Распространение длинных волн в сжимаемых жидкостях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

о

" " РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им. М. А. Лаврентьева

На правах рукописи

Елемесова Ботагоз Николаевна

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЛИННЫХ ВОЛН В СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЯХ (01.02.05 — Механнка жидкости, газа и плазмы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Новосибирск 1998

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: доктор фнз.-мат. наук.

профессор Тешуков В. М. Официальные оппоненты : доктор фнз.-мат. наук

Коробкин А. А.

доктор фнз.-мат. наук Шапеев В. П.

Ведущая организация : Институт вычислительного моделирования

Защита состоится 22 декабря 1998 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 002.55.01 по механике жидкости, газа и плазмы в Институте гидродинамики СО РАН: 030090. г. Новосибирск-90, пр, лк. М.А. Лаврентьева. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке1 Института гидродинамики СО РАН.

Автореферат разослан Н^АМ^ 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

СО РАН (г. Красноярск)

доктор физико -математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория длинных волн является важным нелинейным приближением при исследовании волновых процессов в жидкостях. Это приближение применяется для описания течений газов в узких каналах (трубах), крупномасштабных движений атмосферы, поверхностных волн. Следует подчеркнуть, что реальные движения жидкостей со свободной границей являются вихревыми (появление завихренности обусловлено влиянием вязкости вблизи твердой поверхности). Кроме того, при моделировании крупномасштабных движений атмосферы, для которых характерная высота может достигать высоты всей тропосферы, необходимо учитывать сжимаемость. В связи с рядом прикладных задач представляет интерес изучение совместного движения двух или нескольких потоков газов с разными параметрами в канале переменного сечения. Такие течения наблюдаются, например, при истечении газов из сопла Ла-валя, в эжекторах, на выходе реактивного двигателя. В силу сказанного, исследование вихревых течении сжимаемых неоднородных жидкостей является актуальным.

Цель исследования состоит в развитии теории простых волн для уравнений движения слоя баротропнон завихренной жидкости в поле силы тяжести и неоднородного потока газа в узком канале, моделирование процессов распространения особенностей в потоке баротропной завихренной жидкости (задача о распаде произвольного разрыва).

Научная новизна. Основное отличие подхода, используемого в данной диссертационной работе, от классических, связано с учетом эффектов нелинейности и завихренности, что приводит к необходимости изучения нестандартных систем интегродифференциальных уравнений. В литературе известны точные решения типа простых волн системы уравнений

завихренной баротропной жидкости, однако общего результата получено не было. В данной диссертационной работе впервые доказано существование простых волн конечной амплитуды, отвечающих дискретным значениям спектра характеристических скоростей. Новым является также результат о существовании простых волн, распространяющихся по сдвиговому потоку газа в узком канале. Кроме того, для этих волн и простых волн, распространяющихся в слое баротропной завихренной жидкости, выявлено следующее важное свойство : в общем случае, даже когда уравнение состояния среды удовлетворяет условию выпуклости, поведение простых волн может быть аналогично поведению простых волн в газе с аномальными термодинамическими свойствами. Для уравнений баротропной завихренной жидкости построена простая волна, скорость распространения которой лежит на отрезке непрерывного спектра характеристических скоростей, и установлена разрешимость задачи о распаде произвольного разрыва (ЗРПР) малой амплитуды для специального класса начальных данных.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты исследований вносят определенный вклад в знания о волновых процессах в неоднородных жидкостях и в развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений. Они могут использоваться • при анализе поверхностных волн и неоднородных потоков газов в узких каналах.

Апробация работы. Результаты работы докладывалась на семинарах Лаборатории дифференциальных уравнений под руководством академика Л. В. Овсянникова, Отдела прикладной гидродинамики под руководством чл.-корр. В. В. Пухначева в Институте гидродинамики СО РАН, Лаборатории математических методов механики сплошной среды под руковод-

ством д.ф. м.н. В. П. Шапеева в Институте теоретической и прикладной механики С'О РАН, на семинаре "Волны в неоднородных средах" под руководством д.ф.-м.н. В. Ю. Ляпидевского и д.ф. м.н. В. М. Тешукова, на заседании Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997, 15-19 декабря), на V конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики" (Новосибирск, 1998, 27-30 апреля).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем работы 146 стр.. 1-5 рис. Перечень литературы включает 92 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы, излагается краткое содержание работы.

В главе I рассматривается течение вихревой баротропной жидкости над ровным дном в поле силы тяжести.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит известные сведения, необходимые для дальнейшего исследования.

Пусть X, У, Т, и, v. р, р -- безразмерные декартовы координаты на плоскости, время, горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости, плотность II давление, ра - - постоянное атмосферное давление, У = h(X,T) уравнение свободной поверхности (//(Л",0) = //о(Л*)). В длинноволновом приближении движение слоя жидкости с уравнением состояния р — р{р), р'(р) > 0 описывается уравнениями Эйлера, в которых закон сохранения вертикального импульса заменяется на закон гидростатического распределения давления по глубине: ру = ~р{р)- Н-Х,Т), Т) = ро; в безразмерных переменных ускорение

свободного падения равно 1).

Введением эйлерово-лагранжевых независимых переменных X = х,Т — t, У = Ф(.г, i, Л), 0 < Л < 1, где функция Ф(хЛ,Х) — решение задачи Коши Фг + и(х, t, Ф)ФГ — Ф), Ф(а:,0,А) = Л/го(х), получаем следу-

ющие уравнения для определения функции u(x,t.\), H(x,t,\) — рФ\:

ut + иих + (R)'1} Hx(x,t,v)dv — 0, Ht + (иН)х = О,

1 0 (1) R = р(р0 + / Н(х, t, v)dv), 0 < А < 1, -оо < х < +оо, t > 0.

Если и, Н известны, то оставшиеся неизвестные находятся из соотношений

1 А P = Po + Jx Н[х, t, v)dv, р = р(р),Ф = f H(x,t,v){p)-ldv, v = Ф, + иФх .

о

Замена переменных обратима при условии Н ф 0. В дальнейшем считаем Я > 0.

Характеристики и условия гиперболичности системы уравнений (1) изучены в работе В. М. Тешукова (1994), где показано, что (1) имеет характеристики dx/dt = ki дискретного и характеристики dx/dt = и(х, t, А) (Л = const) непрерывного спектра характеристических скоростей. Характеристические направления определяются уравнением

1

F(ki) = n-J Н(х, t, v)(u(x, t, p) - ki)'2 dv = 0, (2)

о

которое при любых значениях переменных x,t имеет два корня на вещественной оси вне интервала изменения функции и: ki < п}^и, > max ы (вообще говоря, (2) может иметь и комплексные корни). Непрерывный спектр заполняет весь интервал изменения функции и при фиксированных x,t. Кроме того, вдоль траекторий dx/dt = и(х, t, Л) (А = const) сохраняется величина и\Н~1.

При исследовании течення иногда удобнее нсполыовать не эйлерово лнгранжевые координаты, а ввести новые независимые nepCiWHHbie .с, //, t

по формулам х = .Y, t = Т, р = /(Il — У) (функция / находится обраще-

р _[

нием зависимости h—У = f (p{s)) ds). Величины u,Y,t] = f(h)—p0,r =

l'O

рт+ ир.х + i'Pv будем рассматривать как неизвестные функции (функция I] задает перепад давления на сечении .г = const). Уравнения движения в переменных .г. р. t запишутся в виде:

н, + mi, + ти,, + {R(ij +Ро))~1Пх = 0, '//+(/u{x,p,t)dp] =0,

V'O Jx (3)

iix + Тр = 0. т(.г. PQ. t) = 0. Ро < р < >1 + ро, х 6 R, t G R+.

Для системы (3) молено выписать характеристики и условия гиперболичности. При этом соответствующие формулы получаются простыми преобразованиями из формул для уравнений (1).

В длинноволновом приближении завихренность и равна —иу ( в переменных х.р — рир. а в х.А — ри\Н~1). Поэтому безвихревое течение определяется условием и\ = 0 (или ир = 0), а общие течення, описываемые уравнениями (1) или (3) являются вихревыми.

В работе при исследовании движения жидкости используются либо уравнения (1) либо (3) п предполагается, что искомые функции принадлежат области гиперболичности. В этом случае у уравнения (2) комплексных корней нет.

