О свойствах операторов преобразования для многомерного уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ 1\ А УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ

I На правах рукописи

О СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

01.01.02. — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы —

1994

Работа выполнена в Институте прикладной математики HAH и MHO PK.

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведущая организация

— член-корреспондент HAH PK, доктор физико-математических наук, профессор М. О. ОТ ЕЛ БАЕВ

— кандидат физико-математических наук А. А. ДУРМАГАМБЕТОВ

— член-корреспондент HAH Р1\, доктор физико-математических наук, профессор С. Н. ХАРИН

— кандидат физико-математических наук Б. Е. КАНГУЖИН

— Новосибирский Государственный Университет

Защита состоится «

jP* PFirJj Jf.V 1994 г. в J£_

.час.

на заседании специализированного совета К.14/А.01.05. в Казахском Государственном Национальном Университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казахского Государственного Национального Университета имени Аль-Фараби.

Автореферат разослан «_ /7 > ¿г^/уЛ

HzL.

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук Ш4Ц" I Б- м- КАДЫКЕНОВ

ОЬЩАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуилыюсжь толы. Одну из фундаментальных проблем современной квантовой мыишини, представляет обратнчя задача о восстаноьлвиян потенциала но данным рассеяния (извлекаемыми из эксперимента).

Принцинияльнаи возможность решения обратной задачи доказана советскими м»п>м»тикими И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном, В.А. Марченко, М.Г. Крайним. Выведенные ими интегральные уравнения," глнэ называемые уравнениями Гвльфанда - Левитана - Марченко (.ТЛЯ), легли в основу дальнейшего развития теории. Существенные успехи в теории обратных задач были достигнуты применением сперва В.А. Марченко l1.г.ЗJ. в ?атем Б.Я. Левшшм 14) и другими математиками для исследования этих задач, так называемых, операторов преобразования, т.е. решений операторного уравнения:

ни = ин0 ,

1. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // Доклады АН СССР. - М., 1950. - Т. 72.

- * 3. - С. 45"}-460.

2. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Московского математического общества. - М., 1952. - Т. 1. - С. 327-420.

3. Марченко В.А. Восстановление потенциальной анергии по фазам рассеянных волн // Доклады АН СССР. - М., 1955. - Т. 104. -- *Г>.

- С. 695-699.

4. Левин Б.Я. Преобразования типа Фур:,о и Лапласа прл помо'ци решений дифференциальных уравнений второго норпд: п // Доклады АН СССР. - М., 1956. - Т. 106. - Я 2. - С. 16ГЫ90.

где Н и Н0 »вдаются выражениями

а

а

и ---~ + 4(2). я,

о

с граничными условиями либо в пуло, либо на бесконечности. Эти решения шьют структуру операторов Волътерра:

и ядро этих операторов являются решениями краевых задач для уль-трагшерболичоского уравнения.

Недавно возобновился интерес к ультрагишрболическим операторам. Это вызвано презде всего следующим обстоятельством: в теории многомерных обратных задач квантового рассеяния важную роль играют операторы преобразования для оператора Шредингера, т.е. решения операторного уравнения: Ш = Шс, где Н0 = -А (Л - оператор Лап-'

ласа), Н = Н0 +- q(x), вещественная функция q(x) называется потенциалом. В зависимости от того какаим выбран оператор преобразования, получается тот или иной путь решения обратной задача.

Первое глубокое исследование многомерной обратной задачи предпринял Л.Д. Фаддеев в цикле работ [1-2] часть результатов которого

1. Фаддеов Л.Д. Трехмерная обратная задача квантовой теории рассел/ил / Сб. тр. Всес. симпозиума по обратным задачам для дифференциальных уравнений. - Новосибирск, 1972. - С. 94-99.

2. Фаддеев Л.Д. Трехмерная обратная задача квантовой теории рассеяния / Современные проблемы математики. - М.:

1ЭТ0. - Т. 3. - С. 93-180.

со

и,№) = Г(х) +- | А, (Х.У)ГСУ)ЙУ, и2г<х) = Г(х) + |

Аг(х.у)Х(у)йу

—СО

били независимо получены Р. Ньютоном! 1,2).

