О спектре оператора, возникающего в задаче об устойчивости волн на глубокой воде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

о. -

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР' ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

Н1 правах рукописи УДК 517.9 + 532.5

Хабахпашева Татьяна Ивановна

О СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЛН НА ГЛУБОКОЙ ВОДЕ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

.Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР

Научный руководитель - член-корреспондент АН СССР П.И.Плотников

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.В.Сказка, кандидат физико-математических наук Н.И.Макаренко

Ведущая организация - Вычислительный центр СО АН СССР,

г.Красноярск.

Защита состоится " ^ У » 1991 г> в час,

на заседании специализированного совета К.063.9В.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

«22 ■■

Автореферат разослан "гС-< " ^ ■'•у^'—г 1991Г

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.ы.н... • В.С.Белове ооб

: Теория волн на воде издавна привлекает'внимание математиков .и..механиков. Это объясняется наглядностью описываемых- ею явлений'природы, важностью приложений, а также трудностью воз-'-никййй^! в ней математических проблем. Даже в наиболее простом случае - безвихревом движении идеальной несжимаемой жидкости -возникает задача об отыскании гармонической функции, удовлетворяющей нелинейным краевым условиям на неизвестной заранее свободной границе. Поэтому на практике чаще всего используются приближенные модели:-линейная теория, теория мелкой воды, приближения Кортевега - де Вриса и Буссинеска. Точных же результатов в теории волн на воде сравнительно немного. Они связаны с доказательством существования и исследованием свойств точных решений уравнений, описывающих волны на свободной поверхности в случае бесконечно глубокой жидкости или в случае течений над ровным дном. Исследование же устойчивости таких течений ведет-' ся в основном экспериментально или численно. Эти исследования показали, что разрушение стационарных волн из-за малых возмущений начальных данных происходит задолго до достижения волнами предельных значений скорости и амплитуды. Однако. точных аналитических результатов в этой области пока нет.

Вторая часть диссертации касается уединенных волн в стратифицированной жидкости. В этом случае волны образуются под действием силы тяжести на поверхности уровня плотности. Кроме того, проблема доказательства существования уединённых волн на свободной поверхности достаточно интересна, и связана с именами М.А.Лаврентьева , Дж.Б.Келлера. , Дж.Стокера , Л.В.Овсянникова .• Подробно об их результатах рассказано во втором параграфе первой главы. -

Основные результаты диссертации - . '

I.: Доказательство сущест: )вания бесконечного множества значений числа Фруда, при которых решение задачи о периодических потенциальных волнах на глубокой воде нейтрально неустойчиво. Исследование спектра оператора, возникающего в задаче о малых возмущениях стационарных волновых движений жидкости. Доказательство фредгольмовости обратного оператора" в случае волны предельной амплитуды.

2. Доказательство существования точного решения в задаче об уединенных потенциальных волнах, бегущих по границе раздела двух слоев идеальной жидкости . заключенных между горизонтальными дном и крышкой.

Практическая и теоретическая ценность.

Изучаемые постановки имеют реальную физическую интер-притацию, являются модельными при описании процессов волновой гидродинамики/Результаты также соответствуют внутренним потребностям теории начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Общая методика исследований.

Исследование начально - краевых задач в диссертационной работе проводится на основе методов, разрабатываемых в математической физике и функциональном анализе.

Апробация работы.

Результаты диссертации опубликованы в четырёх работах. Они докладывались на Всесоюзном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989 г. ), на Всесоюзной конференции молодых ученых "Моделирование процессов гидрогазодинамики и энергетики" (Новосибирск, 1990 г. ), на Всесоюзном совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Ростов-на-Дону, 1990 г. ), а также на семинаре теоретического отдела Института гидродинамики им. Лаврентьева и семинаре "Волны в старатифицированной жидкости" НГУ под руководством Л.В.Овсянникова, на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под руководством В.Н.Монахова, и на семинаре "Качественная теория дифференциальных уравнений" под руководством Т.И.Зеленяка.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 14 параграфов, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 102 страницы машинописного текста. Список литературы включает в себя 47 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе, носящей справочный характер, кратко голожен использ^мый математический аппарат, описаны пространства и операторы, играющие важную роль в задачах о волнах на воде, приведены формулировки основных теорем, используемых в работе. Во втором параграфе этой главы представлены основные результаты аналитических исследований потенциальных волн на поверхности идеальной жидкости. Дан краткий обзор работ по тематике диссертации.

