О структуре стабильных множеств в дифференциальных играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

§ I. Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр.

§ 2. Производные многозначных отображений.

§ 3, Стабильные множества.

§4. Стабильные множества с кусочно-гладкой границей

§5. Разбиение стабильных мостов.

§ 6. Условия стабильности множества программного поглощения

§ 7. Стабильные мшжества в линейной задаче сближения

В диссертации рассматриваются задачи управления по принципу обратной связи, в которых требуется гарантировать приведение управляемой системы На заданное целевое мюжество при любых зара -нее неизвестных помехах. Эти задачи исследуются в рамках теории дифференциальных игр, и они представляют большой практический и теоретический интерес. Среди первых результатов, относящихся к теории дифференциальных игр, можно отметить работы зарубежных математиков Р.Айзекса и У.Флеминга. Фундаментальный вклад в теорию дифференциальных игр составили исследования советских мате -матиков Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеничного и их сотрудников.

Объектом исследования в диссертационной работе являются и. -стабильные мосты. Согласш подходу, описанному в монэгра -фии [<2 9] , (Л -стабильный мост определяется как множе -ство в пространстве позиций, соединяющее начальную позицию с целевым множеством и обладающее специальным свойством, которое позволяет определить позиционную стратегию, гарантирующую удержа -ние движений на этом мосту вплоть до их встречи с целевым множеством. Ее ж (М -стабильный мост построен, то относительно просто можно определить стратегию, доставляющую решение задачи сближения. Этим обстоятельством объясняется важность изучения и. -стабильных мостов и разработка вычислительных методов для их построения. Вопросы, связанные с исследованием стабильных мостов, а также эквивалентных или близких к ним понятий и конструкций рассматривались многими авторами (см., например, работы ¿¿>¿9, 6Л, 66, 69] ).

Как правило, в задачах, рассматриваемых в теории дифферен -циальных игр, возникают различного рода сингулярности функции цены и границы стабильных мостов не обладают гладкостью (диффе ревдируемостью), которая позволила бы ограничиться классическими методами. Поэтому представляет интерес попытка использовать не -которые подходы, развитые в последние годы при изучении задач недифференцируемой оптимизации. Как известно, в этих задачах ин-финитезимальный ашлиз опирается ш такие понятия как субдиффе -ренциал, обобщенная производная, конусы возможных или касатель -ных направлений и т.д. (см., вапример, [ 6} 9> 1В , 55, В работах [бо- 62] были рассмотрены ин$инитезимальные свойства локально-липшицевых функций цены диф-ференциальшй игры. Были получены неравенства для производных по направлению, которые выражают свойства стабильности функции це -ны, обобщают основное уравнение теории дифференциальных игр и единственным образом выделяют функцию цены. Данную работу можно рассматривать как продолжение упомянутых исследований. Основным результатом, представленным в диссертации является определение стабилыюго моста, базирующееся на понятии производной многозначного отображения, которое по своему содержанию близко к известному понятию конуса возможных направлений. В качестве следствия основного результата дано описание стабилыюго моста с кусочно-гладкой границей, рассмотрено конечное разбиение стабильного моста на замкнутые подмножества, приведен критерий стабильшсти множества программного поглощения в случае, когда это множество имеет непустую внутренность.

