Термодиффузная задача Стефана для вязкой несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

НА правах рзкописи

КОСТИКОВ Александр Анатольевич

ТЕРМОдаФУЗИОННАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЩКОСТИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соисквние ученой степени кандидата фтаюго-мятематических наук

^/'¡¿С'Сс^,

Донеик - 1932

Работе выполнена в отделе уравнений математической физики Института прикладной математики и механики АН Украины

Научные руководителя: академик АН УОСР, Заслуге шшй деятель неуки УОСР, доктор физико-математических неук, профессор ДШИЛЩ1 иЖ

доктор физико-математических наук, профессор БАЗАЛИЙ Б,Б.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор ШЕЛЕПОВ B.C.

кандидат физико-математических неук, до«ент БОРОДИН М.А.

Ведущая организация: Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики АН Украины

Защита соотситсл 1992 г. w /[ час,

на заседании специализированного совета К 016.46.01 по присуаде-нию ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладно! математики я механики АН Украины (340II4, г.Донецк, у и. Р.Люксембург, 74),

С диссертацией «окно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины,

Автореферат разосявн (Рfy 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наукJj^u^^y А.И.Марковский

Общея характеристика работы.

Актуальность тема. Изучение задач оо свободными (неизвестными) грантами занимает важное меото в теории краевых задач математической фнаяки. К этому хлаооу относится и так навиваемая задача Стефана, которая в своей традиционной постановке состоит в нахождений гранюш раздала фаз веществе, а также распределения температурных полей в областях, занимаемых различными фазами.

В тех ояучаях, когда происходит конвективный теплообмен, пяотноотя фаз различны и вещество содержит примеси, эта постановка задачи Стефана неадекватно описывает физический проаеоо. Учет втих факторов при анализе 8вдачи Стефана ооставляет новую область исследований, важность которых определяется ее теоретической и практической актуальность®. С одной стороны, возникает необходимость в созденяи математичеоких методов исследования подобных задач, о другой - необходимо дать теоретическое обоовова-ние яыеодимся результатам экспериментов а численных расчетов.

Длссертвпия посвящена изучение вопроса о существовании классических решений термодиффузионной задачи Стефана о конвекпией в случае, когда плотности твердой и жидкой фаз различны.

Цель работы. Наша даооерташговной работы является доказательство существования решения термодаффувяонной задачи Стефана о конвекцией при различных плотноотях твердой и жидкой фаз в классах геяьдеровских фунюшй.

Научная новизна я практическая пеннооть работа. В данной диосертапионной работе впервые доказано существование гладкого решения задачи Стефана с одновременным учетом таких факторов, как конвективный переяоо тепла, неоднородность вевеотва, претерпевающего фазовые превращения я рвзличие плотностей твердой я «идкой фаз. В ранее имевшихся работах либо рассматривалась тор-модиффузионная задача Стефана без влияния воввекшш (см.,например, [I] , [2] ), лкбо исследовалась задача Стелена с конвекцией, но без учета диффузии примеси а различия плотностей фаз

I Б.В.Базалий. О термодиффз^зиоиной задаче СтефаааУ/ЛШ.-

1Э86.-Т.41.-Вып.4(250).-С. 192. 2. Е.В.Радкевич. О локализации задач со свободной границей// УМН.-1986.- Т.41.-ВЫП.4(250).- С. 190.

Результата, полученные в работе, я метода, а ней применяемые, могут быть использованы при изучении зависимости решения рассматриваемой задачи от тех или иных теплофизических параметров, а также при проведении численного анализе данной задвчи.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды (г.Новосибирск, 1991г.), на УШ Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (г.Донеак, 1991г.) на семинарах отделов уравнений математической физики и нелинейного анализа при Институте прикладной математики и механики АН Украины.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в Б работах, список которых приведен в ковое автореферата.

Объем работы, Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитируемой литературы, содержащего 43 названия, и изложена на 126 страницах машинописного текста.

СОДВРШМЕ РАБОТЫ.

Диссертация посвящена изучении вопроса о существовании гладких решений термодиффузионной зедачя Стефана с конвекцией. Рассматривается случай, когда плотности жидкой К твердой фвз раз -личин у у»" , .

