О регулярности граничной точки и внутренней гельдеровости решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Вспомогательные результаты

§1. Плотность гладких функций в классах W(D) и W0(D)

§2. Сведения о классах W(D) и Жо^).

§3. Неравенства для функций из класса W{D).

§4. Разрешимость задачи Дирихле в классах W(D) и H(D)

§5. Разрешимость обобщенной задачи Дирихле.

2. Непрерывность по Гельдеру

§1. Локальная ограниченность решений.

§2. Доказательство гельдеровости решений

3. Регулярность граничной точки

§1. Емкость и емкостный потенциал.

§2. Неравенство Харнака слабого типа.

§3. Достаточное условие регулярности граничной точки

§4. Необходимое условие регулярности граничной точки

§5. Геометрические условия регулярности.

В настоящей диссертации изучаются качественные свойства решений уравнения вида

Предполагается, что показатель р(х) измерим в ограниченной области D С IR", п > 2, и удовлетворяет условию

Основной целью работы является доказательство гельдеровости решений и критерия Винера регулярности граничной точки при подходящих требованиях относительно показателя суммируемости р(х).

Уравнение вида (0.1) является естественным обобщением уравнения р-Лапласа, для которого р(х) = const. Квазилинейные эллиптические уравнения типа р-Лапласа детально изучены. В частности, гельдеровость решений доказана в работах О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [1], [2], а неравенство Харнака - в работах Дж. Серрина [3] и Н.С. Трудингера [4].

Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа доказан Н. Винером [5]. В работе В.Литтмана, Г.Стампаккья, Х.Ф. Вейнбергера [6] установлено, что этот критерий справедлив и для линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с измеримыми коэффициентами. Достаточное условие

0-1)

1 < Pi < Р(х) < Р2 <

0.2) регулярности граничной точки и оценка модуля непрерывности решения вблизи границы для уравнения ^-Лапласа получены В.Г. Мазьей в [7]. В работе Р. Гариепи и В.Р. Зимера [8] эти результаты распространены на более общие уравнения такого же типа. Необходимое условие регулярности граничной точки, совпадающее с достаточным прир = 2, установлено И.В. Скрыпником в [9]. Критерий регулярности граничной точки для уравненияр-Лапласа доказан в работе Т. Килпе-лейнена, Дж. Мали [10] (частный случай см. в работе П. Линдквиста и О. Мартио [11]), где показано, что необходимое условие совпадает с уже известным достаточным.

Интерес к уравнениям с переменным показателем р{х) первоначально возник в связи с исследованиями В.В. Жиковым вариационных задач с интегрантом вида Позже уравнения такого вида встретились при изучении различных задач математической физики: задача о термисторе, нелинейная система Стокса и др.

Для определения понятия решения уравнения (0.1) введем класс функций сте с обобщенными производными первого порядка.

Если и Е W(D) и существует последовательность функций Uj Е W(D) с компактным носителем в D, удовлетворяющая равенству будем говорить, что и(х) принадлежит классу W0(D).

Определение 1. Функция и Е W{D) называется W-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество

0.3) d

0.4) d выполнено на пробных функциях ф £ Wq(D).

Известно, насколько важную роль играет вопрос о плотности гладких функций в пространстве решений. В связи с этим введем следующее понятие.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность Uj £ W(D) сходится в W(D) к функции и £ W(D), если Uj —> и в Li(D) и выполнено равенство (0.3).

Для класса Wq(D) сходимость естественно определить следующим образом.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность Uj £ Wq(D) сходится в Wq(D) к функции и £ Wq{D)} если выполнено равенство (0.3).

Из результатов работы Жикова [12] следует, что одного только предположения (0.2) недостаточно для плотности гладких функций в классах W(D) и W0(D).

Если множество гладких функций не плотно в W(D), то можно определить классы

H(D) = {и : и £ W(D), 3uj £ C°°(D) П W{D), щ и в W(D)},

Hq(D) = {и-.ие W(D), 3Uj £ C0°°(D), щ и в W0{D)} и рассматривать другие решения уравнения (0.1).