Во второй главе изучается линеаризация двумерной задачи Коши-Пуассона, описывающей неустановившиеся 2х-периодические волны на поверхности идеальной несжимаемой бесконечно глубокой жидкости. Задача состоит в определении профиля волны у=Г(Ъ,х) и потенциала течения <р*= ф {1:,х,у) так, чтобы функция ф*(х,у) была гармонической в области

= ( (х«У) : -»<X<<*-', -со < у ^ х)}

для любого ь } Ь0 и на свободной поверхности у - х) выполнялись соотношения

« * *

г + Г © - ш

М: х ^х

*2 *2

2фь + ( фх + фу ) + 2\ Г = О

ф* о при у -♦ -со.

Кроме того, требуется выполнение начальных условий

Г(х,у) = Г0(х)

ф* (0,х,у ) = ф„(х,у )

где функция ф0(х,у) является гармонической в области

П0={(х.У> : -со<х<со( -со < у < Г0 (х)}

ф0(х1у) при у -со.

функция ф0 (х, у ) должна также быть 2и;-периодичеокой по переменной х.

Посредством конформного отображения, эта задача сводится к нелинейной краевой задаче в фиксированной области, ксгорая, после замены переменных и линеаризации на известном заранее

стационарном решении Некрасова* приобретает вид

а

M»t " — V * Np

Оф

hpt - -С(ф) т) - р (1)

. а(ф) - Qf + e3T(,p)cos 6(ф), h - exi9)

Здесь lKt,9) и p(t,<p) - малые возмущения стационарного решения, являющиеся следами на вещественной оси ( ф = 0 ) аналитических в нижней полуплоскости ( ф < 0 ) функций. 4ункции 6(ф), *с (ф) есть решения Некрасова стационарной задачи. 8(ф)-это угол между поверхностью волны и горизонталью, 1(ф) — экспонента модуля скорости на поверхности жидкости. Они связаны соотношением

1 - e3T.sin 0

9

d(x+iy)

d (ф4-1ф)

ет+1е

ф-0

Эти решения образуют однопараметрическое семейство с параметром |1 = З\е3т(0) ( \ -число Фру да, -1(0) - экспонента скорости на гребне волны .).

N - оператор "нормальной производной", действующий из гильбертова пространства 2я-периодических функций н1 в н°. Это самосопряженный в Н° с областью определения в н1 оператор. Его ядром является одномерное пространство постоянных функций. На ортогональном ядру подпространстве N имеет обратный оператор. Через коэффициенты Фурье ип функции и оператор N определяется следующим образом:

(Ни )п- |п| ип. _

Важным свойством указанной системы является её гамильто-новость. ■ '

После разделения временных и пространственных переменных

•^Некрасов А.И. 0 волнах стокса / Собр.соч. T.I.- M.s Физ.1.лт. Гиз., 1961.- С.26-34.

TK<p,t) - т}*(ф) elyt P«p,t) - р*(ф) ellft

уравнецие (1) приводит к спектральной задаче

( N - a )tj + т2( h n_1h )т] + 17( Kh + hK )т| - о (2)

здесь 7 - спектральный параметр, ( N - а ), ( Kh + hK ) - самосопряженные, a h n"1h - кососимматрический операторы в гильбертовом пространстве гя-периодических функций. Эти операторы зависят от решения, на котором производилась линеаризация. Нарастанию возмущений соответствуют значения ira 7 > о. В силу гамильтоновости системы, из существования нетривиального решения уравнения (2 ) о параметром Y следует существование нетривиального решения с параметром 7. Поэтому неустойчивости волн относительно 2ТС-периодических возмущений соответствует существование нетривиальных решений уравнения (2 ) при 7 с ненулевой мнимой частью.

