О росте аналитических функций являющихся суммой рядов Дирихне тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАЛ EMM НАУК АЗЕРБАЙ7.ДАНСКРЛ РЕСПТНИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ГАНЗАЕВ 0ШЯ ПУЗА огаы

О FGCT8 ЛЕВШШШШ ШШЗ НЭДЯЕШШИ СШ'ОЛ Р1Ш ШЖШ

( 01.01.01. - КатематяызстсЗ авазтп )

■А.З ТС Fï I S.?. AT . -, _ ,,

згасЕЕртации на соистанна учнтол стелвни твтаятата фтпиго-иатвтатичвЕпа инуж

* ■ • ' 'ihf. ' > •

ï А К 7

Работа внпскдена в /дербглдаанскш Гсхзудп^ст.. л:пг/.; Педагогической Унтэрсптзте.

Еаупш^ ^ужсгодатель:

- кандадаг базпко-кагематпческпх I пук,доцент Г.Л.Орудаеп

Орццяпдиэ ошкяевта: . - доатор фвзако-катшахпчес^пх г ,ч -«:н- оррзс :»-'ч. I . гт Ж Аз»рб. Ресиубаага.пг-сфессор Гвдгнс А.;,.

- дсвпгор физяжо-вгагшгггичзо:!!* ттук.про^ч.'ссср Зрчилов л.;

Вед/ИЕв учереядение -*Г/ им. :.*» Рясудьзг^е.

Вшита ^^юсегтапрв состоится —■-О. --к1л02 г.

е " я часлв ва з-гс -гаш^ -пзла1!н .'{-орр-гого сэвега К iiM.CI.OI по присуждении ученой ". кандидата 1изнко-

штеюаигческих паук я-н днгтмутз математики ■ мех:¡¡тки Ажадоош наук Азерб&йдкана.

Адрес: 370ЭД2 г.Бг-з/ Ш1-6(Й,уд. Ь./гасгь, квартак.

С диссертацией можно ознакомиться в научной пнствтута математики в механика \в^>демпа наук Азербайджана

Автореферат разослан —"—1992 г.

Учены* секретарь ' Специализированного совета г.октор фи знко-*атег.:рткчеа кг.х

неук,про!*есоор Ы.Х.'^ч.иСи

АС>| ч тдо/!

:ерт.чций

Ой'ЛЯ X .РЛЖР^'ЛлСЛ РАШТН

Актуальность тени: Как известно, изучение поведения прибли-ния функций с различными агрегатами яеллэтся одним из иажкей-х задач теории функций.

В комплексной области в этом направлений большой вклад внес-работа Бврпзтейна-Уолиа ой аналитическом продолжений из зацян-й области на болев иирокуа область в гависигасти от наилучшего гаяиваяьного приближения.

В даяьяэйызм эта тематика развивалась благодаря отечоствен-х математиков успеяно работающих а области теорий рядов Лирих-, этой важной ветви анализа, как г области приложения рплеа рихле к теория чисел, так я в области радения линейных ураэне-% бесконечного порядка, реэения д»|$эренциальных уравнений о таздкваапим аргунентон и т.п.

Понятия порядка и типа аналитических функций одного комплекс-ч переменно гов круг« 1 введены Н.В.ГЪворовкм.

Актуальны» яеллотся такса вопрос изучения роста целоя ^унк-| посредством кайлучзегс приближения её квазиполиномами.

Частоясая диссертация в осноаном посвяпэна этой тематике, и изучанга с?язи какду рстоы целей функции чвяяпцейся сумкой а Дирихле с веоестЕеннкки и комплевскнки показателями и паи-зпн приближения функции квазиполиномами для одного к многих плохоних перокэнпнх.

Цель рабэтк. Опресалить порядок я тип аналитической функции дикпчпок &руго. Изучить связи мзяду ростом аналитической $унк-, являтваЯся сумисЯ ряда Дирихло, з родутшоковти я я одйнмч-крурэ, и намлучпик приближением атоя функции к?азкго1ино«агП1к

- и -

Распространить теоремы полученные в полуплоскости на аналитические функции многих комплексных переменных е полиполуплоскости, являющейся суммой ряда Дирихлел

Методы исследования: Использустся катоды теории функций комплексного переменно со для получения формулы выражавших порядки и типы черэь коэффициента 'Гейлоса и наилучшего приближения функции квазиполиномами. Распределение корней аналитических функций в круге и е полуплоскости.