однако, к настоящему времени, строго не было доказано суще-СПЮВ0Ш1Я 1ш одного onopaiopa преобразования для уравнения ДОре-дангера. Например, Л.Д. Фаддеев [31 ввел оператор преобразования для уравнения П'редлнгера в виде:

ly - Г(х) + | ¿ух.у)Г(у)(Зу. (1)

гдо 7 - единичный вектор в R3 задающий напраплвгага вольтерровости и предложил путь, как южю доказать существование таких операторов преобразования, т.е. витал 14) необходимое и достаточное условие существования соответствуйтего локального потенциала, но дал лишь приблизительную схему доказательства "достаточности". Р. Ньютону удалось лишь доказать, что если существует оператор преобразования, то он единственен, но ему но удалось доказать это в общем случае (21.

Следующим шагом в поиски операторов преобразования является

1. Newton R.C. Proceeding of the NATO Advanced Study Institute oi the Scattering Theory, eda. Levita J.A., J. Hovchancl, Denver, Colorado. 1973. - 173 p.

2. Newton i(.C. She Thrfee-dlmencia Inverse Scattering Problem in Quantum Mechanics, Indiana Univ., Bloomlngton. 1974. - 1 AC] p.

3. flo/upon ■'l.-iU TpoiMopiiaii oOparaan nruo'io imairronoa TeopiiH p&c-ceamin / CorpoMomnie npoOjiotsi M3TeM0THKi!. - M.: BiCiVuil, 1970. - T. 3. - C. 93-1 BO.

4. 'Tojsxoen Jl.Jl. / nponpiuir JlncnrryTo reoponriocK' (5 (¡somai. - ft;«»«: KTtf -71-1CGK. 1971.

работа 11), где A.A. Дурмагамбетовым впервые било предложено искать операторы преобразования в вадо:

Uf = Г(х) + J А (х,y)f (у )с?у. (!!)

М>|У|

Тем кв било получено, что в обоих случаях ядра операторов преобразования Фадцвввского вида (J) и нового вида (1!), удовлетворяют характеристическим задачам для ультрагаперболического уравнения. В первом случав получена характеристическая задача Коши для уль-трагишрболического уравнения, а во втором, краевая задача для ультрэгжюрболического уравнения с данными на характеристическом конусе.

В связи с этим возникает необходимость решения некоторых краевых задач для ультрагипврболического уравнения, чему и посвящена настоящая работа, хотя изучение самой теории ультрагиперболическях уравнения вызывает немаловажный интерес.

Цель работы. Настоящая работа посвящена решению некоторых краевых задач для ультрагипврболического уравнения, необходимость которых следует из вышеизложенного. И в конечном итога, завершает построение операторов преобразования в обоих предложенных Л.Д.Фаддеевым и А.А.Дурмагамбетовым видах поиска операторов преобразования.

1. Дурмагамбетов A.A., Сейдалин Т.М. Операторы преобразования для многомерного уравнения Шредингера / Тезисы всесоюзной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для даМ«рон-циальиих уравнений". - Алма-Ата, 1991. - С. 119.

-г-

Научная новизна. Б диссертационной рябого предлагается метод роц'шгля криеинх уиднч дяй ультрагчпнрболического уравнения для яд})« операто^н преобразования, продлокешшх Л.Д.Фаддеевым £11 и А. А. Дурмн'.'нчлыови'л КМ .

Наиб' иежнмч моментом при доказательстве единственности решении крмешх задач для ультрнгиперболичоского уравнения , -являются свойства функции Грина, построенной паки в этой ко работе. Долгсмтельство единственности решения дало нам возможность впервые ввести, новое определение операторов преобразования в обобщенном смысле. Доказательство существования решения краевых задач для ультрягштрболического уравнения, впервые опирается на »мтод последовательных приближений для обобщенных функция.

Теоретическая и пракяимесная ценность. Робота носит теоретический характер. Результаты работа могут быть применены при исследовании нелинейных Уравнений, в том числе в обратной задаче рассеяния; в компьютерной томографии, в квантовой механике.