Основным результатом этой главы является доказательство существования бесконечного множества значений числа Фруда, для которых уравнение (2) имеет нетривиальное решение при 7=0. Тем самым доказано существование бесконечного множества чисел Фруда, при которых существуют так называемые нейтрально неустойчивые моды. Этот результат получен на основе произведенного в третьем параграфе этой главы исследования спектра оператора ( N - а ). Доказаны следующие его свойства :

1. Оператор ( N - а ) имеет счётное множество собственных значений; Единственной точкой сгущения этого множества является положительная- бесконечность.

2. Все собственные числа ( к - а ) лежат на вещественной

оси.

3. Оператор ( N - а ) не изменяет чётность функций, поэтому спектр. ( N - а ) разбивается на два непересекающихся подмножества 2+ и

4. Спектр ( N - а ) на пространстве нечётных функций состоит из неотрицательных собственных чисел, rain о, йлу соответствует собственная функция e~T,sin 9. Доказательство этого факта осноаано на применении теоремы о простоте первого собственного числа самосопряженного полуограниченного оператора.

5. Спектр ( N - а ) на пространстве чётных функций при ц = 3 также положителен, и нуль является однократным собственным числом с собственной функцией сов ф. При увеличении параметра ц, первое собственное число становится отрицательным, Это устанавливается посредством разложения по малому параметру функций т(ф), 9(ф) .и числа Фруда к при ^ >'3, то е^ть в.окрестности тривиального решения.

Основным результатом исследования спектра ( к - а ) является следующая теорема, описывающая поведение собственных чисел этого оператора при бесконечном росте параметра р..

Теорема Пусть для некоторой последовательности (ТП.6П) решений уравнения Некрасова с параметром (An = ЗХ • ехр(ЗТп(0)) (ехр(-1(0)) -скорость, на гребне волны) значение Jin -* оо при п -> а>. Тогда количество отрицательных собственных чисел оператора { N - а ) оесконечно возрастает.

Доказательство. проводится от противного. Если предположит^, что число отрицательных точек спектра ( N - а ) при • п -♦ оо остаётся ограниченным, то для любой финитной бесконечно дифференцируемой чётной функции f(ф), равной нулю в е-окрест-ности нуля

lim Inf <( N - ап(ф))f(ф).f(ф)> > с.

П-Н» п>в

Важно, что эта оценка не зависит от 6, так как оператор N положительно определён, а ап(ф) при п -» со имеет особенность только при ф = О и вне окрестности нуля допускает оценку, равномерную по п.

С другой, стороны, построено семейство пробных функций ££(ф), для которых доказано, что

lim sup <( N - а (ф))f„(ф),f <ф>> < с. + с, in е.

m-KD n>m " с ь

Противоречие этих неравенств доказывает неограниченный рост числа отрицательных точек спектра при п - оо ( ц - оо ).

..Завершает эту главу доказательство фредгольмовости из ьр в Lp для любого р >1 . обратного оператора в случае линеаризации исходных уравнений на решении, описывающем волну предельной амплитуды. В этом случае функция (^(ф) . имеет-особенность при ф -* 0, и обратный оператор является сингулярным.

.■■'■-,.• б

Уравнение

( N - а^ф) ) и- - .

после использования ассимптотических разложений функций 0(ф), т(ф) в окрестности острого гребня, полученных Ат1ск с.д.,Рга-епкё1 Ь.Е. , переписывается в виде

[I - ф1 -— I = Ы_1Аи + ' (3)

|з ф

Здесь А регулярный оператор. Показано, что главная (сингуляр-г . л ^ Мз ф '

-1

ная ) часть оператора, обратного к - ^ —— |

Г -1Г ' 1 1 ф

I + N | —— I I. Использование техники преобразования Зурье

б ф

позволило уравнение (3) привести к виду и » ои + Р,

и показать, что о - компактный из Ьр(0,Т) в Ьр(0,тс) для любого р > 1 оператор.

В третьей главе диссертации изучается задача об уединённых волнах в двухслойной идеальной жидкости, заключенной между горизонтальными дном и крышкой.

