О сингулярных возмущениях спектральной задачи Стеклова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ФГВОУ во

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА"

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Чечкина Александра Григорьевна

О сингулярных возмущениях спектральной задачи Стеклова

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

па правах рукописи

УДК 517.956.227 & 517.984.5

14 ОКТ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2015

005563254

005563254

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета ФГБОУ ВО "Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова"

Научный руководитель Садовничий Виктор Антонович академик РАН, профессор, доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: Борисов Денис Иванович

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН

Беляев Алексей Юрьевич кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник лаборатории гидрогеологических проблем охраны окружающей среды Института водных проблем РАН

Ведущая организация: ВГБОУ ВПО "Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых" (ВлГУ)

Защита состоится 27 ноября 2015 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 на базе ФГБОУ ВО "Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова", по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А и на сайте механико- математического факультета http : //mech .math. msu. su/~snark/index. cgi.

Автореферат разослан 30 сентября 2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 на базе МГУ доктор физико-математических наук профессор

I Власов Виктор Валентинович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Известно, что околоповерхностная микроструктура материала оказывает макроскопическое влияние на поведение объектов в целом, при этом математическое моделирование процессов в микронеоднородных средах вызывает существенные затруднения. Для упрощения исследования применяются асимптотические методы и методы теории усреднения, в частности, граничного усреднения. Понятие "граничное усреднение" включает в себя исследование задач в областях с быстро осциллирующей границей, задач в областях с концентрированными массами, расположенными около границы, задач с быстрой сменой типа краевых условий на фиксированной и мелкозернистой границе, в частности, в областях, перфорированных вдоль границы, и др. (см. монографии В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова1, В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник2, А.Л.Пятницкого, Г.А.Чечкина и А.С.Шамаева3 и список литературы в них). Изучение свойств решений таких задач является важным для многих приложений.

Отметим, что помимо краевых задач, рассматриваются ещё и спектральные задачи как классические, так и со спектральным параметром в граничном условии (задачи типа Стекло-ва), которые соответствуют моделированию внутренних и поверхностных волн соответственно. Основной целью настоящей работы является изучение спектральных задач типа Стеклова с быстро меняющимся типом граничных условий, т.е. задач с быстрым чередованием условия типа Стеклова и однородного условия Дирихле. Такая математическая постановка в трёхмерном случае соответствует гидродинамической задаче о ко-

1Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка. 1974.

2Жиков B.D., КОЗЛОВ С.М., ОЛЕЙНИК O.A. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит. 1993.

3Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Независимый издатель Тамара Рожковская. 2007.

лебании жидкости в сосуде со свободной поверхностью, покрытой жёсткой перфорированной крышкой (см. работу Чечкиной Т.П.4). В данной диссертационной работе рассматривается как локально периодическое, так и непериодическое чередование граничных условий. В локально периодическом случае удалось дать полную классификацию возникающих усреднённых задач. Если условие Дирихле появляется на границе очень часто, предельное краевое условие наследует именно его (при таком предельном переходе собственные значения стремятся к бесконечности). При редком появлении условия Дирихле в пределе "побеждает" условие Стеклова. В промежуточном же случае возникает условие типа Стеклова со сдвинутым спектром. В общем непериодическом случае такой классификации привести нельзя, поскольку отсутствует регулярность структуры. Для такой ситуации разобраны крайние случаи (вырождения спектра и предельного классического условия Стеклова).

Цель работы. Целью работы является исследование и классификация сингулярно возмущённых спектральных задач в плоских ограниченных областях с быстрой сменой типа граничного условия. Предполагается, что на границе области чередуются (как локально периодически, так и непериодически) спектральное условие Стеклова и однородное краевое условие Дирихле. При этом важным является доказательство теоремы усреднения для исследуемых сингулярно возмущённых задач.

Также целью работы является изучение асимптотики собственных значений и собственных функций сингулярно возмущённой задачи Стеклова.