Определение 4. Функция и £ H(D) называется Н-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество (0.4) выполнено на пробных функциях гр £ Hq(D).

Введенные выше ^-решения и ^-уравнения (0.1) связаны с задачами Дирихле

Ьи = 0 в D, и £ W(D), h £ W(D)} (и - h) £ W0(D) (0.5) и

Lu = 0 в D, и G H(D), h G #(£>), {и - h) G H0(D) (0.6) соответственно.

Доказательство разрешимости задачи Дирихле (0.5) основано на исследовании вариационной задачи

Г lVdp(a) min F(w + h), F(u) = / ' Л dx, heW(D). (0.7) wewa(d) J p(x) d

Если измеримый в D показатель суммируемости удовлетворяет только условию (0.2), то возможна ситуация, когда min F(w + h) < inf F(w + h) w£w0(d) w£c™(d) даже в случае, когда область D совпадает с шаром, a h G C°°(D). Такого рода неравенства принято называть эффектом Лаврентьева, обнаружившим подобное свойство в работе [13] на примере одномерной вариационной задачи. Для рассматриваемых нами функционалов эффект Лаврентьева обнаружен и исследован в работах Жикова [12], [14], [15]. Если для решения вариационной задачи (0.7) не существует минимизирующей последовательности из C0°°(.D), то наряду с задачей (0.7) возникает задача inf F(w + h)= min F(w + h), h G H{D). (0.8) u>&c£°(d) w£ho(d)

Для областей с липшицевой границей однозначная разрешимость задач (0.7), (0.8) при выполнении одного только условия (0.2) относительно измеримого показателя суммируемости р(х) установлена в работах [14], [15]. Отметим, что если разрешимость задачи (0.7) следует из общих соображений выпуклого анализа, то с разрешимостью задачи (0.8) дело обстоит несколько иначе. Разрешимость этой задачи вытекает из теоремы 5.2 работы [14], но сама эта теорема неэлементарна, в частности, использует теорию двойственности. Нами в теореме 1.2 предложено элементарное исследование вариационных задач (0.7), (0.8) в произвольной ограниченной области D, основанное на доказательстве сходимости минимизирующих последовательностей в классах Wq(D) и Hq(D) соответственно.

Минимизант w(x) вариационной задачи (0.7) связан с решением и{х) задачи Дирихле (0.5) равенством w(x) = и{х) — h(x). Доказательство этого факта приводится в теореме 1.3 и основано на том (см. [14], [16]), что (0.1) есть уравнение Эйлера для вариационной задачи (0.7). Решение задачи Дирихле единственно.

Задача Дирихле (0.6) также однозначно разрешима (см. теорему 1.3): функция и(х) — ги(х) + h(x), где w(x) - минимизант вариационной задачи (0.8), служит решением задачи (0.6).

Введенные выше решения задач (0.5), (0.6) называются вариационными решениями. Уравнение (0.1) может иметь и слабые решения и{х) G W(D), для которых интегральное тождество выполнено на функциях <р(х) G H0(D).

В работе рассматривается и задача Дирихле для неоднородного уравнения

Lu = -dfi в D, и е Hq{D) (0.9) с мерой /и, удовлетворяющей условию:

Эг; G #(£>), ф dji

С J \\7у\р(х)-1\\7ф\(1х Уф G C0°°(D). (0.10) d d

Под решением понимается функция и G Hq(D), для которой

J |Vu|p^~2 Vw • Vip dx = Jlsdn V^G C£°{D). (0.1Г d d

Доказательство однозначной разрешимости задачи (0.9) приведено в теореме 1.4.