В >¡'2 доказано существование1 простых волн, отвечающих дискретному спектру характеристических скоростей, и изучены их свойства. Этот вопрос рассматривается в переменных xj, А. Для системы уравнений (1) простой волной называется решение вида и = »/(//(.г, f). А), H =

I

H(i](x,t). A), >]{xj) = J Н(х. t. \)d\ (в исходных переменных простая волна задается соотношениями и = u(Y,h), и = hxv\(Y,h), р — p(Y,h)). Решения и = и(A). H = Н(А) описывают в исходных переменных ста-

шшнарные сдвиговые потоки с горизонтальной свободной поверхностью: и = u(Y), г = 0, li = ho = const.

В диссертационной работе рассматриваются простые волны, удовлетворяющие для всех Л £ [0, 1] условию к — -i]t/')x ф "(л t. А). Тогда к должно совпадать с одним из корней уравнения (2). Для определенности считаем к — к-2. Если функции и, Я, к известны, то из соотношения к = —i]t/>ix следует, что // постоянна вдоль характеристик dx/dt = к и область определения простой волны покрыта однопараметрическим семейством плоскостей )] = const на которых искомые функции зависят только от Л. Поставим задачу о примыкании непрерывного решения типа простой волны к заданному сдвиговому потоку по характеристике, соответствующей ?/„, (qm — постоянный перепад давления в сдвиговом потоке):

и, = -(/?(// +р0)(и- к))~\ Я, = н(щ1] + р0)у\и - к)-'2,

(4)

Я (»/„,, Л) = Я0(А), »(//,„, А) = ?/0(А). к()1,„) = ко

(уравнение для к получается дифференцированием (2). к\) > тах«о(А)).

Отметим одно свойство простой волны: если и од ф 0 при ;/ = //,„, то </д(//,А) ф 0 для // ф '//,„ ( этот факт следует из однородности уравнения для разности </(//, А]) — ;/(//, А^)). Поэтому в дальнейшем рассматриваем случай «оа >

Доказательство существования простых волн опирается на теорему существования и единственности решения задачи Коши для нелинейного уравнения в банаховом пространстве В:

dU/ dr1 = f(V,v), U (Vm) = U0. (5)

'Здесь Ди. //) функция вещественного аргумента // II переменного и 6 В, принимающая значения в В.

Пусть функция Ди,);) непрерывна по I] и удовлетворяет при ?/ £ [а. Ь]. ||и - и„|| < в условиям ||Ци,7/)|| < Л/,, Н^и,, ;/) - {(и2,П)\\ < Л/2||и1 - и2||. Тогда существует число ¿1 = ппп(0Л/1-1, Л/2"1)), такое, что на интервале (//„, — ¿1, 7/т + ¿1)0 [а, 6] задача Кошн (5) имеет единственное решение II = у('/). остающееся в шаре ||у(//) — ио|| < в.

Чтобы воспользоваться приведенным результатом, рассмотрим банахово пространство В вектор-функций и = (и.Н,к) действительного аргумента А 6 [0. 11 с нормой ||и|| = тах |мЛ| + шах |м| + тах |Я| + Ш.

1 J 1 11 11 0<А<1 1 0<Л<1 ' 1 0<Л<1 1 '

Первая компонента и — непрерывно дифференцируемая функция (С1), вторая — непрерывная (С), третья — действительное число.

Проверяя условия приведенной теоремы, получим факт существования и единственности решения задачи (4) на интервале [?/,„ — ¿1, т],п +¿1] в пространстве В.

Кроме того справедливы априорные оценки

Лемма1.1. Пусть и. Я. к - решение задачи (4) п выполнены неравенства 0 < и;\ < л' = »(цЯгГ1 < и.'2 < ос. где ¿и| = 111111 ^'(А). о/'2 = шах ¿(А). Тогда справедливы оценки

Л

.. ., АШ2У

Используя ап])п()рные оценки и у])авненпя (4) можно получить ограниченность (/(//. А). '/д(//. А). Я(//, А). А-(//) на любом интервале // Е .4]. При этом справедливы неравенства |((-А-| > 2-10(<£,.4, ||и0||), Я > 2~19(5, Ь, [|Х_ГоИ Поэтому повторное применение локальной теоремы существования позволяет доказать следующую теорему.

Теорема!.. 1. Пусть «о, Яо удовлетворяют условиям леммы 1.1. Тогда непрерывно дифференцируемое по решение задачи (4) существует на любом конечном интервале г/ 6 [<5. .4]. где с) > 0. .4 < зо я принадлежит пространству В.

Теорема 1.1 справедлива и для немонотонного профиля скорости «о(Л) с конечным числом смены знака производной иод. В этом случае функция Я будет иметь конечное число точек разрыва. Пусть 0 < Лj < Л2 < ... < Л„ < 1 — точки разрыва функции Я. Тогда в качестве элементов банахова пространства В следует рассматривать векторы

U = (и\. Н\, i/2, Я2.....u„,Hn.u„+i.Hn+i.k). (6)

где </,- £ С1. Я,- £ С на отрезках [A,-_i. А,-]. (Ао = 0. А„+1 = 1), и повторить рассуждения для А £ [A,_i,A,] (г = 1,...?г). При этом и 6 С1, а Я — кусочно непрерывная функция.

Построение простой волны завершается решением уравнения

'// + *('/)'/* =0. ф. 0) = >юН.

Будем называть простую волну волной понижения (повышения) уровня. если для всех А £ [0, 1] выполнено неравенство yt + А)ijr — (и — k)ii, < ()(> 0), и центрированной волной, если k(ii) — .r/t.

Показано, что если уравнение состояния удовлетворяет дополнительному условию

ЗЛ(// + />„) -чП'(ч +Ри) > П. (7)

то простые волны понижения уровня существуют для всех t. > 0, а простые волны, несущие повышение уровня, опрокидываются. В общем же случае могут существовать простые волны повышения уровня, определенные при всех t > 0. Отмечено, что данные свойства простых волн

связаны со выполнением условия сильной нелинеиности семейства характеристик дискретного спектра.

В §3 получен новый класс решений типа простых волн для среды с политропным уравнением состояния : р(р) — р21}, 0 < ¡3 < 1/2. Давление на свободной поверхности ро считаем равным 0. Формула, определяющая профиль горизонтальной скорости и(У,к(Х,Т)) в простой волне, имеет вид

ь-

/ / ,-\ \ 2(<*-1)

I (.4-62-!,/v/-2(a-l)/i)(b1-62)-1

/ zs~\ 1 - z)°-4z

\

fzs-41 - zy~4z о

(8)

Здесь А = const, а = 3/2 — bi, — корни квадратного уравнения L2 + (а - 2)AL + (1 - а)А2 + (а - I)"1 = 0, S = -(а62)/((а - l)(&i -62)), а = (abi)/((a — l)(6i — 62)). Дискриминант квадратного уравнения D считаем положительным, а А2 > (а — I)-2. Заметим, что в случае когда а = 3/2 (р(р) = const) решение (8) с точностью до небольших преобразований совпадает с полученным ранее решением Фримана для несжимаемой жидкости. Формула (8) определяет Y/h, как функцию от (и — iii)/(i/'2 — «i), где и 1 = u(Q,h), = n(h,h) . На рис. 1 приведен график этой зависимости для А = 5, а = 3/2, 4/3, 5/4. Вертикальная прямая соответствует течению без сдвига (А2 = (а- — I)-2).

В главе II рассматриваются уравнения, описывающие плоскопараллельные неоднородные сдвиговые потоки газа в узком канале —сю < А' < +оо, 0 < У < А{) — const.

В используя методы гл. I, доказано существование неизоэнтро-пических простых волн малой амплитуды и изоэнтропических простых волн конечной амплитуды системы уравнений движения. Считается что уравнение состояния удовлетворяет условиям v = v(p,s),vp < 0, vpp > 0

(v — безразмерный удельный объем, s — энтропия). В длинноволновом приближении течение описывается системой уравнений газовой динамики в которой закон сохранения вертикального импульса заменяется равенством ру = 0.

Введением смешанных эйлерово-лагранжевых независимых переменных система уравнений движения сведется к пнтегродифференциальным уравнениям, обобщающим известные уравнения каналового приближения на случай неоднородных потоков

H, + {uH)x = 0, st + vsx = 0, 0 < A < 1, -ос < X < +oo, t > 0

где с-2 = pp{p,s), a = f H(x, t, X)p(x, t, X)~2c~2dX . При этом давление определяется из соотношения 1

/ Н(х, t, А)(р(р{х, t).s(x, t, X)))~ldX = Л0. о

Система уравнений (9) имеет диск1)етный и непрерывный спектр характеристических скоростей. Характеристические направления дискретного спектра /.', определяются уравнением

<т = £нр-*{„-к,)-2а а, (ю)

имеющем при любых значениях x,t только два вещественных корня к\ и к-2 вне интервала изменения функции u(x,t,X) (к\ < mm^u(x,t,X), > ах и(х, t, А)). В дальнейшем считаем выполнеными условия гиперболичности уравнений (9) (В. М. Тешуков (1998)), поэтому комплексных корней у (10) нет.