Методика исследования. В работе применяются методы функциональго анализа, в частности, интегральные оценки для функций из Соболевских пространств, спектральный анализ дифференциальных операторов, теоремы вложения про-

4Чечкина Т.П. Скалярная гидродинамическая задача с непериодически расположенными концентрированными массами на поверхности // Вестник Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". Т. 4. 1. 2015. С. 25-34.

странств Соболева; методы математического анализа, в частности, выведение формул типа Стокса, тонкие свойства интегрируемости функций; методы качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, изучение поведения решений краевых задач на бесконечности и в окрестности особых точек; методы асимптотического анализа и теории усреднения.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные из них следующие:

• Дана полная классификация случаев предельного поведения собственных значений и собственных функций для локально периодического возмущения спектральной задачи Стеклова.

• Полностью исследовано предельное поведение собственных значений и собственных функций для непериодического возмущения спектральной задачи Стеклова в случае вырождения спектра.

• Исследовано поведение возмущённого спектра в случае предельной классической задачи Стеклова.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области функциональго анализа и дифференциальных уравнений с частными производными. В частности, полученные в диссертации результаты вносят вклад в спектральную теорию дифференциальных операторов. Материалы диссертации могут составить содержание специального курса для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности "Математика".

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях семинаров Механико-математического факультета МГУ: "Операторные модели в математической физике" под руководством

А.А.Шкаликова, "Избранные вопросы уравнений математической физики" под руководством Г.А.Чечкина, а также на научном семинаре под руководством В.Е.Подольского.

Результаты диссертации были представлены на следующих научных конференциях:

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвящённая 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 2008;

• Международная конференция "Спектральная теория операторов и её приложения" посвящённая памяти профессора А.Г. Костюченко, Уфа, БашГУ и БашГПУ им. М.Акмуллы, 2011;

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвящённая 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 2013;

• "Новогодняя мини-конференция кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета", Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2014.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата [1—6].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 121 страницу текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов и списка литературы, включающего 139 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная — номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 — лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы.

Первая глава посвящена изучению сингулярно возмущённой спектральной задачи типа Стеклова в двумерной ограниченной области, причём чередование на границе спектрального условия типа Стеклова и однородного условия Дирихле является локально периодическим.

В первом параграфе ставится краевая задача и делаются предварительные замечания.

Пусть П — ограниченная область в К2. Предположим, что 9Г2 состоит из простого замкнутого гладкого контура единичной длины. В малой окрестности <ЭГ2 введём координаты (з,т), где т — расстояние от точки до сЮ, измеренное в направлении внешней нормали, проходящей через эту точку, в — длина дуги от фиксированной точки до точки пересечения этого направления с <9Я (см. рис. 1).

Пусть Ге — произвольное одномерное непустое замкнутое множество, зависящее от параметра е € (0,1] и лежащее на отрезке Е = {£ = (6,6) € К2|0 < & < 1,6 = 0}. Рассматриваем случай тевГ£ —» 0 при е —» 0.

Обозначим через Tf множество, образованное всевозможными целочисленными сдвигами Г£ вдоль оси £2 = 0, а через Г|, — образ Tf при отображении s — 8£i, т = г- Г^ = 9П\Гд, е-1 € N при малых е; в дальнейшем 6 зависит от параметра е, более того, £(е) —> 0 при е —> 0.

Если не оговорено особо, все функции, заданные и неизвестные, предполагаются вещественнозначными.

Исследуется асимптотика при е —> 0 решения следующей задачи:

Аие = О в области ft,

иЕ = 0 на ГЬ, (1)

дие

_ = 5 на rN.

Предполагается, что функция д € L2(dfl). Определим пространство if1 (ft, Гд) как пополнение множества функций из C°°(f2), обращающихся в ноль в окрестности Г|,, по норме Н1(£1). Функция ис{х) — решение задачи (1), если и£ 6 ячп.г^и

J J VxueVxvdx = J gvds (2)

П T'„

для любой v в Я1 (ft, Г^)-

Обозначим 5 = {£ € M2|0 < £г < 1,£2 < 0}, Bp = {£ G в 16 < -p}, BPlP2 = BP2 \ BPl, Pl > P2, Ep = {£ € В16 + P = 0}, p = const > 0 (см. рис. 2).