Вопрос об условии на показатель £>(ж), при выполнении которого множество гладких функций плотно в классах W(D) и Wq(D), долгое время оставался открытым. Исследования В.В. Жикова [12] в этом направлении привели к ограничению const р{х) - р(у) I < --— при х,у £ D, \х-у\< 1/2. (0.12) m т—1—т

F-2/I

Им показано [14], что при условиях (0.2) и (0.12), выполненных в липшио цевой области D, множество C£°(D) плотно в классе W(D)CI W^ (D): о для любой функции и е W(D)n W^ (D) существует последовательность Uj е Cq°(D), сходящаяся к и(х) в Wq(D), и условие (0.12) является точным для справедливости этого свойства. Для произвольной ограниченной области плотность множества C°°(D) П W(D) в W(D) установлена в лемме 1.2 настоящей работы. При этом для функций класса Wq(D) аппроксимирующая последовательность состоит из финитных бесконечно дифференцируемых в D функций и в интегральном тождестве (0.4) можно ограничиться пробными функциями ф £ C£°(D).

Работа В.В. Жикова [14], в которой было введено условие (0.12), стимулировала изучение качественных свойств решений уравнения (0.1). Фань Сяньлинь [17] и Ю.А. Алхутов [18] установили, что при условии (0.12) решения уравнения из класса

Wl0C(D) = {и : ME Wll0C(D), Е L1>loc(D)} , (0.13) понимаемые в смысле интегрального тождества (0.4) на пробных функциях ф Е W}oc{D) с компактным носителем в D, принадлежат пространству Ca(D) гельдеровых в D функций с показателем Гельдера а Е (0,1). Ранее аналогичный результат для гельдерова показателя р{х) был установлен в [19]. Точность условия (0.12) для справедливости этого факта вытекает из контрпримера, построенного в [14].

Гельдеровость решений изучена [18] и для кусочно непрерывного показателя р(х) в предположении, что область D разделена гиперплоскостью Е на две части, в каждой из которых р(х) удовлетворяет условию (0.12) и скачок р(х) при переходе через Е не обращается в нуль.

Отметим, что в этом случае гладкие функции также плотны в W(D) и Wq(D). Полученные в [18] результаты обобщают работу Ачерби и Фуско [20], где рассмотрено уравнение с кусочно постоянным показателем р(х).

В диссертации гельдеровость решений уравнения (0.1) изучается в фиксированной точке х0 £ D, в предположении, что в окрестности этой точки показатель р(х) удовлетворяет условию const 1 р(х)-р(х0)\ < ^ при \х~хо\<2' (°-14)

Поскольку на характер разрыва функции р(х) при х ф ж0 не накладывается никаких ограничений, то, вообще говоря, H(D') ф W(D') для любой подобласти D' СС D. В этой части работы рассматриваются решения из классов W\oc{D) (см. (0.13)) и Hi0C(D): функция и(х) принадлежит классу Hioc(D), если существует последовательность Uj(x) £ C°°(D), сходящаяся к и(х) в W(D') для любой подобласти D' области D. Такие решения, которые также будем называть W-решениями и Н-решениями, понимаются в смысле интегрального тождества (0.4) на соответствующих пробных функциях ф £ Wq(D) и ф £ Hq(D) с компактным носителем в D.

Теорема 1. Если р{х) удовлетворяет в фиксированной точке х0 £ D условию (O.lJf.), то оба решения (Н-решение и W-решение) уравнения (0.1) непрерывны по Гелъдеру в х0.

В работе изучаются и граничные свойства решения задачи Дирихле

Luf = 0BD, uf\dD = f (0.15) с непрерывной на dD функцией f(x) в предположении, что показатель суммируемости р(х) удовлетворяет условиям (0.2) и (0.12). Решение данной задачи, следуя [21], определим следующим образом. Продолжим граничную функцию / £ С (dD) по непрерывности на D, сохранив за продолжением то же обозначение, и возьмем последовательность бесконечно дифференцируемых в IRn функций fk{x), которые равномерно на D сходятся к f(x). Решим задачи Дирихле

В теореме 1.5 показано, что последовательность {ик} сходится равномерно на компактных подмножествах D к функции Uf Е Ca(D), которая принадлежит классу W[0C(D) и удовлетворяет уравнению (0.1). Предельная функция и/(х) не зависит от способа продолжения и аппроксимации граничной функции f(x) и называется обобщенным решением задачи Дирихле (0.15). При выводе существования и единственности обобщенного решения используется принцип максимума, формулировка и доказательство которого содержатся в §5 главы 1. Доказательство того, что функция uj(x) принадлежит классу W/oc(D) и удовлетворяет уравнению (0.1) основано на свойстве повышенной суммируемости градиента решения (см. [15], [16]). Локальное обобщение этого свойства установлено в лемме 1.11.

