О спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов четвертого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГЬ

Ой

. ^ VIЯВ&ШИв ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

Мустафаев Абдикади Прмагамбетович

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОГЕРАТОРОи ЧЕТВЕРТОГО ШРДЙДА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Алыаты, 1993

Работа выполнена в Казахском государственном национальном

университете имени Аль - Фарабц,

Научные руководители) оден-корреодоцдеда АН РК,

доктор физико^атематических наук , профессор Т.Ш.Кальиенов , кавдидат физико-математических наук

Б»Н,Сящ>ов •

Офицшльные ошонентш^доктор фазро-^тематииеских наук,

(фофеооор С,А,Аададев , к&ццида? физиков® ематических наук М,Д,0ады5е«ОЭ t Ьедущыл организации? Таикш^уокий государственный

университет.

Защита состоится "19 Р тн р, ¡р 15,00 чао

на заседании Регионального слеци&яизированного совета К 056,01,17 ро приРУЗДен^ю учеяой степени равдидата наук в Казахском государственном национально^ университете иы.Аль-Фараби по адресу: 4Ш017 ^ 1% Алматц «Ул*

¿Часанчи , 39/47 .

1 1

С диссертацией модно ознакомиться в научной библиотеке Каз ГУ .

Автореферат разослан " (О " 1993 Г.

Ученый секретарь

Регионального специализированного

совета , кандидат физико-ыатекитических

наук »доцекг "**""' А.А.Бедельбаев

ЬБи^АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы . Исследование краевых задач для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа в областях с характеристическим частями границ, ввиду их теоретической и практической важности, гт освящены многочисленные работы отечественных и зарубежных математиков и механиков. Большинство работ по уравнениям смешанного типа посвящены уравнениям второго городка и сравнительно немного уравнениям высших порядков. На важность исследования уравнений высших порядков смешанного типа впервые обратил внимание А.Ь.Бицадзе. Такого рода уравнения встречаются при изучении математических моделей физических процессов как сверхзвуковое, околозвуковое течение газов и жидкостей или в плоских задачах теории упругости и т.д.

Теория краевых задач для уравнений смешанных типов берет свое началу с работ Ф.Трикоми, С.Геллерстедг, Ф.И.Франкля, М.А.Лаврентьева, А.Б.Бииадзе, К.И.Бабенко.

^льнейшему развитию этой теории посвящены работы К.Фридрихса, И.Лакса-Филлипса, К.Моравец, С.Агмон, Л.Ниренберг, Ы.Проттер, /л.М.Смирнова, А.М.Нахушева, М.С.Салахитдинова, Т.Д. Джураева, М.Отелбаева, Т.Щ.Кальменова, Ь.И,Моисеева, С.1а.Пономарева, С,П.Цулькина, А.П.Солдатова, Ф.И.Ьолкодавова и других.

А для уравнений вше второго порядка в частности посвящены работы Ы.М.Смирнова, и.И.йегалова, Т.Д.Джураева, Ы.М.Ыере-дова, • Ф.Ш.Байгуэина, Т.Щ.Кальменова.

Целью работы является исследование спектральных свойств краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнения четвертого порядка в гильбертовом пространстве.

Научная новизна. Для уравнений гиперболического типа четвертого изредка построены рад самосопряженных задач типа Бицвдае-Самарсого, класс корректных граничных задач с полными или базисными системами корневых векторов. Аля эллипгико-гиперболического уравнения четвертого порядка найдены несамосопряженные граничные задачи, которые система собственных функций образует базис Рисса,

' Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшей разработки спектральной теории краевых задач д~я уравнения смешанного типа высокого порядка, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Адробаиия работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах члена-корр, АН Рг» профессора к.и.ителба-ева /¡4АС ли Рл /, члена-корр ¿Щ Рл профессора Т.ш.Кальменова , • члена-корр Щ рК профессора А,Касрмрра /ЬазГ* /,д.ф,-м.н. Д.^.Уыбетланова , докладывались на всесоюзной научной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифферендааль-ных уравнений", /г.Ал^-Ата, 1№1 г. май /

Лубликащя. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-4).

Структура диссертации« Диссергадаонная работа состоит из введения и двух глав, разделенных на ? параграфов и стека литературы.

КАЙ'КСл ОЭДьРШИБ РАБ^ГЫ по введении приведены краткое содержание работы и формулировка основных результатов.

Глььа 1,0 некоторых спектральных свойствах для уравнения

-

гиперболического типа четвертого порядка..

Цусть Q-C R. - конечная область, ограниченная отрезком Аа: i оси у=и, а при у <0 характеристиками АС:

üü: a:-y=d уравнения-

4txcbSt-2UM^+U4yw-Xu= • (I.I)

а первом параграфе рассматривается

Задача Дарбу, b области О. найти регулярное решение tl^y) уравнения (1.1), удовлетворяющее краевым условиям

О<х<4. ; (1.з)

*?L=<C*Cx)» O<oc<i (I.b)

где <C и cCl - заданные достаточно гладкие функщи, причем ч:(о)=Г(о), <с'(о)=» '/(о) \ (о) Ь этом параграфе получе. э интегральное представление решения задачи Дарбу через функцию Римана-Дцамара, тем сейш доказано.