3. Фаддеев Л.Д. Трехмерная обратная задача квантовой теория рассеяния / Совреиешше пробдтгы математики. - М.: ВИНИТИ, 1970. - Т. 3. - С. 93-180.

1. Дурмагймботоп A.A., СеЯдялш Т.Н. Опярнтори преобразования для многомерного уравнения Шредангора / Тезисы всесоюзной конку ренции "Крпеине задачи и их сивктральшо вотцюси дли Д1г1>|«и" цч.глытх уравнений". - Алма-Ата, 1991. - С. 119.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах членов корреспондентов ИЛИ РК, профессоров: М.О. Отелбпевв, К..А. Касимова, С.Н. Харина, Д.У. Умбетаанова; академика ИА РК Ш.С. Смагулова, на на>4!шх конференциях "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений"(г.Алма-Ата, 1991 .май). "Творил приближения и вложения функционалышх пространств" (г.Караганда, 1991, июнь), на семинарах ИПМ, на научном семинаре в Иня®норной Академии.

Публикации. По теме диссертации опубликованы четыре статьи, перочонь которых приложен в конца реферата.

Структура и объел работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, и списка литературы, содержащего 34 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении, после краткого обзора литературы, сформулированы ' основные результаты работы. Некоторые необходимые определения и вспомогательные утверждения приведены в §1 Главы I.

Пусть Е есть линейное топологическое пространство.. А и В - линейные (не обязательно непрерывные) операторы из Е в Е.

Пусть Е, йЕ2 - замкнутые подпространства в Е.

Определение 1. Линейный обратимый опбрэтор X, определенный во ¡-с 'и Е и действующий из В1 в Ег, называется .оператором преобразования для нары операторов А и В, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1) оператор X и обратный ему оператор Х-1 непрерывны в пространстве Е;

2) имеет место операторное уравнение

ЛХ = ХВ шш А = ХВХ-1.

В данной работе операторы преобразования ищутся в виде, предложенным Л.Д.Фяддеопим (!) и в ввдо, предложенным А.А.Дурма-гнмбетовнм (! I ). В работе • И ] било получено, что в обоих случаях ялр» операто|)011 преобразования удовлетворяют характеристической задаче для ультрагиперболичесжого уравнения.

В пер|»«'м <и;учг:(< получена характеристическая задача Кош для ультрагилерооличеекого уравнения:

1ж^Ау(х,у) - ч(х)А^(х,у), х,>у, (1)

лу! М X )' 4" Чи)0(хг-уг)й(хэ-У3). (2>

ОХ, 1У,"1, *

а во втором, краевая задача для ультрагипррболического уравнения о двшшми на характеристическом ко ну со:

Ьх уА(х,у) ^ ч(х)А(х,у), г>р (3)

й г 2 1 1

-Г А| г2 I = - ц(х)в(а-р)0(ф-ф). (4)

<Эг | р=г ' 2з1па

где Ьж = Дх - Лу, 0(1) - функция Дирака и введены сферические переменные .

Для того, чтобы приступить к решению задач (1), (2) и (3),(4) в первом параграф первой глави доказано несколько важных вспомогательных утверждений.

Пусть Г>(И6) - пространство финитных, бесконечно даИергшц»-руемнх функций.

1. Дурмагамбетоп A.A., Сейдалин Т.М. Оператора лрвобрязоншшл для

многомерного уравнения Шредингера / Тезиен всвсоизной К'л|;|я -

ренции "Краевые задачи и их спехтряльнш вопроси для ДИМ*}/»!

циалышх уравнений". - Алма-Ата, . - С. 119,

Пусть J^- подпространство Z>(R6), определенное следующим образог У, = | Ф(х.у) ( P(R6): Ф(х,у) = О |x| = |y|j.

I! ï>t определим оператор M по формуле:

г а1-ь, 21-У, -

с о -3-?--р—Т

(1Л>)(1,у) = lim —--—---—---»

■к

(1х1г~|У|г) R6 (|о|г-|Ыг)

а |2 | У

+ tri

äadb.