Определение 5. Граничная точка х0 Е dD называется регулярной, если для любой непрерывной на dD функции /.

Важную роль в граничных свойствах решений играет понятие емкости компакта. Прежде чем его ввести, предварительно продолжим р(х) на все lRn с сохранением свойств (0.2), (0.12) и обозначим через BR открытый шар радиуса R.

Определение 6. Пусть К С Br - компакт. Число

Luk = 0 в D, uk е W(D), (щ - fk) € Wo (D) ■

0.16) lim иf{x) = f(xо)

0.17) где нижняя грань берется по множеству функций р Е таких, что (р > 1 на К, называетсяр - емкостью К относительно шара BR.

В теореме 3.1 показано, что точная нижняя грань в (0.17) достигается на функции из класса H0(BR)1 которая называется емкостным потенциалом компакта К. Свойства емкостного потенциала приводятся в §1 главы 3.

Сформулируем полученные результаты, положив для х0 Е dD

Ро = р(*о), 7(t) = Cp{Bxt0\n,B%)t?°-n, (0.18) где В*° - шар с центром в х0.

Теорема 2. Для регулярности граничной точки xG Е dD необходимо и достаточно расходимости в нуле интеграла

J (7(t))1/(po~1)r1eft = оо. (0.19) о

Если^о > п, то емкость точки ж0 относительно шара удовлетворяет неравенству Ср({жо},В^) > C(n,p)tn~P0 и граничная точка х0 всегда регулярна.

В следующей теореме дается оценка модуля непрерывности решения в регулярной граничной точке. Ниже М — max f(x). x£dD

Теорема 3. Существуют положительные постоянные в и С, зависящие только от п, р и М, такие, что при р < ро{п,р) и г < /?/4 справедливо неравенство sup \uf(x) - f(x0)\ < С[ osc f + p + Dr\Br° \двпвхр° osc few (-9 J Г1 dt)^

0.20) если Pq < n, и неравенство sup |и fix)-fixo)|< osc f + C oscfir/p)1-^, (0.21) dnb. если po > n. xo dDnBp0 dD

Сформулируем достаточное условие гельдеровости решения в граничной точке.

Теорема 4. Если граничная функция /(х) удовлетворяет условию Гель-дера в точке Xq £ dD и внешность области D в окрестности xq содержит конус с вершиной в Xq, то решение Uf(x) непрерывно по Гельдеру в Xq.

Приведем геометрические условия регулярности граничной точки, которую будем считать совпадающей с началом координат О. Предположим, что внутренность дополнения области D в окрестности О совпадает с областью вида где g(t) - непрерывная, неубывающая функция, удовлетворяющая условию: существуют постоянные а > 1 и /3 > 0, такие, что при t £ [0, а] выполнены неравенства ta < g{t) < t, если р0 < п — 1, и неравенства ехр(—(3t~l) < g(t) < t, если р0 = п — 1.

Теорема 5. Для регулярности граничной точки О необходимо и достаточно расходимости в нуле интеграла если р^ = п — 1. Если п — 1 < < п, то граничная точка О регулярна.

0.22) гс-1-PQ 0 если ро < п — 1, и расходимости в нуле интеграла о

Отметим, что если g(t) > Ct) то область удовлетворяет условию внешнего конуса Пуанкаре и условие (0.19) выполнено при любом значении ро

Полученные результаты остается в силе и для решений уравнения г,] = 1 1 4 3/ с измеримой, симметрической и равномерно положительно определенной матрицей ||а^-(ж)||.