Заметим, что система (9) допускает точные решения вида р = ра = const,« = г/(А),Я = #(А), s = s(A) и и = u(p(x,t),X), Н = H(p(x,t),X),

.s = n(p{.i\t). X). Первое в исходных переменных описывает стационарный сдвиговой поток и = //(>"), г = 0, а- = -ч{У), р = р0 = const, а второе дает решение и = и(р,У), v = pri'\(p,Y), s = s(p,Y), которое называем простой волной.

В §4 также рассматриваются простые волны, удовлетворяющие для всех Л условию к = —pt/px u(x,t,X). Повторяя рассуждения гл. I, поставим задачу о примыкании простой волны к заданному сдвиговому потоку по характеристике ро = const:

ир(р,Х) = ~(р{р* s)(u{p, X) - к{р)))~\ к = к2,

Н„(рЛ) = H(P,X)(p(p.S))-l(u(p,X) - к(р)Г2, sp(p,X) = О,

f H\-ppdX + 3 f ffvfu - k)~2(vp + v2(u - k)~2)dX

■k'(p) = -2-!L-j-, (11)

2JHv2{u- k)-*dX u(p0,X) = i'o(X), H(p0,\) = Я0(Л), s(p0,X) = s0(X),k(p0) = k0

(уравнение для к получается дифференцированием (10), ко > max uo(^))-

Из (11) вытекает, что в простой волне s(p, X) — so(A). В дальнейшем считаем -so(A) непрерывно дифференцируемой функцией.

'Задачу (11) можно переписать в общем виде (5), где роль // играет/). Пусть начальные данные U() = (iiu. ки) £ В, введенному в гл. I. Тогда найдется постоянная > 0. такая, что задача (11) имеет на интервале [/'о — St,p0 единственное решение в пространстве В.

Для нзоэнтропическпх течений доказана теорема существования решения задачи (11) в целом по р. Если лщ = 0, то соотношение //дЯ-1 = (/одЯц-' является интегралом (11). Другим интегралом является, по построению, уравнение (10). Используя интегралы, можно получить априорные оценки решения.

Лемма2.1. Пусть выполнены условия нил >0, Яц > 0, so = const., ш = «оаЯ^-1 < W2 < (ш2 = шахы(А)), тогда для любого решения задачи (11J справедливы оценки

ЛрМр) +W2p.40)-1 < - А-| < .V-2/эЫ +с(р).

Если профиль скорости г«о(А) немонотонный, то в качестве элементов банахова пространства В рассматриваем вектор-функции (6). Это позволяет доказать общий результат.

Теорема2.1. Пусть щ 6 С1, Щ — кусочно непрерывная функция с конечным числом точек разрыва первого рода, и пусть щ,, Н^, sq —удовлетворяют условиям леммы 2.1. Тогда решение задачи (11) существует на любом конечном интервале р £ [d\ L). 6 > 0, L < оо, при этом и 6 С1 по переменным г]. А, а Я Е С'1 по tj п является кусочно непрерывной функцией по переменной А.

Согласно газовой динамике, будем называть простую волну волной сжатия (разрежения), если для всех А (0 < А < 1) выполнено неравенство ¡>t + u(x,t.\)рх — (u(x,t, А) — k)px > 0 (< 0). и — центрированной, если все характеристики dx/dt = k(p) сходятся в одной точке.

Если уравнение состояния имеет вид v = B(s)(j>{p), или функция v = v(p, я) удовлетворяет дополнительному условию 4vvw, — 3vj; > 0, то поведение простых волн аналогично поведению простых волн уравнений одномерной газовой динамики. В общем случае для V/ > 0, могут существовать как простые волны разрежения, так и простые волны сжатия. Свойства простых волн зависят от выполнения условия сильной нелинейности семейств характеристик дискретного спектра.

В §5 построен класс точных решений типа простой изоэнтропической волны для политропного уравнения состояния р = Вор0 < ¡3 < 1, Bq =

' const. В полученной простой волне связь между горизонтальной скоростью U и У задается формулой

,. ^(«V^(i'-^)-l) /1 ч-1

} г Г-а-1>Ь (io-l). / Г (За-1). \

— = / с «-ь (1-г) «-ь dz I J z -ь (1 - л) -ь б/с

о \0 /

(13)

Здесь н = уДи. к = уДА. (А = const). £ = - ¡)). а = .3/(1 - J),

о.& — корни квадратного уравнения N2 + ABq2~1N + 1/2 = 0. А2 > (2а + 1)2(аЯ0)-1. Если А > 0, то к > и, и волна обращена вправо, если .4 < 0. то к < и и волна обращена влево. На рис. 2 приведен профиль горизонтальной скорости для /3 = 2/3, .4 = 1. Bq = 3 и различных значениях давления : р = 1,4,8 (кривые 1-3 соответственно).

В главе III рассматривается ЗРПР для уравнении баротропной завихренной жидкости. Исследование ЗРПР проводилось в переменных .г. р.

В §6 исследованы свойства системы уравнений (3) для двух частных классов решений, допускаемых (3), когда г/,, постоянна и когда ир кусочно постоянна. Первый случай далее называется однослойным течением. а второй -- двухслойным. Для однослойных течений уравнения (3) сводятся к 2-м квазилинейным уравнениям для функций = u(.r.j>o.t). и-, = ц(.г. i/.t). При этом I) = («2 — и\)/Q (Si = iip).

Для двухслойных течений (рис-. 3) уравнения (3) сводятся к системе 3-х квазилинейных уравнений для функций i/|, "о = + = »2 — <b(i/ — <i). где ¡> = po + S(j\t) "глубина" нижнего слоя. и,, = при PI) < P < iH-r.t) +]>[). и,, = ilj при 6(j-,t) + p0 < p < // + po. При этом <5. // связаны с //[}, и 1, ii'2 соотношениями S = (иu — //1)/0] > 0. 7/ — S =

(«2-»ü)A-)2>0.

При изучении волновых процессов в двухслойном течении полезно знать скорости распространения характеристик. В этом случае решение урав-

nennя (2) сводится к определению корней полинома третьей степени, причем один in корней ki < min »,-, а второй к^ > max щ. Третий корень А'з в зависимости от и i)2 попадает на интервал изменения скорости либо в верхнем, либо в нижнем слое. Поскольку система (3) имеет непрерывный спектр характеристических скоростей, заполняющий весь интервал изменения скорости и при фиксированных x,t, то является неизолированным собственным значением.

В §2 было показано, что при выполнении неравенства (7) семейства характеристик dx/dt = А,- (г = 1,2) являются сильно нелинейными. Для характеристик dx/dt = кз справедлива

Лемма3.1. Пусть выполнены неравенство (7) п условие на величину а = fii/fia- 1/2 < а < 2, тогда семейство характеристик {dx/dt = A3} является сильно нелннейным.

В дальнейшем считаем выполнеными условия леммы 3.1 и рассматриваем случай fij > Пг > 0. Тогда 1 < a < 2, ii\ < < щ < г/2.

В §7 построена простая волна, отвечающая характеристическому корню кц. и получены условия ее существования.

Расс.мативается вспомогательная задача о взаимодействии двух сдвиговых потоков (1/ = и(р). т — 0,1) — щ = const), характеризуемых постоянными величинами uv. В областях .г < x\{t) и х > ./'2(0 течение считается сдвиговым потоком (рис. 3): up = il-i = const для левого потока (./• < x\(t)), tip = f2i = const - правого потока (х > j'-¿{t)). При .г|(0 < х < xy(t.) к контактной поверхности р — S + pu{x,t) слева примыкает область течения с постоянной величиной i}?. а справа —- область с постоянной величиной О]. Предполагается, что на границе раздела жидкостей р = S + po(x,t) вектор скорости непрерывен. На сечениях х = .1'!(t). х = .г2(() требуем выполнения условия непрерывного примы-

кания к сдвиговым потокам.

