О возможных переходах от кинетического квазиклассического уравнения Больцмана к диффузионному приближению тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Табакова Ирина Геннадьевна

О возможных переходах от кинетического квазиклассического уравнения Больцмана к диффузионному приближению

Специальность 01 04 02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003069347

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного областного университета.

Научный руководитель доктор физико - математических наук,

профессор Сергей Октябринович Гладков

Официальные оппоненты доктор физико - математических наук,

профессор Эдвард Вигенович Геворкян, доктор физико — математических наук, профессор Самуил Давыдович Ханин

Ведущая организация Санкт - Петербургский физико - технический

институт им. А Ф. Иоффе РАН

^ Jyn- Q 16~

Защита диссертации состоится « » ^ 2007 года в « » часов на заседании Диссертационного Совета Д212 155 07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01 04 02 — при Московском государственном областном университете по адресу 107005, Москва, ул Радио, 10а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета

2.Í

Автореферат разослан « » 2007 г

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 212 155 07 доктор

физико - математических наук,

профессор —-- БогдановД Л

Общая характеристика работы

Актуальпость темы.

Квазиклассическое уравнение Больцмана на функцию распределения частиц (или квазичастиц) несмотря на его многочисленное изучение, которому посвящено огромное количество оригинальных работ и монографий, оставляет, тем не менее, весьма широкий спектр не исследованных задач.

Речь идет о линейных уравнениях математической физики (не эллиптического типа и не параболического или гиперболического), которые содержат оператор Лапласа в более высокой (чем первая) степени

Подобный класс уравнений с научной точки зрения чрезвычайно важен и своевременен, поскольку не связан с абстрактной постановкой (присущей чисто формальной математике), а обосновывается и выводится благодаря вполне конкретно сформулированной физической задаче Конкретно речь идет о почти упругих фотон - фононных, фотон - электронных и электрон -фононных столкновениях в координатном пространстве.

Цель работы.

Целью работы является вывод обобщенного уравнения диффузии, которое можно получить из квазиклассического кинетического уравнения Больцмана на соответствующую функцию распределения частиц (или квазичастиц), введя некоторые ограничения на свойства участвующих в процессах рассеяния частиц

Мы утверждаем, что в случае почти упругих актов рассеяния, интегро -дифференциальное нелинейное кинетическое уравнение Больцмана можно свести к линейному уравнению в частных производных, которое будет содержать оператор Лапласа в степени, большей первой. Для осуществления этой цели были решены следующие частные задачи

- изучены почти упругие процессы рассеяния фотонов на электронах,

- фотонов на фононах,

- электронов на фононах.

Научная новизна.

При исследовании процессов квазиупругого рассеяния частиц возникает уникальная возможность свести интегро - дифференциальное нелинейное уравнение Больцмана в некоторых частных случаях к линейному дифференциальному уравнению в частных производных

Это значительно облегчает его анализ и позволяет воспользоваться при решении такими хорошо проверенными математическими подходами, как, например, разложение в интеграл Фурье.

В процессе исследования подобных обобщенных уравнений диффузии возникают новые весьма интересные и не тривиальные особенности поведения изучаемых параметров

Теоретическая и практическая значимость.

Для класса линейных дифференциальных уравнений математической физики очень важно иметь возможность не только аналитически найти нужное решение, но и проверить его корректность с помощью численного моделирования

Это сделать значительно проще, чем для нелинейных уравнений и именно поэтому практическая значимость результатов, представленных в диссертации, заключается еще и в упрощении процедуры численного моделирования решений

Главное же практическое приложение связано с коэффициентами экстинкции и проводимости (последний относится к металлическим структурам), в формальное определение которых в виде множителей входят концентрации фотонов и электронов

На защиту выносится:

вывод обобщенного уравнения диффузии для трех типов процессов

- фотон - фононного,

- фотон - электронного;

- электрон - фононного

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [13], список которых приложен в конце автореферата

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались

- на четвертой всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» ММ - 2007 (г Самара),

- на международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 110 - летию со дня рождения И Н Векуа (г Новосибирск, 2007г ),

- на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А Ф Леонтьева (г Уфа, 2007 г.),

- на всероссийском семинаре по спиновым волнам (г Москва, 2007 г ),

- на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В. Ломоносова,

- на ежегодных научных конференциях МГАУ им. В П. Горячкина,

- на ежегодных научных конференциях по итогам НИР Московского государственного областного университета,

- на научных семинарах кафедры математического анализа МГОУ

Структура п объем работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, 17 рисунков, заключения и списка литературы, содержащего 144 наименований Общий объем работы 117 страниц

Основное содержапие работы

Во введении представлен обзор полученных ранее результатов по данной тематике, обосновываются актуальность, цели, новизна, теоретическая и практическая значимость исследования.

В главе I «Кинетическое уравнение на функцию распределения частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна» выводится квазиклассическое кинетическое уравнение Больцмана на функцию распределения частиц (квазичастиц), подчиняющихся квантовой статистике Бозе — Эйнштейна Анализируются его свойства и, как следствие, приводятся законы сохранения

В § 1 1 «Вывод кинетического уравнения на функцию распределениия фотонов» при помощи общих принципов теории неравновесных явлений, представив функцию распределения частиц (фотонов) как разность двух интегральных операторов

^(Л +1) - вероятность прихода частиц в единицу времени в данную область фазового пространства,

Йи(/*) ~ вероятность ухода частиц из данной области фазового пространства в единицу времени,

выведено нестационарное кинетическое уравнение для функции распределения бозе - частиц

/

1 2

А: '

Материалы § 1 1 «Вывод кинетического уравнения на функцию распределению! фотонов» показывают, что обобщение кинетического уравнения (1) на любой иной тип взаимодействия весьма прост, поскольку формально можно вводить любую другую функцию распределения (не фотонную), характеризующую ту частицу, с которой происходит взаимодействие

В § 1 2 «Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения» рассмотрены частные случаи уравнения (1) Для равновесной системы фотонов доказана корректность нестационарного кинетического уравнения для функции распределения бозе — частиц Обозначив правую часть уравнения (1) через интегральный оператор 1{/к} введено определение г - приближения

тк ~ время релаксации системы к равновесному состоянию, которое очень часто используется при оценочных вычислениях В данном случае, для того, чтобы описать приход всех подсистем в равновесие, нужен явный вид амплитуды рассеяния Показано, что в каждом конкретном случае амплитуда находится из соответствующей постановки задачи и, более того, она существенно зависит от типов изучаемых материалов.

