О ро-группах Черникова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА і' 'і 1) з*

На правах рукопису

1 5 РД і'-’

ШАПОЧКА Ігор Валерійович

УДК 512.544

ПРО Р-ГРУПИ ЧЕРНІКОВА

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1996

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі алгебри Ужгородського державного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор ГУДИВОК Петро Михайлович

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник СЕРГЕИЧУК Володимир Васильович

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ПИЛЯВСЬКА Ольга Степанівна

Провідна установа: Дніпропетровський державний університет

Захист відбудеться 23 грудня 1996 року о 14-п годині на засіданні спеціалізованої ради Д 01.01.01 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет ім. Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці університету за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий листопада 1996 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради

а

Актуальність теми. Дисертація присвячена застосуванню теорії цілочислових р-адичних зображень скінченних груп до вивчення деяких класів р-груп Чернікова, тобто р-груп, що є розширенням повної абелевої р-групи з умовою мінімальності за допомогою скінченної р-групи.

Теорія зображень скінченних груп над комутативними кільцями займає чільне місце у сучасній алгебрі завдяки глибині проблем, що в ній виникають, та ефективному застосуванню в різних галузях алгебри, зокрема в описанні окремих класів розширень груп. Так, В. С. Дроботенко за допомогою знайдених усіх нееквівалентних нерозкладних зображень циклічної р-групи II порядку р над кільцем класів лишків за mod ps описав неізоморфні розширення абелевої групи типу (р*, ..., ps) за допомогою групи Н. JI. О. Назарова, А. В. Ройтер, В. В. Сергейчук і В. М. Бондаренко класифікували скінченні р-групи, що містять абелеву підгрупу індекса р.

Результати С. Д. Бермана, П. М. Гудивка, І. Райнера, А. Хеллера, А. В. Ройтера, JI. О. Назарової, А. В. Яковлева про зображення скінченних груп над кільцем Жр цілих р-адичних чисел стали відправною точкою у застосуванні теорії 2р-зображень скінченних груп до класифікації деяких класів розширень повних абелевих груп з умовою мінімальності.

С. Н. Черніков показав, що нескінченна група G є групою Чернікова тоді і тільки тоді, коли G є локально розв’язною групою з умовою мінімальності. Отже, р-групами Чернікова вичерпуються всі нескінченні локально скінченні р-групи а умовою мінімальності.

При вивченні черніковських р-груп різними авторами виділено ряд властивостей цих груп, кожну з яких можна взяти в якості означення р-групи Чернікова. Відмітимо одну з них, доведену А. І. Маль-цевим, що характеризує р-групи Чернікова як р-підгрупи повної лінійної групи над деяким полем нульової характеристики.

Важливі результати про властивості груп Чернікова одержані в роботах Д. І. Зайцева, Л. А. Курдаченка, Н. Ф. Кузенного, Я. П. Си-сака, П. М. Гудивка, Ф. Г. Ващука, В. С. Дроботенка, Б. Хартлі та інших. В ряді о цих робіт дано описання деяких класів р-груп Чернікова. В [г] приведені приклади, коли описання певних класів черніковських р-груп є дикою задачею, тобто включає задачу про подібність пар квадратних матриць порядку п над деяким полем для довільного натурального п.

Через це є актуальним питання, коли можна дати класифікацію деяких класів р-груп Чернікова.

Мета роботи описати деякі класи р-груп Чернікова і вияснити, коли задача описання всіх неізоморфних розширень довільної повної абелевої р-груїш з умовою мінімальності за допомогою скінченної р-групи є дикою.

Методи дослідження. Основу досліджень склали методи теорії розширень груп та теорії цілочислових р-адичних зображень скінченних груп.

Наукова новизна. В роботі отримано такі нові результати:

• описані всі неізоморфні р-групи Чернікова, фактор-група яких за максимальною повною абелевою підгрупою є циклічною групою порядку р2;

• отримана класифікація всіх нееквівалентних розширень довільної повної абелевої 2-групи з умовою мінімальності аа допомогою групи типу (2,2);

• показано, що задача описання всіх неізоморфних розширень довільної повної абелевої р-групи з умовою мінімальності за допомогою скінченної р-групи Н є дикою, якщо виконується одна з слідуючих умов: 1) Н — нециклічна р-група, р ф 2; 2) Н — нециклічна 2-група порядку \Н| > 4; 3) Н — циклічна р-группа

1 Гудивок П. М., Ващук Ф. Г., Дроботенко В. С. Черниковские р-группы и целочисленные р-адичсские представления конечных групп // Укр. мат. журн.—1992.—44, N-26.—С. 742-753.

- 2 -

порядку рн (Л > 2 при рф2, /і > З при р = 2).