Поскольку границы области взаимодействиях = хх(£), х = хг(£), определяемые условиями щ = и\ (5 = ро) и щ = щ (6 = г}) соответственно, движутся с характеристической скоростью к3, то для описания течения в области .г,-1 < х < х'2 следует использовать простую волну, отвечающую характеристикам (Iх/(И = к3. Выпишем уравнения простой волны = И{{Ь{хЛ)):

(«2 - к)и'2(к) = ЩЬг)-\ («1 - к)и[(к) = Л'з(^з)"1, к = к3,

(и0-к)и'0(к) = К3(Ь1)-\

Ь3 = И'Я + 02(«2 - А-з)"3 - Пх(?/1 - /гз)"3 + («о - ¿зГ3^' - «2

Лз - Па(«2 - А-з)"2 - П1(«1 - к3)-2 + (щ - А-з)-2(^Г1 - «2')•

(14)

При выводе уравнений (14) использовалось характеристическое уравнение, продифференцированное по к.

Поток слева (х < х\^)) считается известным п условие примыкания имеет вид

■ = = = (15)

Определим поток справа, который можно связать с заданным простой волной взаимодействия. Задача (14), (15) имеет единственное решение в окрестности точки к = (/'/'. Возможность продолжения решения следует из условия сильной нелинейности семейства характеристик (¡х/(Н = к. Так как в данной волне <5 растет с ростом к, то решение продолжается вплоть до точки 6 = т] (к = и2(&») = &„). Значение кг определяется в ходе решения задачи. Тогда состояние, которое можно связать с левым состоянием простой волной взаимодействия, определяется соотношениями

4р) = миМ1) = ^«М1), «(!г) = щ(к.) = ^(«М»). (16)

В построенной простой волне скорость течения на определенной глубине совпадает со скоростью распространения волны: и = к. Поэтому это течение можно назвать простой волной с критическим слоем. Частицы жидкости на плоскости х,р движутся по линиям, представленным на рис. 4.

В §8 для специального класса начальных данных установлена разрешимость ЗРПР малой амплитуды и предложен алгоритм определения возникающих волновых конфигураций.

Естественным обобщением постановки ЗРПР для уравнений (3) будут начальные данные, описывающие стационарные сдвиговые потоки. Упростим задачу и рассмотрим сдвиговые потоки с постоянными величинами ир. В силу инвариантности уравнений и начальных данных относительно равномерного растяжения переменных х^ решение ЗРПР будем искать в классе автомодельных решений.

В области однослойных течений уравнения движения запишем в виде

Для уравнений (17) начальные данные задачи о распаде разрыва имеют вид

где и,), //,- заданные постоянные.

Система (17) является аналогом уравнений одномерной газовой динамики. Зависимость Р(//) определяет уравнение состояния. Так как для уравнения состояния ф(\) = Р{{1])~1) условие ф\- < 0 выполнено всегда, а условие фуу > 0 выполнено в силу (7), то при распаде начального разрыва всегда образуется по одной волне, обращенной вправо и од-

41 + (ЫсЧ)х = 0, (т1ис)1 + (и2ст])х + (Р(//))х = О,

где ис = (и2 + »,)/2, Р(Ч) = Ьр[ро + + П?(ч)3/12.

о

(17)

(18)

нон волне, обращенной влево. Центрированные волны являютс я волнами разрежения (в нашей постановке задачи — простыми волнами понижения уровня), а разрывы — ударными волнами сжатия (гидравлическими прыжками повышения уровня). В отличие от газодинамической задачи, состояния за прошедшимп волнами должны удовлетворять не условию совпадения скоростей и давлений, а условиям существования волны взаимодействия потоков (16). Справедлива

ТеоремаЗЛ. Пусть выполнены условия леммы 3.1. Тогда для близких состояний (18) н малых величин П'/г/,- существует единственное решение ЗРПР.

Приведем алгоритм построения решения ЗРПР. На плоскости (ис. //) строятся диаграммы возможных переходов Г] и Г 2 для "1" левого и "2" правого состояния соответственно. Для того, чтобы найти точку, определяющую состояния за фронтами, построим еще одну кривую Г', заданную параметрически формулами (1С), где и\ = ис\-0.2>1\1-- "2 = "н а и,.1. //| меняются вдоль кривой Г|. Точка "3" пересечения кривых Г 2 и Г' будет давать состояние за прошедшими волнами для состояния "2". а точка "3'" (прообраз точки "3" на кривой Г|) для "1". Конфигурация волн определяется по аналогии с газовой динамикой: если точка пересечения "3" ("3"') лежит выше начальной точки т,2" ("1"). то по потоку пройдет гидравлический прыжок, если ниже то простая волна понижения уровня. Состояния за фронтом связаны соотношениями (16) и построение полны взаимодействия завершает построение решения ЗРПР. На рис. 5 приведены графики кривых IV Г' для политропного уравнения состояния /?(//) = левого состояния "Г' щ = 1. и2 = 2. И2 = -и правого состояния "2" = 2. и2 = 5, = 3. В этом случае по сдвиговым потокам пройдут простые волны понижения уровня. На рис.

С приведена картина характеристик на плоскости (х, t), соответствующая конфигурации волн на рис. 5. При изменении положении "1" и "2" положение кривой Г', а следовательно и волновые конфигурации будут меняться. Если кривые Г' и Г 2 не пересекаются, то в результате распада возникнут две центрированные простые волны понижения уровня, за которыми глубина равна нулю (аналог истечения в вакуум для газовой динамики).

В заключении приведены следующие основные выводы. 1. Получено, что по любому стационарному сдвиговому потоку баротроп-ной жидкости может распространяться простая волна конечной амплитуды.

3. Найден новый класс точных решений типа простой волны.

4. Доказано существование простых неизоэнтропическпх волн малой амплитуды и простых нзоэнтропических волн конечной амплитуды для уравнений, описывающих течение неоднородных потоков газа в узком канале.

"). Построено точное решение типа простой изознтропнческой волны.

0. Для уравнении баротропной завихренной жидкости построена простая полна скорость распространения которой лежит на отрезке непрерывного спектра характеристических скоростей.

7. Предложен алгоритм построения решения 'ЗРПР. обобщающий алгоритм решения ЗРПР для уравнений одномерной газовой динамики.

Автор выражает благодарность научному руководителю В.М. Тешу-кову за внимание к работе и полезные обсуждения результатов. По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Елемесова Б. Н. Простые волны в слое баротропной завихренной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38. Х 5. С. 56-64.

2. Елемесова Б. Н. Распространение длинных волн на сдвиговом потоке газа в канале постоянного сечения // V конф. молодых исследователей "Актуальные проблемы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск. 1998, 27-30 апреля: Тез. докл. Новосибирск, 1998. С. 19-20.

3. Елемесова Б. Н. Распад произвольного разрыва в завихренной баро-тропной жидкости // Сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Новосибирск, 1997, 15-19 декабря: Тез. докл. Новосибирск, 1997. С. 56-57.

4. Елемесова Б. Н. Распад произвольного разрыва в баротропной завихренной жидкости// Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113.

(u"ui)/(vui)

Piíc. 1

РИС. 2

в

Рис. 3

Рис. 4

А Q > Q„> О D к

1 "

Рис. 5

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Простые волны в слое баротропной завихренной жидкости :.

§1. Предварительные сведения.

§2. Существование простых волн. Свойства решения.

§3. Построение точного решения типа простой волны.

Глава II. Простые волны на сдвиговом потоке газа в канале постоянного сечения.

§4. Существование и свойства простых волн.

§5. Построение точного решения.

Глава III. Распад начального разрыва в баротропной завихренной жидкости.

§6. Предварительные сведения.

§7. Волна взаимодействия потоков.

§8. Решение задачи о распаде произвольного разрыва.

Настоящая диссертация посвящена изучению завихренного плоскопараллельного течения сжимаемых жидкостей в приближении теории длинных волн. Жидкость может быть тяжелой и невесомой, границы жидкости могут твердыми (течение в канале) или одна из границ может быть свободной (течение слоя жидкости).

Волновые процессы в жидкостях были предметом изучения более ста лет. Изложение основных работ можно найти в монографиях Сретенского Л.Н. [1], Кочина Н.Е., Кибеля И.А., Розе Н.В, [2], Лайтхилла Дж. [3], Уизема Дж. [4], Стокера [5]. При рассмотрении волновых движений в жидкостях различают точную и приближенные теории. Под термином "точная теория" понимают совокупность утверждений, справедливых при точном выполнении законов сохранения и массы. Точные результаты составляют наименьшую часть всех достижений в теории волн. Теоремы существования стационарных решений, относящиеся к плоским задачам, доказаны в [б]. Вклад в точную теорию неустановившихся движений сделан рядом авторов в монографии [7]. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши-Пуассона и, впервые в точной постановке, существование трехмерной стационарной двоякопериодической волновой структуры. Построению точных решений полных уравнений гидродинамики на основе методов группового анализа при наличии плоской или вращательной симметрии, а также их физической интерпретации посвящена монография [8]. В [9] изложен общий метод выделения классов решений систем дифференциальных уравнений — метод дифференциальных связей. Этот метод в качестве частных случаев содержит методы построения промежуточных интегралов, функционально-инвариантных решений и автомодельных решений.