Пусть пространство Hi.per(B, Г£) — пополнение по норме

НИ// ^«ч./ль)1

(з)

множества 1-периодических по ¿ц функций из С°°(В), сохраняющих гладкость при 1-периодическом продолжении по £1, обращающихся в ноль в окрестности Г£ и обладающих конечным интегралом Дирихле по области В.

Е

6

'Р2

-л

р Ш:

В

Рис. 2: Область в.

Пусть

II

ш£

»еЯ1.рег(В^*)\{0}

/

У2^ !

(4)

и пусть существует конечный или бесконечный предел 0

Нщ=ре[0>+оо]'

(5)

(6)

и, кроме того,

в£ -»• 0 при е 0.

Далее будет показано, что следующая задача является предельной для задачи (1) при е —> 0:

[ Аи° = 0 в области О,,

< 9и° п при 0 < р < +оо,

+ ри = д на оП (7)

I дт

при р = +оо.

В случае р = 0 предполагается, что J дйэ = 0 и JJ и°<1х = 0.

ап

Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. Существует такая гармоническая в В функция

К (О е нирег(Б,Г),

что на ней достигается нижняя грань в (4), и при этом

= ^ га^да = 1,

в

причём при р -4 0 для любой V £ Нх_рег(В, Г£) выполняется

(8)

Е

Предположим, что выполнено условие (6). Тогда существуют такие постоянные К.\ и К.2, не зависящие от е, что для достаточно малого е имеем

11^(0 - 11!х2(В) < (9)

^ )С2уМ. (10)

Пусть х{х) — гладкая функция, 0 ^ х ^ 1, х = 1 в окрестности дП, на япрр х координаты т) регулярны. Будем считать, что функция х(х) зависит только от т, т.е. X = х(т)-Положим

(11)

продолжив по периодичности.

Заметим, что на ввиду (8) (в указанном там смысле), имеем

т

Справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполнено условие (6), функция определена соотношением (11). Тогда для достаточно малого £ существуют такие постоянные не зависящие

от е и 6, что

Н^-1!^)«^, (13)

11^< (15)

Во втором параграфе доказаны основные теоремы первой главы.

Теорема 1. Предположим, что выполнено условие (5) с О < р < +оо. Пусть д € £,2{дП), и£ и и0 — обобщённые решения задачи (1) и (7) соответственно. Тогда и£ и0 слабо в ЯХ(П) при £ —> 0.

Теорема 2. Предположим, что выполнено условие (5) с 0 < р < +оо. Пусть д е С(дО), и£ и и0 — обобщённые решения задачи (1) и (7) соответственно. Тогда существует такая постоянная )Св, не зависящая от £,5 и д, что для достаточно малого е имеем

Теорема 3. Предположилг, что выполнены условия (5) и (6) с р = +оо. Пусть д € .£<2(дП), ие — обобщённое решение задачи (1). Тогда и£ 0 слабо в Я:(П) при е 0.

Теорема 4. Предположим, что выполнены условия (5) и (6) с р = +оо. Пусть д € С(ЭЛ), и£ — обобщённое решение задачи (1). Тогда существует такая постоянная К-т, не зависящая от £,5 и д, что для достаточно малого £ имеем

1И1ЯЧП) ^ (1?)

Теорема 5. Предположим, что выполнено условие (5) с

р = 0. Пусть д 6 Ь2(дП), f д{х)(1в = 0,иг и и0 — обобщённые

дп

решения задач (1) и (7) соответственно. Положим

Тогда ие — (ие) —и0 слабо в /Г1 (Я) при е 0.