Диссертация состоит из семи параграфов. Для удобства ссылок в § I приведены некоторые общие определения и известные факты из теории дифференциальных игр. В § 2 дано определение производной многозначного отображения и рассмотрены некоторые свойства этой производшй. Приведенные в § 2 результаты можно разбить ва три группы. Первую группу составляют свойства, которые сразу следуют из определения производной. Ко второй группе относятся менее очевидные факты, в частности, здесь дано описание производных для множеств с кус очно-гладкой границей. В третью группу включены вспомогательные результаты, которые используются в § 3. Основной результат диссертации - теорема 3.1, доказанная в § 3. Эта теорема устанавливает эквивалентность исходного определения стабильного моста и двух новых определений, данных в § 3. В исход -ном определении свойство стабильности определяется с помощью известного оператора программного поглощения (см., например, [¿в, 62] ). новые определения представляют собой и^инитезимальную форму свойства стабильности. Отметим, что в определении 3.3 4 свойство стабильности определено в так называемой унифицирован -ной форме, это определение опирается ш конструкции, предложен -ные в работах [26, 6 ?] .В§4 рассматриваются множества с кусочно-гладкой границей. Указаны достаточные условия, при выполнении которых такие множества будут (Л -стабильными мостами. Получены также необходимые условия, близкие к достаточным. Эти результаты являются следствием основных теорем, установленные в § 2 и § 3. Значительное место в § 4 занимает анализ соответствующего примера. В следующем параграфе рассмотрено разбиение ста -бильшго моста на конечное число замкнутых подмножеств. Показано, что такое разбиение индуцирует разбиение множества допустимых управлений второго игрока. Указанные разбиения согласованы таким образом, что каждая составляющая стабильного моста обладает свойством (X -стабильности относительно соответствующего подмножества управлений второго игрока. Результаты, представленные в § 6, дополняют исследования условий регулярности множеств программного поглощения [¿3,29, 63, 7о] . Здесь рассмотрен неособый случай (множество программного поглощения с непустой внутренностью). Для этого случая установлен критерий стабильности программного поглощения. В отличие от известных ранее условий регулярности для проверки полученного критерия требуется рассматривать лишь точки, лежащие ш границе множества программного поглощения, В последшм параграфе исследуются линейная дифференциальная игра в случае, когда сечения стабильных мостов являются выпуклыми мно -жествами. Указаны шобходимые, а также достаточные условия ста -билъности в рассматриваемом случае. В этих условиях фигурируют верхние и нижние производные по времена опорной функции сечений исследуемых множеств.

В заключение диссертации приведена библиография.

В диссертации принята двойная нумерация теорем, утверждений и формул» Конец доказательства теоремы или утверждения обозначается символом О

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела "Дишмические системы" Инзтитута математики и механики УНЦ АН СССР, докладывались т концеренции Пермского политехнического инзтитута по функционально-дифференциальным уравнениям (Пермь, 1983 г.), на конференции молодых ученых Инзтитута мате -матики и механики УЩ АН СССР (январь, 1984 г.) и опубликованы в работах

В совместной работе [? AwH.Субботиным и В.Н.Ушаковым предложена постановка задачи и доказано утверждение 2.13, вклю -ченное в диссертации. Остальные результаты этой работы были по -лучены автором диссертации.

Решение примера 4,1 из § 4 было проведено совместно с A.M. Тарас ьевым.

§ I, Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр.

В данном параграфе приведены некоторые определения и результаты из теории. Подробные мотивировки этих определений и доказа -тельства результатов содержатся в работах р9> 62] .

Пусть движение конфликтно-управляемой системы описывается дифференциальным уравнением

X = X, и, ¿). (1.«

Здесь X - /2 -мерный фазовый вектор системы, (Л , хТ -векторы управляющих воздействий соответственно первого и второго игроков, удовлетворяющие ограничениям СС & Р , д 6 О , где г с , Ос я* - компакты, £ (г т^ /"*.,-е/ . Символом < а, 4 > будем обозначать скалярное произведение векторов & и ^ , а символом // ОС Ц - евклидову норму вектора а .

Будем предполагать, что функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на Г * Я х Р х О .

2) липшицева по X , то есть

II {к, Xй! и, О) - № а, д)! 1 к (&) // у ю- /7/ (1.2) где & - любая ограниченная область в

Г* Я

- постоянное число;

3) удовлетворяет условию равномерной продолжимости решений.

Отметим, что последнее условие выполняется, в частности, если имеет место одно из следующих неравенств

Х, f(*,X,Ut <?)> ^ с (Ii- кXII* ) или с (Li- Кхн) , где с - co/zs-6 , X, U, $) t Тх R% Рх Q .

Наряду с этими условиями будем предполагать, что для любых S е R и /ч х) £ т х R выполнено равекзтво (условие седловой точки в маленькой игре) min m<*x< г, £(*>х,и, &)>- motxшп< sJ £(*,х,и, Я) >. (1.3) ц&р JfQ Г OTfö U(rP r

Приведем определения позиционных стратегий и движений, по -рождаемых этими стратегиями. Рассмотрим множество ÜJпоз , которое составляют всевозможные функции U »' Гх R Р .Элементы мюжества (¡JnQj будем называть позиционными стратегиями.

