О существовании ненулевых решений уравнений Лапласа и Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГВ од 1 з ДЕК ?Ц1

на правах рукописи

АСТАХОВ Александр Тимофеевич

О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕНУЛЕВЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ГЕЛЬМГОЛЬЦА В НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2000 г.

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководи- доктор физико-математических нау

факультет ВМК, Ведущая организация: Московский госуниверситет

им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 26 декабря 2000 года в 15.4С на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском*государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, ПММ ауд.314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2000г.

Ученый секретарь

тель:

профессор Мешков В.З.

Официальные оппонен-

доктор физико-математических нау профессор Бобылев H.A. доктор физико-математических нау профессор Сапронов Ю.И.

ты:

диссертационного совета К 063.48.09

В.Г. Задорожний

j

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ'

Актуальность темы.

В фундаментальных и прикладных исследованиях важное место занимают уравнения Лапласа и Гельмгольца. Свойства решений этих уравнений находят многочисленные применения.

В §1 дано полное решение задачи: при каких а существует ненулевая, гармоническая в Лп(гг ^ 3) функция, равная нулю на конусе Ка — {(х1,х')еН,п : ||х'|| = ах1} ?

В теории аналитических функций хорошо известна следующая

Теорема. Пусть аналитическая функция и регулярна в угле |ащ.г| < 7г/2/го, \z\ > а (Иег > 0). Если внутри угла

< С ехр{—г/!о+г?}, г =|*|,

с любыми фиксированными С > 0, /¿о > 1 и 7] > 0, то и = 0.

Следует сразу же отметить, что этот результат может быть уточнен. Хорошо известный пример функции

и)(г) = ехр{—гЛо-7?}, 7] > 0,

в угле | а^*! < тг/2/г.о, Иег > 0, показывает, что существенное усиление теоремы уже невозможно.

Теорема устанавливает предельную скорость убывания регулярной внутри данного угла функции, при которой эта функция еще отлична от тождественного нуля. С помощью конформных отображений из теоремы получаются оценки предельной скорости убывания аналитических функций, регуляр-

ных внутри других неограниченных областей типа угла или полуполосы.

Постановка задачи о предельной скорости убывания легко переносится с аналитических функций и(г) — и(х, у)+гь(х, у), которые можно рассматривать как решения системы Коши— Римана на решения других эллиптических систем и уравнений. При этом интересен в основном случай более чем двух независимых переменных.

Требуется установить наличие предельной скорости убывания и найти ее оценку, во-первых, через степень эллиптичности соответствующего дифференциального оператора и, во-вторых, через геометрические характеристики области.

Пусть и(Х) — гармоническая функция трех переменных х,х\,х2 в некоторой неограниченной области И. Требуется оценить функцию (р{Х) — нижнюю грань таких функций (рв(Х) , что из условия

КХ)| < Сехр{—</>(Х)}

следует

«(X) = 0.

Существование <р(Х) доказано Е.М. Ландисом для решений любого эллиптического уравнения второго порядка, коэффициенты которого ограничены вместе с двумя первыми производными; однако метод, примененный в этой работе, не позволяет существенно улучшить полученную оценку <рп(Х) в сколь угодно "хорошем" частном случае, например, даже для решений системы Коши—Римана (т.е. для аналитических функций).

Поэтому представляет известный интерес уточнения резуль-

тата Е.М. Ландиса для конкретных операторов—: в частности, для оператора Лапласа с числом переменных более двух (при двух переменных вопрос сводится к теоремам Фрагмена—Линделефа для аналитических функций).

Известны результаты Аршона И.С., Иглицкого М.А., Пака М.А. для гармонических функций трех переменных в полупространстве, полуцилиндре, конусе.

Теорема(Аршон). Пусть и(Х) -гармоническая функция трех переменных в неограниченной области Б, содержащей внутри себя конус V :

| а^(х±1\/у2 + г2)\ < г = у/х2 + у2 + г2 > а (х>0).

2по

Если внутри И

|и(Х)| < Сехр^А^} (1)

с любыми фиксированными С > 0 и Но > 1, 7] > 0, то и(Х) = 0.

Эти и близкие вопросы рассмотрены в большом количестве работ: Л. Хёрмандера, В.З. Мешкова, И. А. Киприянова, В.В. Катрахова и др.

В настоящей диссертации рассмотрен случай, когда в условии (1) теоремы (Аршона) от г] > 0 можно избавиться. Кроме того, как следует из доказательства, указан метод применимый к вопросам об убывании гармонической функции в телах вращения пространства Яп. Из которого следует, что при некоторых довольно естественных предположениях на тело вращения характер убывания гармонической функции будет такой же как и в плоском случае. В §5 доказан критерий существования ненулевого решения

уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах.