Большинство же исследований по теории волн концентрировались на различных приближениях. Наиболее развита линейная теория, которая разработана для плоской и пространственной постановок, для неустановившихся и стационарных движений, для поверхностных и внутренних волн. Очень важные нелинейные приближения дают теории мелкой и глубокой воды, предназначенные для описания длинных и коротких волн. Особое место занимают энергитические приближения Уизема, опирающиеся на вариационные методы [10].

В данной диссертации рассматривается приближенная теория длинных волн (теория мелкой воды), в которой горизонтальный масштаб много больше вертикального. Такой приближенной теорией описываются, например, течения газов в узких каналах(трубах), когда длина канала много превосходит его ширину, течения в открытых каналах, все крупномасштабные движения атмосферы (горизонтальная протяженность характерных образований в атмосфере: циклонов, антициклонов и т.д. короче говоря, волн, во много раз больше толщины деятельного слоя атмосферы — тропосферы).

Различные уравнения длинных волн и их исторический обзор приведены в [11, 12], где было показано, что важную роль при выводе этих уравнений играют параметр нелинейности <т, параметр дисперсии е2 и их отношение aje1 (а = амплитуда волны /средняя глубина потока; £2 = средняя глубина потока)2/(длина волны)2). Безразмерный параметр а ¡г2 появился еще в работе Стокса [13]. Однако его истинное значение как меры отношения нелинейности к дисперсии было продемонстрировано впервые в работе Урсела [14], а затем в [15].

Классическая теория мелкой воды [4, 5], строгое обоснование которой дано в работах Л. В. Овсянникова [7, 16], имеет дело с распространением двумерных волн длины А много большей глубины /*0) по которой она распространяется. Если амплитуда волны а мала по сравнению с Л§/А2 (то есть сг/е2 <С 1), то может применяться линеаризованная теория. В этой теории скорость волны, распространяющейся в стоячей воде, постоянна и равна у/дКо (Л0 — глубина невозмущенного потока). Классические уравнения мелкой воды не учитывают эффекты дисперсии. Поэтому все простые волны, несущие повышение уровня жидкости, опроки дываются. Если продолжить формальное разложение по параметру е2 и оставить следующие члены, то включенные дисперсионные члены могут подавлять опрокидывание. Уравнения Буссинеска, включающие эффекты дисперсии, описывают волны движущиеся как влево так и вправо. Если ограничиться длинными волнами, движущимися только в одном направлении, то из уравнений Буссинеска можно получить уравнение Кордевега - де Вриза(КдВ). Частное решение уравнения КдВ описывает уединенную волну, которую впервые экспериментально наблюдал Скот Рассел. Задача об учете дисперсионных членов более высокого порядка в теории длинных волн на поверхности воды рассматривалась в [17-27].

Во всех этих уравнениях течение считается невязким, потенциальным, а скорость потока — постоянной для всех глубин. На дне выполняется условие непротекания. В реальных течениях наличие вязкости в пограничном слое приводит к появлению завихренности всего потока и искажает профиль скорости.

Впервые расширение классической теории мелкой воды, для того чтобы включить в рассмотрение эффекты завихренности было предложено в [28]. В этой работе жидкость считается несжимаемой, невязкой, но течение уже не является потепиальным. Для линеаризованной задачи получено интегральное уравнение, связывающее скорость волны со скоростью в невозмущенном потоке. Показано, что скорость волны относительно среднего потока всегда больше скорости, которую дает классическая теория, и имеет два значения, одно меньше минимума, а второе больше максимума скорости потока.

Бенни [29] рассматривал уравнения длинных волн, получаемых из полных уравнений гидродинамики несжимаемой однородной жидкости как нулевой член разложения по параметру е1. При выводе уравнений не делается предположений ни о малости амплитуды волны, ни о потенциальности течения. Эти уравнения вместе с краевыми условиями были названы полными нелинейными уравнениями длинных волн (в литературе эти уравнения часто называют уравнениями Бенни или уравнениями вихревой мелкой воды). Если дополнительно потребовать потенциальность течения, то эти уравнения переходят в классические уравнения мелкой воды. В работе [30] выведено уравнение КдВ, описывающее волны на сдвиговом потоке несжимаемой жидкости, и получено решение вида уединенной волны.

Система уравнений вихревой мелкой воды изучалась в ряде работ. В [28, 31-36] основное внимание уделялось построению точных решений. Прогрессивные волны линеаризованной задачи найдены в [28]. Blythe P. A. et al. [31] построили решение типа простых волн для случая когда завихренность основного потока постоянна. Вслед за ними Freeman N.C. [32] получил автомодельную простую волну, подставив вид решения и = u(h(x — ct),у), с = c(h) непосредственно в уравнения (с — скорость волны, h — полная глубина потока). Sachdev P.L. [33] получил точное решение в котором свободная поверхность ведет себя со временем как С2. Группы преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений и некоторые точные решения найдены в [З1*]. Все решения [31]—[34] описываются неполными бета-функциями и не содержат критического слоя и = с. Стационарные решения с критическим слоем исследовались в [35], где основное внимание было уделено поведению решения вблизи критического слоя. Явные аналитические нестационарные решения и решения типа простой волны выписаны в [36] в виде двойных рядов.

Для теоретического исследования волновых процессов важно знать тип системы уравнений, ее характеристики и инварианты движения. Известно, что классические уравнения мелкой воды обладают бесконечным набором интегралов движения [4]. Аналогичным свойством обладают и уравнения Бенни. Интегралы движения были найдены в первой работе Бенни [29], изучались в [37] и [38], где для них найдена простая производящая функция. В [39] было показано, что система Бенни может быть представлена в гамильтоной форме. Если слой жидкости разбить на N подслоев, в каждом из которых продольная компонента вектора скорости не зависит от вертикальной координаты, то уравнения Бенни преобразуются к дискретным уравнениям Бенни. Для дискретной системы полный набор плотностей законов сохранения построен в [40] и, независимо, в [41], однако производящей функции найдено не было. Это сделано в [42].

Все интегралы движения [29, 37, 38] зависят от моментов продольной скорости л

Ап = ! ипйг о и уравнения Бенни переписываются в виде бесконечной системы

Исследование условий гиперболичности системы (1) затруднительно, так как общая теория таких уравнений не разработана.

В [43] уравнения Бенни были сведены к системе интегродифференци-альных уравнений в эйлерово-лагранжевых переменных и(х^, + д / нх(х^, р)<1к — 0,

0 (2) Щ{х, £, V) + (и(х, и)Н{х, *, и))х = О, где и — горизонтальная компонента вектора скорости, Я -— якобиан замены переменных, V — лагранжева координата по вертикали, х — эйлерова координата по горизонтали. К аналогичному виду приводятся уравнения несжимаемой неоднородной жидкости и уравнения, описывающие движение полых и торнадоподобных вихрей [44]. Все эти уравнения можно записать в общем виде и% + А их = 6?,

3) где А — бесконечномерный оператор в банаховом пространстве, завися-щий в общем случае от х, £, I/, II.

Принципиально новый подход к изучению систем (3) был предложен в [45], где на них были обобщены понятия характеристик, гиперболичности и инвариантов Римана. Качественным отличием систем (3) от квазилинейных систем является наличие непрерывного спектра характеристических скоростей. Для системы (2) дискретные значения спектра к1 определяются уравнением которое совпадает с уравнением для линеаризованной задачи [26], а значения непрерывного спектра — ку — и(х,і, і/), і/ € [0,1]. Характеристикам дискретного спектра отвечают поверхностные волны, а характеристикам непрерывного спектра — внутренние.

Условия гиперболичности уравнений (2) для течений с монотонным по глубине профилем горизонтальной скорости получены в [45]. В [46] доказана локальная корректность задачи Коши для системы (2) в том случае, когда начальные данные принадлежат области гиперболичности этой системы. Метод решения задачи Коши для системы (2), аналогичный методу обратной задачи рассеяния, применялся в [47]. Анализ характеристических свойств уравнений длинных волн (2) в случае течений с немонотонным профилем скорости проведен в [48]. В [49] получено явное решение задачи о малых возмущениях заданного сдвигового потока с горизонтальной свободной поверхностью. В [50], на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений, для (2) выписаны более простые подсистемы, определяющие классы точных решений, и некоторые из них проинтегрированны. Получены решения, описывающие движение жидкости с образованием областей возвратного течения в нестационарном случае. Приведено решение, на котором система (2) с ростом времени теряет гиперболичность.