I 1х1г-|У|г 1«|г-|Ь|г| 1х|г_|У1г |a|2-lö|£i

П _х а 1г I У ь \г 1

' 1^|2-|У|г 7ар-|Ь|г' " ' |х|г-|ур " |а|г-|Ь|г1 ~1е> 1

где С =--г,--нормировочная постоянная.

0 8x1

Лемма 1. Для любой Ф(х,у) е »(И6) справедливо равенство ЬХ(у(МФ)(х,у) = Ф(х.у) при |х| > |у|

Лемма 2. При |х| - |у|, (ЫФ)(х.у)~0.

Теорема 1. Оператор Н - определяет функцию Грина задачи:

Ьи(х.у) = Г(х,у),

и(х,у)| =0, . .

где I, - ультрагкперболический оператор, :£(х,у) е С,.

Теорема. Функция вида П(х,у)0(х1-у1 ) - принадлежит ядру оператора И.

Во втором параграфе нерпой главы рассматривается задача (1), (?) и доказипавтся, что при условии существования решения атой зядх'м

он" пдипстрпкно в onceo функций. имипцеп пкщ-ляльнуй fici^airomty на оесконнчнооти.

Теорема. Коли существует решение злдвчи:

Lu(x.y)-ru.y) (x.yHS. (5)

vi(x.y)| -ф(х.У> |х| ,¡if¡, (6)

IVх.

то оно йдкиствшшо в классе функций, имеющих асетпгготику un бесконечности:

1

и(х.у) о

.:--> - of ...........)

где S- < (х.у )< п : 111 |У j. i, i', ).

А в третье»« nspnrpwj» д«-жа?-ш>п»тгя, что pmowra* задми !гч(>вг вшаеукяоттуо ясимптотин'у.

Теорема. Решение характеристической зчдлч'и Гог:и (5), (б) дли

ультра пвюрболичосын'о уряня'чгоя нмяет «симптотику ira брокопочноегл:

и(х,у) - oí---------] .

к слндущпм параграф) первой гляпы рассматривается янгитг зо -

ДяЧИ ГурСЯ ДЛЯ уЛЪТрЯПШСрбОЛИЧОСКОГО Ур'НШН.'ШЛ. ¡'ЯГГМЯТрИВЧОТСИ ЗЯДй IÍÍ :

•^U.y)-r(x.y) (x.y)íS,

11УI" 111

о ннх<-ждг»иии функции u<x,y) n S- <(x,y)fBfi:|x|4|y|. *,>У,') •« докипиваятоя:

Te°pf»'ra. Коли существует ронэнич уквэнтюй глдти, то oik> единственно.

Следует отметить, что при доказательстве теорем ми неоднократно пользовались свойствами функции Грина М.

Вторая глава настоящей работы начинается с параграфа, результата которого представляют собой самостоятельный интерес, я били получены попутно в результате поисков опор»горой преобразования. Доказана теорема, в которой говорится, что функция

А, (х.у) = луух.у) - (1-Л7>0(х-у)

определяет оператор преобразования уравнения Шредингера. Здесь Л^-регуляризова1Шый определитель Фредгольма уравнения:

1<&,х> г

<Р7(1,гг)= е + I Ст(х-у,гг)^(у)Ф7(у.?г)ау. йэ .

Где - известная функция Грина Фаддеева. Что примечательно,

построенная функция А,(х.у) обладает свойствами, необходимыми для определения вольтеррових операторов преобразования.

В результате того, что во втором параграфе доказана теорема единственности для задачи (1),(2), то это дает нам право ввести новое определение операторов преобразования, поэтому слэдумдой параграф начинается с, впервые введенного нами, определения опора -то/ов преобразования в обобщенном смысле:

Определение. Интегральный оператор и.^ с яд{>ом и^(х.у) называется обобщенным оператором преобразования для нары операторов Н, И,,. если для любой Функции <Их,,, кШН6): Ф(х,у) | =0. спривед-

° 1|*МЯ

пто равенств?):

| и7(1.з)(Нж-Ш0)у)Ф(Х.У)(Йф » о,

и6

в частности, для Н0 - - Ау, II » Н0 + q(x) имеем:

| и7<1.у)(Лж- Лу-я(х))Ф(х,у)(1х(1у - О,

„6

где 5 с Ф{5.