Пусть Л0 ■■ - веданная область в К* , гранила которой состоит из двух замкнутых связных гладких поверхностей Г0* и Га~, не имевших самопересечений. Пусть Г0 -гладкая замкнутая поверхность,'лежащая внутри Л0 , такая, что Го ' лежит внутри ограниченной области, границей которой является Г0 . Будем предполагать, что Г0 , Г*, Г~£ Н^** • Поверхность Г„ разбивает

И0 на две подобласти Л^ и , которые в начальный момент времени ^ € ¿о, Г/заняты жидкой и твердой ф88вми соответственно.

3 Базалий Б.В., Дегтярев С.П. О классической разрешимости многомерной задачи Стефена при конвективном движении вязкой несжимаемой жидкости Ц Мат. сборник.- 1987. -132 (174).

Будем обозначать область, ваяя тую жидкой (твердой) фазой в момент врг-геня 1 черев 12причем Г^*и¡2 ,

Г0~ • гда /7 и /^обозначай: положение грешит раздела

феа и внешней границы области Ио в момент времени 1 ,

Заметим, что в процессе фазового перехода граница оо-тается неивиенно», а изменяется, что связано с различием плотностей твёрдой и жидкой фаз. Задача состоит в нахождении областей и («.е. границ Г^ и ), занимаемых твердой и жидкой февами в момент времени £, вектора скорости , давления р (*,+) , кониентрвшш примеси с(х,-Ь) . распределений температур в твердой и жидкой фазах и и ) по условиям

в (2) 7г*,<>; = £¿0, -П?,?;*---/>.г*,*!« на о)

(4)

а! В ^ (5)

^ - р/й-.о- в (6)

о) и?(к)> и*(х,Н) = **(*,*) на /; ^ ^ - (?)

™ Г>, (8)

¿^С гг-^ Тк - ^е. нв (9)

е(х,о) = с0(х), с(х,1) на (И)

ва 1/7. . (12)

Здесь ^* , л*-нормаль

к Г^ , направленная в сторону & * , Тк , $ , «к , у*, у" , * , Я , "V - положительные константы, о < у^ < / , ТУ*?^) -

тензор напряжений с элементами - - (Г--/5 •* ~ у- ЗД ) ,

</ а'

^ -_скорость движения фронта кристаллизации в направлении нормали Л- , и ^г ~ нормальная и тангенциальная составляющие

^ , причем если - уравнение поверхности , то

9(----— , Относительно свободной поверхности Л прад-

* / Рж Ф/

положим, что она образована при всех одними и темя же частицами, т.е. если' Ф^С*!*) О - уравнение Г. + , то I *

ф%,+) + = о

* о

Будем предполагать, что

сЧи'), 7Х/1М/1

Н Г'М иН') 6 н

. . л**

.А**, —

цЛ**, , } 7 \

И ВЫПОЛНЯЮТСЯ УСПОЕИЯ ■ъм -ьь/

' . а

Со(х) ЪО , где

I

***( К-(г , .

Предполагаются также выполненными условия согласования до первого порядка включительно, которые вытекают как необходимые из предположения существования гладкого решения.

Основным результатом работа является следу идея теорема.

Теорема Г. При оделенных выше предположениях задача (I) -(12) имеет решение

еИ-^(Щ.*). ЪнV'

при достаточно малых О с, 7< Та , где. 91 зависит от данных задачи. Граница Г^ и описываются функциями, принадлежащими классам п а п соответственно, где и 'у р< > О

Доказательство теоремы I происходит по следующей схеме. Посредством некоторой замены переменных, обозначаемой ^(к^) ,

зависящей от функциональных параметров и ^ и осуществляющей отображение известных областей XI0 на искомые области

, ш переходим от уравнений в неизвестных областях к уравнениям в фиксированных областях. Функции /> и V , задвппяв

упомянутую еамену переменных (»вранэе неявввотные к подлежащие определению), войдут при атом в соотношения (I) - (12) нелинейным образом.

Глава I диссертация посвящена исследованию твр^оди^фуаион-ной задачи Стефана (5) - (12) о веданной функцией V . В нелинейных соотношениях (Б) * (12) выделяем их линейную чао», оставляя ее слева я перенося всю нелинейность в правую часть упомяну-тих соотношений. Ватам доказывается одновиачная разрешимость соответствующей линейкой ввдачищш веданных правых частях, которое проводится методом, изложенным в главе 17 работы [з] . Применение этого метода требует изучения соответствующих модельных задач, поэтому в дисоертааи изучены ати моделыше для двухфазной термодоффувиоааой авдвчи^Сте^вна задачи в пространствах Гель дера я получена tofHfut опенка их решения.