В [51] исследованы характеристические свойства уравнений, описывающих длинные волны в стратифицированной жидкости, состоящей из N несмешивающихся слоев. В каждом слое имеется сдвиговое течение. Подробно изучена модель двухслойной жидкости, найден характеристический спектр. Полученные результаты обобщены на случай N — слойной жидкости.

Известно [52], что гладкое решение гиперболических систем квазилинейных уравнений, к каким относятся уравнения классической мелкой воды и уравнения газовой динамики, существуют, вообще говоря, лишь в течении конечного промежутка времени, и обладают свойством неограниченного возрастания производных, которое называется градиентной катастрофой. Это свойство приводит к образованию ударных волн в газовой динамики и гидравлических прыжков. Исследование общих течений одномерной газовой динамики, которые включают в себя разрывы, изложены, например в [4, 52-54]. В [55] для произвольных систем квазилинейных уравнений двух независимых переменных была развита теория простых волн, введено понятие сильно нелинейного семейства характеристик. Получено, что для близких начальных состояниях и при выполнении условий сильной нелинейности соответствующих семейств характеристик, задача о распаде произвольного разрыва имеет единственное автомодельное решение.

Модель течения идеальной несжимаемой жидкости через гидравлический прыжок для уравнений (2) предложена и изучена в [56]. В отличие от классической теории мелкой воды, соотношения на разрыве позволяют определять не только средние характеристики течения, но и профили скорости за фронтом. Теория простых волн, соответствующих дискретному спектру характеристических скоростей развита в [57]. Построен новый класс точных решений, отличный от [32]. Задача о распаде произвольного разрыва для системы (2) изучалась в [58]. Рассматривался частный класс решений, соответствующий сдвиговым потокам с постоянной завихренностью. В этом классе при определенных ограничениях на начальные данные доказано существование автомодельного решения. Предложен алгоритм определения волновых конфигураций.

Все перечисленные выше работы относятся к случаю несжимаемой жидкости со свободной границей. Течения в атмосфере и океане также могут описываться уравнениями несжимаемой, но неоднородной жидкости [3, 5, 59, 60]. Параметр, позволяющий оценивать влияние сжимаемости определяется как дИо/с^ где /го — характерный вертикальный масштаб, д — ускорение свободного падения, с23 — квадрат скорости звука. Для течений в океане этот параметр всегда меньше 10~3 ([61]) и влиянием сжимаемости можно пренебречь. При изучении некоторых движений атмосферы, например, приливных волн, которые обегают Землю со скоростью суточного вращения Земли, то есть порядка скорости звука, а также течений, для которых характерная высота может достигать высоты всей тропосферы [62-64], влияние сжимаемости очень существенно и его необходимо учитывать. Даже если параметр, определяющий сжимаемость, мал, а отношение удельных теплот 7 порядка единицы (для воздуха 7 « 1.4), то сжимаемость воздуха может иметь очень большое значение [65]. Кроме того, использование уравнений с учетом сжимаемости позволяет вводить в рассмотрение такие неадиабатические факторы как приток тепла.

Волновые процессы в сжимаемых жидкостях изучались менее интенсивно по сравнению с несжимаемой жидкостью. В работах [66, 67] рассматривались уединенные волны в атмосфере конечной или бесконечной высоты. Атмосфера считалась политропной жидкостью, а профиль плотности и распределение скорости произвольным. В [68] для идеальной сжимаемой непрерывно стратифицированной жидкости с вертикальным сдвигом скорости течения рассматривалась задача о параметрах и форме уединенных волн. В предположении малости нелинейно-дисперсионных эффектов выведено модифицированное уравнение Кордевега-Де Вриза. Проанализированы изменения происходящие с коэффициентами КдВ при переходе к несжимаемой жидкости. В [69-71] изучались точные решения типа простых волн для уравнений сжимаемой завихренной жидкости со свободной границей без дисперсии. Физическая модель атмосферы аналогична модели [66, 67]: атмосфера считается политропной жидкостью р р1/т} 1 > 1 и имеет конечную высоту. В [69] найдены асимптотики решения вблизи свободной поверхности для 7 порядка 1. Решения в виде бесконечных двойных рядов строились в [70]. В [71] получены точные решения с критическим слоем и = с. В [72] уравнения вихревой баротропной жидкости преобразованы к виду (3), проведен анализ характеристических свойств и получены условия гиперболичности для случая монотонного по глубине профиля скорости. В [73] предложена и исследована модель гидравлического прыжка в течении баротропной жидкости со свободной границей. Основное отличие от модели [56] состоит в том, что здесь могут возникать гидравлические прыжки понижения уровня.

Для описания течения газа в канале (трубе) произвольного сечения могут использоваться уравнения каналового приближения [3, 53]. При выводе этих уравнений предполагается, что продольная компонента вектора скорости, плотность и энтропия зависят только от времени и продольной координаты. Таким образом, уравнения каналового приближения справедливы только когда параметры течения мало отличаются от параметров однородного потока. В последннее время в приложениях проявляется интерес к течениям, образующимся при совместном течении в канале двух или нескольких потоков с разными физическими свойствами газа и различными параметрами торможения. Такие течения могут возникать, например, при истечениии газов через сопла Лаваля, в эжекторах (струйных насосах), на выходе реактивных двигателей. В первой работе [74] получено обобщенное условие запирание двух потоков одинакового газа с различными параметрами. Уравнение, описывающее обобщенное запирание для потоков как одинакового так и различных газов, получено в [75]. Это уравнение согласуется с уравнением из [74]. В [76] разработана одномерная теория, позволяющая расчитывать параметры одного или нескольких газовых потоков, текущих в одном и том же канале. При выводе основных теоретических соотношений предполагается, что поток состоит из N несмешивающихся слоев с одномерным течением в каждом слое. При этом статическое давление зависит только от продольной координаты. Установлено, что такое составное сжимаемое течение запирается в критическом сечении, хотя числа Маха каждого отдельного потока не равны единицы. Результаты теоретических расчетов на основе этой теории хорошо согласуются с экспериментальными данными в случае двух потоков. В работе [77], которая развивает и обобщает результаты [78 - 81], исследовалось влияние неравномерности полей полной энтропии и энтальпии на входе в сопло Лаваля на его интегральные характеристики (расход газа, импульс и удельный импульс). Показано, что неоднородность потока может как уменьшать так и увеличивать любую из интегральных характеристик сопла. В [82] изучалось влияние двумерности течения со ступенчатым распределением полной энтропии и энтальпии на входе сопла на его интегральные характеристики. В [83] проведено обобщение метода уточнения интегральных характеристик сопла на случай кусочно-однородных течений. Приведены результаты численного исследования влияния двумерности течения со ступенчатым распределением полного давления на расходные характеристики сопла Лаваля при изменении радиуса кривизны его контура в области мимнимального сечения.

В [84] выведена интегродифференциальная система уравнений, обобщающая уравнения каналового приближения на случай неоднородных потоков. Найдены обобщенные характеристики системы уравнений, получены условия ее гиперболичности. В связи с теорией характеристик введено понятие обобщенного числа Маха Мс. Условие критичности потока Мс = 1 является обобщением условий запирания потоков, приведенных в [74, 75]. Построен класс стационарных решений, описывающий трансзвуковые неоднородные потоки в канале переменного сечения, найдены точные решения, моделирующие отрыв от стенки и образование зон возвратного течения.

В настоящей диссертации развивается теория простых волн для уравнений движения слоя вихревой баротропной жидкости и неравномерного потока газа в канале постоянного сечения. Для уравнений завихренной баротропной жидкости в классе частных решений исследуется задача о распаде произвольного разрыва.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Доказано существование простых волн произвольной амплитуды, распространяющихся в слое баротропной завихренной жидкости. Найден новый класс точных решений.

2) Доказано существование простых изоэнтропических волн, распространяющихся по сдвиговому потоку газа в канале постоянного сечения. Построен класс точных решений.

3) При определенных ограничениях на начальные данные и уравнение состояния в классе частных решений доказано существование автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва, начальные данные которой описывают стационарные сдвиговые потоки баротроп-ной жидкости. Предложен алгоритм определения возникающих волновых конфигураций.