(

Научная новизна. 3 диссертации изучено поведение роста функции в зависимости от её наилучыего каазиполиночиадьного приб дкчсену.я.

Значительно усилены теорэны Яа-лЦ^^

относящиеся к наилучшим приближениям квазиполиномами в подуплос-

-1 , . -" ■

кости.

При тех не слабейших условиях эти утворвдения распространен для функций многих переменных, явласцихся суммой краткого ряда Дирихло. в пслипэлуплоскости.

В круге ' А- определены и изучены порядок и тип

функций в зависимости от коэффициентов и показателей ряда Дирихле и наилучшего квазиполкномиаяьиого приближения. Получены форч лы для вычисления порядка и типа функций Л1:/.ясдзгося суммой рядг Дирихле ъ зависимости от коэффициентов я показателей ряда Дирихле, изучена сеязь кежду коэффициентами ряда Дирихле и наилучалк прибликением его сунны,

$■ ЪЬчжХа. 0> Р. , Оп

Г^р Оп агпа-?ут1С сИсп -¿^ еурапгп{их1

ра £и пом 1ц £-3.

/а/г # .

л

Практическая ценность. Работа носит теоретически!! характер.

Ü2&ÍL ультаты работа га ело использовать к резенип линейных уравнений бесконечного порядка, к реяенкз дифференциальных уравнений с запаздизаззим аргуизнтон и в спзктрадьши анализа.

JbsHD вычислять пзрядож п тот фунхцип через ксэ^фацэнтов а показателей ряда Тирихлэ. Иагут бить прпмгнзны при pesamra нега-торкх задач теории пряблигзниЗ. Изучить распределена хорнея ана-лптетэскях функция в круге.

Дпсобзцяа рз^з ты. Результаты рзЗзта двюгаяшагесь rra саитнз-рах "Теория -?узкцкяв пзя itaísíps в,?|нкютнальаого апаяета" в На-ккнегом ГЬсудгретЕЭкнзи Гнпгегрсптетэ пм.И.Раср'задв, на ка*зярз и!Гатс!'лтгчес?гаго анализа™ АШТ им.К.Тус51, а тзггз rea ТП распу&тк-kgíicroa пгдчкзВ ecitsepsiisn: аспирантов БЗЗ-ов Азербайджана CEsej-н г:а ?П реаггЗппггясгаВ ксн^зрегпст етгадкЕ ученое гэ ката-V3TZZ3 п кзхаягсеэ

(jii'Z'x гдбзти; Ezcсертадеаааа рабата состоят из знедегая» двух К23 и стасга sarspstypu С53 rarseíssaanlO» Рабата гсзазгена К2 ХСЗ есзггггзгэ техют.

Нее рез^гьтзта дзеек^тгетл сгтяблютЕиш в рг.бг>-

тз* /Г/ - /5/.

Chi2ci2in!3 диссд атацда. iúiccemm CTCTJ ИЗ шитзэтпгтг^ттз: глпз к еппегз литература1. §1.1.1 - §1.2.3 с рагаглявя; Iisc arc-таягггзт гт^ргтэ PJÍ^SJ. В ¡rraí? глазе ycnns^rairrx тгарспз: п> рт-гг» ж rrr.o fjrzzzvz с tarjare ста ¡rnr. Япгяе тг-го„ язртазтст егтз> xrssg

гаст к т.пп ¡^гшпст: Е ех'ттгггчтг г? irayr? э

завксшюсти от коэффициентов и показателеа ряда Лирихле. §1.1.1 -- §1.1.3 с разделом I составляет первую часть пергой гд&вн.

Пусть означает масс всех «функций являвадав-

сч суммой абсоштво сходящегося в ЯеБ ряда Лмряхлв

Дусгь , - означает класс всех функций

явдашвся сукков абсолвтво сходявегося в '

Понятно, ЧТО веля ^Сз)^^ , то ^(5) £ Яр при Класс всех жваакгояшоюв в степени не превосходцоих и. о*5оэ-вочки через . £ля ^ £ 25ц » кы определю» £и ) в ниве

гае

Ш

Р О) = ск^рйкг)

IV»! 4 ' ((>0

" - оо <4 < ♦

• г 1993 году АипИрЫ.ай /I/ харак-

таризоаалк порядок (Э и тип Т для (Од^^ы. и терминах нпилучкегс приближения . ^ < . Отметим, что здесь

заранее предполагается, что

- 7 -

7\ ^ * . ..<71^.., I*W = оо

УЛ. -V сю

bt = >0-

В отличие от /I/ мы характеризуем порядок g и тип Т для

э терминах наилучших приближений , где

запенено болео слабым ус-rt -» " :вием, даже намного слабым, чем условие

злоЕие _

и.-»« Лп

зи которым авторы /I/ не смогли получить результаты. Доказаны

юдувцие теоремы:

ТЕОРЕМА I.I.I. Пусть

00

и.