Далее, как следствие, приводятся законы сохранения энергии и импульса

В § 1 3 «Квазиупругие процессы рассеяния и их характеристики» исследованы квазиупругие процессы рассеяния, в частности, трехчастичные процессы рассеяния, в которых принимают участие две быстрые частицы и одна медленная Данные процессы, как правило, вносят наибольший вклад в тк (время релаксации системы к равновесному состоянию) Здесь исследованы характеристики таких процессов Введя в рассмотрение концентрации фотонов прк и электронов пе, выявлена зависимость между а) коэффициентом экстинкции и концентрацией фотонов

fh-fь 1'гДе

к ■'к

б) координатным временем

, где Ь - характерный размер (причем Ь ~ У^3),

О - коэффициент диффузии, и концентрацией электронов лДих число в единице объёма)

Материалы § 13 «Квазиупрутие процессы рассеяния и их характеристики» показывают, что если при осуществлении некоторых тонких экспериментов не ждать это координатное время Дг, электроны будут представлять собой неравновесную систему, а, значит, любой эксперимент по измерению соответствующих свойств металлов (в определение которых входит концентрация электронов) могут быть поставлены под сомнение

Вполне аналогичные рассуждения касаются и измерения коэффициента экстинкции к

В § 1 4 «Постановка задачи» ставится задача, утверждение которой состоит в следующем любое интегро — дифференциальное кинетическое уравнение, составленное для квазиупругих процессов рассеяния, позволяет перейти к линейному дифференциальному уравнению в частных производных Глава II «Диффузионное приближение» посвящена решению поставленной задачи Изучены три типа почти упругих столкновений частиц и квазичастиц и утверждается, что всегда в приближении квазиупругого рассеяния частиц (или квазичастиц) правая часть кинетического уравнения Больцмана для функции распределения /(г,к,г) / = £{/}, где £{/} - интеграл столкновений, после интегрирования по всем волновым векторам к может быть представлена в виде

-£>9Д2и+А,Д3И-. = I (-1 (2)

(2тгР £ 1=1

где Д - оператор Лапласа, Э, - коэффициенты диффузии соответствующей размерности, а п - концентрация высокоэнергитичных частиц (это может быть концентрация фотонов прк, электронов ле или любая другая)

Причем, для фотонов Д = £>3= =0, £>2*0, а для электронов I), Д, = О, = =0 Левая же часть при этом становится равной

8л р

—=Ы--(3)

й ^ (2лйр

И, таким образом, с учетом (2) обобщенное уравнение диффузии будет

£ = { (-1)"+1£1 Д'н (4)

0< 1=1

Доказательству формулы (4) посвящены следующие три раздела

§ 2 1 Квазиупругое рассеяние фотонов на фононах Чтобы получить формальное кинетическое уравнение для процесса рассеяния фотонов на фононах, нам необходимо предварительно записать соответствующий гамильтониан взаимодействия Имеем для него

Н- X А2{кук2,кУк а^ (Ь^ +Ь^)А^1-к2-к)+эс, (5а)

Ы 1 2 3

где эрмитово - сопряженный оператор есть

эс.= X %(5б)

К 2, з)

где Ь*к(Ьк)- оператор рождения (уничтожения) фонона с волновым вектором к и поляризацией ёа, амплитуда фотон - фотонного рассеяния есть

А2 = 8гя%

Ьксо со , Ч Ч

2 рКс

(6)

где частота фотона а> = -4£=, ^ - стрикционная константа фотон - фононной

связи, р - плотность вещества, с, - скорость звука в веществе, V - объем

Подчеркнем, что по поляризациям фонона ёа в формулах (5) подразумевается суммирование

Фононная функция распределения вводится по формальному правилу (как и для фотонов) следующим образом

ъ+къкумк, <7,

где угловые скобки означают усреднение по основному состоянию фононов в кристалле

В равновесном состоянии фононная функция распределения будет

N. , (8)

к

_

кит

-1

где дисперсия фононов = с,к, с, - скорость звука, к - его волновой вектор

Поскольку фононы, как и фотоны, подчиняются квантовой статистике Бозе -Эйнштейна, то для операторов ЬЦЬк) справедливы следующие соотношения коммутации

ЬкЬк'~Ьк'Ьк=5кк"

(9)

где <5И - символ Кронеккера Интеграл столкновений для фотон - фононного механизма рассеяния есть

П(2л$

1+/ / -/ 1+/ , Р) Р к Рк Р

Р Р к

8\р-р'-Ьк\+

+

0+/„ 11+/,

Р)"Р\~ - к) -'р^-'р'

£ —е ,+На>1 I Р Р к

8\р-р'+Пк\

(10)

Считая фононы термостатом, подчиняющимся распределению (8), формально имеем отсюда

Ф-лЬ?

1+/ / -/ 1+/ ,

[иы,

А £р-ер'-%а)к п Р-Р'~пк 1+

+

(И)

Здесь ради удобства введена не ступенчатая функция, учитывающая закон сохранения импульса, а дельта - функция, и вместо суммирования по волновому вектору мы перешли к интегрированию по правилу

:)8{к)с1Ък

к (2 пу

Подобный шаг сделан нами только ради удобства последующих выкладок Наиболее интересный случай - это область относительно высоких температур, то есть Т»Пак (для удобства здесь и далее постоянную Больцмана полагаем равной единице)

Поэтому приблизительно

1 + ЛГ,

к ^ Ь.(о 8

В этом случае нелинейный интеграл столкновений (11) становится линейным по фотонной функции распределения В самом деле

™ ■Р^Ъ.-Г

Н2Ыг?

Р)

д\е -б ,-Тка д\а-а'-к\+ 1 Р Р з, V 4 )

+3 £ -£ ,+На> 5\а-а'+к { Р Р у

й к

(12)

со.

Здесь мы заменили импульсы фотонов р на Щ и воспользовались свойством дельта - функции

¿■(са^т^т^х)

\а\

Поскольку = д + , где &] = к и «, то в квадрате модуля амплитуды рассеяния (6) можно приблизительно положить, что

1 2 Ус$рец рУс$£/и

Остановимся теперь на подробном вычислении правой части кинетического уравнения

ы

Проинтегрируем обе его части по всем д Это удобнее всего сделать, перейдя в сферическую систему координат

q =qъ\n6cos(p, q^=qsmвsm (р, qz=q собЯ

С учетом (13) должно получиться в результате

wn•) (И)

ftp 112,

Воспользовавшись определением концентрации фотонов

d3q

п ,{r,t]= \f ^Ar,

находим

дп

Ph

di

•9-f, IA 0«

Чтобы раскрыть правую часть уравнения (15), учтем явный вид интеграла столкновений (12) и квадрат амплитуды (13) Тогда

с

k+2q cos в——^¡е/л с

п = 1 6nTcg г 2^.3 s-n

ph 2 I-J

pcs Д j£JU

№q+kq2 sinPdqdpd(p2 ]

dkdadcp

1

(16)

