О решении нелокальных краевых задач для уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами методом конечных разностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ГАСАНОВ АЛАМДАР СУЛ ЕЙМАН оглы

УДК 5)9.63

О РЕШЕНИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Специальность: 01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку—1992

Работа выполнена в Азербайджанской государственной нефтяной

кандидат физико-математических наук, доцент А. А. ДОСПЕВ.

доктор физико-математических наук ЛМИРАЛИЕВ Г. М., кандидат физико-математических наук с. н. с. ИСКЕНДЕРЗАДЕ 3. А.

Ведущая организация: Азербайджанский технический университет-

на заседании специализированного совета К.00'4-21.02 по присуждению .ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте кибернетики АН Азербайджанской Республики по адресу: 370141, г. Баку, ул- Ф. Агаева, квартал 553, дои 9.

. Отзывы на автореферат, выслать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики АН Азербайджанской Республики.

. Автореферат.разослан «??.» _ . 1992 г.

академии.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Защита состоится «2.9 » . 1992 г. в И.

час.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических н

А, М. БАГИРОВ

ОБШ ШАКШИСТШ. РАБОТЫ

В последнее время ■ сюлыаое внимание уделяется диффереицналышм задачам, где наряду о классическими краевыми условиями задается и нелокальные. Ути задачи шроко применяются в практически важных задачах: теплопроводности, физики полупроводников, гидромеханики, теории упругости, теории оболочок и др.

G целью создания обоснованных алгоритмов для численного решения этих задач, построением и исследованием разностных •схем занимались Вайнпкко Г.М., Волков H.A., Яошсин H.il.', Гор-дезиани Д.Г., Ильин В.А., и Моисеев Е.И., Сапаговас M.D. и Чегис P.D., Ваошгвич H.H., Куроанов H.A., Дсоиев A.A., Аки-ров Б.С., Алиев А.К), и др. Во всех сутэствуюи^х расотах разностный метод обоснован для нелокальных задач а олучае уравнений с ограниченными коэффициентами в области определения решений. Несмотря на то, что многие установившая процессы различных физических сред: отационэриыо осесимштрическмв задачи движения жидкостей, задачу электростатики, магнитостатики, диффузии я т.д. приводятся к нелокальным задачам для уравнения эллиптического типа с сингулярными коэффициентами.

Присутствие сингулярных коэффициентов в уравнении сильно осложняет исследование сходимости решения разностных схем, прежде всего из-за возможности неограниченного роста производных точного решения на линии сингулярности, а также построения самой разностной схемы в случае, когда линия сингулярности освооокдена от граничных условий.

В связи с этим представляет интерес построение и обоснование ра&ностных схем решения нелокальных краевых задач для

квазилинейных уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами.

Цель работа. Целью настоящей диссертации 'является построение и исследование разностного метода для решения нелокальных задач в случае квазилинейных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами.

ПРИ вывода и ооосновании полученных в раооте'результатов используется теория разностных схем, теория дифференциальных уравнении и свойства решзнчй дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Научная;..,новизна. Б диссертации получены .следующие основные результаты:

- построены разностные схемы для задачи как с простыми,

так и оощигли нелокальным; условиями в случае уравнений с оин-к

гулярным членом -¡¡-(¿у > при к< О » причем простое нелокальное условие аппроксимировано точно, получены оценки для погрешности приолияевного решения с учетом роста производных на линии сингулярности;

- в случае 0<k<1 доказаны различные теоремы о сходимости .при некоторых предположениях о гладкости точного решения;

- в случае, когда часть границы, совпадающей с линиьй сингулярности, освооождена от граничных условий ) достроены разностные схемы как для локальных, так и для нелокальных задач, доказаны теоремы о сходимости;

- построены разностные охемы для задачи с общими нелокальными условиями в случав вырождающегося уравнения с сингулярными коэффициентами, и при некоторых ограничениях на данные задачи получена оценка для погрешности с учетом poci.< произвол-

ных, а также доказаны теоремы о сходимости оез всяких ограничений; .

- конструктивным методом доказана однозначная разрешимость построения разностных задач-, которая дает обоснование алгоритма для их практической реализации.

122Е£111а.£2г1аЗЛ_Ш2а£1ааа£КаЗ_Ц§и!12£ХЬ> Теоретическая ценность работы заключается в построении и обосновании разностных схем для нелокальных краевых задач в случае квазилинейных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами. Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к численному решению прикладных задач.

ДШШёШШйийёЗШ» Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры высшей математики Азероэйднанской Государственной Нефтяной Академии, на сомина-ре кафедры вычислительной математики Бакинского Государственного университета нм.М.А.Еасул-заде и на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (г.АшгаОад, 1990). '

ШЗШШШШЬ Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [4].

Структура р ооъем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литература. Объем работы составляет НО страниц машинописного текста, включая библиографию из 90 наименований.

