+(0) в И (1),

ООО о

d9 (х + 0)/dx = О, u (х + 0) а О, 0 8+(t) > О,

0 0 0 0

при t € (0,Т), 8Q(x) > 0, пра X € Q+(0),

1(х ,0) < 0, Ь*ф(Х ,0) » 0.

о о

Тогда у задачи (В) на достаточно ыалоц интервале времени (О.Т^), О <Т <Т# существует решение { R+(t), 6(x,t) ) такое, что 9(x,t) строго положительно области и

Rt € Ht»T/2 [0,Т,], 9 € С3-1«^,) П

ае

где и(хД) ж — (хЛ) , (хЛ) е (Г, вt т

сформулируем основной результат настоящего параграфа в виде

Теореиа 1. Пусть выполнены условия лены 1 и 2. Тогда обобщенное решение задачи Стефана с конвективным переносок тепла и(г,"1), где 6(хД) = и известной скорости

^яьтрацна V в т(х,*):

еи еи <эае

— + у.— в — + кх.и. е п .

ог вх дх2 т

в<±1,*) = е*т, т(±1,г) = Ф(±1Д). I е (о,т),

6(Х,0) = 6 (X), X € П.

о

таково, что на достаточно налои интервале времени (0,ТА) функция строго отрицательна в области О" = {(х,-1)|-1 < х < й-(г),

0< ^ }, товдествепно равна нулю в области (5* «{(хЛ)|1ГШ <

< х < <1), 0 < 1 < я строго положительна в области П+ =

= {(х,*)|11+(1;) <х<1,0<1;< Т,}. Непрерывно дифференцируемые функции ЯГСО.Й"*"^) совпадают в начальный момент времени и 1Г(*)<

< при 1 е (0,Тл),а удельная внутренняя энергия и(д;Д) принимает в области О* значения из интервала (-1.0).

В §2.3. рассмотрена однородная задача Стефана с конвективным переносом тепла. При этом получены условия на неизвестных границах, которые гарантируют существования переходной фазы в малом по времени.

В $2.4. рассмотрена разрешимость обобщенного решения задачи Стефана с конвективным переносом тепла.

Пусть О с нР - ограниченная область с гладкой границей Б

класса С1. В области Пт - О » (0,Т) требуется определить решение

ЩхД) уравнения

эи „

— + т-^и = Ав + 1, (8)

91;

в, если 9 > О,

где II = Ф(в) = 1-Ь,0] если 9^0,

9 - Ь. если 9 < 0. На границе Бт = 8 « (0,Т) 9(хД) совпадает с функцией 91

(определенной в Пт). а функция V - скорость несжимаемой жидкости в пористой среде, которая подчиняется закону Дарси и =

• т

= ф(хД) - расход смеси:

9(х,1;) = 94а:,г) при (хД) € Бт, (9)

а в начальный момент времени

щх.о) = и (х), х е п . (Ю)

о

При разрешимости задачи (8) - (10) считаем,что функции т -определена и V ( Я''0^).

Теорема 2. Пусть « е С2(- <»; 0) П С210; «>); ф(0) е [-1; 0]$

в' (в) > а >0 при в * О; в = Х(11 ) е I (0) П 5?ЧП)!

О О О 00 2

1 € Ь (0 ): 81 € Ь (П ), в4 с И1'1«! ), ОЦх.О) = 9 (х),

2 т т т ь г т о

х е Б: V е т-°(Пт).

Тогда существует ограшиешюе обобщенное решение задачи (8) - (10):

и <Е Ьга(От). 9 € й*'1^) П Ьа(0,Т; Я'(П)).

г о

1 д.

ТЕОРЕМА 3. Ограниченное обобщенное решение задачи Стефана с конвективный переносом тепла (8) - (10) единственно. При этой область Л не обязательно ограниченная.

ТЕ0РИ4А 4 (сравнение решений).Пусть п = 1 и данные (б1,и1), {в2,и2) таковы, что

и1(х) ^ иа(х), для всех х е П,

о о

еЧхД) ^ ва(х,г), для всех (хД) е Б .

т

Тогда аналогичное неравенство справедливо и для соответству-вцих решений задачи Стефана с конвективный переносом тепла (8) -

(10): е1(хЛ) ^ еа(х,г) п.в. в области 0 ,

т

иЧхЛ) > иа(хЛ) п.в. в области 0 .

т

В $2.5 На основе теоремы сравнения изучено асимптотическое поведение по времени однородной задачи Стефана о конвективным переносом тепла при неограниченном возрастании времени.