где мы воспользовались свойствами дельта - функции, явным видом законов дисперсии фотонов и фононов и переходом в сферические системы координат к,а,ср, и q,fi,<p2 Угол в связан с угловыми переменными а,^ и р,<рг соотношением

cos 0=cos a cos /?+sin a sin ¡3 cos^ ] (17)

Заметим, что в выражении (16) учтено только первое слагаемое в интеграле столкновений (12) В конце выкладок мы учтем и второе

Следующим шагом необходимо разложить функцию распределения фотонов в интеграл Фурье Для этого воспользуемся известным представлением

/ = Г/ ¿&d3x J q JJx

После несложных манипуляций и с учетом разложения функции распределения в интеграл Фурье, получаем в итоге

647r7b?2 ^max ^ , л\2

nPh~-— I У lcosacos/?+smasm/?coslII dq-

P pc^yfsM 0

7t 2 Tt 7t 27t Г /

• Jsmada f d^ Jsin/Mß /^[j/^Wd'jc-J/^rf3*,

0 0 0 0

(18)

где Я-х-г

Из соотношения (18) видно, чго роль полярной оси играет вектор Я С учетом этого факта и после упрощения выражения (18), получаем

рсЦщ 0

/г

I 0

-2iqR cos /?(cos а cosß+sin a sin ß cos <p)

7t

smada jsin ßdß 0

2,7t

• | d^(cosacos/?+smasin/?cos<pP, (19)

0

где Л - оператор Лапласа по переменным f

В более удобных новых переменны X=COS(X,y=COSß (19) можно представить следующим образом

2гг 2

¡.¿.о/С

П . =---

ph 2 I—

рс yjsp 0

_128^7VA3f/ d3x ™f*eiqRxdq j )dx\coS2qRxly

1 1 \dy\i -1 -1

л \ -1

' )

{A+B)J0{qSy

BJx{qS) qö

(20)

где

Л = х2у2,

В=

1-х"

1 -у*

(21)

5 = 2 Лс.

1-х

А

- функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядков Ввиду быстрой сходимости интеграла по переменной ц, верхний предел интегрирования можно выбрать равным бесконечности Его формальное преобразование приводит нас к уравнению

V

где коэффициент обобщенной диффузии есть

2 2.

(22)

(23)

рс^р

а численный коэффициент

1 1

£ = } сЫ { ¿(у

-1 -1

2 2

1

1

+-

41x1

1-х'

4у11-х2-у2+ху ^1-х2-уг-ху

+

1-х'

1-У'

-^1-х2 -у2 +ху-^ 1-х2-у2 -ху

В § 2 2 «Квазиупругое рассеяние электронов на фононах» вполне аналогично показывается, что для процесса почти упругого рассеяния электронов на фононах имеет место уравнение

Пе=В^Пе, (24)

где пе(г,1)~ концентрация электронов, а - их коэффициент диффузии Строго доказывается, что для определенных типов рассеяния, уравнение имеет

не тривиальный вид, поскольку может содержать оператор Лапласа в более высокой, чем первая, степени

В § 2.3 «Квазиупругое рассеяние фотонов на электронах» второй главы доказывается, что уравнение диффузии в случае фотон - электронных столкновений сводится к простому уравнению релаксации типа

т - макроскопическое время полного рассеяния (исчезновения) фотонов

Здесь же показано, что может также присутствовать и чисто линейный по концентрации член То есть в общем случае обобщенное уравнение диффузии должно записываться

В § 2 4 «Анализ решений обобщенного уравнения диффузии» описано не тривиальное пространственно - временное распределение концентрации частиц (квазичастиц) по объему вещества

В главе III «Математическое обоснование решения двумерных обобщенных диффузионных уравнений с помощью многомерного комплексного анализа» приводится строгое математическое обоснование решения неоднородного двумерного обобщенного уравнения диффузии с помощью многомерного комплексного анализа Первоначально, представлен обзор основных определений и понятий Введены в рассмотрение интегральные представления Темлякова, интегралы типа Темлякова Рассматривается пространственная краевая задача Римана для линии пересечения двух четырехмерных сфер

В § 3 1 «Основные определения и понятия» вводятся основные определения и понятия из теории многомерного комплексного анализа

В § 3 2 «Интегральные представления Темлякова Интегралы типа Темлякова» рассматриваются интегральные представления Темлякова 1 и 2 рода, интегралы типа Темлякова соответственно 1 -го и 2-го рода

с ограниченной двоякокруговой определяющей областью из класса (7), граница которой имеет конечный порядок Поведение интегралов типа Темлякова вне определяющей области характеризуется теоремой Л А Айзенберга об областях голоморфности Представлены рисунки, иллюстрирующие результаты этой теоремы

В § 3 3 «Интеграл типа Темлякова для заданной определяющей области и его свойства» и § 3 4 «Постановка и решение задачи Римана для заданной определяющей области» для линии пересечения двух четырехмерных сфер, области И из класса (7), которая параметрически задается следующим образом.

О = {(гь г2) И < г,(х), \г21 < г2(х), 0 < х }, а ее граница дО= {(г,, 22) \2Х\ = г,(г), ш = г2(х), 0 < х < 1}, где

л/Г-т, при0 < х < х0

л/т, при 0 < X < х0 И>0Х, при т0 < X < 1

2х0 + 2,

>2(0 =

И'п

2-у/Г—1

-(1-х), прих0 <х<1

Ы*о) 1

О < х < 1, О < <; п(1), 0 < \г2\

:гг(1)

Записываются интегралы типа Темлякова 1-го и 2-го рода и исследуются их свойства, такие как аналитичность, непрерывность, поведение интеграла в бесконечно удаленных точках. Находятся их предельные значения

Для заданной определяющей области Б ставится и решается задача линейного сопряжения, а именно

п 1 задача Римана частного вида (задача о скачке) Пусть в пространстве С2 задана область £> типа А Требуется найти функцию р{2и 7г) из класса (I), исчезающую на бесконечности и испытывающую при переходе через границу дБ, области £> скачок т е удовлетворяющую краевому условшо

N ( - \

'2ТГ

~Р

° /

о,

2^/Г—'

° У

п 2 однородная задача Римана-Пусть в пространстве С2 задана область £) типа А. Требуется найти функцию р{21,22) из класса (7), исчезающую на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющую в точках окружности особенностей

В.,, = | (2?,2?) • |2Г>| = 0,|гГ>|= = 1}

краевому условию.

О,

°/

где

'2 ^ 2л]Т-

О,

Зл/Г^

О У

= 111

(2.

