О росте чисел пересечения подмногообразий под действием динамических систем в компактных многообразиях и в пространствах C m и R m тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

9 07

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА

Специализированный ученый совет Д 002.38.01

О РОСТЕ ЧИСЕЛ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КОМПАКТНЫ! МНОГООБРАЗИЯХ И В ПРОСТРАНСТВАХ С" И 1Г

01.01.02 - дифференциальные уравнеит

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи Ш 517.925

РОСАЛЕС ГОНСАЛЕС ЭРНЕСТО

Москва - 1991

Рабoiа выполнена 2 Ордена Ленива в Ордена Октябрьской . Революции Математической институте ны. В.А. Стеклова АН СССР

Научный руководитель :

доктор фиэико-ыатеыахнческнх ваук, академик Б.И. Арнольд. Официальные оппоненты:

доктор физнко-иагеиатичесшсс Bays, B.C. Афраимович { Нижегородский Государственный Увиверсвгет) ; кандидат фиаико-иатеиагвческюс ваук,, й.К.Бебевко. (Московский Государственный Университет)

Ведущая организация: ( Институт Математики АН УССР).

Занята диссертации состоится " ^ " оу-г-¿¿Я-*- I9SK г в ■ /Н » часов ае заседании специализированного ученого совет 2 002.88.01 в Математическом институте м. Ъ.А.Стеклова АН СССР so адресу : II7966, ГСП-I, Москйа, Вавилова 42, Математический ввстнтут ак. В.А.Стеклова АН СССР.

С диссертацией иохао ознакомиться в библиотеке институте. Автореферат разося&н " /? 9 1991 г.

Зчевый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических наук

А.К. Гунив .

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЖОТй .

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию оценкичисла периодических орбит или точек пересечения одного подмногообразия и образов другого под действием некоторой динамической системы в компактном гладком многообразии или в пространствах

> ВТ .

В 1965 г. М.Артин и В.Иазур1 получила ряд результатов о не более чем экспоненциальном росте числа периодических точек отображений компактных многообразий в себя, В частности, они доказали, что з пространстве таких отображений класса 4 существует всвду плотное ( в 4 -тополог»! Уигн® ) подмножество, для каждого элементе которого число периодических орбит растет не быстрее некоторой вкспоненты периода.

В своей работе они поставили вопрос о существования экспо-невциальной по N оценки сверху числа периодических орбит периода N для произвольного диффеоморфизма на компактном многообразии с простыми периодическими точками. Также был поставлен вопрос о росте по N числа изолированных замкнутых траекторий периода ве больше N дифференциального уравнения, заданного векторный полем на компактном многообразий

В 1990 В.Н. Арнольд4 показал, что число периодических орбит у гладкого диффеоморфизма двумерного тора может раств сколь угодно быстро. Также для двух гладких подмногообразий X я У компактного многообразия И и гладкого отображения А этого многообразия в себя он доказал, что мера пересечения одного из них с образами другого под действием итераций отображения А

' 1. Artin У!., "агиг Р., .inn. "nth. 5er г, 1965, v.81, К X, рр 3?-99.

2. Arnold V.l., in Analysis et cetera, Acad. 1'гевя, 1990, rip 77-B4-

растет в типиввои случае ■ не быстрее экспоненты. Аналогичный результат доказав Арнольдом для любого характеристического числа пересечения*» ..

Одной из основных задач диссертации является изучение роста числа периодических орбит гладкого диффеоморфизма любого компактного многообразия размерности п>1 . Доказано, что число периодических орбит может расти о периодом сколь угодно быстро, даже если see лериодичеокие точка простыв. Доказано также, что чионо простых вамкнутых траекторий периода меньше N дифференциального уравнения, ваданного векторным полем на компактном многообразен размерности больше 2, может расти ho w сколь угодно быстро.

В 1974 г. М.Шуб ж Д. Суяливан4 изучали рост чисел Леф-веца и вокальных индексов изолированной неподвижной точки' £' -отображения I пространства !Rm в себя ; они дали локальную оценку кратности ориентированного пересечения в неподвижной точке диагонали пространства IRmx lRm и ее образов под дейопиеи итераций отображения В= ) при условии, что 8та точка- изолированная неподвижная точка отображения BN для всех N.