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), на конференции молодых ученых в МГУ (1999), на Международной школе по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2001), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (1999-2003).

Многие вопросы, затрагиваемые в диссертации неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, профессору Юрию Александровичу Алхутову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе и профессору Василию Васильевичу Жикову за обсуждение результатов и ценные советы.

1. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими независимыми переменными // Успехи матем. наук. - 1961. - Т. 16, No 1. - С. 19-90.

2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

3. Serrin J.B. Local behavior of solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1964. - Vol. 111. - P. 247-302.

4. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - Vol. 20. - P. 721-747.

5. Wiener N. Certain notions in potential theory // J. Math. Phys. 1924.- Vol. 3. P. 24-51.

6. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.- 1963. Vol. 17, No. 3. - P. 43-77.

7. Мазъя В. Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вестник Ленинградского Университета, сер. матем. 1970. - Т. 25, No 13. - С. 42-55.

8. Gariepy R., Ziemer W. P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1977. - V. 67. - R 25-39.

9. Скрыпник И. В. Критерий регулярности граничной точки для квазилинейных эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1984. - Т. 274, No 5. - С. 1040-1050.

10. Kilpelainen Т., Maly J. The Wiener test and potential estimates for quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1994. - V. 172. - P. 137-161.

11. Lindkvist P., Martio O. Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1985. - V. 155. - P. 153-171.

12. Жиков В. В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Изв. АН СССР, сер. матем. 1986. -Т. 50, No 4. - С. 675-711.

13. Lavrentieff М. Sur quelques problemes du calcul des variations j j Ann. Mat. Рига Appl. 1926. - V. 4. - P. 7-28.

14. Zhikov V. V. On Lavrentiev's Phenomenon // Russian Journal of Math. Physics. 1994. - V. 3, No 2. - P. 249-269.

15. Zhikov V. V. On some variational problems // Russian Journal of Math. Physics. 1996. - V. 5, No 1. - P. 105-116.

16. Zhikov V. V. Meyers type estimates for the solution of a nonlinear Stokes system // Diff. Eq. 1997. - V. 33, No 1. - P. 108-115.

17. Fan Xianling. A Class of De Giorgi Type and Holder Continuity of Minimizers of Variational with m(x)-Growth Condition // Lanzhou University, China. 1995.

18. Алхутов Ю.А. Неравенство Харнака и гельдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Дифф. уравнения. 1997. - Т. 33, No 12. - С. 1651-1660.

19. Chiado Piat V., Coscia A. Holder continuity of minimiizers of functional with variable growth exponent. Manuscripta Math. 1997. - V. 93. - P. 283-299.

20. Acerbi E., Fusco N. A transmission problem in the calculus of variation // С ale. Var. 1994. - P. 1-16.

21. Кондратьев В.А., Ландис E.M. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988. - Т. 32. - С. 99 - 215.

22. Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous // Ann. Inst. Fourier. 1965. - V. 15. - P. 189-258.

23. Lindkvist P. On the equation div(\\7u\p~2 Vu) + X\u\p~2u = 0 // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. - V. 109. - P. 157-164.

24. Gehring F. W. The LP integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. - 1973. - V. 130. - P. 265-277.

25. Giaquinta M., Modica G. Regularity results for some classes of higher order nonlinear elliptic systems // Journ. fur die reine und angewandte Math. 1979. - V. 311-312. P. - 145-169.

26. Schwartz L. Theorie des Distributions: Paris. 1950. - V. 1.

27. Heinonen J., Kilpelainen Т., Martio O. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations. Clarendon Press, 1993.

28. Мазья В.Г. Пространства Соболева. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

29. Кондратьев В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений // Труды Моск. мат. о-ва. 1967.- Т. 16. С. 209-292.Публикации автора по теме диссертации

30. Крашенинникова О.В. О непрерывности в точке решений эллиптических уравнений с нестандартным условием роста // Дифференциальные уравнения и динамические системы. Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2002. - Т. 236. - С. 204-212.