О собственных колебаниях систем с концентрированными массами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮ1Ш

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННА УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОГ.ЮНОСОВА

1ЛШНШЮ4ШЕШИЧЕСК15Й ФАКУЛЬТЕТ •

О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМ С КОШЩТРИРОВАНШШ МАССАШ

(01.01.02 - да<йеренциальнне уравнения)

А~'в тореферат диссертации на соискание ученоД степани кандидата ^азпло-глатематических наук

На правах рукописи

РАХГШЮВ Нургали Урннбекович

УДК 517.955.227

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений мэзса-шко-ттештического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор О.А.Олейник Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Б.М.Левитан, кандидат физико-математических наук, н.с. Г.А. Иосифьян Ведущее научное учреждение - Московский институт электронного

машиностроения.

Защита диссертации состоится <Ш1ШВД)_-1991

в __16__чао _05__мин на заседании специализированного Совета

Д.053.05.04 по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы: МГУ, механико-математический факультет, аудиторвя__1б-24__.

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГ/Д1^ этая,Главное здание).

Автореферат разослан "Л" 1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

Д.053:05.04 при М1У, д.ф.м.н.

ЖиУ

Т.П.Лукашенко

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность_темы. Одним пз важных разделов механики сплошной среди является изучение колебательных систем с сильно неоднородной плотностью, что монет быть вызвано присоединением к системе сосредоточенных масс. Колебательные системы, нагруженные сосредоточенными массами, часто встречается в физике и техника.

Большой интерес колебательные системы такого типа приобрели в связи с исследованиями колебаний разного рода вибрирующих конструкций, устойчивости вибрации крыльев самолета, а также при расчете собственных колебании антенн, нагрукенных сосредоточенными емкостями и самоиндукциями [Y] .

В 1984 году французский математик Э.Санчес-Паленсия рассмотрел собственные колебания некоторых таких систем в рамках спектральной теории возмущений [<Q .

Модель Э.Санчес-Паленсии позволила учитывать способ распределения сосредоточенной массы, т.е. геометрию области на которой масса фактически сосредоточена.

Вслед за этим появились работы О.А.Олейник , , где более общая постановка задачи. и даны новые под-Щ Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. \2~] SancW'-Palmm^E. Parpar Wien of eupwaWs ui tWmoeXos.-ilätu, апД of vntU wmmvWaAtA Ц

Тшг4 and appUcatioa^, of ршге. Ьргигдгг,

1ЭВЧ, PVwjs.j N495). .

И 0fo'mk,O.f\. Ьргсйгапг d^yjJWly piHuvWd ъртЛогь jj Won sW .Л Wt, Р.-Ш-Х^. (AidAvcta здД ^YL),

[jl^ Олейник O.A. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики, - М.: Наука, 1988, с. I0I-I28.

ходы к ее решению.

Модель О.А.Олелник, кроме геометрии области сосредоточения массы, учитывает также другую основную особенность колебательной системы с локально присоединенными массами - пто отношение присоединенной массы к массе самой системы.

Эти исследования продолжает представленная автором диссертация.

U§23LEäd2Sä« Исследовать асимптотическое поведение собственных частот и собственных колебаний некоторых колебательных систем о плотностью, возмущенной конечным числом концентрированных масс, при стремлении малого параметра, описывающего концентрацию масс, к нулю.

На^чная_новизн§11 Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1. Исследована задача на собственные значения для оператора Лапласа с граничными условиями первой и третьей

краевых задач в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс.

2. Указаны "предельные" задачи на собственные значения и получены оценки близости собственных значений и собственных фикций "предельной" задачи соответственно к собственным значения!.! и собственным функциям возмущенной задачи, причем выбор "предельной" задачи.зависит от определенных соотношений мегду

величинами концентрированных масс.

Диссертация носит теоретический характер.

Результаты диссертации получены с по-мощьч^етозов^проддояенных в работах [53 , ^4"] .

Пссп'.оьяп Г.Л., Олойник O.A., ИаыаоЕ A.C. О предельном поведении спектра последовательности операторог, заданных в различных гильбертовых пространствах // T.Z1, 1989. Т.44, П. 0. I57-1DC.

Идилокения. Из результатов диссертации Еытекает что лервпо N"- собственных частот изученных колебательных систем могшо сделать сколь угодно малыми, если локалыго присоединить относительно большие маеси. Характер поведения собственных частот этих систем зависит от способа сосредоточения масс. Все ото может быть использовано, например, в теории резонанса.

Апщюбация^иссертации. Основные результата диссертации дек ладывались на ХШ совместной сессии семинара имени И.Г.Петровског. и Московского математического общества (1990г.), на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета Московского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах аятора, список которых приведен в конце автореферата.

Структ^а_и_объем_ диссертации. Работа состоит из Введения, трех глав, содержащих II параграфов, и библиографии. Общий объем работы 150 страниц. Библиография включает 35 наименований.

СОДЕРЕАНИЕ даССЕРТАЩН

Во Введении показала актуальность работы, проводится обзор ранее полученных результатов по теме диссертации, формулируются основные результаты диссертации.

В диссертации рассмотрены следующие задачи на собственные значения.

Задача I.