Теорема 6. Предположим, что выполнено условие (5) с р = 0. Пусть д е С(с?Г2), / = 0, и£ ии° — обобщённые

0(1

решения задач (1) и (7) соответственно. Положим

Тогда существует такая постоянна К.%, не зависящая от е, 5 и д, что для достаточно малого е имеем

В третьем параграфе выписывается асимптотика решения задачи в случае неразрешимости усреднённой задачи. Рассматривается следующая задача

Здесь де € — заданная функция, зависящая от па-

раметра е. Функция и£(х) — решение задачи (19), если ие €

п

(18)

(19)

Я1^, ГЬ)и

п

для любой V € ЯХ(П, Гд).

дп

Пусть де ► д в Ьг(Ш) при е 0, а порядок по е функции 5(е) равен (9е)а, где а е (|, 1).

Ясно, что р из (5) в этом случае равно 0. А значит, следующая задача

\ Аи° = 0 в области Г2, .

= <?(*) наап (

является предельной (усреднённой) в случае, когда выполняется условие разрешимости

{9)™ = т ¡дЛ> =

|9П|

ап

(см. теорему 5). Легко в этом случае получить и асимптотику решений (см. теорему 6).

Исследуем асимптотику решения задачи (19) в случае, когда (д)т ф 0.

Теорема 7. Пусть

Vе = -

тогда Vе — (ие)п —" V0 слабо в Я*(П) при £ —» 0, где V0 —

решение следующей задачи

{

Аь° = 0 еП,

дт

= д{х) - (д)оп иаЭП,

(22)

|П|.

п

В четвёртом параграфе даётся оценка величины вЕ. Показано, что

+ о[—2?г

(|1п£р)

(1 + х)1пе VI 1пе]2У ^ 1пе0-1пе'

где £ < £о < 11 * = сопй > 0

В пятом параграфе исследуются спектральные свойства операторов, соответствующих краевым задачам (1) и (7).

Пусть выполнено условие (5). Рассмотрим следующие задачи на собственные значения

' Аи^ = 0 в П,

и* = 0 на Г%, (23)

|£ = АеЧ* на Г%.

= 0 вО,

Ug = 0 на дП, если р = +оо (24)

^ + р = AqUq на , если р < +оо.

Здесь икЕ е Я^П.ГЬ), и§ G Я*(П), А; = 1,2, ... , образуют ортонормированные системы в £>2(^)1 собственные значения {А*}, {Ад}, к — 1,2,... занумерованы в порядке неубывания, причём каждое из них повторяется столько раз, какова его кратность

aU ••• ^ ^ aU ••• < Ag ^...

Если р = +оо, то легко видеть, что в этом случае задача (24) не является спектральной. Имеет место утверждение.

Теорема 8. Предположим, что выполнено условие (5).

1. Существуют такая постоянная tCg(k), не зависящая от е, что при достаточно малом с

[А* - А§| < /Cg(k) у-р ^ , если р< 00,

А* +оо, если р = оо.

2. Пусть кратность собственного значения Ag+1 задачи (24) равна т: Ag+1 = • • • = Ад"1""1. Тогда для любой собственной функции задачи (24), отвечающей собственному значению Ад+1, существует линейная комбинация

ие собственных функций ... ,и*+т задачи (23), отвечающих собственным значениям А*+1,..., соответственно, такая, что при достаточно малом £

если р < оо,

где постоянная К\о{к) не зависит, от е.

Заметим, что если в предельной задаче имеется кратное собственное значение, то коэффициенты линейных комбинаций собственных функций, о которых идёт речь в теореме 8, могут зависеть от е. Утверждается только близость подпространств.

Во второй главе рассматривается мембрана с частично закреплённой границей, имеющей непериодическую структуру закреплённых участков. Пусть участки закрепления границы имеют длину порядка £\ и чередуются с участками длины порядка £2, на которых задана нагрузка. Возникает вопрос, при каком соотношении между параметрами £1 и £2 положение равновесия такой мембраны при малых £1 и £2 близко к положению равновесия закреплённой мембраны.

В первом параграфе второй главы рассматривается случай предельного условия Стеклова.