С0№ШШ РАБОТЫ

Работа состоит из двух глав и семи параграфов. Первая глава посвящена построении и исолэдовачя:: разностных схем для краевой задачи с нелокальныля условиями в случае уравнения

' . 6

/ м д3и к 8и дги г/ „ ди

L Ш = — + — -^-Ьгг--F\3C,l/,U, ——1=0 на

Kl J дхг У 8у дм2 ^ дя ду)

(I)

где К s Const.

В § I.I рассматривается следующая нелокальная задача

¿K[iL\~0, К< о, на п,

F[u]^.ci{xJ)li(x,ci)-u(ocJ) = на Г0 , (2)

и на Гт

где 0< ,fn,{ S) - заданные функции,'/^,'

J =.- 0,1, 2, 3 - стороны R , прономерованные против часовой стрелки, начиная с верхней стороны.'

Докртааегся R. прямоугольной сеткой с помощью прямых X ,1*0,1,...fNt,¿^0,1,.-.,, ГД0 X; ~ikt ,

У, =0, S?/»blHj-0k2,j=t,2,...,N2 , hl<hz . причем Ук I<K<Nz .

Задача (2) аппроксимируется следующей разностной задачей

Lu\ug\ -

M*o,±i

гдэ

се)

9 -а, \т~и У

и* '^{ъу.ърфо,

£

(7)

2 ^«Д

'Пусть выполнены условия

где /Л/ и - полохщтелыше числа.

Доказано, что при условии (?) разностная задача (3)-(6) однозначна разрешила и ее решение могло найти как предел специально построенной последовательности, причем эта последовательность сходится по геометрической прогрессу.

Предполагая, что для проаззодних точного росег-шя задачи {'¿) ШПОД1ШШ оценки

С п (в)

. , >/1=МЗ на в, . уЪ-Ч,

гдо С и 0<1<1 поло.чителькые постоянные, для погрешности приближенного решения получена оценка

Г * и V

д"и.{х,у) д3И[х,У)

дхп дуЬ

г,, , С; Д , 1<1. V У V ?,а\ЙА1,

8

гдо Л = ППХ-\ , П.2\ , С) и С? - положительные постоянные.

В § 1.2 в задаче (2) нелояльные условия заменены оодое

¡1 = ппх | к,, , С, и С2 - поле

оощлм условием:

£=;

Лрямоугод.ъш:к Я покрывается сеткой с помощью пряшх.

'С =¿¡¡1, У , I =0,1,...,М,; 0,1,-., - причем N¡¡1, -а,

.....

Условие (10) аппроксимируется уравнением (г) * ■ '

и в итоге лолучаагся система разностных уравнений (3), (5), (6), (II). ¿оказывается однозначная расре.иилость этой системы, а для логрй1сЯости приоолженного решения с учетом неравенства (8). получается оценка (9), с другими постоянными.

В § 1.3 рассматривается при 0< К<1 нелокальная за-

на г0, Ш)

• на 'и »«-/.2,3.

Задача (12) адяроксилгаруется- на прямоугольной сетке, покрывающей облаете с £ , отстоящей от Гт ,т= 1,2,3 на

расстоянии не менее G>(? , причем первые производные, ходящие в уравнение,аппроксимированы центральными разностями. Предполагается, что выполнены следующие условия:

¿¡>0, \Fp\<-Mf, M,kf<2, K0tiz<G, ■ (13)

где М, и AL - постоянные; К — Ч- —-» /1

' * о \ г г j

Доказана однозначная разреьлмосгь полученной нелинейной разностной задачи. Кроме того, доказаны следующие теоремы о сходимости.

Teopeva I.3.I. Пусть и(х,у)&С ( ~r) - точное решение задачи (12) при 0< k<f s=*t,2,..., &'m6s

монотонно уоивающзя последовательность; {hf,s}'{ -

числовые последовательности, удовлетворяющие условиям: Mfkfg$2 ^ff^i.S^^s t • Кроме того, пусть решение разностной

задачи определено в .

Тогда

Jim max \иг-17ц\~0,

где Uij - рошоние разностной задачи; R^JJls} - мно.'.аство узлов, лежащих на Rg .

laaassaaJ^a. Дуст: и (¿¡г) <= Сг(Ю и {6S| S =1,2,..., Sim б, - монотонно убывающая последо-вателыюсть. Тогда существует тройная последовательность {Ss>, удовлетворяющая условию hf,s< ¿¿tS ,

tim так. I и ¿¡-[/¡A =•=»£>.'

J У'

И §§ 1.4 и 1.5 рассматривается случай . Извеотно,

что для уравнения (I) при К>{ часть границы области Я, совпадающей с линией сингулярности,освобождается от граничных условий. Б этом случае осложняется аппроксимация, дал® задачи о локальными условиями в оставшейся части границы области $ однозначно разрешимой разностной задачей.

В § 1.4 рассматривается следующая локальная задача '

4 = О, к >/1, на (?., , И , на Гт, т = 0,1,3. (14)

и{х,у) остается ограниченным при У ->О.