$ и ряд ^ГТГ ^

;одится Тогда, для того, чтобы яеоб/со-

гмо и достаточно, выполнение условия

и-»« Ъ

б .

+ »о, tn*X - т*к(рг<ПХ).

_ со

ТЕОРЕМА 1.1.2. Пусть V £ >0 , V £, >0 ряд

«К» - тзгг + Ъ. \

одится и § РД0 +

Для того, чтобы функция и было с порядком £ Р

луплоскости Яв 5 г необходимо и достаточно, чтобы

I

оо *

ТЕОРЕМА 1.1,3. Пусть *4-£>о ряд ехр^-ьЛ«17?"^

сходится, где и $(&) .

Для того, чтобы (-и йыяо

типом 1 при порядке 2 необходимо и достаточно, чтоЗы

Т_ п-« _ Т*

I ~ 1 '.е

гю г ?? 'ъ

М.а ' - • (и

" т Ь

Vе ~

ТЕОРЕМА 1.1.1». Пусть <1 , где

Тогда и для порядка £ функции С^) пизет место

нср&ванстеа

Г"'- % •

где

I" Га

ЯП л»,

ТЕОРЕМА I.I.5. Пусть Т* , где TL = Ы Т. - t е

■да и для Т типа функции при поряд-

£ (p*S<* имепт место неравенства

Тк„ ^ Т - Та ^ т£

В §1.2.1 - §1.2.3 с разделами 2 определены и изучены порядок ип функций в круге |г| <■ J. в зависимости от коэффициентов оказателей ряда Дирихле.

Пусть й представлена в'виде

1(г) = £ ö„ ß-xf >

Ms |

j^w} - последовательность комплексных чисел удовлетво-дих условии \М г. 7\л Ц^Ю ов >

Определение I. Поряяком функции -f^*) в круге \ zl*' i ивается величина л я

f< = -lim —j-j-

ТЕОРЕМА 1.2.I. Пусть ряд

£ сур (-E.UM.I'77 +t)

1ИТСЯ для лпбого f, fo , С > о

«л о- i ГЕГ

и

- 10 - ^

Т Irt I

Тотоа для того, чтобы ряд ¿г, '""l ^ сходился

при и функция 4(г) е круге i

имела порядок необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

tr~ + Г

•UVH -;-- = -

in\-KA Г1

Определение 2. Типом функции в круге нг

зывается величина

_ f-r Л Wit)

О — iitn -——

ТЕОРЕМА I«2,2. Пусть ряд

JL \

М- I

сходится для лзбого £, > 0 и

Тогда для того, чтоби ряд 2ЕГ I 01и1 ^ схпдшся

и функция в круге < А шов

тип С7* .при порядке необходимо и достаточно, чтобы вь

поднялось равенство

(гГ -- 1М1"

■ - п -

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть (

такая, что

•С««г -—;----- <; 1

l«lM Ï

и * î- у tx У о рих

f ^(-Мх-Г'**)

о«э 51 »

Ос' [ч

сходится. lînoEBCTEO тагах ? ~ f^w} обозначен чэрез "^Lj^ • Тогда: I) Ряд

fl-f Л=1 («1

сходится пра |?|< £ .

2) В круге |3|cl поркзг f фршст прт

уДЗПДМТШ^^ЗТ р2ЕЕГГСЕВу

Р ~ «nf .ста =

ЕЬ htjyaa сп1*я нсввздуеткя иззлтаули спзЕ-стез (ппцгетняпс— кия ^"тпхцнЯ э Btpjra и в по-лшдапзтппютпсгш в ззлжснаетн иг шш— дучзгто ЕЕзгшЕыпивнналхпота прлйаишнют«

Ujct& fjHsnffia £ - спаггпизсгалг в ертта Л <£.

пртдагатгэпа рия JTggmjttt в шта „ J^ —71«®

о ^ , -{«ВТ Uva- ? и = Я*3*""'

* Пусть /(*) -цвхая функция экспоненциального типа <Г" . Предполошш, что последовательность -удовлетворяет

такие условии

1-м \/Ч*01

Обозначим

О , при л

Ж«) = уплк |-(Г*Л , 0<г*£.