(ад)ед

Функция б^^о) задана на окружности особенностей и удовлетворяет условию Гельдера, причем % = 1пс1 С?(^о) - 0 не обращается в нуль на 5-и)

Эти задачи рассматриваются на окружности особенностей

Здесь же обосновывается решение двумерного обобщенного уравнения д2 д1

Пуассона Д32 = /(х,у), где Д, =—г + —а заданная функция

8х ду

Выводы

1 Исследованы три типа почти упругих процессов рассеяния

A) Фотон - фононное, Б) Электрон - фононное,

B) Фотон - электронное

и выведено общее пространственно - временное уравнение диффузии, исходя из кинетического интегро - дифференциального уравнения Больцмана

2 Проанализированы соответствующие процессы сохранения энергии и импульса и определены области их существования

3 Исследован ряд частных случаев и найдены некоторые решения обобщенного уравнения диффузии (содержащего оператор Лапласа во второй степени) и вычислена его функция Грина

4 Проанализирован сферически симметричный случай этого уравнения

5 Математически строго обосновано решение двумерного обобщенного уравнения диффузии и поставлена граничная задача Римана

6 Впервые к подобного типа уравнениям применен метод многомерного комплексного анализа

Работы автора по теме диссертации

1 Табакова И Г Задача Римана в пространстве С2 / И Г Табакова // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М. В Ломоносова Тезисы докладов - М МГУ -

2004 -С 124-125 - 2пл

2 Луканкин Г Л, Табакова И Г Постановка и решение задачи Римана для заданной определяющей области / Г Л Луканкин, И Г Табакова // Вестник МГОУ. Серия «Физика - математика» - М изд-во МГОУ -

2005 -Вып 7 -С 94-101 - 8пл

3. Луканкин Г Л, Табакова И Г Краевые задачи Римана-Гильберта для заданной определяющей области / Г Л Луканкин, И Г Табакова // Вестник МГТУим Н Э Баумана -2006 -№3(22) - С 31-43 - 13 п л

4 Луканкин Г Л , Табакова И Г. Об одной пространственной задаче линейного сопряжения / Г Л Луканкин, И Г Табакова // Вестник МГТУ им Н Э Баумана -2006 -№4(23) - С 31-42 -12пл

5 Гладков С О , Табакова И Г Краевая задача Гильберта для заданной определяющей области /СО Гладков, И Г Табакова // Сибирский математический журнал -2007 - Том 50 -С. 312-316 - 5 пл.

6. Гладков С О , Табакова ИГО модельном преобразовании кинетического уравнения в обобщенное уравнение диффузии /СО Гладков, И Г Табакова // Четвертая всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» Математическое моделирование - 2007 Тезисы докладов - Самара - 2007 - С 82-84 - 3 п л

7 Гладков С О , Табакова И Г. К теории вывода обобщенного уравнения диффузии /СО Гладков, И Г. Табакова // Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения»,

посвященная 110 - летию со дня рождения И Н Векуа Труды конференции - Новосибирск - 2007. - С. 91-94. - 4 п.л.

8 Гладков С О, Табакова И Г К вопросу о строгом математическом выводе обобщенных уравнений диффузии / СО. Гладков, И Г Табакова // Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», посвященная памяти А Ф Леонтьева. Труды конференции — Уфа - 2007 - С 18-21. - 8 п л

9. Гладков С О., Табакова И Г. Об обобщенном уравнении диффузии / С О Гладков, И Г. Табакова // Всероссийский семинар по спиновым волнам - Москва - 2007. - С. 214-219. - 6 п л

10 Гладков СО, Табакова ИГ. О некоторых типах кинетических уравнений, сводящихся к уравнениям в частных производных /СО Гладков, ИГ. Табакова // Прикладная механика и техническая физика -2007 -Том48 -№5 (285) - С 512-516 - 5пл

11 Gladkov S О , Tabakova IG About some specific properties of kinetic equation / SO. Gladkov, IG Tabakova // Physics Letters A - 2007 - P 314346.

12. Gladkov SO, Tabakova IG On some types of kinetic equations reducible to partial differential equations /SO Gladkov, I G Tabakova // Solid State Communications. - 2007- P 41-47 .

13. Гладков C.O., Табакова ИГ. Об обобщенном диффузионном уравнении / С.О. Гладков, И Г Табакова // Вестник МГОУ. Серия «Физика -математика» -М :изд-воМГОУ -2007.-Выл 2 - С. 110-116 - 7пл

Подписано в печать 20 04 2007 г Бумага офсетная Гарнитура «Times New Roman» Печать офсетная Формат бумаги 60/84 i/i6 Уел пл 1,25

_Тираж 100 экз Заказ № 103_

Изготовлено с готового оригинал-макета в Издательстве МГОУ 105005, г Москва, ул Радио, д 10-а,тел 265-41-63, факс 265-41-62

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ СТАТИСТИКЕ БОЗЕ -ЭЙНШТЕЙНА.

1.1. Вывод кинетического уравнения для функции распределения фотонов.

1.2. Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения.

1.3. Квазиупругие процессы рассеяния и их характеристики.

1.4. Закон возрастания энтропии Бозе - частиц.

1.5. Постановка задачи

Глава 2. ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

2.1. Квазиупругое рассеяние фотонов на фононах.

2.2. Квазиупругое рассеяние электронов на фононах.

2.3. Квазиупругое рассеяние фотонов на электронах

2.4. Анализ решений обобщенного уравнения диффузии

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ РЕЛАКСАЦИИ С УЧАСТИЕМ

ФОТОНОВ

3.1. Равновесие и квазиравновесие

3.2. Иерархия времен релаксации

В большинстве решаемых задач (причем безразлично к какой области естествознания они относятся) необходимо, как правило, принимать во внимание неравновесные свойства исследуемой системы. Это вполне понятно, поскольку равновесных задач меньшинство и мало для кого представляет интерес теоретическое исследование таких равновесных характеристик, как, скажем, теплоемкость (см. [1] - [15]). Хотя объективности ради надо отметить, что при экспериментальном изучении, скажем, теплоемкости стекол в области низких температур была установлена не дебаевская (пропорциональная температуре в третьей степени) зависимость, а линейная. Этот факт некоторое время был не понятен, но впоследствии получил блестящее объяснение Андерсоном и Филлипсом [16], [17] с помощью обоснованного ими термина «двухуровневых систем».

Самая же значительная масса задач (как теоретических, так и экспериментальных) в подавляющем большинстве направлена на изучение неравновесных свойств веществ. Однако довольно часто в определение неравновесной характеристики входят и равновесные параметры. Если, предположим, речь идет об изучении теплопроводности, то ее формальная факторизованная формула включает в себя изобарическую теплоемкость ([18] - [32]), а потому без знания равновесных свойств не обойтись.

Настоящая диссертация в этом плане не исключение и посвящается также исследованию и математическому обоснованию определенного типа физических явлений, связанных с проявлением неравновесности.