. Пусть в начальный момент времени жидкая фаза ( т.е. вода в нефтяном коллекторе ) занимает область П+(0) = (х|0 < х < х^), а твердая фаза ( т.е. условно - парафинированный нефть ) - область ГГ(0) = { х\ хо< х < со }. При этом предполагается, что твердая фаза находится при температуре, равной температуре плавления, т.е. всюду в £Г<0) температура 9о равна нулю, а удельная внутренняя энергия ио равна минус единице.

Тогда в области П* = {(х,г)|0< х <па),0< t <Т) температура 6(хЛ) удовлетворяет уравнению :

в а еае

— Ф(8) + V— Ф(8) - - , (ХЛ) € П+ (11)

аг вх дх3 т

и двум условиям на свободной границе:

dR 39

9lx - Rit 1 = - -----. (ОД) (22)

X - R(t> «i or Xa R(t)

30

0lx = o = e°(t) ли0° + b(t).8)|x = 0 = el(t) (13)

в начальный момент времени

R(O) = X , 6(1,0) = в (i)i X € n+(0). (14)

о о

Теорема 5. Пусть Ф е C2[0,ß], Ф'(в) >0 при о i tO.ßl. Тогда задача (11) - (14) с дакныии 9°(t) = ß s const > 0, x■ = О,

UQ(r) = -1 при x ç (0, оэ) имеет единственное решение вида

R,(t) = D,(ß)-(t + 1 y/z, в$(x,t) = u(x(t + 1)"1/2,ß), с функцией D4(0), непрерывно зависящий от параметра ß и такой, что lim D>(ß) = 0 при ß - 0.

ТЕОРЕМА б. Пусть выполнении условия теоремы 5 и условия lim 8°(t) = .ß , lira v(t) = p , 0 < p < a, 1=1,2 о p > 0. Тогда <

1 t-»oo 2 1

для решения R(t) задачи (11) -(14) справедливо равенство

lim (t 4 1)-,/2.R(t) = D (P), t 00 *

где D^(ß) - определяется с помощью автомодельного решения.

Глава III посвящена к изучению математической модели фазо-выхлероходов при неизотермической фильтрации сжимаемой жидкости.

При этом область фильтрации предполагается конечной и одномерной. В пористую среду через границу у = 0 нагнетается горячий агент. Часть каркаса, состоящего из легкоплавкого материала, под влиянием горячего агента постепенно переходит в жидкое состояние. Из-за прогрева каркаса пористой среды и плав-легаш твердой фазы теплоперенос отстает от переноса массы. Тогда пористой среде образуется три зоны фильтрации, разделенные под-

1-1

вижными фронтами плавления 1ТШ и вытеснения твердой фазы - (0 < у < В~)) - зона фильтрации вытесняющего агента, II - ( И"Ш < у < ) - смесь расплава и вытесняющей жид-

кости. характеризующаяся осредненными физическими параметрами, и зона III - ( < у < Уо) - в которой фильтруется жидкая фаза

вытесняемого агента. Будем рассмотривать только зоны I и II, предполагая, что фронт вытеснения продвинулся достаточно

далеко. Пусть также температура плавления твердой фазы вытесняемого агента постоянна и равна нули.

А также изучена классическая разрешимость в целом по времени задачи Стефана с конвективным переносом тепла.

С помощью массовых переменных Лагранжа в 53.1 рассмотрена разрешимость двухфазной задачи Стефана с конвективным переносом тепла. Далее,в пункте 2 исследована эквивалентная краевая в фиксированной области, а также доказаны теоремы существования решения в малом по времени. В последнем пункте изучено автомодельное решение рассматриваемой задачи.Аналогично тому,как 52.5, полученные автомодельные решения позволяют изучить качественные свойства решений. В 53.2 рассмотрен предельный переход по параметру и в качестве параметра берется скорость фильтрации. Переходя к пределу в соответствующих интегральных тождествах получена задача Стефана без конвективного переноса тепла в силу существования и единственности задачи Стефана с конвективным переносом тепла.

В параграфе 3.3 получены решения в целом по времени задачи Стефана с конвективным переносом тепла в переменных Мизеса. При

этом найдены условия существования классического решения на малом промежутке времени, и таким образом основная задача состоит в том, чтобы продолжит решение на произвольн ый интервал времен. Для этого, сначала с помощью принципа максимума в переменных Ми-зеса оцениваются первые производные решения. Далее, используя преобразование Г.Дюво, исходная задача переформулируется в эквивалентную краевую задачу в которой применяется результат Л..Каф-фарелли о гладкости свободной границы в эллиптических вариационных неравенствах. Наконец, вводя переменные Лежандра, устанавливается, что решение достаточно гладкое при всех положительных значениях времени.