Диссертация состоит из трех глав, заключения. В первой главе рассматривается течение баротропной жидкости со свободной границей, приводятся различные постановки задачи. Доказано существование простых волн произвольной амплитуды, исследованы их свойства и построен новый класс точных решений типа простых волн. Во-второй главе на основе методов, использованных в главе первой, исследуются простые волны в невязком нетеплопроводном газе в канале постоянного сечения. Доказано существование простой изоэнтропической волны, которая обладает свойствами, аналогичными свойствам простых волн одномерной газовой динамики. Найдено точное решение, описывающее простую изоэнтро-пичсекую волну. В третьей главе исследуется задача о распаде начального разрыва в слое баротропной завихренной жидкости в классе частных решений. Получены достаточные условия сильной нелинейности семейства характеристик, отвечающего неизолированному собственному значению спектра характеристических скоростей. Построена простая волна взаимодействия потоков, описывающая эволюцию свободной поверхности и границы раздела жидкостей. Для близких начальных состояниях и определенных ограничениях на начальные данные доказано существование и единственность автомодельного решения. Предложен алгоритм определения возникающих волновых конфигураций. В заключении приведены основные выводы.

Диссертация выполнена в 1995-1997гг. в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им М. А. Лаврентьева СО РАН. Основные результаты диссертации опубликованы в [85-89]. Работа докладывалась на семинарах лаборатории дифференциальных уравнений под руководством академика JI. В. Овсянникова, отдела прикладной гидродинамики под руководством чл.-корр. В. В. Пухначева Института гидродинамики СО РАН, заседании Сибирской школы- семинара "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997,

15-19 декабря), на V конференции молодых исследователей "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидродинамики" (Новосибирск, 1998, 27- 30 апреля).

В заключение автор выра. жает благодарность научному руководителю проф. В. М. Тешукову за внимание к работе.

Выводы главы Ш. Получены достаточные условия сильной нелинейности семейства характеристик, отвечающего неизолированному собственному значению спектра характеристических скоростей. Получены необходимые и достаточные условия существования простой волны взаимодействия потоков. Данная волна отвечает неизолированному собственному значению и описывает эволюцию свободной поверхности и границы раздела жидкостей. Доказано, что для малых величин и близких состояниях "1" и "2" задача о распаде произвольного разрыва имеет единственное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении отметим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Получено, что к любому сдвиговому потоку завихренной баротроп-ной жидкости по некоторой характеристике может примыкать простая волна, отвечающая дискретным значениям спектра характеристических скоростей.

2. Показано, что если уравнение состояния р = р(р) удовлетворяет дополнительному условию Зр(р) — (р—ро)р'(р) > 0, то простые волны понижения уровня существуют для всех Ь > 0, а простые волны, несущие повышение уровня, опрокидываются. В общем же случае могут существовать как простые волны понижения уровня, так и простые волны повышения уровня, определенные для всех I > 0, Отмечено, что данные свойства простых волн связаны с выполнением условия сильной нелинейности соответствующего семейства характеристик.

3. Получено точное решение типа простой волны, обобщающее полученное ранее для несжимаемой жидкости.

4. Доказало существование простых волн в малом по амплитуде простой волны для уравнений, описывающих течение неоднородных потоков газа в узком канале постоянного сечения. Для изоэнтропического случая доказано существование простых волн в целом по амплитуде простой волны.

5. Показано, что простая изоэнтропическая волна имеет свойства, аналогичные свойствам простых волн уравнений одномерной газовой динамики. В общем случае, даже при выполнении условия выпуклости уравнения состояния, поведение простых волн может быть аналогично поведению простых волн в газе с аномальными термодинамическими свойствами: могут существовать простые волны сжатия, определенные для любого £ > 0, а в простой волне разрежения может произойти градиент-нал катастрофа.

6. Построено точное решение типа простой изоэнтропической волны.

7. Для частного класса решений получены достаточные условия сильной нелинейности семейства характеристик, отвечающего неизолированному собственному значению спектра характеристических скоростей уравнений вихревой баротропной жидкости со свободной границей.

8. Построена простая волна взаимодействия двух потоков баротропной завихренной жидкости, отвечающая неизолированному собственному значению и описывающая эволюцию свободной поверхности и границы раздела потоков. Получены необходимые и достаточные условия ее существования.

9. Для близких начальных состояниях доказано существование и единственность решения задачи о распаде произвольного разрыва для уравнений баротропной завихренной жидкости в частном классе решений при определенных ограничениях на начальные данные. Ограничения возникают вследствии возможности нарушения условия сильной нелинейности семейства характеристик, отвечающих неизолированному собственному значению спектра характеристических скоростей.

10. Предложен алгоритм определения возникающих при распаде разрыва волновых конфигураций.

1. Сретенский JL Н. Теория волновых движений жидкости. 2-е изд. М.-Л.: Наука, 1976.

2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. В двух частях. 6-е изд. М.: Физматгиз, 1963.

3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.:Мир, 1977.л

4. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981.

5. Стокер Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959.

6. Некрасов А. Н. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: йзд-во АН СССР, 1951.

7. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Л. В. Овсянников, Н. И. Макаренко, В. И. Налимов и др. Новосибирск: Наука, 1985.

8. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев, О.В. Капцов, В.В. Пухначев, A.A. Родионов. Новосибирск: ВО "Наука". Сибирская издательская фирма, 1994.

9. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

10. Нелинейная теория распространения волн. М.: Мир, 1970.

11. McCowan A. D., Blackman D. R. The equations for long waves and their application .// Computational techniques and Applications: CTAC 87. Amsterdam-.Elsevier, 1988.

12. Зейтунян P. X. Нелинейные длинные волны на поверхности воды и солитоны // УФН. 1995. Т. 165, № 12. С. 1403-1456.

13. Stokes G. G. Mathematical and physical papers. V. 1. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1880. P 197.

14. Ursell F. The long wave paradox in the theory of gravity waves // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1953. V. 49,. P. 685-694.

15. Benjamin Т. В., Lighthill M. S. On cnoidal waves and bores // Proc.

16. Roy. Soc. London. Ser. A. 1954. V. 224, P. 448-460.

17. Овсянников Jl. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамамика сплошной среды. 1973. Вып. 15. С. 104-125.

18. Lai tone Е. V. The second approximation to cnoidal and solitary waves // J. Fluid Mech. 1960. V. 9, N 3. P. 430-444.

19. Егоров Ю. А., Молотков И. А. О влиянии переменной глубины, а также нелинейных и дисперсионных членов второго порядка на распространение гравитационных волн // Проблемы мат. физики. 1986. № 2. С. 113-124.

20. Малых А. А., Серегин И. А. Старшие приближения в теории длинных волн на поверхности тяжелой жидкости // Моделирование в механике. 1988. Т. 2(19), № 6. С. 77-82.

21. Арсеньев С. А. К теории длинных волн на воде // Докл. РАН. 1994. Т. 334, № 5. С. 635-638.

22. Арсеньев С. А., Вахрушев М. М., Шелковноков Н, К. Новое эволюционное уравнение для нелинейных длинных волн на воде // Вестн. МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1995. Т. 36, № 2. С. 74-80.

23. Ли Чжи, Сибгатуллин Н. Р. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды // Прикл. мат. мех. 1997. Т. 61, вып. 2. С. 184-189.

24. Perigrine D. Н. Long waves in uniform channel of arbitrary cross-section // J. Fluid Mech. 1968. V. 32, pt. 2. P. 353-365.

25. Peregrine D. H. Solitary waves in trapezoidal channels //J. Fluid Mech. 1969. V. 35, pt. 1. P. 1-6.

26. Groves M. D. Hamiltonian long wave theory for water waves in channel of arbitrary shape // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1994. V. 47, pt. 3. P. 367-404.

27. Teng M. H., Wu T. Y. Nonlinear water waves in channels of arbitrary shape // J. Fluid Mech. 1992. V. 242, P. 211-233.

28. Дроздова Ю. А., Куликовский А. Г. Об описании длинных нелинейных волн в каналах // Изв. Рос. акад. наук. Мех. жидк. и газа. 1996. № 5. С. 136-145.

29. Burns J. С. Long waves in running water // Proc. Cambr. Philos. Soc.1953. V. 49. P. 695-706.

30. Benney D. J. Some properties of long nonlinear waves // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52, N 1. P. 45 50.

31. Freeman N. C., Johnson R. S. Shallow water waves on shear flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42, pt. 2. P. 401 409.

32. Biythe P. A., Kazakia Y., Varley E. The interaction of large amplitude shallow-water waves with an ambient shear flows : Noncritical flows. // J. Fluid Mech. 1972. V. 56, pt. 2. P. 241 255.