Поговорим об одном из них. Пусть имеет место механизм почти упругого рассеяния фотонов на звуковых квантах (для твердого кристаллического тела часто называемых фононами). При сравнительно высоких температурах

Т»—, где вп - температура Дебая, а кв- постоянная Больцмана) кв звуковые колебания будут представлять собой флуктуации плотности с 4 к Т равновесным распределением Nk «-2— (где h - постоянная Планка, а а>к ho)k частота фонона с волновым вектором к), являясь при этом еще и термостатом.

С физической точки зрения подобный процесс можно было бы трактовать как Мандельштам - Бриллюэновское рассеняие света, однако, более общим здесь будет, несомненно, термин электромагнитное рассеяние, которое (как частный случай) подразумевает и оптические частоты.

Именно поэтому везде далее мы будем вести речь только об электромагнитной (сокращенно ЭМ) шкале.

Кроме того, когда речь идет о рассеянии Мандельштам - Бриллюэна, здесь молчаливо подразумевается, что вся эта система (свет + диэлектрик) находятся в термодинамическом равновесии.

Решаемая в диссертации задача об изучении одного из возможных проявлений почти упругого рассеяния ЭМ поля на диэлектрике учитывает еще и неравновесность систем и в этом смысле серьезно отличается от термодинамически равновесного Мандельштам - Бриллюэновского рассеяния, которое, как известно, относится только к оптическому диапазону частот.

Наиболее распространенной физической характеристикой поглощения ЭМ поля веществом служит так называемый коэффициент экстинкции И, который определяет поглощательную способность на единице длины. Если, например, речь идет об изучении рассеяния света наночастицей (или какой -то другой также мелкодисперсной частицей) при условии, что длина волны падающего излучения значительно превышает ее линейный размер d, то величина h будет пропорциональна произведению объема этой частицы на волновой вектор q падающего излучения в четвертой степени.

В том случае, если речь идет о газе (на котором рассеивается ЭМ излучение) при условии, что длина волны Л ЭМ поля значительно превышает среднюю длину свободного пробега молекул газа, коэффициент экстинкции будет пропорционален q4, но обратно пропорционален концентрации с молекул газа.

Наш подход, развиваемый во второй главе настоящей диссертации, преследует цель не столько получить явное выражение для коэффициента экстинкции (с чисто теоретической точки зрения), как выяснить некоторые возможные особенности его поведения в пространстве.

Наиболее любопытным с этой точки зрения будет (забегая несколько вперед) совсем не тривиальная, а осциллирующая зависимость концентрации фотонов.

Точку в правоте (или не правоте) этого предсказания может поставить, естественно, только эксперимент. Пока же наш результат является чисто предсказательным, а потому имеет право на жизнь, как конкретный факт решения некоторой поставленной теоретической задачи.

Кроме уже упомянутого квазиупругого процесса рассеяния фотонов на фононах будут исследованы также некоторые тонкие аспекты и квазиупругих электрон - фононного и электрон - фотонного взаимодействий.

Подчеркнем лишний раз, что под термином «квазиупругий» процесс подразумевается такой механизм рассеяния, в котором энергия падающей и рассеянной частицы почти не изменяется.

Известно, что для подобных механизмов можно довольно легко получить (как описательный инструмент решения ряда задач) соответствующее диффузионное уравнение, но в энергетическом представлении [56].

Самый же распространенный класс задач в данной области следует с уверенностью отнести к теории плазмы [29], а также жидкости, где на основе классического уравнения Больцмана, уравнения Власова - Ландау, Чепмена -Энскога и других, изучаются неравновесные свойства системы электронов, ионов и молекул газа путем сведения интегро - дифференциального классического кинетического уравнения к уравнению диффузии в координатном представлении (при определенных предположениях и допущениях) для концентраций участвующих частиц.

Отличие нашей задачи от предшествующих связано, во - первых, с изучением квазиклассического (а не классического) кинетического уравнения для функции распределения частиц, подчиняющихся квантовой статистике (фотоны, фононы, электроны), а, во - вторых, в приближении почти упругого рассеяния с получением в координатном (а не в импульсном, как для электронов проводимости в металлах, движущихся вдоль поверхности Ферми) представлении обобщенного уравнения диффузии.

Под термином «обобщенное» подразумевается уравнение, которое (забегая вперед, скажем об этом сейчас) содержит оператор Лапласа во второй степени.

АКТУАЛЬНОСТЬ

Квазиклассическое уравнение Больцмана для функции распределения частиц (или квазичастиц) несмотря на его многочисленное изучение, которому посвящено огромное количество оригинальных работ и монографий [35] - [81], оставляет, тем не менее, весьма широкий спектр не исследованных задач.

Дело в том, что при изучении, например, экстинкции (поглощение электромагнитного излучения единицей длины некоторого вещества), очень важно иметь представление о концентрации фотонов, проникающих в поверхностный слой твердого диэлектрика (о котором в настоящей диссертации и будет идти речь), а точнее, о пространственно - временном распределении концентрации. То же касается и проводимости электронов, в определение которой в виде формального линейного множителя входит их концентрация.

С теоретической точки зрения очень важно разобраться не только в физике явления, но и понять то, как выводится соответствующее дифференциальное уравнение на концентрацию фотонов, что позволит выяснить их пространственно - временное поведение.

В этом смысле с формальной точки зрения речь будет идти о линейных уравнениях математической физики (кстати не эллиптического типа и не параболического или гиперболического [82] - [95]), а о тех, которые содержат оператор Лапласа в более высокой (чем первая) степени.

Подобный класс уравнений с научной точки зрения чрезвычайно важен и своевременен, поскольку не связан с абстрактной постановкой (присущей чисто формальной математике), а обосновывается и выводится благодаря вполне конкретно сформулированной физической задаче, о которой мы только что говорили. НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Квазиупругие процессы рассеяния частиц (или квазичастиц) имеют одну общую и важную черту. Поскольку при почти упругом процессе взаимодействия энергия рассеивающейся частицы изменяется не сильно, подобный акт можно трактовать, как энергетическую диффузию частиц.

Помимо чисто физических аспектов в теоретической физике очень важно понять еще и как получаются соответствующие формулы.

В этой связи было замечено, что для почти упругих процессов рассеяния возникает одна весьма любопытная особенность, которая позволяет преобразовать довольно сложное интегро - дифференциальное нелинейное уравнение Больцмана для фотонной функции распределения в линейное дифференциальное уравнение в частных производных в координатном пространстве (но уже для концентрации частиц).

Выведенное из чисто физических рассуждений уравнение содержит оператор Лапласа во второй степени.

Решение полученного уравнения, содержащего оператор Лапласа во второй степени, позволяет предсказать, в частности, не тривиальное осциллирующее поведение концентрации фотонов в кристаллической матрице и разобраться в его физической причине.