Б случае локального диффеоморфизма А пространства С*" ва оебямлизи нуля и проходящих через нуль гладких подмногообре-аий X в У*' этого пространства В.И. Арнольд доказал" а 1991 , что кратность пересечения в нуле подмногообразий А"(Х*) и равномерно ограничена по N , если она конечна для любого N .

5. Arnold V.l., Bol.soc. Frae. *at., 1990, V 21, N 1, pp 1-10.

4. Shub Sullivan D., Topolopy, 197«, V 13, pp 189-191.

5. Arnold V.l., Holand, preprint Dpto. Math. Univ. Utrecht, N 65 april 1991.

В диссертации исследуется кратность пересечения в нуле юдмногообразия У и образов подногообразия X под 5ействием гладкого (аналитического) диффеоморфизма А пространства К" на себя, где К является либо вещественной, тбо комплексной прямой и Хк , у"*"* являются проходящими ?ерез нуль подмногообразиями в пространстве К" . Дана точная

# I ' 1

зценка кратности пересечения в нуле кривых АХ и У на нгоскости в случае, когда А - диффеоморфизм плоскости на зебя общего положения.

Для линейных подпространств Хк , у"^ в С* аввли-аируется последовательность моментов N нетрансверсальности АМ{ХУ) с у-к , где А - линейный оператор. Дока-1ано, что эта последовательность состоит из конечного числа ариф-иетических прогрессий. Сформулирована гипотеза, описывающая эту последовательность моментов. Гипотеза доказана для пар подпрос* ррансгв а С™ при к=1 либо при «-к »1- и невырожденного оператора А . Она доказана также в случае, когда т » ч » А диагональный оператор общего положения.

Цель работы. Исследование скорости роста числа пересечения

олного подмногообразия и образов другого под действием динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями о компактным фазовым пространством или диффеоморфизмами компактных нвогообразий или т - мерного пространства С™ или К™ .

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит аз введения н 4 глав . Объем работы 81. страниц. ; библиография содерхат 16 наименований.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных урэвнений, топологии и

теории функции.

Научная новизна. Дан ответ на вопрос о сверхзкспоненциальном росте числа простых периодических орбит гладкого диффеомор*-физма компактного гладкого многообразия размерности больше единицы. Т8кхе дав ответ на вопроо о сверхэкспоненциальном росте по и числа простых замкнутых траекторий периода меньше N. дифференциального уравнения, заданного векторным полем на компактном гладком многообразии размерности больше двух.

Дано также описание поведения кратности пересечения одной кривой и образов другой под действием гладкого диффеоморфизма на себя в неподвижной точке диффеоморфизма.

Наконец, для пары подпространств с дополнительными размерностям; в т -мерном комплексном пространстве дано описание структуры множества моментов нетрансверсальности одного из нкх и образов другого под действием линейного вевырожденного оп ратора.

Теоретическая значимость. Результаты работы позволяют исследо вать топологическую сложность пересечений подвижного многообразия о неподвижным в теории динамических систем. Они находят при мевенив в качественной теории дифференциальных уравнений при изучении биф/уркаций периодических решений и при анализе хаоти-вации динамики, связанной с ростом числа периодических траекторий по мере роста периода.

Апробация . Основные результаты диссертации докладывались в отделе геометрии и топологии ШН СССР ( 1990 - 1991 ).

б

ОБЗОР СОДЕШННЯ ДИССЕРТАЦИИ .

Введение к диссертации содержит общую характеристику рассматриваемых задач,полеченных результатов и их предшествующие факты.

В первой глава обсуждается вопрос о сверхэкспоненциальном росте числа периодических орбит гладкого диффеоморфизма компактного многообразия размерности n>i . Основным результатом главы является следующая творена .