После чего рассматривается характеристическая задача Коши для ультрагипероолического уравнения (1),(2), которое сводится к интегральному уравнении;

/ух.у) К*ч(х)А7<х,у)9(хгу1) + М*ч(х)й(х-у),

Ч - построенная нами в первом параграфе первой главы функция, "»" - знак свертки.

Нами показана его разрешимость методом последовательных приближений для обобщенных функций или, другими словами, завершено построение оператора преобразования в виде (I).

Следующий параграф опять начинается с нового определения оператора преобразования, которое мы ввели благодаря предыдущим рассмотрениям для ультрагиперболических уравнений.

Определение. Интегральный оператор Ч^ с ядром ?7(х,у) называется оператором преобразования с ядром '^(х.у) для пары операторов

Н,Н., вели для любой функции Ф(х,у) е Б(Вб) и Ф(х,у)|

0 I(х-у.т)-о

справедливо:

f v.,(x.yHH„- til,,) Шх.уЩхОу - о.

J J а. и у

н6

Посла чего доказывается следу щал тьи}*>ма:

Теорема. Обобщенное решение задачи (3).(4) существует и идин

СТИМШО.

Такш образом, ш построили оператор »{»оорвдовшым искимие ь виде (!), предложенные Фаддвевим, и и новом иидо (!!). предложен iíljm Дурмагамбетовим. Полученная ионий над оператора Н|*)обр№овя-нил, видимо, ведет к новому пути решения самой обратной задачи рассеяния.

Публикации rio диссертации:

1. Дурмаганбетов А.А, Калитой М.К. Ошраторы преобразования и многомерной обратной задаче рассеяния / Цыюнщтв. рукопись КазШШКИ й 42?3, Ка-УЗ, 1 У93.

2. Дурмагиыбатов A.A. Калитов М.К. Существование оператора u¡m,> бразонанин для vpавиация Шрадингера и иь:огом.<1рноа обратной дач£( рассеяния / Доп. рукопись КазНИИШШ. М AV/¿4, Ка-Гй, Г-<"Ч(.

3. Кплатов М.К. Операторы лриобрауованнл в многомерной обратной задаче раосеянля / Сборник трудов "Ношо исследовании и сч чвоштш.пой и нриадьддай математике". Караганда, ' '

С.90-93.

К Яург-тгинботв Л.А, Книатов М.К. Единственность

граничной задача для улм^гшшрйоличмскиг» урь«!Г-РУК'МШСЬ, КвзНИШМИ. X 4Г4У 'а-с»3.

■ 6, Кнлитив М.К. Аналог задачи i'ypcö для у лугр»гкп| .?сыл /равяргия / Лея. рукопись КпаНИШШ. S 51'ó, ¡te-9!. 140J. í¡ Kajwa M.K. Суи^стшвание операторов np»oßjKiaor.wii;i с «яре-»« в(»Х!-1у) |А(Х.У>/ RPH. г.укои?-, } 51", К? 15?'.

ШриЛЛИГирЛШ К01МЛШ0ЦД1 Т1<НДву| YUllH TYpilÖlWlpy апораторнчын кясиетгер! Кнлитов Черлон КялиОпа-vjai

Джч-ертяииилык жгинет» ультра гииерболшшк тендеу yojIh Дарбу мин Гурсн HccnTcpt Tdpiruec есе;перд1и ялгяшкы per attmi шеш1мдер1 нлннган. Олдар ¡Хзт1!!де, плгаикн рет Шредикгер тендеу! гш!н вк1 TYp.Ail TYpWílWlpy 011(1рпг«рлп|!м KYpMJU'HH.

On prop>Ttle.4 of operators of transformation for mil ti dl mena Ion Rcfirodlnger'a equation Kftlîtov Karlen Kallbaevlch

lr¡ i. hen Is evident aapecta of dec I a Ion of analogue problems »•»г" received for the first time by Darbu and Guroa for ultra-hyperboHc equation, tod as consequence two sorta operators transformation are built for the flrat time, for Schrodlnger'3 equation.