Указанные обстоятельства отмечают новизну исследования. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.

При экспериментальном изучении процесса воздействия электромагнитного поля на твердый диэлектрик одной из основных характеристик является коэффициент экстинкции h (чуть выше мы говорили об этом). В его определение входит концентрация фотонов, а потому необходимо иметь представление о ее эволюции и координатном распределении.

Проведенный в работе анализ позволяет ответить на этот вопрос, и оценить макроскопическое время диффузии, а также глубину проникания электромагнитного излучения в диэлектрик по критерию исчезновения концентрации фотонов.

В тех же экспериментах, в которых проводятся измерения проводимости металлов, необходимо (также, как и для h) иметь представление о пространственно - временной зависимости концентрации электронов.

Ответить на оба эти вопроса позволяет предложенный в настоящей работе подход, определяющий ее практическую значимость. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава посвящена выводу кинетического уравнения для функции распределения частиц, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна. Здесь анализируются некоторые его свойства и законы сохранения.

Кроме этого, в четвертом разделе доказывается Я- теорема Больцмана для Бозе - частиц.

Во второй главе изучается диффузионное приближение, которое «работает» для узкого круга квазиупругих процессов рассеяния, и с его помощью выводятся линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Строго доказывается, что для определенных типов рассеяния (почти упругое фотон - фононное, электрон - фононное и электрон - фотонное) для некоторого узкого частотного (и импульсного) диапазона уравнения имеют не тривиальный вид, поскольку содержат оператор Лапласа в более высокой, чем первая, степени.

В четвертом разделе второй главы изучается решение обобщенного уравнения диффузии в сферически симметричном случае, и предсказывается возможность осциллирующего поведения концентрации фотонов. Здесь же вычисляется и функция Грина.

В третьей Главе проводится физический анализ процессов с участием фотонов и строится теория релаксации.

Первый раздел посвящен знакомству с равновесными и квазиравновесными функциями распределения.

Второй раздел включает в себя выяснение иерархии времен релаксации, которая, в свою очередь, позволяет построить теорию релаксации, которой посвящен последний третий раздел. НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

1. Методика вывода обобщенного уравнения диффузии только для трех механизмов взаимодействия: а). Фотон - фононного; б). Электрон - фононного; в). Электрон - фотонного.

2. Предсказание осциллирующего поведения концентрации фотонов в диэлектрике.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из трех Глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 106 стр. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ и сделано 6 докладов на международных и общероссийских конференциях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Заканчивая настоящую диссертацию, следует еще раз обратить внимание на несколько основных моментов и главные результаты проведенного исследования.

1. Были изучены несколько типов почти упругих процессов рассеяния, в которых принимали участие две быстрые частицы (или квазичастицы) и одна сравнительно медленная. В этом специфическом случае оказалось возможным не только провести формальную линеаризацию кинетического уравнения Больцмана на соответствующую функцию распределения, но и понять физику явления, а также вывести обобщенное (как оно было выше названо) уравнение диффузии. Его специфический характер проявился в наличии не просто оператора Лапласа, а оператора Лапласа в некоторой целой степени, в частности, во второй. Подобного типа уравнения диффузии в математической физике практически не изучались, и именно поэтому в настоящей диссертации было проанализировано решение этого уравнения для некоторых специальных граничных задач, и получено осциллирующее решение уравнения в сферической системе координат. Была вычислена также функция Грина этого уравнения.

2. Из анализа времен релаксаций, характерных для фотонов и фононов, при условии, что обе подсистемы выводятся из положения термодинамического равновесия, была построена теория релаксации, и отмечена специфика установления равновесия при учете взаимодействия между ними. Для этого предварительно было проведено вычисление соответствующих времен релаксаций.

98

1. Планк М. Введение в теоретическую физику. Ч. 5. Теория теплоты / М. Планк. -М.:ОНТИ, 1935.-340 с.

2. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики / Дж. В. Гиббс. М.: Гостехиздат, 1946. - 380 с.

3. Френкель Я. И. Статистическая физика / Я. И. Френкель. М.: Изд-во АН СССР, 1948.- 482 с.

4. Роберте Дж. Теплота и термодинамика / Дж. Роберте. М.: Гостехиздат, 1950. - 330 с.

5. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1960. - 520 с.

6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Физматгиз, 1963.-440 с.

7. Морс Ф. Теплофизика / Ф. Морс. М.: Наука, 1968. - 416 с.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. М.: Мир, 1974.-472 с.

9. Ландау Л. Л. Статистическая физика. Т. 5 / Л.Л. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1976. - 583 с.

10. Коффи У. Молекулярная диффузия и спектры / У. Коффи, М. Ивенс, П. Григолини. М.: Мир, 1987. - 379 с.

11. Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика / Ф.М. Куни. -М.: Наука, 1981.-550 с.

12. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика / Ю.Л. Климонтович. -М.: Наука, 1982.-608 с.

13. Вонсовский С. В. Квантовая физика твердого тела / С. В. Вонсовский, М. И. Канцельсон. М.: Наука, 1983. - 336 с.

14. Савельев И. В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика / И. В. Савельев. М.: Наука, 1998. - 208 с.

15. Гладков С. О. Сборник задач по теоретической и математической физике / С. О. Гладков. М.: Физматлит, 2006. - 456 с.

16. Anderson P. W. Anomalous Low Temperature Thermal Properties of Glasses and Spin Glasses / P. W. Anderson, В. I. Halperin, С. H. Varma // Phil. Magazine.-1972.-V. 25.-№ l.-P. 1-9.

17. Phillips W. A. Tunneling States in Amorphous Solids / W. A. Phillips // J. Low Temp. Phys. 1972. - V. 7. - № 3,4. - P. 351-360.

18. Лыков А. В. Теория тепло- и массопереноса / А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 356 с.

19. Биркгоф Г. Гидродинамика / Г. Биркгоф. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 244 с.

20. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964.-487 с.

21. Лыков А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. - 524 с.

22. Мучник Г. Ф. Методы теории теплообмена. Ч. 1. Теплопроводность / Г. Ф. Мучник, И. Б. Рубашов. М.: Высшая школа, 1970. - 390 с.

23. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе. -Новосибирск: Наука, 1970. 412 с.

24. Лыков А. В. Тепломассообмен / А. В. Лыков. М.: Энергия, 1971. — 338 с.

25. Никитенко Н. И. Исследование нестационарных процессов тепло- и массообмена методом сеток / Н. И. Никитенко. Киев: Наукова думка, 1971.-550 с.

26. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов / К. Черчиньяни. М.: Мир, 1973. - 250 с.

27. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л. А. Коздоба. М.: Наука, 1975. - 440 с.