Пусть и ^ 2 — фиксированное натуральное число, Rn — вещественное евклидово пространство размерности п с евклидовой нормой || в ||, f(x) —.локально суммируемая в Rn функция. Предположим, что при некотором фиксированном г > О и почти всех (по мере Лебега) х 6 Rn имеет место равенство

J f(x) da = 0, (2)

S(x,r)

где S(x,r) — сфера с центром х и радиусом г в Rn с ее нормированной поверхностной мерой da. В данный момент подробно исследован вопрос: верно ли, что f(x) — нулевая функция ? В общем случае ответ отрицательный, однако при некоторых дополнительных предположениях равенство f(x) = 0 имеет место. Одним из таких предположений является ограничение роста f(x) на бесконечности. Первые результаты в этом направлении принадлежат Ф. Йону и Д. Смиту которые установили, что если f(x) € C(Rn) с условием

, lim \x\{n~l)/2f(x) = О

удовлетворяют (2), то f(x) = 0.

Отметим также недавний результат S. Thangavelu: если npi некотором

1 ^ 2п

1

71 — 1

функция f(x) с условием (2) принадлежит классу Lp(Rn), т< f(x) = 0. При

2 п

это утверждение уже не имеет места.

Известная теорема о шаровых средних для уравнения Гель-мгольца утверждает, что для того, чтобы функция /(я) € С(ЯЛ) была решением уравнения А17(х) + Х21/(х) = 0, необходимо и достаточно, чтобы при всех х Е Л" и г > О выполнялось равенство

|иКг

где — функция Бесселя первого рода порядка к. В частности, отсюда следует, что всякое решение уравнения

имеет нулевые интегралы по всем шарам из Яп , радиусы которых принадлежат множеству нулей функции «7а.

Всюду в дальнейшем — последовательность всех по-

ложительных корней функции /п , расположенных в порядке возростания.

Теорема (Волчков). Пусть /(х) € Ь10С(Лп). Тогда для того чтобы интегралы от /(х) по всем шарам из Лп с радиусами щ,^,... были равны нулю, необходимой достаточно, чтобы /(х) совпадала почти всюду с решениями уравнения (4).

В настоящей работе дано полное решение задачи: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций существует ненулевое решение уравнения Гельмгольца.

(3)

Ы1{х) + и{х) = О,

(4)

Кроме того, в настоящей работе дано полное решение задачи: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций существует ненулевая функция удовлетворяющая условию (2). В 1943г. Реллих доказал следующее утверждение. Теорема (Реллих). Пусть и{х) — решение уравнения Гелъмголъца

Аи + и = О,

определенное па всем п — мерном пространстве Rn . Тогда если

lim u(a;)|x|("-1)/2 = О,

|х|->00

(\x\ = (xj + xl + ... + xl)1/2),

то и(х) тождественно равно нулю.

Обобщение этого утверждения на случай произвольных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в 1973г. было сделано Хёрмандером.

Сформулируем частный случай теоремы Хёрмандера для ypai нения Гельмгольца.

Теорема. Пусть и(х) — решение уравнения Гельмгольца

Аи + и = О,

определенное на \х\ ^ Ro > 0 пространства Rn. Тогда если

2 г

lim- [ \u{x)\2dx = О, г—уооТ J

г

то и(х) = 0 в Rn .

Цели настоящей работы. 1. Найти критерий существования ненулевой, гармонической в Яп функции, обращающейся в нуль на конусе Ка = {(хг, х') 6 Яп : ||х'|| = ах 1} — конус в Яп с вершиной в начале координат и раствором а.

2. Найти критерий существования ненулевой, гармонической в Яп функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов Ка. = {(х1, х') £ Я71 : Ця'Н = а^} —конусы в Яп с вершиной в начале координат и раствором а^.

3. Исследовать вопрос: как быстро может убывать полигармоническая функция и(х1, Х2,..., хп) заданная на конусе

пространства Л" , чтобы и(х\,х2, ...,хп) ?

4. Найти критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах.

5. Найти критерий существования ненулевой функции, заданной на Яп, удовлетворяющей условию нулевых сферических средних.

6. Исследовать условия при которых функция, являющаяся решением уравнения Гельмгольца АЦ + II = 0 , определенная на \х\ ^ Яо > 0 и удовлетворяющая условию

тождественно равна нулю.

Методы исследования. Применяются методы теории функций комплексной переменной, теории специальных функций и гармонического анализа.

Д+1

д

Научная новизна. Доказан критерий существования ненулевой, гармонической в Я71 функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов К^ = {(х1,х') € Я" : Цх'Ц = щх^} — конусы в с вершиной в начале координат и раствором а].

Найден ответ на вопрос: как быстро может убывать полигармоническая функция и(х 1, £0) •••) ^п) заданная на конусе

пространства Л" , чтобы и(х Х2, ...,£„) ^ 0 ?