Задача ставится следующим образом: . Пусть обе жидкости занимают полосу {(х1?х2) : о < х2< 1+н } и при х2-» га плотность, скорость и толщина нижней жидкости равны единице, а значения этих величин для верхнего слоя - р, уин соответственно. Такое" предположение не ограничивает общности, в связи с производящимся в дальнейшем растяжением переменных. Требуется определить щгфиль,волны х^ Ь(х1) и потенциал течения - гармоническую в областях

{(х4,х2 ) : о < х2< ь;х1)}

С2= (<хх.'х2 ) : Ь<х1> < х2< 1+11 ) функцию ф так, чтобы выполнялись, уравнения/и граничные условия

д ф - о

(; И- ■ (I ™аГ

+ в Ь{хг) + Г

при х?- Ь( х^,

(Уф1»)

а ф

Эх,

- о

( V ф при

при Х^- Ь ( х^), О, х^ 1 + Н. .

где С - д•(1-р>, Г - постоянная Бернулли, индексы + и - означают, что значения функций при х2» х), берутся как их пределы сверху и снизу соответственно. К уравнениям и граничным условиям добавляются соотношения, определяющие поведение жидкости на минус бесконечности:

а ф

дх1

а ф ах.

V, Х2 > Ь(х1) 1, Хг < Ь^)

при X

-СО.

Первое из граничных условий означает непрерывность давления на границе раздела жидкостей, остальные - непроницаемость границ области течения. Дополнительные условия указывают, что на бесконечности течение приближается к равномерному потоку.

Целью работы является доказательство существования непрерывных решений, описывающих уединбнные волны, бегущие по границе раздела жидкостей.

После перехода с помощью замены пространственных переменных на переменные Мизеса.исходная задача приводит к нелинейному уравнению в фиксированной области для функции у(£,ф) «

- у( х1» Ф ) • (Ф ~ Функция тока ):

а

а ф

1 + \>у\

А-

а

- ц — а е

при 0 « ф < 1 и при 1 < ф $ 1+0

1 ' 1 - НУ1 1 [1 +

2 2 2 у 2 у*

+ G у - Г - 0 при (|) = 1

у - 0 при ф - О

у+- у- при ф - 1

у - 1 + Н при ф - 1 + О.

С помощью разложения по параметру малкой воды находится одно-параметрическое семейство приближенных решений этой задачи, описывающих уединённые волны

у„(е.Ф)

Н(ф - 1) 1+Q- Ф -:- + 1 + -

ф + ца(£)ф

ft,

Здесь ф '- функция тока, £ = Ц0,5 Xj. Ц - малый параметр, 0 = vH - расход верхней жидкости. Функция а(|) задается формулой а<£) - Cjch"2( £с2)

-2-4

9 случае 1 - р О Н >0 волна имеет форму "горба", иначе -"впадины". Отметим, что в случае поверхностных волн возможны только уединённые волны возвышения.

Основным результатом этой главы является доказательство теоремы, гласящей, что существует однопараметрическое семейство точных решений этой задачи У^(£»ф)• Г^, G^, таких, что

Ум(?,ф) - У^а.Ф) + Ц2У2(£.Ф) При этом остаточный член имеет оценку:

|у2(£,ф) | exp(d|£|) < const

для любого ф а некоторого а > О.

Для доказательства этого утверждения исходная задача записывается в виде операторного уравнения , к которому применяется теорема о неявной функции в шкалах банаховых пространств, поз-

Q

в

воляицая из оценок производной Гато основного оператора в норме максимум и из оценки решения линейного уравнения в интегральной норме, сделать вывод о существовании точного решения этой задачи.

В заключении автор выражает искреннюю благодарность П.И.Плотникову за постановки задач и внимание к работе.

Список работ по теме диссертации!

1. Хабахпашева Т.И. Уединенные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики.-1985,- Вып. 69.- С.96-122.

2. Хабахпашева Т.И. Неустойчивость волн на глубокой воде // Тезисы докладов VII Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики. Барнаул. - 1989.-С.68-69.

3. Хабахпашева Т.И. О спектре оператора, возникающего в задаче об устойчивости волн на, глубокой воде// Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики.-1989. Вып. 93-94.: .151-162. . .

4. Хабахпашева Т.И. Фредгольмовость задачи о малых возмущениях волны предельной амплитуды на глубокой воде// Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин^г гидродинамики.-1990.-Вып. 95.- С.156-*160. ' - -