Теоретична та практична цінність дисертації полягає в тому, що одержані результати узагальнюють і розширюють попередні дослідження р-груп Чернікова і можуть бути використані в теорії нескінченних груп.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій 70-річчю від дня народження проф. П. Казімірського (Львів, 1995), V Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1996), а також на семінарі кафедри алгебри Ужгородського державного університету.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 6 наукових робіт, список яких наведено в кінці автореферату.

Об’єм та структура дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох параграфів та списку літератури із 46 найменувань. Загальний обсяг роботи — 63 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи.

§1 носить допоміжний характер. Тут приведені деякі відомості з теорії розширень груп, доводиться ряд лем та теорем, що стосуються ізоморфізму розширень повних абелевих р-груп з умовою мінімальності.

§2 присвячений описанню розширень довільної повної абелевої р-групи з умовою мінімальності за допомогою циклічної р-групи.

Нехай Ср2} — зовнішня пряма сума п екземплярів квазіциклічної р-групи Ср~ = (ак І а0 = 0, рсц, = 1, к Є ІІМ). Добре відомо,

що розширення групи Срі} за допомогою циклічної групи Н визначається деяким матричним 2р-зображенням Г степеня п групи Н

- з -

та деяким елементом т Є . Позначимо таке циклічне розширення через Я, Г, т), або коротко £7(Г, т).

Нехай Н = (а) — циклічна р-група порядку рк, Ь >1, і є — первісний корінь степеня р$1 із 1, 0 < < Л. Для довільного елемента в

кільця Жр[є] через 9 позначимо матрицю, яка відповідає оператору множення на 9 в 2р-базисі 1, є, ..., є?_1 кільця Жр[є] (д = ір(р31), <р — функція Ейлера). Тоді довільне незвідне 2р-зображення групи Н — (а) ^-еквівалентне зображенню вигляду а —> є (0 < £і < /і). В силу [2] нерозкладне 2р-зображення групи Н з двома незвідними компонентами а —>■ £ і а —► £ (£ — первісний корінь степеня р52 з 1, O<S1<S2</1) Жр-еквівалентне зображенню вигляду

де (8) — 2р-матриця, у якої всі стовпці крім останнього нульові, а останній складається з координат елемента 6 Є 2р[£] в 2р-базисі 1, £,..., Г_1 кільця 2Р[£] (г = <р(р*2)).

Теорема І2. Нехай Н = (а) — циклічна р-група порядку рн, Н > 2, і А і (і = 1, 2, 3) — незвідні Жр-зображення вигляду.

Ді : а —>1, Д2 : а —>• є, Д3 : а —

2 — єр 1 = 1, 0 < «і < «2 < Нерозкладні матричні Жр-зобра-

ження групи Н з незвідними компонентами із множини {Ді, Аг,

Аз} з точністю до еквівалентності вичерпуються слідуючими зображеннями:

Гі : а —> 1, Г2 : а —► є, Г3 : а —>

Г £~ (1> Г •„

і 4 . а —»■ , І 5 . а

2 Берман С. Д., Гудивок П. М. Неразложимые представления конечных групп над кольцом целых р-адических чисел // Иов. АН СССР. Сер. ыатем.— 1964.—28, №4.—С. 875-910.

Г(7Л : а

І (tj)

-0‘) .

Г9 : а

( * °

О є

\ о о

(і>

(і)

і

^(0 .

10

: а

/1 <1>\

-* 0 £ 0

V 0 0 11

(*■■> 0 (1)

0 £ (1) 0

0 0 1 0

0 0 1 }

де і = £ -1; j = 0, 1, ..p(pSl) - 1; і = 1, 2, ..., <p(pSl) -І, причому Гі’о відсутнє, якщо pSl = 2.

Припустимо тепер, що деяке 2р-зображення Г степеня п групи Я = (а) представляється у вигляді

г = г; н--------ь г'ь

де Г(- — деяке 2р-зображення групи Н (і = 1,2Тоді в роз-

-.(т;

ТО ..«-у 1і ,хх, WpOC

----І-PVfc,

ширенні G(Cp£?, H, Г, m) Я-модуль C\ма.€ вигляд

cin)-

де \¥і — Я-модуль, який відповідає зображенню Г'. Тому розширення С(Г, т) = 0(0^}, Я, Г, т) можна записувати також у вигляді

С(Г/1 + ... + Г'*,(т'1,...,т'*)),

де ги'- Є \¥і (і = 1, 2, ..., к).