Доказан критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах.

Доказан критерий существования ненулевой функции, заданной на /?п, удовлетворяющей условию нулевых сферических средних.

Получены условия при которых функция, являющаяся решением уравнения Гельмгольца Аи + V — 0, определенная на |ж| ^ Д0 > 0 и удовлетворяющая условию

г,

я

тождественно равна нулю.

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейшем развитии теории функций вещественной и комплексной переменной, гармонического анализа и его приложениях.

Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [1] — [14]. Структура диссертации. Диссертация изложена на 88 стра-

Я+1

ницах, состоит из введения, семи параграфов и списка литературы из 57 названий.

Автор приносит сердечную благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору В.З. Мешкову за постановку задач, за многочисленные ценные консультации и беседы, способствующие написанию работы. Автор благодарен доктору физико - математических наук, профессору И.А. Киприянову обратившему внимание на ряд публикаций по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 мы отвечаем на вопрос: при каких а существует ненулевая, гармоническая в й" (и ) 3) функция, равная нулю на конусе Ка ?

Где Ка — {(х^х7) 6 Яп : ||я'|| = ах^ — конус в К1 с вершиной в начале координат и раствором а. Здесь Цх'Ц = (4+4 + ... + х1)1/2.

Доказана

Теорема 1.1 . Для существования ненулевой, гармонической в Я,71 (п ^ 3) функции, равной нулю на конусе Ка, необходимо и достаточно, чтобы существовал многочлен Гегенбауэра из последовательности

03*), 0 = ¿ = 0,1,...,«.

« = 0,1,2,..., ($1) = а.

для которого (1 + а2) является нулем.

В параграфе §2 найден критерий существования ненулевой, гармонической в Яп (п ^ 3) функции, равной нулю на конечном числе конусов Ка] ■

Пусть Ка; = {(х1,х') еЯ71 : \\х'\\ = а^х\} — конусы в Яп с вершиной в начале координат и раствором а^ . Доказана

Теорема 2.1. Для существования ненулевой, гармонической в Я" (п ^ 3) функции, равной нулю на конусах Ка , необходимо и достаточно, чтобы существовал многочлен Гегенбауэра из последовательности

рЦ«{ сов^), 0 = ¿ = 0,1,...,«.

к = 0,1,2,..., ^ = а^ з^к-г.

_-1 /Л

для которого (1 + а|) (1 ^ ] ^ к — г), являются нулями.

В §3 рассматривается вопрос: как быстро может убыват! гармоническая функция и(х■ .., хп) заданная на конусе

{х1 + х23 + --- + х1)1'2 < X!

пространства Я" , чтобы и(х\, х2,..., хп) ф 0 ? Доказана следующая

Теорема 3.1. Если гармоническая функция и(х 1,Х2,-..,хп) задана на конусе

пространства В!1, непрер,ывна вплоть до его границ • выполняется условие

\и{хх,х2,...,0| ^ Ме~еМ\

а > 1, е > 0, \\х\\ оо, М = const > О,

тогда u(xi,x2, ■■■iXn) = 0.

В параграфе §4 мы отвечаем, на вопрос: как быстро может убывать полигармоническая функция и(х\, %2,...-, хп) заданная на конусе

{х\ + х\ + -.-+ xlf'2 ^ tg Х1

пространства Я" , чтобы и(х\, Х2, ■■■, хп) ф 0 ? Доказана

Теорема 4.1. Если полигармоническая функция u(xi, Х2,хп) задана на конусе

(xl + xl + --- + xl)1/2 ^tg ^ пространства Rn, непрерывна вплоть до его границ и выполняются условия:

\&>и{х\,х2,.< j = 1,2,..., т — 1,

а > 1, е > 0, \\х\\ со, М = const > О,

где т — порядок полигармонической функции и(х\, Х2,..., хп), A^u(xi, Х2,..., хп) при каждом значении j являются непрерывными функциями вплоть до границ конуса. Тогда и[х\, Х2, хп) = 0.

В §5 рассматривается вопрос: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций, заданных на Rn существует ненулевое решение уравнения Гельмгольца.

Пусть В — банахово пространство, элементами которого являются обобщенные функции на Rn, удовлетворяющее условиям:

I) Если f(x) £ В , то и f{ux) £ В — где и вращение на сфере S(xo,r). Здесь S(xo,r) = {ж € Rn : \х — жо| = г} — сфера в Rn с центром в точке xq и радиусом г. Группу всех ортогональных преобразований, как обычно обозначим через 0(п);

II) Если ик —> щ, то f(uKx) —У /(щх) £ В , т.е. отображение 0(п) Э ti —У f{ux) £ В непрерывно;

III) Если f{x)£ В, то f{x-y)£ В;

IV) Свертка функций f(x) £ В и ip £ S принадлежит В

{f[x)*<pe в).