'Модельная задача, связанная с величием в задаче свободной границыД'орыулируется следупиш образом. Требуется найти функции

и , С Я J> во условиям

I

/<¥< * Ж-¿A«

[3] Ладыженская О.А..Совоааиков В.А..Уральцева Я.Н. Линейные я квазилинейные уравнения параболического типа.-41. ¡Наука, 1967.-736с.

Козффвпяенты задели - заданные положительные постоянные, правые част* (13) - заданные финитные функпяи, причем

т), Iм *■ н

' ' О / , '

^ап. ¿т'бтс^вгх

Теорема 2. Задаче (13)однозиачно разрешима в клвосах

'(»Г) щ:

Для решения задачи выполняется неравенство

/ р- / (г-*<*> ' , с-?*' , а , I

Используя однозначную разрешимость линейной задачи, задачу (б) ~ (12) можно представить в виде

где £р> есть оператор, который каждому набору футдаий и*, и",

С , ,/> , задаваемых в велинеВнюс правах частях, ставят в соответствие решение линейной задачи. Доказательство разрешимости задачи (5) - (12) с- фиксированным V проводится «етодом пооледо-вательных приближений. Последовательные приближения определяются следующим обрезок • * '

Используя полученные оценки нелянейаостей, доказывается сходи -ыость этих последовательных приближений к набору функций

(и , и, С,/>) ^который является решением задачи (5) - (12) о фиксированным и и непрерывная зависимость решения от V .

В главе П доказывается разрешимость задачи (I) - (12) в малом по временя. В нелинейных соотношениях (I) - (4) выделяем линейную часть, оставляя ее слева я пёренося) всю нелинейность в ■ правую часть этих соотношений. Разрешимость полученной линейной задачи доказывается аналогично • Используя разрешимость линейной задачи, задачу (I) - (4) можно представить в виде

(¡0 />)= % ( »)/>, £>/>)

Для доказательства разрешимости втой задачи воспользуемся методом последовательных приближений. В качестве начального приближения

выберем V \/а(к) , /зГ01о. Затем решаем задачу (5) - (12) о

фиксированным V , разрешимость которой установлена в главе I,

-МО) ,—(&) ¿»(о) со)

В результате определяем функции и , « , с , .Последующие приближения определяются следующим образом

Сходимость последовательных приближений доказывается аналогично [43 . Предельные функции V , и+, и~, с и будут решением термодиффузионной задачи Стефана о конвекшей.

В заключение я хочу с благодарностью вспомнить академика АН Украины И.И.Данилша за те опыт и анания, которые он передел мне»

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую блвгодар -аооть доктору фяз,-мат.наук, профессору Б.В.Базеяяю ва постоянную помощь и внимание к работе,

[4] Солонаиков В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР, Сер. матем., 1977.- Т. 41, * 6.-С. 138&-1424. '

Основные результаты диссертация опубликованы в работах:

I. Костиков A.A. Об одной модельной задаче оо старшими проивод-iiumh в условиях оопряжения / Методы математического моделирования в научных исследованиях; Тезиса докл. П школы семинара.-Донецк, Ин-т прикл. матем. АН Украины, I990r.-C.63

2« Kostilcov A«A« Thermodiffueional Stefan problem with oonveo-tioa / International conference H?r«e boundary problems in continuum meohaaioe"- Abstracts.- Korosibiralc, USSR, 1991, P.7I

3. Костиков A.A. Термодиффузионная задача Стефана при наличии конвекции / Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободными траншами: Тезисы докл. УШ Республиканской конференции, г.Донецк, 1991, о.62

4. Костиков A.A. Термодиффузионнея задача Стефана о конвекцией / Укр. мат. журнал, 1992, т.44, »2, о, 275-280.

5. Костиков A.A. О классической разрешимости термодиффузионной задачи Стефана о конвекцией.- Донецк, 1991,- 49с,- (Препринт/ АН Украины, Ин-т прикл, матам, и мех. № 8).

Подписано в печать 26.03.92 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. п.л. 0,75. Тирвк 100 экз. Заказ g59 Ротапринт НЭП АН Украины. 40048, Донеак-46, ул. Университетская, 77.