Область покрывается сеткой с помощью прямых а: У. ВДЗ ; I =0,1,..; /V/ ; Уе =6, у =б +¿2 +

Уравнение (I) аппроксимируется в узлах из Я<з следующим образом: в узлах ( )» ^ как в § 1.3; в узлах-, где — 1 Б пятиточечном шаолоне как в неравномерной сошке; в узлах, где ¿—О в четырсхточёчном шаблоне с помощью узлов ,

Доказана однозначная разрешимость полученной системы разностных уравнений. Относительно сходимости доказана

Ie.aLiaaa_L.ikt2> Пусть и.{х,у)&Сг{Ю - точное решение задачи (14), = ¿0 - монотон-

но уоывающая последовательность; •{ ^2,5} ~

числовые последовательности, удовлетворяюще условиям

. Тогда

йп?

так

с - ,

Наконец, последний § 1.5 первой главы посвящен построению и исследованию разностной схемы дм решения' задачи с общими нелокальными условиями

на

на Г0, (15)

и~(Рт> на ^»«=/,3..

Сетка и разностное уравнение ¿к\11\ — 0 в Ц строится как. в § 1.4, а нёдокальцое условие аппроксимируется как в (II). Доказана однозначная разревшиость полученной системы нелинейной разностной задачи уравнения. Такяе доказана теорема о сходимости 1.5.1, являющаяся аналогом теореш 1^4.3.

Вторая глава, которая состоит из двух параграфов^,посвящена построений и исследованию-разноотшх охем для зацачи

т д2и д2и осо ди А ди

ду

ел Г л и и. и и. «,0 ии .

, 1«!<а,о<!/<8, (16) и-У«» на Гт , п=/,2,5 ,

где

аг, == соп$1, т ~ —р0<}, ¡})>/0, .

э |Л|<а, о<</(0<</(2)<...

... <у1*-^ у6 ; Нъ,р> <?) -

функция, определенная для {х.,у) 6 —св<2,р,у < оо, непрерывная, чаотные производные первого порядка которой по ^ существуют и удовлетворяют условиям:

> ^ | |« ^ < оо, | ^) <Л/<оо.

В § 2.1 задача (16) аппроксимирована на квадратной оатке с шагом к, при условен '

'гп

СИ)

доказана однозначная разрешимость полученной разностной задачи и следующая.теорема оО оценке погрешности приближенного решения.

Теорема 2.1.2. Пусть для производных точного решения задачи (16) выполнены неравенства •,

с

п «/,2,3, («,06 Я.

дпиШ

< ду«

1/П+Я--2,

Тогда для погрешности приближенного решения верна сценка

о-Л

где . и - точное решение задачи 116), Цу - решение разностной задачи; С1 и С^ - положительные постоянные; независящие от ¡1.

В § 2.2 задача (16) аплроксимирована в области Rgc.fi, разностной задачей, несколько отличающейся от разностной за-

дачи ,поотроонной в § 2.1 и доказана еэ однозначная разрешимость.

Относительно сходимости доказаны следующие теоремы.

f г Mg

Обозначим чероз Ks {(Хр+—-—,\ßt\+—,2j ш

Теорема' 2.2.1. Пусть <= С2( Я) - точное решониэ

задачи (16).{б^ >£>, s~f,2,... \Jim <os ~ монотон-

но ушвающая последовательность; -{ ¡¡¡Л ~ числовая последо-вптелъность, удовлетворяющая условию

Пусть решение- l/ц разностной задачи определено в

а s '

Тогда

«с;-

Теорема 2.2.,^. Пусть и

~ монотонно убывавшая послодова-

S

тельность . Тогда существует двойная последовательность

<ls} « удовлетворяющая условию ¿)< K}jis< + , такая,

что

тО-Л | U;; -Щ; I -О.

S"*4° pS lJ (f

Gs

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Басанов A.C. К численному решение одной нелокальной ■задачи. - Делон, в АзШШТИ, Je 3(321), 1990, с. 121.

2. Гасанов A.C. К численному решению нелокальных задач для нелинейных уравнении эллиптического тина с сингулярными Kooi№Huift!ira:.ai. - Делон, в АзЩШТИ, Je 7(225), 1990, О.Ш

3. Ивашов A.C. К численному решению нелокальных задач для нелинейных уравнений эллиптического типа о сингулярными коэффициентами. - Днф.уравд. и шиш.управление. Тезисы докладов Воеооюзн.конференции. Ашхабад, 1990.

4. Гасанов A.C. Метод сэток для одной осесидаатричеокой задачи. - "Накоторые вопроси теории дифф.уравнений и ее приложения". Тематический сборник научных трудов. Баку, 1991, с.137-142. -

Зак. 9&0 Ти;>. 100 Печ. лист /,0Тип. АзИУ им. М, Лии^'кииэ Баку—ГСП, проспект Ленина, 20.