Теорема 5.1 Для существования ненулевого решения уравнения Гелъмголъца А/ + / = 0 в пространстве В необходимо и достаточно, чтобы пространство В содержало функцию Jn-jr1-^ . Где Js_i(/ir) функция Бесселя первого рода.

Пусть n ^ 2 фиксированное натуральное число. Rn — вещественное евклидово пространство. Предположим, что при фиксированном г = 1 и почти всех xq £ Rn имеет место равенство

J fda = 0.

S(x о,1)

В §6 рассматривается вопрос: при каких условиях накладываемых на банахово пространство функций, заданных на Rn существует ненулевая функция f(x) такая, что интеграл по

любой единичной сфере равен нулю?

Теорема 6.1. Для существования ненулевой функции /(ж) £ В (n ^ 2), удовлетворяющей условию

J /(¿О" = 0. Vrro ей"

£(z0,l)

необходимо и достаточно, чтобы пространство В содержало функцию Ja_i(//r)r1-2 , г<9е ^ — любой положительный ноль функции Бессеигя Js_i(/ir) . В §7 доказана

Теорема 7.1. Пусть U(x) — решение уравнения Гелъ-мгольца

AU + U = 0,

определенное на |ж| ^ Rq > 0 пространства Rn . Тогда, если

R+1

lim f \U(x)\2 dx = 0,

R->ooJ R

то U{x) тождественно равно нулю. По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Астахов А.Т. Об одной задаче для гармонических функций (п = 3)// Всесоюзная конференция "Условно — корректные задачи математической физики и анализа" Новосибирск. — 1992, С.6.

2. Астахов А.Т. Об одной задаче для гармонических функций/ / Понтрягинские чтения—VI: Тез. докл. Воронеж, 1995. С.4.

3. Астахов А.Т. Убывание гармонических функций в конусе пространства Я" // Понтрягинские чтения—VII: Тез. докл. Воронеж, 1996. С.20.

4. Астахов А.Т. Об одной задаче для банаховых пространств функций// Понтрягинские чтения—VIII: Тез. докл. Воронеж, 1997. С.13.

5. Астахов А.Т. Убывание гармонических функций в конусе пространства Яп. // Вестник факультета ПММ: Вып.1.— Воронеж: ВГУ, — 1997, С.14.

6. Астахов А.Т. О скорости убывания на бесконечности решений уравнения Гельмгольца// Понтрягинские чтения—IX: Тез. докл. Воронеж, 1998. С. 12.

7. Астахов А.Т. Об одном свойстве решений уравнения Гельмгольца// Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства. Тезисы конференции. Воронеж, — 1998. С.17.

8. Астахов А.Т. Об одном свойстве полигармонических функций// Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы в теории краевых задач". " Понтрягинские чтения—X". Тезисы докладов (3—9 мая — 1999). Воронеж. С.18.

9. Астахов А.Т. Критерий существования ненулевой функции с нулевыми сферическими средними. — Воронеж, 1999. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.04.99, N 1268-В99.

10. Астахов А.Т. Убывание полигармонических функций в конусе пространства — Воронеж, 1999. - 9 с.-Деп. в ВИНИТИ 21.04.99, N 1267-В99.

11. Астахов А.Т. О скорости убывания на бесконечности решений уравнения Гельмгольца// Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства. Тру-

12. Астахов А.Т. Гармонические функции, обращающиеся в нуль на конусах: критерий существования // Сиб.математич.журн. — 1999. — Т.40, №6. — С. 12231225.

13. Астахов А.Т. Критерий существования ненулевой, гармонической в Я" функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов// Математическое моделирование систем в естественных и гуманитарных науках. Тезисы докладов. Воронеж, — 2000. С. 14.

14. Астахов А.Т. Критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах// Воронежская весенняя математическая школа" Современные методы в теории краевых задач". "Понтрягинские чтения—XI". Тезисы докладов (3—9 мая — 2000). Воронеж. С.171.

'ды конференции. Воронеж, — 1998. С. 12-18.

Заказ №481 от /У. И, 2000 г. Тир.ЮР экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.

ВВЕДЕНИЕ . 3 стр.

§1. Критерий существования ненулевой, гармонической в Н,П функции, обращающейся в нуль на конусе . 22 стр.

§2. Критерий существования ненулевой, гармонической в ТЦ1 функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов . 44 стр.

§3. Убывание гармонических функций в конусе пространства Н!1 . 48 стр.

§4. Убывание полигармонических функций в конусе пространства 1~1п . 57 стр.

§5. Критерий существования ненулевого решения, уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах . 59 стр.

§6. Критерий существования ненулевой функции, с нулевыми сферическими средними . 65 стр.

§7. О скорости убывания на бесконечности решений уравнения Гельмгольца . 73 стр.