Список работ по теме диссертации

1. Абиров А.К. О задаче Стефана с конвективным пероносом тепла. / Тезисы юбилейной научной конференции.посвященная 50 летию развития математики в Академии наук Казахстана. Алматы. 1995, с.15.

2. Абиров А.К., Мухамбетжанов С.Т. Классическая решения одномерной задачи Стефана с конвективным переносом тепла и асимптотическое поведение при неограниченном возрастании времени. / Тезисы юбилейной научной конференции.посвященная 50 летию развития математики в Академии наук Казахстана. Алматы. 1995, с.16.

3. Абиров А. Качественные свойства одной задачи теории фильтрации. // Поиск. Алматы. 1996, Ä1 с. 118 - 125.

4. Абиров А.К. Об одной нестационарной задаче с неизвестными границами при ноизотермической фильтрации. / Тезисы международной научно - технической конференции. Актау. 1996, с. 57.

5. Абиров А.К. О разрешимости задачи фазовых переходов теории Фильтршши при нс-изотермических процессах. // Вестник КазГУ. Се-

6. Абиров А.К., Мухаыбетжанов С.Т. Моделирование задачи фазовых переходов при неизотермической фильтрации и качественные свойства решения. // Вестник КазГУ. Серия мат., мех., информ., Алматы. 1996, Л6, с. 3 - 11.

7. Абиров А.К. Об разрешимости одной задачи фазових переходов. //Вестник КазГУ. Серия мат.,мех..информ.,Алматы.1997, *8(в печ.)

8. Абиров А.К. О построении одной математической модели описывающей вытеснение одной жидкости другой в пористой среде.// Комплексное использование природного богатства Мангистауского региона. Актау. 1996, с. 121 - 133.

9. Абиров А.К. Об разрешимости одной задачи фазових переходов. / Материалы I съезда математиков Казахстана. Шымкент. 1996.

10. Абиров А.К. Численное решение одной задачи неизотермической фильтрации. / Материалы 1-й Республиканский съезд по тооритичес-кой и прикладной механике ( Численные методы механики ). Алматы. 1996. с. 1.

11.Абиров А.К. Структура обобщенных решений одной задачи теории фильтрации./ Материалы международной научной конференции" Математическое моделирование в естественных науках", повященной 7Ь -летию академика АН РК,профессора А.Т.Лукьянова.Алматы.1997, с.30

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику ИА РК, лауреату Госпремии РК, д. Ф.- м. н., профессору Ш.С. Смагулову и к.ф.-м.н. С.Т. Мухамбетжанову за руководство и постоянное внимание к работе.

ТУГЫРНАМА

Бул жумыста изотермиялык емес фильтрация уш1н фазалык ауысу-ды сипаттайтын матенатакалык модельд1н шеш1лу мэселес! зерттелген. Б1ртутас орта механикасынын жалпы катынасы аркылы конвективт1 жылу алмасуы бар Стефан есеб! алынган. Сонымен катар жумиста ауысу Фазасынын бар болу шарты алынган жэне сыгылмайтын суйыптар ут1н уакыт улкен болгандагы асимптотика лык езгер1с1 карастырылган. Мизес айнымалылары аркылы тутас уакыт аралыгында шеш!мн1н бар егсед!г! зерттел1нген. Сыгылатын суйык жагдайында конвективт! жылу алмасуы уш1н Стефан есеб!н!н шеш1лу! туралы мэ-селе карастырылггш жэне шекке кэшу аркылы конвективт! жылу алмасуы жок Стефан есеб! алынган- Алынган зерттеулерд!н корытындыла-рын теменпен жогарыга парафинд! мунайды кетерг1ш кубырлар аркылы тасымалдау кез1нле колданылады. сондай - ак скважина аймагындагы куыс ортада парафинд! мунайдын туткырлыгын есептеуге болады.

RESUME

The work examines reaolution of mathematical modal or phase transfers at nonisotermal filtration. Given Lite general ratio oi continuous medium mechanics, the Steplian's Task with convectlve transfer of heat was figured out. The work presents a condition of existence of the transfer phase and asynnnetrlc behavior of the Bolutlon at unlimited increasing time In the case of non - compressible liquid. Besides, the existence oi solution was explored in the entire time in Mizes* variables.In the case of non - compressible liquid, the resolution of Stephen's taak with convectlve transfer of heat was also examined. In addition, using the transfer limit the Stephan's task was composed without convectlve heat transfer. The results of the Btudy can be applied to elevate paraffin saturated oil from the bottom plug to the surfase through elevating pipes, as temperature and pressure decrease. Also, it is useful for calculating paraffin sedimentation In stratum's pores adjacent to the bottom plug.