Обозначим через П (см. рис. 3), область в Ж2, лежащую в верхней полуплоскости, граница которой Г является кусочно-гладкой и состоит из нескольких частей: дП = Г1 и Гг, где Г1 — отрезок [— на оси абсцисс, часть Г2 в окрестности точек (—5,0) и 0) совпадает с отрезками прямых Х\ = —| и II = | соответственно, Гг — гладкая. Также предполагаем, что Г1 состоит из чередующихся участков 7] и при этом

К N.

7£ = у7', г£ = ур£, Г! = 7виГв.

¡=1 ¿=1

Рис. 3: Область П.

Предполагаем, что для любого г выполняются следующие условия: |Г* | = О(е), = 0(| Inej5-1), где 6 = const € (0,1). Здесь и далее е — малый параметр.

Пусть Я1(П,Гг U Ге) множество функций из Я1 (fi) с нулевым следом на Г2 U Г£. Аналогично, через if1 (fi, Г2) будем обозначать подмножество функций из Я1 (fi) с нулевым следом на Гг.

Имеют место утверждения.

Теорема 9. Пусть g € L2(ri), Q — произвольный компакт на комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений спектральной задачи

Auq = 0 в fi, - = Ао«о па Гь (25)

щ = 0 на Г2.

Тогда:

1 ) существует число £q > 0 такое, что при любом е < £о и

любом \ € решение краевой задачи

' АПе = О вП,

ие = 0 на Ге, .

я тт (26)

^ = \и£ + д на 7е, ие = 0 на Г2.

к

существует и единственно, а также справедлива равномерная по £ и А оценка

11^11ячП,г,)<<М1з1и(Г1); (27)

2) для решения краевой задачи (26) имеет место сходимость \\ие - ИЬИячпду 0 при е 0, (28)

где Щ — решение предельной (усреднённой) краевой задачи

Аи0 = 0

в П,

дщ = Шо + д наГи

[и0 = о

(29)

на Гг.

Теорема 10. Пусть Ао — собственное значение кратности N предельной спектральной задачи (25). Тогда:

1) к собственному значению Ао сходится N собственных значений (с учётом совокупной кратности) возмущённой спектральной задачи

Аие = О иЕ = 0

в П,

на Г£,

^^ — Аеие на и£ = 0 на Г2;

(30)

2) если А£д, ..., \С1м — собственные значения задачи (30), которые сходятся к Ао, а ие,ь ■ • • ,и£)лг — соответствующие

собственные функции, ортонормированные в то для

любой последовательности £f¡ —> 0 существует подпоследо-

к—юо

вательность —> О, такая что

IK¿ ~ uo,jllHi(a,r2)

при £ = £ь> —> О, где иод, • ■ •, — собственные функции спектральной задачи (25), соответствующие Ао, ортонормированные в

Функция U£ € Я^П, ГгиГ£) называется обобщённым решением краевой задачи (26), если для любой v S Hl(Q,, Г2 U Г£) имеет место интегральное тождество

У (VUe,Vv) dx — X J U¿vds = J gvds. (31) n 7« ъ

Функция Uq € Я1(Г2, Г2) называется обобщённым решением краевой задачи (29), если для любой v 6 Я1(Г2, Г2) имеет место интегральное тождество

J (Ví/0, Vü) dx — X J Uovds = J gv ds. (32)

n Г, rt

Аналогично, функция ue € Hl(ü, Г2 U Г£) называется обобщённой собственной функцией спектральной задачи (30), соответствующей Ае, если для любой v € Я1(П, Г2 U Г£) имеет место интегральное тождество

У (V«£, Vv) dx — Х£ J ucv ds.

f.

Функция щ € Н1(П, Г2) называется обобщённой собственной функцией спектральной задачи (25), соответствующей Ао, если для любой V € Н1(П, Г2) имеет место интегральное тождество

J (Уио, V«) dx = Ао j щvds.

Во втором параграфе второй главы рассматривается случай предельного вырождения спектра.