\\ibQ, < u\«o на ^Q3u\e4^Q),K-U;..v

k-i д^)) , о < ^ .. .....

iaci

' +и=о в а,

.+ на Ъ©,и\еиЧ^Хк^Д,...,

гдеО -ограниченная область в с гладкой границей , - положительный малый параметр, К" - натуральное число, т. ^=1 - означает дифференцирование по внешней

пор,или к

- гладкая функция на

, а-, е £> ,

- ограниченные измеримые функции такие, при ^е^ и при ^ ^ , где ^ = '

1. - стлвол Кронекера, т.е. = 0

при К^ и при К=Д .

В первой плаве исследуется вопрос о влиянии конечного числа концентрированных масс па собственные колебания тел, закрепленных на границе (исследована задача I при ).

Во второй главе исследуется вопрос о влиянии конечного числа концентрированных масс на собственные колебания тел с условия ми упругого закрепления границы (исследована задача 2 при П.1?-?)) В третьей главе изучены собственные колебания мембраны (зак репленной и упруго закрепленной) с конечным числом концентрированных масс (исследованы задачи 1,2 при ).

Сформулируем основные результаты диссертации. Для этого рассмотрим еле,дующие задачи на собственные значения.

Задача 4.

Задача 5.

К"«,

г

Задача 6.

0<Л.14 ....

Задача 7.

Мк+Л^-О В ^ХУ^-О на')©,

. ике И1®),

где г! обозначает пространство, полученное пополнением С0 по норме 11 VfeU 11 jpn.^ » ^ ^ 2> • Задача 8.

где обозначает пространство, полученное пополнением

по норме

Iuи Л 1

Задача 9. ^^.....

Замечание. Собственные значения задач 1-9 пронумерованы с учетом кратности.

Основными результатами работы являются следующие утверкде-

ння.

Теорема I. Дусть TTL= VYUXX С.УЦ;1_,...)Щ^').Тогда а) если ГСК'Э-уКЪ'^- и - собственные значения задач

1,3 (задач 2,4) соответственно, то

где постоянные Сц не зависят от

- 6 -

Для любой собственной функции \1, задачи 3 (задачи 4) такой, что 11 'МЛХ")11 > отвечающей собственному значению

кратности Б, существует линейная комбинация

Л!*" собственных функций ..., задачи I (задачи 2), отвечающих собственным значениям ^ < соответственно, такая, что

□ к '

где '32. цД^") - характеристическая функция множества 1л1 такая, что г<£и5\11с>') = 1 при ^еи) и 'Хц,

= 0 при

а постоянная не зависит от Ь ,

б) Если т.= П11-...^Пгк.(1> и - соб-

ственные значения задач 1,5 (задач 2,5) соответственно, то

аде при п^д^-юа^е^ол]

при П^Ч^иЛ^ лРи и постоянные Ск не зависят от

Ь .

Для любой собственной функции ~\Г= ОГ^Д^) ?... у^Г^Л^) задачи 5 такой, что

отвечающей собственному значению

кратности $ , = ...-Лу+е, существует последовательность функций

И-Чъ),

являющихся линейными комбинациями собственных функций задачи I (задачи 2), соответствующих собственным значениям ^

- 7 -

такая, что для ^ ЛС'^ЛЛ^ имеет место оценка

ИГЛ 1 = 1=К>1.

И ' I

Н"о

X.' 1-1

где постоянная не зависит от Ь .

в) Рели . = , и>2) и

- собственные значения задач 1,6 (задач 2,7) соответственно, то

где постоянные Сщ не зависят от Ь , а ^^ определено вше.

Для любой собственной функции ЛГ = (ДГ^ , "МАХ})

задачи 6 (задачи 7) такой, что

отвечающей собственному значению А. кратности 5> Л.,,. существует последовательность функций (.X) , являющихся линейными комбинациями собственных функций задачи I (задачи 2), соответствующих собственный значениям } •. -, -^^.с, у

такая, что

И К *

где постоянная М^ чр зависит от Ь .

Теорема 2. Пусть ГП = тах^Ш^,... = ГП^ <

и = 1 . Тогда, если и собственные значения задач 1,8.(задач 2,8) соответственно, то

Як - К-1Д,...,

где С'к., постоянные С^ не зависят от.Ъ .

Для любой собственной функции ЛК^) задачи 8 такой, что , отвечающей собственному значению 1. крат-

Л кНиУ)

ности Ъ , т.е. К.+1- . • . "" > существует

последовательность функций ^ ^Х) , являющихся линейными комбинациями собственных функций задачи I (задачи 2), отвечающих собственным значениям , ..., > такая, что

для функции

имеет место оценка

\ ^ ■+г Л N4-^ -

где постоянная М^не зависит от .

Теорема 3. Пусть "шах С.... ,П1№')= ТП^.. . = и

П=Х. Тогда при любом К=1,собственные значения С^у. задачи I (задачи 2) имеют конечный предел ¡Х^К-) при^->0, причем либо либо!\^Л0 собственное значение задачи 3 (задачи 4), либо ^"является собственным значением задачи 9.

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Ольге Арсеньевне Олейник за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Рауманов Н.У. О собственных частотах тел с конечным числом концентрированных масс // ЛШ. 1990. Т.45, № 4, С. 124-125.

2. Рахманов П.У. О спектре смешанной краевой задачи для оператора Лапласа с сингулярно возмущенной плотностью // Изв. АН Уз. ССР. 1990, № 6, С. 23-29.

3. Рахманов Н.У. О собственных колебаниях мембраны с конечным числом концентрированных масс // Деп. в ВИНИТИ № 6443-В90 от 26 декабря 1990 г., 53 С.