28. Беляев Н. М. Методы нестационарной теплопроводности / Н. М. Беляев, А. А. Рядно. М.: Высшая школа, 1978. - 328 с.

29. Лифшиц Е. М. Физическая кинетика. Т. 10 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука, 1979. - 525 с.

30. Волощук В. М. Кинетическая теория коагуляции / В. М. Волощук. -Ленинград: Гидрометоиздат, 1984.-283 с.

31. Ландау Л. Д. Гидродинамика. Т. 6 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.-733 с.

32. Гладков С. О. Физика композитов: термодинамические и диссипативные свойства / С. О. Гладков. М.: Наука, 1999. - 330 с.

33. Ахиезер А. И. К теории теплопроводности и поглощения звука в ферродиэлектриках / А. И. Ахиезер, Л. А. Шишкин // ЖЭТФ. 1958. -Т. 34.-Вып. 5.-С. 1267-1271.

34. Kaplan Т. A. Approximation Theory of Ferromagnetic Spin Waves / Kaplan, T. A. // Phys. Rev. 1958. - V. 109. - № 3. - P. 782-787.

35. Каганов M. И. К феноменологической теории кинетических процессов в ферродиэлектриках / М. И. Каганов, В. М. Цукерник // ЖЭТФ. 1959. - Т. 35. - Вып. 2. - С. 311- 20.

36. Ахиезер А. И. К теории релаксационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский // ЖЭТФ. 1959. - Т. 36. - Вып. 1. - С. 216-23.

37. Басс Ф. Г. Комбинационное рассеяние электромагнитных волн в ферродиэлектриках / Ф. Г. Басс, М. И. Каганов // ЖЭТФ. 1959. - Т. 37.-Вып. 5.-С. 1390-1393.

38. Барьяхтар В .Г. Рассеяние спиновых волн и фононов на примесях в ферродиэлектриках / В. Г. Барьяхтар, Г. И. Урушадзе // ЖЭТФ. 1960. - Т. 39. - Вып. 8.-С. 355-361.

39. Ахиезер А. И. К теории теплопроводности ферродиэлектриков при низких температурах / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар // ФТТ. 1960. -Т. 2. - Вып. 10. - С. 2446-2449.

40. Ахиезер А. И. Спиновые волны в ферро- и антиферромагнетиках / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, М. И. Каганов // УФН. 1960. - Т. 71. -Вып. 4.-С. 533-579.

41. Кривоглаз М. А. Влияние спин-спинового и спин-фононного взаимодействия в ферромагнетике на энергетическое распределение рассеянных нейтронов / М. А. Кривоглаз, В. И. Кащеев // ФТТ. 1961. -Т. 3. - Вып. 5.-С. 1541-1552.

42. Schlomann Е. Ferromagnetic Relaxation Caused by Interaction with Thermally Excited Magnons / E. Schlomann // Phys. Rev. 1961. - V. 121. -№ 5. -P. 1312-1319.

43. Гуржи P. H. Высокочастотная магнитная восприимчивость ферродиэлектриков в продольном магнитном поле / Р. Н. Гуржи, В. М. Цукерник // ЖЭТФ. 1962. - Т. 43. - Вып. 9. - С. 977-983.

44. Wallace D. С. Spin Waves in Complex Lattices / D. C. Wallace // Phys. Rev.-1962.-V. 128.- №4.- P. 1614-1618.

45. Барьяхтар В. И. К теории релаксационных процессов в антиферромагнетиках с винтовыми структурами / В. И. Барьяхтар, М. А. Савченко // ФТТ. 1963. - Т. 5. - Вып. 10. - С. 2747- 755.

46. Гуревич JI. Э. Термоэдс ферромагнитных металлов, обусловленная рассеянием электронов на магнонах / JI. Э. Гуревич, Г. М. Недлин // ЖЭТФ. 1963. - Т. 45. - Вып. 9. - С. 567-586.

47. Haas С. Ferromagnetic Relaxation and Resonance Line Widths / C. Haas, H. Callen // Magnetism. 1963. - V. 1. - P. 449-549.

48. Гуржи P. H. О влиянии ангармонизмов высокого порядка на процессы переноса в тверды телах / Р. Н. Гуржи // ЖЭТФ. 1963. - Т. 45. - Вып. 9. - С. 750-754.

49. Чупис И Е. К теории релаксационных процессов в одноосном антиферромагнетике / И. Е. Чупис // ЖЭТФ. 1964. - Т. 46. - Вып. 1. -С. 307-319.

50. Гуревич JI. Э. Теплопроводность ферритов при низких температурах и эффект увлечения фононов и магнонов / Л. Э. Гуревич, Г. А. Роман // ФТТ. 1966. - Т. 8. - Вып. 2. - С. 525-531.

51. Калашников В. П. К теории спин-решеточной релаксации электронов проводимости в металлах / В. П. Калашников // ФММ. 1966. - Т. 22. -Вып. 5.-С. 786-787.

52. Вакс В. Г. Спиновые волны и корреляционные функции в ферромагнетике / В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Пикин // ЖЭТФ. -1967.-Т. 53.-Вып. 9.-С. 1089-1106.

53. Пелетминский С. В. К квантовой теории кинетических и релаксационных процессов / С. В. Пелетминский, А. Я. Яценко // ЖЭТФ.-1967.-Т. 53.-Вып. 10.-С. 1327-1339.

54. Ахиезер А. И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. М.: Наука, 1967. - 368 с.

55. Олейник И. Н. Второй звук и гидродинамическая теплопроводность в антиферромагнетиках / И. Н. Олейник // ЖЭТФ. 1970. - Т. 58. - Вып. З.-С. 1119-1127.

56. Лифшиц И. М. Электронная теория металлов / И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. М.: Наука, 1971. - 415 с.

57. Олейник И. Н. Нерезонансное поглощение звука в одноосных антиферромагнетиках в сильных магнитных полях / И. Н. Олейник // ФТТ. 1973.-Т. 15.-Вып. 11.-С. 3178-3187.

58. Изюмов Ю. А. Полевые методы в теории ферромагнетизма / Ю. А. Изюмов, Ф. А. Кассан Оглы, Ю. Н. Скрябин. - М.: Наука, 1974. - 223 с.

59. Барьяхтар В. Г. О затухании магнонов, обусловленном рассеянием на примесях в АФМ / В. Г. Барьяхтар, В. Л. Соболев // ФТТ. 1977. - Т. 19.-Вып. 10.-С. 2092-2094.

60. Прозорова JI. А. Изменение спектра спиновых волн при взаимодействии магнонов / Л. А. Прозорова, А. Н. Смирнов // ЖЭТФ.1978.-Т. 74.-Вып. 4.-С. 1554-1561.