Теорема 1. ¿адата Дарбу в пространстве 1_г(£1) имеет притом единственное решение при любом значении комплексного параметра А т»е. является вольтерровой задачей.

Заметание» Решение задачи Дарбу позволяет найти на отрезке y=ü , о<х<-1 соотношения гц^у)и H^fc^) чеРез U(.x>4) и /\хчч(х.,Ч) , которые необходимы при исследовании краевых задач для уравнения смешанного типа.

ßfmee, в § 1.2 рассматривается задача типа Бнцадзе-Са-марского для уравнения гиперболического типа.

Задачами тиги. Бицадзе-Самарского назовем задачу, которые помимо граничных условии задшотся связи мезду значениями функ-

- о -

ции на границе и на некоторой внугренной ломанной.

В области П * где £1 с. Й* конечная область, ограниченная при у < о характеристиками' аС; у = о , БС: а:-у = 1 уравнения

Ьи=ихх-ауу= |(х>чО и.1)

и отрезком ДЬ: о 4 ос б 1 оси у=0,

Рассмотрим внутри области ломанную , сос-

тоящую из кусков характеристик А^Ц :а-у=х„

где о<а0< 4 . Тогда область делился на части

?

с гомощыо ломанной К^В^ •

Задача Найти решение уравнения (2.1) удовлетворяющее условию

*

и(х,0) = 0 , Обх<1 (2.2)

(¿■Не*^[ес^^иС^^.н^).

1(с - &) и »- - а+ -1 В) [© а - •

+ С1+ 1а-:с) [е .«е+о^Ьу

/де й, б - вещественные, С -комплексное число, 0(4) - функ-дая Хевисайда, тогда имеет место

Теорема 2. Оператор L8 соответствующий задаче 5 , является корректным и дискретным в

Замечание» В случае 0.= ё = С.= О задача 5 превращается к задаче для уравнения (2.1) с краевыми условиями

11(3,0)= О ,

-

и £ \Х/г С-^-) • !ла самосопряженная, дискретная и коррекгв>2; задача изучена в работе 'Г.Ш.Кальменова "Спектр краевой задачи со смещением для волнового уравнения :-Дифф..уравнения- Г. 19,И.-0.75-21.

ь той же области XX рассмотрим биволновое уравнение

= + (а о)

1 г*4 ^Х^У1 да тС*.у)

Задача ". Найти решение уравнения (2.0), удовлетворяющее условиям

,

£ > - о, ЧЧ* > Ц1)= 0.04 ^ -1

где |с/1= d , оС - комплексное число, то справедлива

Теорема 3. Оператор » соответствующий-задаче iS, , является корректным, самосопряженным и ядерным в L2(Q^

Оператор А называется сужением оператора В или В называется расирением опрератора Д : если

I) "D(А)с D(B), 2) Ах= Всс , для всех сс из 1}(АУ Оператор А0 будем называть минимальным, если уравнение корректно разрешимо и RС^о)Ф И.

' 'л

Оператор Д будем называть максимальным, если уравнение /\х=у везде разрешимо и

Оператор A- Ar+Î- А^ называется диссипативным, если А^о» аккретивным, если А^^-О.

jfb результатов работ Ь.О.Огельбаева и его учеников известно, что если А^, некоторое корректное сужение максимального оператора А в И « то обратные всевозможным корректным сужениям А * максимального оператора А имеют вид

где К - произвольный линейный ограниченный оператор, действующий из

Ив КегА.

Когда А,0 < А оператор А из представления ( » ) удовлетворяет условиям: 4

a)R(K)cKer-Ä , б) R(Ao)c КегК и

A«j, является регулярным расширением т.е. А0С А<^С A , обратные всевозыоиным регулярным расширением Акшни1шльно-го оператора А0 даемся го формуле ( » )

Гепарь приведем основные результвты, полученные в (I.J а §1.4.

$1,3. фсть О.С fi. - конечная область, огрзшчешал arptauzu

-Ю-

АВ: прямой О и характеристиками АС:х+-У=о

и ВС : х- ч= 1 уравнения

при У < О .

Ь данном параграфе дчя биволнового уравнения (ЗЛ) в характеристическом треугольнике выделены корректные сужения с ядерными и дисаипаФивными-обратньалЬ Оци по Теореме В.В.Лид-ского,'1 обладает полной системой корневых векторов,

Отметим, доказанная при етом теорема дает Нам возможность вьщелить всех диссишгцрных корректных задач о Ядерными обратными для биволновов; уравнения » Ц (Д) *

В §1.4 доказана слвдуедая абСТраденая Георема Б. %сгь Ц - самосопряженное дискретное расвире- . ние минимального оператора {.0 относительно максимального оператора

тогда оШраюр с действием

А Л . Л ^ Л

где оператор К » действующий иэ Ц в Кег L такой, что К 1_ ограничен в И и с облает ьв ойредеябния

ьа> гс^-к^-о),

является корректной и рбладае® систему корневых векторов образующих базис Рисса в И.