Движения управляемой системы, порожденные позиционной стратегией Lt £ 41 поз , определяется следующим образом.

Пусть (*0гХь)бгТхЯп, А - /f^r^J: ¿ = оД.-некоторое разбиение полуинтервала [t0j ß) , ):[t0d]•—* Q измеримая функция. Определим пошаговое движение Х(*> ¿о, Х0)

U. , -Ol ), А ) как решение пошагового уравнения

Х(Го) - Х9 } тс <5 t < z£+x , L - о. - -.,

Затем пучок движений ЛУ Ц-) определяется как совокупность всех абсолютно-непрерывных функций ХО) = (Х(+)> ■¿0 < £ £ & ^ , для каждой из которых существует равномерно сходящаяся к ней последовательность пошаговых движений хЛ, и, 0*(-),А<К>} где сИапг —» о при к# Здесь сбсагп й -- т&Х^ ( 1 - Гс- ) при С - 0,1/ ., I . Известно (см,, Например, [2 9] ), что X (¿*,Хо} (2 ) Ф 0 •

Пусть заданы замкнутые множества Л/с 7~*/? и /Ч С Л/ Непрерывная функция Х(-) ' В]»—* удовлетворяет условию (М, М) -сближения, если существует момент времени г (г [+«> такой, что

Т, Х(т)) 6 Л| и

Ч & N при Ы* * т

Задача - сближения формулируется следующим образом:

Для заданной точки Ко) (г Т х /? и заданных замкну -тых множеств /V е 7~х Ка 9 Д| с А/ требуется определить стратегию У. £ Ч/поз так, чтобы для любого движения Х(') £ выполнялось условий

-сближения.

Решение задачи сближения можно определить в рамках экстре -мальшй конструкции [2 9] . Важным элементом этой ковзтрук -ции является понятие (Л -стабильного моста. Известно, что к задаче (М, М) -сближения можш свести решение многих типов иг -ровых задач управления. Известно также (см. например, [2 3^62] ), что построение стратегии, доставляющей решение задачи (Л1, Ы) -сближения, сводится к построению соответствующего (Л -стабиль -ного моста. Этим обстоятельством объясняется важность изучения стабильных мостов и методов их построения.

Стабильный мост моею определить различными эквивалентными способами. Ниже приведено исходное определение (см., например, [).

Пусть в пространстве позиций Тх R* выделено некоторое множество U/ . Полагаем

Wi = ¡rft W\. (1.4)

Введем также следующее обозначение

Fit&ö)-- boffK^U.J): и (г Pj , (1.5) где символ Со £ • j обозначает выпуклую оболочку.

Определение I.I. Множество \fJC-T*R называется U -стабильным мостом в задаче сближения, если выполняются следующие условия:

Iu) V/clN, W9 <= Ме

2и) (условие U -стабильности) каковы бы ни были£ 6 W, ti* £ (t*> &!, тЭ* ¿Q существует решение иУ(<) = (£(*)> ^ ^ i" ) дифференциального включения мт'^; ^ ^ J, «fcj=^ (1#6) удовлетворяющее условию : si'jnl (*') *0, й-?) где

Г)= М и{(*,0)б V/: (1.8)

Замечание. Пусть Х.р№ (Р) - множество вероятностных мер1 нормированных на компакте Р . Пусть • Г**, ¿*] грпг (Р) - слабо измеримая функция (см., например [9,Л9] ), Рассмотрим дифференциалы©е уравнение и5(4) = { и, х), (¿и), иГ{*¥ )= и},. (1.9)

Известно (см., например, [9, /°] ), что множество решений дифференциального включения (1.6) совпадает с пучком решений уравнения (1*9), который получается при переборе слабо измеримых 4 управлений-мер [и (•) , Поэтому условие 1Л -стабильности можно определить в следующей эквивалентной форме: каковы бы ни были (£ г^) 6 V/ , хГ* 6 <3 , (¿»¡д] существует слабо измеримое уцравление-мера /^1) : /"¿^ ¿*] » 1—* "ср/П (Р) такое, что решение иТ(') дифференциального уравнения (1.9) будет удовлетворять соотношению (1.7).