61. Семиноженко В. П. Неравновесные состояния ферромагнетиков при нерезонансном возбуждении спиновых волн переменным магнитным полем / В. П. Семиноженко, В. Л. Соболев, А. А. Яценко // ЖЭТФ.1979. Т. 77. - Вып. 12. - С. 2324-2330.

62. Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Ч. 2. Т. 9 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука, 1978. - 447 с.

63. Семиноженко В. П. Возбуждение спиновых волн в ферромагнетиках с магнитными неоднородностями при параллельной накачке / В. П. Семиноженко, В. Л. Соболев, А. А. Яценко // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78. -Вып. 5.-С. 1879-1888.

64. Гуревич В. Л. Кинетика фононных систем / В. Л. Гуревич. М.: Наука, 1980.-400 с.

65. Гладков С. О. К теории релаксации ядерных спинов в антиферромагнетиках при сверхнизких температурах / С. О. Гладков // ФТТ. 1981. - Т. 23. - Вып. 9. - С. 2686-2692.

66. Гладков С. О. Релаксация в ферромагнитных металлах / С. О. Гладков // ЖЭТФ. 1982. - Т. 83. - Вып. 7. - С. 806-809.

67. Барьяхтар В. Г. Феноменологическое описание релаксационных процессов в магнетиках / В. Г. Барьяхтар // ЖЭТФ. 1984. - Т. 87. -Вып. 4.-С. 1501-1508.

68. Гладков С. О. Об одной возможности охлаждения ядерных спинов / С. О. Гладков // ФТТ. 1984. - Т. 26. - Вып. 10. - С. 3192-3194.

69. Барьяхтар В. Г. Функции Грина в теории магнетизма / В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонский. Киев: Наукова Думка, 1985.-408 с.

70. Гантмахер В. Ф. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках / В. Ф. Гантмахер, И. Б. Левинсон. М.: Наука, 1984. -350 с.

71. Гладков С. О. Рассеяние света на флуктуациях магнитных подсистем /С. О. Гладков// ФТТ.-1985.-Т. 27.-Вып. 7.-С. 2192-2194.

72. Гладков С. О. К теории релаксации электронных и ядерных спинов на двухуровневых системах / С. О. Гладков // ФНТ. 1986. - Т. 12. -Вып. 10.-С. 1061-1064.

73. Коффи У. Молекулярная диффузия и спектры / У. Коффи, М. Ивенс, П. Григолини. М.: Мир, 1987. - 379 с.

74. Гладков С. О. К теории магнитной восприимчивости композитов / С. О. Гладков // ФТТ. -1997. Т. 39. - Вып. 9. - С. 1622-1627.

75. Гладков С. О. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности / С. О. Гладков // ЖТФ. 1997. - Т. 67. - Вып. 7. -С. 8-2.

76. Гладков С. О. К теории внутреннего теплового равновесия в неоднородных структурах / С. О. Гладков // ЖТФ (письма). 1998. - Т. 24.-Вып. 10.-С. 29-36.

77. Гладков С. О. К теории теплопроводности металлов с металлическими добавками в виде кластеров / С. О. Гладков // ФММ. -2002. Т. 94. - Вып. 1. - С. 30-39.

78. Гладков С. О. К вопросу о вычислении о вычислении вероятности упругого рассеяния электромагнитных волн на атомах / С. О. Гладков // ЖТФ (письма). 2002. - Т. 28. - Вып. 15. - С. 69-78.

79. Гладков С. О. К теории теплопроводности кристаллических диэлектриков в условиях связи с термостатом / С. О. Гладков, И. В. Гладышев // ФТТ. 2004. - Т. 46. - Вып. 7. - С. 1194-1202.

80. Гладков С. О. О температурной зависимости числа Лоренца для гетерогенной среды / С. О. Гладков // ФММ. 2006. - Т. 101. - Вып. 3. -С. 56-61.

81. Гладков С. О. О законе Видемана Франца в пористых металлах / С. О. Гладков // ТВТ. - 2006. - Т. 44. - Вып. 5. - С. 693-698.

82. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1950. - 450 с.

83. Левин В. И. Дифференциальные уравнения математической физики / В. И. Левин, О. Ю. Гросберг. М.: Гостехиздат, 1951. - 550 с.

84. Смирнов В. И. Курс высшей математики Т. 4. / В. И. Смирнов. Л.: ГИТТЛ, 1951.-804 с.

85. Гютнер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гютнер. М.: Гостехиздат , 1953.-364 с.

86. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О. А. Ладыженская. М.: Гостехтеориздат, 1953. - 334 с.

87. Соболев С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев. -М.: Гостехиздат, 1954.-382 с.

88. Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн / Г. Бейтмен. М.: Физматгиз, 1958. - 420 с.

89. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. М.: Физматгиз, 1961. -288 с.

90. Положий Г. Н. Уравнения математической физики / Г. Н. Положий. -М.: Высшая школа, 1964. 476 с.

91. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1964. -290 с.

92. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1970.-710 с.

93. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука 1981. - 860 с.

94. Зайцев В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. М.: Факториал, 2004.-370 с.

95. Абрикосов А. А. Введение в теорию нормальных металлов / А. А. Абрикосов. М.: Наука, 1969. - 240 с.

96. Ландау Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. 3 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1974. - 750 с.

97. Шифрин К. С. Рассеяние света в мутной среде / К. С. Шифрин. М.-Л.гГИТТЛ, 1951.-288 с.

98. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. -М.: Наука, 1966. -656 с.

99. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1969.-343 с.

100. Gladkov S. О. Dielectric properties of porous media / S. O. Gladkov. Springer, 2003.-261 p.

101. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. М.: Физматгиз, 1960. - 452 с.

102. Фукс Б. А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б. А. Фукс, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1964. - 346 с.

103. Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. М.: Наука, 1970. - 304 с.

104. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1972. - 560 с.

105. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

106. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. - 831 с.

107. Резибуа П. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов / П. Резибуа, М. Де Лернер. М.: Мир, 1980. - 423 с.

108. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. М.: Мир, 1980. - 404 с.

109. Лоскутов А. Ю. Введение в синергетику / А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. М.: Наука, 1990. - 270 с.

110. Гладков С. О. К теории теплопроводности кристаллических диэлектриков в условиях связи с термостатом / С. О. Гладков, И. В. Гладышев // ФТТ. 2004. - Т. 46. - В. 7. - С. 1194-1202.

111. Гладков С. О. К теории релаксации ядерных спинов в ферромагнетиках при сверхнизких температурах / С. О. Гладков, М. И. Каганов // ЖЭТФ. 1981. - Т. 80. - В. 4. - С. 1577-1585.

112. Гладков С. О. О быстрой релаксации ядерных спинов в легкоосных антиферромагнетиках / С. О. Гладков // ФТТ. 1985. - Т. 27.-Вып. 7.-С. 2223-2225.