Теорема 1 . Для любой последовательности натуральных чисел А,,Ах, ... и любого компактного многообразия И размерности больше единицы существуют гладкий диффеоморфизм многообразия , f м м , и растуцая последовательность аа-туральных чисел МцМ^, ... такие, что выполняются следующие четыре условия:

1 . все периодические точки диффеоморфизма f -простые;

2 . число периодических орбит периода я t превосходит А щ для любого i ;

3 . каждая периодическая точка имеет окрестность, весодерващуп отличных от see периодических точек каких-либо других периодов; % . набор периодов состоит в точности из чисел ( и„ быть может, единицы).

В параграфе i даны основные обозначения«, В параграфе 2 доказана теорема L для двумерного тора. При доказательстве теоремы использована конструкция гладкого диффеоморфизма двумерного тора введенная Арнольдом а „ Число периодических орбит этого диффеоморфизма растет сколь угодно быстро. В диссертаций при

э

1. Arnold V.I., in tanlysis et cetera, Ac*d. Press, 1990, vv 77-84.

7

помощи суперпозиции диффеоморфизма и преобразованием за единичвое время фазового потока некоторого подходящего векторного поля получен диффеоморфизм, число периодических орбит которой растет околь угодно быстро и все периодические точки -.простые .

В параграфе 3 рассматривается случай для произвольного многообразия размерности бопыае единицы, Для .этого рассматри-г-вается диффеоморфизм £ плоскости на себя, шепций в едини «вой диске те хе свойства, что и диффеоморфизм, построенный в теореме I, и котормй вне некоторого кольца { и1<1}

оовпадает с отображением а»-* с-ь , где константа с

больше единицы. Этот диффеоморфизм продолжается до диффеоморфизма 6 п -мерного агклвдова пространства I*" , п» г. так, что полученный диффеоморфизм 6 совладает вне шара радиуса 5 с центром в начале координат с отображением х^ сх .

Ограничение диффеоморфизма б ' на плоскость сов-

падает с отображением (г,й) * (£<*),ь) , После этого диффеоморфизм б склеивается с преобразованием за время единиц! фазового потока градиента функции Цороа в окрестности точки минимума этой функции. Искомым диффеоморфизмом является полученное отображение.

Определение. Замкнутая траектория, векторного поля называется проотой, если все собственные числа линейной части соответствуй щего отображения исследования Пуанкаре отличны от единицы.

Во второй главе доказано, что число простых замкнутых траекторий периода меньве N дифференциального уравнения, гада иного векторным полем на компактном многообразии И размерь

В

вости больше 2 , может расти по N сколь угодно быстро . А ииевно, ооновныии результатами этой главы является следующие теоремы.

Теорема 2 . На любой компактном многообразии М размерности п> з для либой последовательности натуральных чисел А,,Аа,... существует гладкое векторное поде о невырожденными особыми точками, все замкнутые траектории которого простые, и число таких траекторий периода не больше N превосходит А н для некоторой растущей последовательности натуральных значений числа

N.

Теорема 3. На трехмерном-торе для шэбой последовательнооти натуральных чисел А,, А,., ... существует гладкое векторное поле без особых точек, все замкнутые траектории которого простые » а число таких траекторий периода не больше N лревооходит

Ан для некоторой растущей последовательности натуральных значений числа N .

При доказательствах этих теорем использован диффеоморфизм тора,построенный в доказательстве теоремы Г.

В главе ПГ исследуется последовательность кратностей пересечения одной кривой и образов другой под действием итераций диффеоморфизма плоскости на себя в неподвижной точ» диффеоморфизма.

Пусть К* - вещественная (либо комплексная) плоскость . и А - оставлявший нуль на песте гладкий (соответственно аналитический) диффеоморфизм окрестностей нуля плоскости на

Теорема б ..Вопи оператор Ал нереэовансев, то пибо 1) кратность /*.(*) больше i для не более одного значения N , либо 2) A« (t¿X) = - Т, У .При этом во втором

олучае кратность вполне определяется числами /tío) и m«^(AY,Y) , а именно:

jtlo) , если jh(o) >т ; /4(N) » т » еоли /К») з ю , причем /Цн) > ю для

не более одного знвчевия N (в частности /Ц»0 = « при ВСеХ W , еСЛН /<(о)а та«»).