В области П (см. рис. 3) предполагаем, что для участков границы при любом г выполняются следующие условия:

С~е ^ |Г'| ^ С+е, cs < |7*| ^ С+е, где 0 < СГ< С+< +оо.

Рассмотрим следующую краевую задачу для эллиптического уравнения второго порядка: 2

■ п.

{7е = 0 на Г2 U Г£,

(33)

(здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам от 1 до 2), v = (v\, v-¿f — единичная внешняя нормаль к díl, g € L2(dfí). Коэффициенты a,J(x) — ограниченные измеримые функции на Я, матрица (a,J(x))¿j.=1 положительно определена, т.е.

*2|£|2 «S ^ где >0,к2> 0.

Решение задачи (33) ищем в пространстве Н1(П, Г2 U Ге) = {«(*) I v(x) € Я*(П), ф)|г>иг1 = 0} с нормой

Имеет место теорема.

Теорема 11. Последовательность решений ие задачи (33) сходится к щ = 0 при е, стремящемся к нулю, в норме и слабо в ЯХ(П).

Рассмотрим следующую спектральную задачу типа Стек-лова, которая соответствует краевой задаче (33):

'Ь[и£] = 0 в П

< ие = 0 наГ2иГ£ (34)

^ = Х£и£ на 7е.

Все собственные значения задачи (34) — действительные и, кроме того, положительные числа, и для них справедливо:

О ^ А* < ^ ..., А* -> оо при к оо.

Здесь мы считаем, что собственные значения А£ подсчитыва-ются с учётом кратности.

Теорема 12. Первое собственное число задачи (34) имеет

порядок —, т.е. удовлетворяет следующему соотношению:

"7" - " ~Г'

где К. 12 и К\ъ — некоторые положительные константы. Более того, первая собственная функция и\ —> 0 сильно в Ь2(П) и слабо в Н1(П).

Благодарность.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю академику РАН Виктору Антоновичу Садовничему за поддержку и внимание к работе над диссертацией. Также автор благодарит профессора В.Е.Подольского за важные замечания и полезные советы.

Основные публикации автора по теме диссертации

(из официального Перечня ВАК)

[1J Чечкина А.Г. О сходимости решений и собственных элементов краевой задачи типа Стеклова с быстро меняющимся типом граничных условий // Проблемы Мат. Анализа. Т. 42. 2009. С. 129-143.

[2] Садовничий В.А., Чечкина А.Г. Об оценке собственных функций задачи типа Стеклова с малым параметром в случае предельного вырождения спектра // Уфимский математический журнал. Т. 3. № 3. 2011. С. 127-139. [Садовничий В.А. — постановка задачи, общее руководство; Чечкина А. Г. — доказательство теорем 1 и 2]

[3] Чечкина А.Г. О сингулярном возмущении задачи типа Стеклова с вырождающимся спектром // Доклады РАН. Т. 440. № 5. 2011. С. 603-606.

(прочие)

[4] ЧЕЧКИНА А.Г. Теорема усреднения для эллиптического уравнения второго порядка с быстрой непериодической сменой типа граничных условий // Математические методы решения инженерных задач. Москва: Изд-во МО. 2010. С. 88-108.

[5] ЧЕЧКИНА А.Г. Вырождающиеся задачи Стеклова с микронеоднородной структурой //В Сб. тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 105-летию С.Л. Соболева (Россия, Новосибирск, 2013, 18-24 августа). Новосибирск: Изд. Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН. 2013. С. 289.

[6] CHECHKINA A.G. Homogenization problems for the second order elliptic équation with aperiodic rapidly alternating inhomogeneous boundary conditions // Narvik University College R&D Report. № 1. 2010. 17 pages.

Подписано в печать 22.09.2015 г. Бумага офсетная. Печать цифровая. Формат А4/2. Усл. печ. л.1. Заказ № 328. Тираж 100 экз. Типография «КОПИЦЕНТР» 119234, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д.20 Тел. 8 (495) 213-88-17 \улу\у.аи1оге£ега11 .га