33. Freeman N. C. Simple waves on shear flow // Ibid. P. 257 263.

34. Sachdev P. L. Exact self-similar time-dependent free surface flow under gravity // J. Fluid Mech, 1980. V. 96, pt. 4. P. 797 802.

35. Sachdev P. L., Philip V. Invariance group properties and exact solutions of equations describing time-dependent free surface flow under gravity // Quart. Appl. Math. 1986. V. 43, N 4. P. 465 482.

36. Varley E., Biythe P. A. Long eddies in sheared flows //Stud. Appl. Math. 1983. V. 68, P. 103-187.

37. Sachdev P. L., Vaganan В. M. Exact free surface flows for shallow water equations. I. The incompressible case // Stud. Appl. Math. 1994. V. 93, P. 251 274.

38. Miura R. M. Conservation laws for the fully nonlinear long wave equation // Stud. Appl. Math. 1974. V. 53, N 1. P. 45 56.

39. Купершмит Б. А., Манин Ю. И. Уравнения длинных волн со свободной поверхностью. I. Законы сохранения и решения // Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11, вып. 3. С. 31 42.

40. Купершмит Б. А., Манин Ю. И. Уравнения длинных волн со свободтной поверхностью. И. Гамильтонова структура и высшие уравнения // Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12, вып. 1. С. 25 37.

41. Павлов М. В., Царев С. П. О законах сохранения уравнений Бенни // УМН. 1991. Т. 46, вып. 4. С. 169-170.

42. Geogjaev V. V. New intergals of motion for the Benney equations // Phys. Lett. Pt. A. 1992. V. 165, N 2. P. 111.

43. Павлов M. В. Полная интегрируемость системы уравнений Бенни // Докл. Рос. акад. наук. 1994. Т. 339, № 3. С. 311 313.

44. Захаров В. Е. Уравнения Бенни и квазиклассическое приближение в методе обратной задачи // Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14, вып. 2. С. 15 24.

45. Никулин В. В. Аналог уравнений вихревой мелкой воды для полых и торнадоподобных вихрей. Высота стационарного торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1992. № 2. С. 47-52.

46. Тешу ков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. акад. наук СССР. 1985. Т. 284, № 3. С. 555-562.

47. Teshukov V. М. On Cauchy problem for long wave equation // Free boundary problems in continuum mechanics: Intern, conf., Novosibirsk, 1991. Basel u.a.: Birkhauser Verl., 1992. P. 331-338.

48. Geogjaev V. V. On the continuous Benney equations // Physica D. 1995. V. 87. P. 168-175.

49. Тешуков В. M., Стерхова M.M. Характеристические свойства системы уравнений сдвигового течения с немонотонным профилем скорости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3. С. 53-59.

50. Стерхова М. М. Решение задачи о возмущениях сдвигового потока с немонотонным профилем скорости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 5. С. 7-15.

51. Чесноков А. А. Точные решения уравнений вихревой мелкой воды //ПМТФ. 1995. Т. 38, № 5. С. 44-55.

52. Грекова Т. В. Характеристические свойства уравнений теории длинных волн в стратифицированной жидкости // Динамика сплошной среды. 1990. Вып. 95. С. 56-69.

53. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

54. Черный Г. Г. Газовая динамика, М.: Наука, 1988.

55. Овсянников JI. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

56. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws. II // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10, N 2. P. 217-237.

57. Тешуков В. M. Гидравлический прыжок на сдвиговом потоке идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 1. С. 11-20.

58. Тешуков В. М. Простые волны на сдвиговом потоке идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 2. С. 48-57.

59. Тешуков В. М. Нестационарное взаимодействие равномерно завихренных потоков // ПМТФ в печати.

60. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1976.

61. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.

62. Liu А. К., Holbrook J. R., Apel J. R. Nonlinear internal wave evolution in the Sulu Sea // J. Phys. Oceanogr. 1985. V. 15. P. 1613-1624.

63. Stobie J. G., Einaudi F., Uccellini L. W. A case study of gravity wave-convective storm interaction: 9 May 1979 // J. Atmos. Sei. 1983. V. 40, N 12. P. 2804-2830.

64. Pecnick M. J., Young J. A. Mechanics of a strong subsynoptic gravity waves deduced from satellite and surface observation //J. Atmos. Sci. 1984. V. 41, N 11. P. 1850-1862.

65. Lin Y.-L., Goff R. C. A study of a mesoscale solitary wave in the atmosphere originating near a region of deep convection //J. Atmos. Sci. 1988. V. 45, N 2. P. 194-205.

66. Grimshaw R. Solitary waves in a compressible fluids // Pure Appl. Geophys. 1980/1981. V. 119. P. 780-797.

67. Shen M. S. Solitary wave in an atmosphere with arbitrary wind and density profiles // Phys. of Fluids. 1966. V. 9, N 10. P. 1944-1950.

68. Shen M. S. On long waves with cross-wind in the atmosphere //J. Fluid Mech. 1967. V. 28. P.481-492.

69. Miesen R. H., Kamp L. P. J., Sluijter F. W. Long solitary waves in compressble shallow fluids // Phys. Fluids A. 1990. V. 2, N 3. P. 359-370.

70. Sachdev P. L., Philip V. Exact simple waves on shear flows in a compressible barotropic medium // Stud. Appl. Math. 1988. V. 79. P. 193 203.

71. Sachdev P. L., Vaganan B. M. Exact free surface flows for shallow water equations. I. The compressible case // Stud. Appl. Math. 1995. V. 94. P. 51 76.

72. Varley E., Kazakia Y., Blythe P. A. The interaction of large amplitude barotropic waves with an ambient shear flows : Critical flows // Philos. Trans Roy. Soc. London. Ser. A. 1977. V. 287. P. 189 236.

73. Тешуков В. M. Длинные волны в завихренной баротропной жидкости

74. ПМТФ. 1994. Т. 35, № 6. С. 17-26.

75. Тешуков В. М. Гидравлический прыжок на сдвиговом течении баротропной жидкости // ПМТФ. 1996. Т.37, № 5. С. 73-81."

76. Pearson Н., Holliday J» В., Smith S. F. A theory of cylindrical ejector supersonic propelling nozzle //J. Roy. Aeronaut. Soc. 1958. V. 62, N547. P. 746-751.

77. Hoge H. J., Segars R. A. Choked flow: a generalization of the concept and some experimental data // AIAA Journal. 1965.V. 3, N 12. P. 3-11.

78. Bernstein A., Heiser W. H., Hevenor C. Compound-compressible nozzle flow // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1967. V. 34, N 3. P. 99-107.

79. Крайко A. H., Ланюк A. H. О влиянии неравномерности полей полнойэнтальпии и энтропии на интегральные характеристики сопла Лава-ля // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1976. № 3. С 102-109.

80. Межиров И. И. О влиянии неравномерности потока на величину полного импульса // Уч. зап. ДАГИ. 1971. Т. 2, № 2. С. 81-86.

81. Зимонт В. Л. О величине импульса сопла при неравномерных газодинамических параметрах потока // Изв. вузов. Авиац. техника 1970. № 2.

82. Зимонт В. Л. Некоторые неравенства, справедливые при неравномерных течениях в сверхзвуковых соплах // Уч. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3, № 2. С 142-146.

83. Таганов Г. И. Выравнивающее действие сетки в потоках жидкостей и газов. М., 1947. (Тр. ЦАГИ; вып. 604).

84. Ланюк А. Н. О влиянии двумерности течения газа со ступенчатым распределением полных параметров на интегральные характеристики сопла Л аваля // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1978. № 3. С. 170-173.

85. Зимонт В. Л., Ягудин С. В. Влияние радиуса кривизны контура сверхзвукового сопла в критическом сечении на расходные характеристики невязкого потока со ступенчатым распределением полного давления // Уч. зап. ЦАГИ. 1985. Т. 16, № 2. С. 112-116.

86. Тешуков В. М. Модель длинноволновой аппроксимации для сдвигового течения газа в канале переменного сечения // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 1. С. 15-27.

87. Елемесова Б. Н. Простые волны в слое баротропной завихренной жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 5. С. 56-64.

88. Елемесова Б. Н. Простые волны на сдвиговом потоке газа в канале постоянного сечения // ПМТФ. 1993. Т. НО, № I.

89. Елемесова Б. Н. Распад произвольного развыва в баротропной завихренной жидкости // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113.

90. Елемесова Б. Н. Взаимодействие двух сдвиговых потоков баротпроп-ной завихренной жидкости // ПМТФ в печати.

91. Мусхелишвили Н.И. Сингурярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

92. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

93. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

94. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.