Нехай надалі Я = (а) — циклічна р-група порядку рн, /і > 2; є, £ — первісні корені степенів р’1, р!2 (O<S1<S2<- /і), відповідно; 3„ — множина всіх нееквівалентних матричних 2р-зображень степеня п групи Я, що містять незвідні компоненти із множини {а —> 1,

. . Ь, •

поліном ділення круга порядку р і ----ачх<!~1 -(- Xі (а,- Є {0, -1}, і - 1,..., д),

■■-/Згхг~1 +хг (/?,• Є {0,-1}, і = 1,..., г);

а ->£, а

Фр«! (ж) = -аі - а2а; ■

Фрі2(г?) = -Pi - fa

(£- і)’ = 1{о] + її'-Ч + • • • + УЇІІ?-1 (гі° ЄЖр, к = О,...,г- 1). Введемо слідуючі позначення:

Ш2 = (сцао, (аі + аг)ао, • • •, (аі + а2 +----------1- ад_і)ао, а0) Є СрїІ;

ліз = (Аяо; (Рі 4- /?2)<зо, • • •, (0і + /?2 + • • • + А—і)ао, «о) Є Срж;

ггі4 = (ао + /?іаі, ао + (А + ^2)0.1, ■ ■ ■, «о + (/?і +

+/?2 + • • ■ + 0г-і)ві> аі> т2) Є

т5 = (т3,0) Є СрІ^г');

тб} = (7о)ао, (7о;) +7і:))ао, ■ ■■,(7о)+

+7і^ + • • • + 7г^-г)а0і пїг) Є Ср°=" \ ^ = 1, 2, ...,5-і;

т7 (т3,0) Є Ср^г+1^;

т8 = (О,т2,-а0) Є С*»+г+1);

т«> = (т^, 0) Є С<1+г+1), 1 = 1, 2, д-1;

т9 = (т3,0) Є Ср^г+1\

Теорема 2. Всі нєізоморфні розширення групи за допомогою групи Н, що визначаються Жр-зображєннями із множини 9„, вичерпуються слідуючими групами :

1) С(Г, 0) (Г Є 3„);

2) С(Г2 + Г, (т2, 0)) (Г Є Зц-г), якщо п > д;

3) С(Г3 + Г, (ш3, 0)) (Г Є $п-г), якщо п> г;

4) С(Г^0) + Г, (т4, 0)) (Г Є 9„_,_г), якщо п > д + г;

5) С(Г£°+Г, (ш5, 0)) (ІЄ{0, 1, - «-І}, ГЄ9„.,-Г), якщо

гг > д + г;

6) С(Г^+ Г, (т'Л, 0)) (і Є {1, 2, . ... 5 - 1}, Г Є якщо п > д + г;

7) С(Г^} + Г, (ш7) 0)) (і є {1, 2, ..., ? - 1}, Г Є 9„_?_г_і), якщо п > д + г + 1;

8) С(Гд°^ + Г, (т8, 0)) (Г Є 9„_?_г_і), якщо п > д + г + 1;

Я - 1}, Г Є 9„_?_г_і),

9) С(Г^ + Г, (т£'\ 0)) (і Є {1,2,

якщо п > д + г + 1;

10) 0(Г9 + Г, (т9, 0)) (Г Є Зп_?_г_і), якщо п> д + г + 1;

11) 0(Г2 + Г3 + Г, (т2, т3, 0)) (Г є 9„_г_г), якщо п > д + г,

де Зо = 0-

Звідси випливає описання всіх неізоморфних р-груп Чернікова, фактор-група яких за максимальною повного абелевою підгрупою є циклічною групою порядку р”, б < 2. Відмітимо, що випадок в = 1 був розглянутий в [*].

В §3, використовуючи описані Л. О. Назаровою3 нееквівалентні нерозкладні матричні цілочислові 2-адичні зображення абелевої групи Но типу (2, 2), дано класифікацію всіх нееквівалентних розширень довільної повної абелевої 2-групи з умовою мінімальності за допомогою групи Но- Отримано критерій розщеплюваності таких розширень.

Теорема 3. Нехай На = (а, Ь) — група типу (2,2), Г — довільне Ж^-зображення групи Но, 9 = {Аі^і Ді2\ | г = 2, ..., 7, 8} — множина Ж^-зображень групи Но вигляду:

\ (п) Ді : а

Д2 : а

( Еп 0 0

V 0

0 0 Еп

Еп Лп 0

0 Еп+1 0

0 0 -Еп

е2; Дз : а —>■

\ д, ; | і = 2, ..

0 -В„ 0

Еп 0 -Е,

0 Еп+1 0

0 0 -Е,

ь

о о

\ 0 ,

Р; Д4 : а —> Р, Ь —* 7*1;

3Назарова Л. А. Целочисленные представлення четверной группы // Докл. АН СССР,— 1961.—140, N-5.-0. 1011-1014.