® главе W исследовано множество моментов w нетранс' версвпьности в начале координат в С*" одного к -подпространства X' и N -ой суперпозиции m-к - подпространства У"-\ под действием линейного невырожденного оператора А'С"-*

Основными результатами главы являются следующие теоремы.

Теорема 7 • Моменты W нетрансверсальности подпространств и в С" образуют конечное число арифмети-

ческих прогрессий.

Вдесь арифметической прогрессией разности г мы называв! множество всех значений N вида Н , neZ.

(целые числа г а фиксированы, г=о не исключается).

Чтобы формулировать теорему 8 понадоьятся несксягорые определения.

Пусть С "= V,e 9 \ , где -максимальное

инввриантное (при действии А ) подпространство, соответствующее собственному числу Xj , и пусть А ® Ai® Ак - .соответствущев разложение оператора А (то есть Ajv»Aj:y,-»

I lió

себя. Пусть X и У проходящие через нуль гладкие (соответственно голоморфные) кривые. Пусть А* - производная в нуле диффеоморфизма А •

Кратность ,/»и(Л,Х,У) пересечения в нуле подмногообразий Их и У есть порядок нуля ограничения на подмногообразие АНХ функции, задающей вблизи нуля подмногообразие У (то есть функции, равной нули на У и имеющей в нуле не-вулевой дифференциал).

Теорема 4- . Для диффеоморфизма А с оператором А* общего положения кратность /ЧДМ.У) ограничена и периодична по N при достаточно больших по абсолютной величине значениях N , если она конечна хотя бы для одного значения N *

Теорема 5 . Кратнооть пересечения ^(«0 больше единицы либо для не более одного значения и , либо справедливо одно из следующих двух утверждений:

1. А* СтвХ^г т„Х , в этом оиучае кратность больие единицы для всех значений N ;

2 . А*(Т050#>Т0У , отношение собственных чисел оператора А* есть корень из единицы степени ^ > I , и существует целое

г такое, что А^ (г,х^тву (и в этом случае /*(и»> 1 для всех целых чисел вида -»•«■, к« х ).

Степень» корня ? из единицы мы называем индекс в

2. подгруппы { п •. 1 } .

Будем говорить, что линейный оператор А иа плоскости в плоскость - резонансный, если собственные числа X, , ьг

к V

удовлетворяют условию : X, = X,. для некоторых Ц,к«1* ;

\о Я

имеет единственное собственное число Аз ).

Быберем базисные.векторы е,, ..., ет пространства С так, что 01 принадлежит У|(1) , и матрицы операторов , 4 К I имеют жорданов нормальный вид А^*- N3 , где N^ - корданова вяльпотемная матрица, ; $,+.->5ц.«п ,

Определение. Будем говорить, что оператор А к -резонан-

сен, если среди (") чисел (Л^) о некоторым натуральным ЧИОПОМ я .(1-0,*...<10 С {!,...,т}к. ЛЛ1) = ^ )

еоть совпадавшие. Для фиксированных X в Л , I ф д , число

р называется порядком заданного равенством резонанса, если У (^.К-тО' "1® *в1>--»1>-1 .

Пример. Оператор А имеет 1' - рааонансы порядка f >í , если одно иа отношений его собственных значений - корень степени f из единицы. Оператор А имеет 1 - реэонавсы порзд-ка I , если кратность одного из собственных чисел больше единицы.

Определение. Пусть оператор А к-резонансен. к-пе-

риодом 3.-3-(А,к) оператора А называется наименьшее общее кратное (н.о.в.) порядков к - резовансов оператора А , Следует отметить, что к - период %(А,к) существует, поскольку множество порядков )< - резовансов конечно. Когда А не имеет к - резовансов, положим <^(А,1е) = 0 .

Теорема 8 . Множество моментов К1 нетравсверсальности подпространств А"Хк и У*"к в С либо есть обьединение конечного множества и мевее (А,к) арифметических прогрессий

разности ЧЛАД) , либо есть множество всех целых чисел 2. , В частности, если оператор А не имеет к - резонавоов (то есть ), то либо множество моментов нетрановер-

сальности конечно, либо равно 2. ,

Основным шагом при доказательстве теорем является следующая

лемма.