Эта теорема позволяет заменить относительно контактность возмущения с относительно ограниченностью в гильбертовом пространстве Н .

Далее применяя доказанную абстрактную теорему, корректным сужениям максимального оператора {_ для биволнового ^фав-нения (3.1) в пространстве подучим ?цасо корректных

сужений о системой корневых векторов, образующих базис Рисса

а

Глава II посвящена изучению некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа четвертого поредка.

§2.1. ПустьОсй - конечная область, ограниченная при ^ > О кривой Ляпунова <5 , оканчивающейся в окрест ности точек А(о,о) и В(1,о) малыми дугами и нормальной кривой 60 : (х- у1 = } а Ари Ж о характеристиками АС; , ВС; :х-у=1 уравнения I . _ ?>Ч . о ^ , ?)Ч ^У р .

Задача К . Найти решение уравнения (1.1), удовлегворяющее условию

^141 134.1

1ас~° ' ?>Я »

где Тъ - внешняя нормаль. Справедлива

Теорема 7. Если ^Сх^б-С^Й.^ПССЯ»), го существует единственное решение И (а в классе С (¿1.^) задали К и соответств}тэциЙ оператор 1> к этой задаче в является симметричнш.

§ 2.2 Г^сть Ас Р.' конечная сч$ласгь, ограниченная при у>о отрезками прямых АА1."эс«о,о&уй 1; АЬВ,:, ВВ4 -х«1 I , а при Ч<о характерно?

ВС: х-ч« 1 урмнвжя

-и|б=о ,

-1:1 ^

('

Обозначим через

у<о|ПО.

Задача К^.. Найти в области О решение уравнения (1.1) удовлетворяющее краевым условиям •

К-Сад) = ^О, 1) = 0 , I

и . .

'и условиям склейки при Ч- О

Ч-Ц-0 *♦-<>

ЧН + О 'о У ' у-»-о ■ 'оу

Фу*

где с1,0^0- любое комплексное число. Тем самым справедлива

Теорема 8. Для задачи К"^ при Д(о£,п)^0, и.= (>,±¿,±2.,... сушествует и единственное

- 13 -

решение, удовлетворяющее неравенству

^ О И

где А(о(,Г1)-0'тт+ (И&ъоС)- ■

(2ТТП.+ 21

§¿.3 о этом параграфе показано нормальность задачи полученной из К^ с помощью подобИ&го преобразования Р < Р , где Ри^с^ ,и(х)у') , тем самым доказан

Теорема Система собственных функций задачи при о^ 0,-1 и при

- (1-сО С*™ + ^ ^оС)] ф О

образует базис Рисса в |_2(5П).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах I.А. П.1луствфаев., С.Ь.Керимкулов. Задача Дарбу для гиперболического уравнения четвертого гюредка // Изв. нН РК Сер. физ.-мат,- в печати.

2,С.Б.Кериикулов, АЛ1Лустафаев. ¿адача .Пдрбу для волнового уравнения четвертого порядка со спектральным па ракет ром // Тезисы докл. научной конференции " Краевые зада«« и их спектральные вопросы дая дифференциальных уравнений ". Алма-Ата.- 1991.

ЗЛ'устефаев АЛ 0' полноте системы корневых векторов одного класса регулярных решений дая биволнового уравнения // Дэп. в Каз ШИШ.- Ib.0l.fi3, - » - 5с.

4.кустафаев А. П. 0 базисности'Рисса системы корневых векторов едного класса корректных сухи«3 для би£слномгс уравнения // Дзп. в КыШШКИ. - 16,01.93, -

Бул жумис нег1з1нен' leprimii пшерболальд жаие

эллиптико-гиперболалыц аралас тендеулерд^н кеиб^р спектрлЬ« цасиеттер!н зертеуге . арналган.

lepriimi perri пшерболрльц тендсуге Мрбу есе-6îhîh розолььеьчэсы г'ишн-Адамар дункциясы арцылы аицын турде цурылып, бул есептхн рольтёрл1Г1 керсет1лгвн. Lkîh-ci гене TopTjHffli ptiTTi гииерболилыц • тен^-уг»; Сицга^.з^-Ога-гр-скии Tiiim-c есемгр isiifrb, esib'-osi tykihj.<с сcemep бо-MiHin ({0рсет1лген. Ооркмен цатар Toprirai peiri гиперболальц тендеупз MeKiijKTi кене тчрнеме 4уннциялар системен бертлген KeHicTiKTe то'ль^ ж«не 1-"исс Casucib КУраитын жаг-даилары к.арастырылган

. Аралас типт| TepriHmi ратт| эллиптико-хмперболвльц тендеу Yiaiw eaitfe-esi туи^ндес емес Ciparç ыетпкп! иане TipKev.e ^ункцидлар системасы Рисс базис1н цурать-н есеп ялгаш рет табильт отыр.

Им-^т Ka»i»*»o.«a3nfo«rr, 3«. ifff Тгр. ¡Qr.