Дб : а

Дб : а

Д7 : а

/ -1 О О

\ 0

( 1 О

о \°

/ -1 о о

V 0

Д8 : а

Де

0 0

е2 -Ег

0 -е2

0 0

0 0

-е2 Е2

0 е2

0 0

0 0

е2 -Е2

0 -е2

0 0

' 1 1 0

0 -1 0

0 0 1

к 0 0 0

Ау = ( 0

-А\ \ О О

е2 у Аі \

О О

—Е2 і

—Аі \ О

о

Е2

о \

0

1

-1 /

( і о о — е2

І -1 о о о

1-х о о

\

(1

о о

о

о

о

о

о

е2

о

0

о

е2

о

о

1 -1

о -о

5і 0 ^

0 е2

-е2 0

0 Е2 у

-в, 0 ^

0 -е2

е2 0

0 —Е2 у

-Ві 0 ^

0 -е2

е2 0

0 —Е2 у

1 0 \

О 1 о

В2

10 0 О 1 о

1

-1

V 0 0 1 / X , V ,

Еп — одинична матриця порядку п, п Є {1, 2}. Довільне розширення повної абелевої2-групи з умовою мінімальності за допомогою групи Но, що визначається зображенням Г, розщеплюване тоді і тільки тоді, коли зображення Г еквівалентне над ~П.2 зображенню Д групи Но вигляду

Д — пі Д ^ + п2 Д2 + • ■ • + пг і

де Д; Є 9, і = 1, ..., г.

1

1

В §4 розв’язується питання дикості задачі описання з точністю до ізоморфізму всіх неізоморфних розширень довільної повної абеле-вої р-групи з умовою мінімальності за допомогою скінченної р-групи

Н. Доведена слідуюча

Теорема 4. Описання всіх неізоморфних розширень довільної повної абелевої р-групи з умовою мінімальності за допомогою скінченної р-групи Н с дикою задачею, якщо виконується одна з слідуючих умов: 1) Н — нециклічна р-група, р ф 2; 2) Н — нециклічна 2-група порядку \Н\ > 4; 3) Н — циклічна р-група порядку рл (Л > 2 при рф2, /г > 3 при р = 2).

Користуючись нагодою, автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору ГУдивку Петру Михайловичу за постійну увагу до роботи, цінні поради та зауваження.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гудивок П. М., Шапочка И. В. О расширениях абелевыхр-групп 11 Доп. НАН України.-1995.-N-2.-С. 8-9.

2. Шапочка І. В. Про класифікацію р-груп Чернікова.-Київ, 1995 -15 с.- Деп. в ДНТБ України 17.07.1995, №-581-Ук 95.

3. Шапочка І. В. Про черніковські р-групи // Підсумкова наукова конференція професорсько-викладацького складу математичного факультету Ужгородського державного університету: Тези допов. конф. (Ужгород, 9-10 лют. 1995 р.)-Ужгород, 1995.-С.9.

4. Гудивок П. М., Шапочка ї. В. Про р-групи Чернікова // Всеукраїнська наукова конференція ’’Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, присвячена 70-річчю від дня народження П. С. Казімірського: Тези допов. конф. (Львів, 5-7 жовт. 1995 р.)-Львів, 1995.-Ч. 1.-С.21.

5. Шапочка І. В. Про розширення довільної повної абелевої 2-гру-пи з умовою мінімальності за допомогою групи типу (2,2).-Київ, 1996.-15 с.-Деп. в ДНТБ України 14.05.1996,№-1159-Ук 96.

6. Шапочка І. В. Про розширення повної абелевої 2-групн з умовою мінімальності за допомогою групи типу (2,2) // П’ята Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука: Тези допов. конф. (Київ, 16-18 трав. 1996 р.)-Київ, 1996.-С. 491.

Ключові слова: р-група Чернікова, розширення повної абелевої групи з умовою мінімальності, цілочислове р-адичне зображення скінченної групи.

Шапочка И. В., О р-группах Черникова. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1996.

В диссертации исследуются расширения полных абелевых р-групп с условием минимальности с помощью конечной р-группы Я. Устанавливается, когда задача описания всех таких неизоморфных расширений является дикой. Описаны все неизоморфные р-группы Черникова, фактор-группа которых по максимальной полной абелевой подгруппе является циклической группой порядка р5, s < 2. Классифицированы все неэквивалентные расширения произвольной полной абелевой 2-группы с условием минимальности с помощью группы типа (2,2).

Shapochka I. V., On Chernikov p-groups. Manuscript. Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 — algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1996.

Extensions of arbitrary divisible abelian p-groups with minimal condition by a finite p-group Я are investigated in the dissertation. It has been revealed, when the problem of description of all such non-isomorphic extensions, is wild. All non-isomorphic Chernikov p-groups G, which containe maximal divisible abelian subgroup M, for which a quotien G/M is cyclic group of order ps, s < 2, are described. All non-equivalent extensions of an arbitrary divisible abelian 2-group with minimal condition by the group of type (2,2) are classified.