Замыкание и стабильного моста есть опять и -стабильный мост (см., например, [2 9, 62] ). Поэтому в дальнейшем всегда будем предполагать, что и -стабильный мост - замкнутое множество в Гх /?Л .

Введем некоторые обозначения.

Через обозначим пучок решений Х(-):

К* дифференциального включения (1.6), удовлетворяющих начальному условию X (Ъ) - X 0 .

Известно (см., например, [&1] ), что компакт в пространстве непрерывных функций Х(') > /?Л .

Как отмечалось выше, справедливо равенство

ХК*-,*) - (1.10) н-» г/5 т (Р) слабо измеримо | , где Х(', )г д) - решение дифференциального уравнения (1.9) с начальным условием - Ха .

Приведем теперь некоторые факты, относящиеся к случаю, ког , а

Здесь г I * - выпуклое и компактное множество в , в(') и

С (•) - пх р ш П У ^ -мерные матрицы, элементами которых являются непрерывные функции. Можно рассматривать более общий случай, в котором и, = АМ ДГ * СМ *

Однако известно, что такой случай всегда можно привести к случаю вида (1.11).

Обозначим через ЮТ и совокупность всех программных управлений и (•) и ¿Г(-) , то есть измеримых функций и (•) (- о® Ру -д(-): (- соответственно.

Определение 1.2. Множество всех позиций (-¿о,Х0) X таких, что для любого гУ{ ) 6 выполняется следующее условие называется множеством программного поглощения.

Известю (см., например [Л3^9] ), что множество программного поглощения можно определить следующим образом:

ПР=1(ЪХ,)<:('^ д]хЯП: €01*.,х0)*о\3 (1.12) где st- i и (s*Rni IIS// = L /, a i

Vfr s)~ rnin< &(T)u3s> + rnet*< C(T)£t 5 uep S(rQ p(s) - та* < s, rn >.

Из определения 1.2 или из соотношения (I.I2) следует, что п л ' множество w выпукло и компактно в К

Приведем определение множества позиционного поглощения. Определение 1.3. Множеством позиционного поглощения называется совокупность позиций (¿0}Хо ) 6 &] X R11 , обладающих следующим свойством: для любой стратегии второго игрока о

V 6 Упоз. существует движение х(-) Ь Х(*.,Х., V) такое, что справедливо X(&) € /А* .

Отметим, что множество позиционных стратегий и пучок движений X (Х0> V) порожденной стратегией V 6 V/?©! второго игрока, определяется аналогичным способом, как это определялось для первого игрока. Множество позиционного поглощения совпадает с максимальным и -стабильным мостом.

I . Для нелинейной задачи сближения даны определения стабиль- 96 -

ного моста в ин^инитезимальной форме и доказана эквивалентность известного и новых определений.2, Рассмотрены свойства производной мюгозшчного отображе ния, которая фигурирует в новом определении свойства стабильнос ти, 3 , Указаны условия стабильности множеств с кусочно-гладкой границей. Эти условия выражаются неравенствами, которые связыва ют правую часть управляемой системы и нормали к гладким участкам границы.4, В качестве следствия теоремы об эквивалентности, рассмот рены условия стабильности множества программного поглощения и описано конечное разбиение стабильного моста ш замкнутые подано жества.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир, 1967. - 479 с.

2. Алексейчик М.И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры, В кн.: Мат ем. анализ и его приложения. Изд-во Ростов, ун-та, 1975, с. 191-199.

3. Альбрехт Э.Г. О встрече квазилинейных объектов в регулярном случае. Прикл. математика и механика, 1971, т. 35, вып. 4, с. 569-574.

4. Байдосов В.А. К вопросу о конфликтно-управляемых системах в метрическом пространстве. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 7, с. 1155-1162.

5. Батухтин В.Д. Экстремальное управление в дифференциальной игре, Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1972, № 6, с. 35-44.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управле -ння. ^М.: Наука, 1966. 308 с.

7. Боткин Н.Д., Пацко В.С. Позиционное управление в линейной дифференциальной игре. Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1983, № 4, с. 75-78.