Пусть Р* (*> -квазиполином степени на вше Ч. в вике

При фиксированном И , множество полиномов (*£:*)

обозначки через Н ц . ■ Величины

^Д И^- \ • С2)

Назовем наклучвны квазиполиномкальным приближением функции

в Области (г*1) ,

Естественно возникает вопрос: какая связь между коэффициентом ряда (1} и величиной (Я).

На этот вопрос отвечает сдедувцая теорема. ТВОРЕНА 2.1.1. Пусть ряд

^^ ^ сходится при ¡21<Л

» = » Г | I

М £ (?) -аналптичоская функция,' являющаяся сумюП рчда

» «.=1

тогда «гаду хоэФ$;шпентанг Й» л еедччкнекя кнеэ1!

кестз соотнопевяч

Кроне того, го*азквагтся сзедутгтеь тезрвмч. Т£С?й'А 2.1.2. Пусть ряд

схэ»гтся зля з«Зогэ £, .»О я

5хя того, чэтба гяз Iх««! " сталалая эти

п»— >

, в %унхг7л ¡тзззга тартжа ^р , жэтйхгхгта

я дзссттэччэ," чтэ На гзгтгггга ) угэзгэтзэрзта упгэкет

ДОГЕИА 2.1.3. Глг.зтъ

71

£ ^(-ЧЧ*5"}

1=1

сходятся é > О я

л I

—* о -

1

в» ,

Тля того, чтобы 3EL J О»! в сходился В

К фуъпяя -[(г) -имела т«ш СГ , при порядке J» , 1100бходикэ к ластаточно, чтэбы эсличяна удовлетворяла условии

^ - iL fc

ЖРЕ5Ц g.l.». Пусть

тапия, что

■ ¥ г > » ° р«

n*í

• сходится.

Ыюхествэ таких '/ = ^Т") обозначим через 1*íj>« • Тогда: I) Ряд

п =1

сходится при J с I ¿

2) В круге порядок £ функции .явдяо-

ъьяск сукмой ряде ^(t) при \*¿l — I £ L удоЕл^торяет не-

1энстеу

£ ( 'Ч 5

Заметим, что каждая из теором 1.2.1; 1.2.2; 1.2.3; главы I .1.2; 2.1.3 ; 2.1.4 главы П могут Зыть разделены на две отдель-теорекы.

3 52.2.1 - §2.2.3 с разделана 2 исследуется рост функций гих переменных связанных с наилучшим приближением квазииоличо-я в пэлиполуплоекоств.

В этом раздело утвзрвдония первого раздела I главы обобдавт-»а случай многих комплэкенл переменных в полиполуплоскости.

Следует откатить, что попытка распространения для двух передых было в «flAixtapoe-I.KJ^ ли характеристики роста определены :ь ао другому.

По моему, это не эффективно. Кроме того, т*м яе дано «есткоз шиченгэ на пьхЕзатедк.

В эаклочение, считан осоим приятнга долгом выразить глубохуо одарность иоому научному руководители доц.1\Л,.0рудаазу за яновяу задач п постоянное вникание.

Осиовниэ результаты диссертации опубликованы о следуюсих гах:

Иухтаров А.З. "•^ункаионая.анализ, теория функции и их прид."

*эхачкапз,~19Ж, гтр.125-129.

1.1«мзаев О,Г., М/радоз В.М. О роете функций аналитичзской в круге, Азерб.гос.пед.ин-т. 5аку, 158%, 19 с. №230, Аз-ВД деп.

, 2.П*мзаев О.Г. Рост аналитической функции. Азербайджанский инженерно-строительный институт. УП республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана. Баку, I9W.

3.ГЪмзаев О.Г. "К вопросу о росте и наилучшем приближении Функции в единично* круге". АК te.CC? институт катематики и механики УП республиканской конференции молодых ученых но ьатеыат! ке и механике.том I, Баку, 1987.

4.ГЪмзаев О.Г.,Орудкег Г.А. "О прийлиаенш анаштическкх Функций квазиполиномами в полуплоскости'1. Zen. в АзНЖНТЙ. *таку 1990, М20.

5.Г&мзаев О.Г. "О росте функций многих переменных, сзчэанн о наилучшим приближением квазиполиномами d подклолуплоскости". fieri, в АзНИИНТК . Шку, 1991, KI649.