Лемма а (Основная). Цоменты № . аетравсверсальности подпроо-К |

транств X а У' определяется условием

=° -ДО

для некоторых многочленов , где Х*(1,< ...«ч)»

□о теореме Сколема множество целых решений уравнения (1) совпадает с объединением конечного числа арифметических прогреооий, что и доказывает теорему 7.

т к

Условие (1} эквивалентно равенству ¿- АцМСО =0 , где сумма берется по всем различным элементам ^ множества » и .ЛМ . Если по меньиейыере один ив

многочленов «^(И) не разеы тоджественво нулю и множество моментов м яетрансверсальности подпространств и У"'11 бесконечно,то в диссертации доказано, что к -период оператора определен- я множество моментов нетрансверсальности совпадав* в объединением менее А, к) арифметических прогрессий н конечного множества , что и доказывает теорему 8.

Автор выражает гаубоку» благодарность опоем; научному рукоходов» В.И.Арводьду ва постановку задачи, внимавяе ш ценные )бсуждения во время подготовив работы.

Литература.

Аносов Д.В., Арнольд В.И., Итоги науки я техники. Совр. проб, пат.» фувд. напр., том I, 1985,

2. Арнольд D.H.» Допол/нителькые главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва : Наука, 1978.

3. Arnold V.l., Dynamics of intersections, Analysis, et cetera. I Babinowits and E.Zehnder (Ed), Acad. Press, 1990, pp.T7-84.

Arnold V.l., Dynamics of complexity of intersections. Bol. Sot Bras. Mat., 1990, Vol. 21, Я. 1, pp. 1-10.

6. Арнольд В.И., Малые зваменатеда I. Об отображениях окружности в окружность // Изв. АН СССР, Сер. Uat., 1961, Т. 25. вып. I, с. 21-66.

4. Arnold V.l., Majoration of *ilnor numbers.of intersections in holomorphic dynamical systems. Holand, preprint dpto. math. Univ. Utrecht, N. 652, april 1991.

». Artin M., Masur В., Cn periodic points // Ann. Math« Ser. 2, 1965,. vol. 81, п. 1 , pp. 82-99.

е. Богатый С.А., Количество периодических точек отображения отрезка растет экспоненциально // Сообщения АН Грузинской ССР , 1986, том 121, N«-1,0. 25- 28.

î. Dubrovin Б.A., Fomenko А.T., Rovikov S.P., Modern Geometry Methode and applications, part II, New York, Springer Verlag.

Ц• frcrnnn Michael В., »ajoritation du nombre des cycles periodic

U

pour certtaineB familles de diffeomorphtsmes du cercle // Ann. Acad. Brasil Cienc , 1935, T. 57, N. 3, pp. 261-263.

. Kreck M., Manifold with unique differentiate structure //

Topology, 1974, Vol. 23, N. 2, pp. 219-232. !. Lech Ch., A note on recurring series // Arkiv for Matematik,

1952, torn 2, N 22, pp. 417-421. . Mahler K.f On the taylor coefficients on rational functions //

Proc. Cambridge Philos Soc., 1956, Vol. 52, n 1, pp. 39-48. . Bilnor J., Morse theory, New Jersey, 1976, Princeton.

i. Shub M., Sullivan D., A remarie on Lefschetz fixed point formula for differentiate maps // Topology, 1974, vol. 13, pp. 189-191.

Skolem-Th., Ein Verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleichungen und Biophantischer Gleichungen, Proceiding of the 8th Scand. Math. Congress, Stockholm, 1934, pp. 163-188.

РАБОТЫ АВТОРА ПО THIS ДИССЕРТАЦИИ

. Росанес Гонсапео Э. О росте чисел периодических орвит динамических систем. Фувкцаов. анализ я его прил.« 1991. Сдано х печати.

. Росалес Гонсалес Э. О росте числа доггоперяодических рвиениЯ дифференциальных уравнений. Функции. анализ а его ария., 1991. Сдано а печати.