8. Брайсон Д., Хо КМПи. Прикладшя теория оптимального управле -ния. •• М.: Мир, 1972. ~ 544 с.

9. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 624 с.

10. Гамкрелидзе Р.В. Ос швы оптимального управления. Тбилиси, Изд-во ТГУ, 1977.

11. Григоренко Н.Л. 0 нелинейной задаче преследования несколькими объектами. Вестник Москов. У нив. Сер. Вычисл. матем. кибернет., 1981, » I, с. 60-69.

12. Гусев М.И., Куржанский А.Б. О ситуациях равновесия в много -критериальных игровых задачах. Докл. АН СССР, 1976, т. 229,6, с. 1295-1298.

13. Гусятников П.Б. Об одной проблеме -убегания, Прикл. математика и механика, 1976, т. 40, вып. I, с, 25-37,14. 1^сятников П.Б. Об одном критерии оптимальности времени преследования. Прикл, математика и механика, 1976, т, 40, вып. 5, с, 928-935.

14. Гусятников П.Б., Никольский М,С. Об оптимальности времени преследования. Докл. АН СССР, 1969, т. 184, Ш 3, с.518-521.

15. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемость по шправлениям. -Л.: ЛГУ, 1974. 112 с.

16. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация.-М.: Наука, 1981. 384 с.

17. Иоффе А.Д., Тихомиров В,И, Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 479 с.

18. Клейменов А.Ф, Задачи конфликтного управления. Прикл. математика и механика, 1975, т, 39, вып. 2, с. 225-234.

19. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функ -ционала. «Докл. АН СССР, 1980, т. 253, № 6, с. 1303-1307.

20. Красовский А.Н., Красовский Н.Н,, Третьяков В,Е, Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры, Прикл. математика и механика, 1981,т, 45, вып, 4, с. 579-586.

21. Красовский H.H. Теория управления движением. M«: Наука, 1968. - 475 с.

22. Красовский Н.Н, Игровые задачи о встрече движений. Наука, 1970. 420 с.

23. Красовский H.H. Дифференциальная игра с ближе ния-уклонения.1.- Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1973, № 2, с. 3-18.

24. Красовский H.H. Дифференциальная игра сближения-уклонения. П.- Изв. АН СССР, Техн.кибернетика, 1973, № 3, с. 22-42.

25. Красовский H.H. К задаче унификации дифференциальных игр. -Докл. АН СССР, 1976, т. 226, Л 6, с. 1260-1263.

26. Краоовокий H.H. О стохастическом программном синтезе стратегии в дифференциальной игре. Прикл. математика и механика, 1982, т. 46, вып. 6, с. 885-892.

27. Красовский H.H., Субботин А.И. Альтернатива для игровой задачи сближения. Прикл. математика и механика, 1970, т. 34, вып. 6, с. 1005-1022.

28. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. - 456 с.

29. Кряжимский A.B. Дифференциальная игра сближения в условиях полной информации о системе. Укр. матем. журнал, 1975, т. 27,,вып. 4, с. 521-526.

30. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопреде -ленности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

31. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. -М.: Наука, 1972. 312 с.

32. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры.Докл. АН СССР, 1967, т. 174, № I, о. 27-29.

33. Мищенко Е.Ф. , Сатимов Н. Задача об уклонении от встречи в дифференциальных играх с нелинейными управлениями. Диффе -ренц. уравнения, 1973, т. 9, № 10, с. 1792-1797.

34. Никольский М.С. О некоторых дифференциальных играх с фикси -рованным временем. Докл. АН СССР, 1978, т. 240, № 2, с.272-275.

35. Никольский М.С. Приближенное вычисление наименьшей гарантированной оценки в линейных дифференциальных играх с фиксированной продолжительностью. ~ Прикл. математика и механика, 1982, т. 46, вып. 4, с. 691-693.

36. Никольский М.С. Об одном прямом методе решения линейных диф -ференциальных игр преследования, убегания. - Матем. заметки, 1983, т. 83, № 6, с. 885-891.

37. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр с ж; тем с последей -ствием. Прикл. математика и механика, 1971, т. 35, вып. 2, с. 300-311.

38. Осипов Ю.С. Информационная игровая задача. В кн.: Тр. П ковф. ИФИП. Новосибирск, 1974.

39. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с рас -пределенными параметрами. Докл. АН СССР, 1975, т. 223, Ш 6, с. 1314-1317.

40. Пацко В.С., Тарасова С.И. Дифференциальная игра сближения сфиксированным моментом окончания. Свердловск, 1983. - 112 с. Рукопись предетавлеш Ин-том математики и механики УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 26 сентября 1983 г., № 5320-83.

41. Пашков А.Г. Об одном достаточном условии для нелинейных позиционных игр сближения. Прикл. математика и механика, 1976, т, 40, вып. I, с. 168-171.

42. Пашков А.Г. Об одном подходе к решению нелинейных позиционныхдифференциальных игр, ~ Изв, АН СССР, Техн,кибернетика, 1979, № I, с. 17-52.

43. Петров H.H. Существование значения игры преследования. -Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 5, с. 827-839.

44. Петросян I.A. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 222 с.

45. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. I. Докл. АН СССР, 1967, т. 174, № 6, с. 1278-1280.

46. Понтрягин Л.С. 0 линейных дифференциальных играх. П. Докл, АН СССР, 1967, т. 175, & 4, с. 764-766.

47. Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования.-Матем. сборник, 1980, т. 112, вып. 3, с. 307-330.

48. Понтрягин Л.С., Болтянзкий В.Г,, Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Hay -ка, 1969. - 384 с»

49. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр. Докл. АН СССР, 1969, т. 184, £ 2, с. 285-287.

50. Пшеничный Б.Н, 0 необходимых условиях экстремума для неглад -ких функций. Кибернетика, 1977, £ 6, с, 92-96,

51. Пшеничный Б.Н, Выпуклый ашлиз и экстремальные задачи, М.: Наука, 1980. - 319 с.

52. Пшеничный Б.Н., Чикрий A.A. Дифференциальная игра уклонения.-Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1977, № I, с. 3-8,

53. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973, - 470 с.

54. Субботин А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных иг -рах с полной памятью. Докл. АН СССР, 1972, т. 206, И 3,с. 552-555. , . . .

55. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр, Докл. АН СССР, 1980, т. 234, J6 2, с. 293-297.

56. Субботин А.И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные уеловия для кус очно-гладкой цены дифференциальной игры, Докл. АН СССР, 1978, т. 243, Л 4, с, 862-865.

57. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. -М.: Наука, 1981, 288 с.

58. Тарлишкий С.И. Об одной линейной дифференциальной игре сближения. -Прикл. математика и механика, 1973, т. 37, вып. I, с. 14-32.

59. Тарлишкий С .И. Об одном регулярном классе дифференциальных игр. Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1973, № 6, с. 49-55.

60. Третьяков В.Е. Регуляризация одной задачи о преследовании. -Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, J6 12, с. 2I08-2I2I.

61. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения. Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, 1980, № 4, с. 29-36.

62. Ушаков В.Н. К теории минимаксных дифференциальных игр. I. -Свердловск, 1980, 187 с. - Рукопись представлена Иннгом математики и механики УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ I сентября 1980 г., № 4425-80.

63. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем. сборник, i960, т. 51 (93), № I.

64. Ченцов А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания. Докл. АН СССР, 1978, т. 240, & I, с. 36-39.

65. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени. ~ Изв. АН СССР, Сер, Математика, 1978, т. 42, Л 2, с. 455-467.

66. Черноусько Ф.Л. , Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

67. Чикрий A.A. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц. Прикл. математика и механика, 1979, т. 43, Л 3,с. 518-521.

68. Чикрий А.А. Дифференциальные игры нескольких лиц. Киберне -тика, 1979, № 4, с. 99-101.

69. Гусейнов Х.Г. Стабильные мосты с кусочно-гладкой границей. -Свердловск, 1982. 35 с. - Рукопись представлена Инчюм ма -тематики и механики УНЦ АН СССР. Деп. в ВИНИТИ 22 ноября 1982 г., të 5757-82.

70. Ffenicacj- W. /-/. Tfie convergence p*o¿¿erti foi fetentí£t¿ (fames. 7. J. MccéÁ. </?/ia¿gsts & 1961, no. 3, p. foz - J/6.