Исследование краевых задач для дискретных моделей уравнения Больцмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Ильин Олег Вадимович

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 ЯИВ 7013

Москва 2012

005048423

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительном центре им. А. А. Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Аристов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты:

Бишаев Александр Михайлович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Московский физико-технический институт, доцент,

Жаринов Виктор Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, ведущий научный сотрудник.

Ведущая организация: Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова, Физический факультет.

Защита диссертации состоится января 2013г. в (430час. на

заседании Диссертационного Совета Д 002.017.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительном центре им. А. А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119333, Москва, Вавилова, 40, ауд. К^Н^р^ц З^Л

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан

«¿1-» декабря 2012г. Ученый секретарь диссертационного

Д 002.017.01 д.ф.-м.н., профессор

и

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Основным объектом изучения кинетической теории газов является система из большого числа частиц (молекул). Такие системы описываются методами статистической физики, то есть с помощью нестационарной функции распределения / в фазовом пространстве скоростей ьи координат х. Эволюция функции распределения задается кинетическими уравнениями, которые в случае короткодействующих сил представляются в следующей форме 1,2i

fа)

где /(/, /) - квадратичный оператор по функции распределения f(t, х, v) , описывающий парные столкновения.

Основным уравнением кинетической теории является уравнение Больц-мана:

где w 6 R3, n - единичный вектор, dn - элемент площади единичной двумерной сферы 5г, а а (и, йп/и) сечение столкновения. Считается, что две частицы, сталкивающиеся при скоростях ¿Т, w, после столкновения приобретают скорости г/, го', а вектор п указывает направление относительной скорости после столкновения:

и' — v' — w' = un, й = v — w, и — |й|,

v' = i (tf + w + un), w' — + w — un), ¿à ¿t

Уравнение Больцмана является одним из сложнейших уравнений математической физики благодаря нелинейной форме оператора столкновений.

1Больцман Л., Лекции по теории газов. - М.: Гостехиздат, 1956

2Коган М.Н., Динамика разреженного газа. - М.: Наука, 1967

За десятки лет исследования уравнения найдено всего лишь несколько точных решений данного уравнения3'4,5. Даже в линеаризованной форме уравнение (2) сложно для изучения из-за интеграла столкновений. Поэтому для решения конкретных физических задач прибегают к различным упрощениям.

Одним из возможных упрощений является замена интегрирования на суммирование по некоторым избранным скоростям. Такое приближение, называющееся методом дискретных скоростей, получило широкое распространение в последние десятилетия6'7. Считается, что модельный газ состоит из N групп частиц, в каждой из которых частицы обладают одной скоростью Üi,i = 1...N. Тогда вместо f(t,x,v) получается конечный набор функций распределения fi (t, х)... /n (t, х), где каждая функция Д соответствует группе частиц с определенной скоростью. При столкновении частицы переходят из одной группы в другую. Отметим, что вид взаимодействия не конкретизируется, а определено лишь только то, что частицы обмениваются импульсом и энергией. Система кинетических уравнений, соответствующая данному приближению, имеет вид

| + = .....л), (з)

П = (П1,...,Пдг); i = l,...,N,

3Бобылев A.B., Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана //

ДАН, 1976, 231, С. 571-574.

4Кгоок Т., Wu Т., Formation of Maxwellian Tails. // Phys. Rev. Lett, 1976, 76, P. 11071109.

5Bobylev A., Cercignani C., Exact eternal solutions of the Boltzmann equation. // J.Stat.

Phys., 2002, 106, P. 1019-1038.

6Годунов С.К., Султангазин У.М., О дискретных моделях кинетического уравнения

Больцмана.// УМН, 1971, 26, 3 (159), С. 1-51.

7Monaco R., Preziosi L., Fluid dynamic applications of the discrete Boltzmann equation.

Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences vol. 3. World Scientific publishing

Co.Pte.Ltd., 1991.

ГДе N

Ш, ...,M = jr a*¿(fk ft - fifi). (4)

jki

Очевидно, что (4) есть упрощенная форма интеграла столкновений уравнения Больцмана. Отметим, что а^ величина, пропорциональная вероятности того, что две частицы со скоростями ííj и íí¿ после столкновения будут иметь скорости íífc и fi¡. Согласно закону детального равновесия6 выполняется равенство crl¿ = crfj. Изучению математических свойств таких уравнений посвящена диссертационная работа. Доказано, что при увеличении числа скоростей решения дискретных моделей сходятся к решениям полного уравнения Больцмана8.

Дискретные модели активно исследовались последние десятилетия. Были доказаны теоремы существования решений для различный краевых задач и разных классов функций9,10'11, а также получена теорема единственности Я-функции 12. Дискретные модели уравнения Больцмана проще полного уравнения Больцмана, однако построение точных аналитических решений для дискретных моделей в явном виде представляет нетривиальную

8Palczewski A., Schneider J., Existence, stability and convergence of solutions of discrete-

velocity models to the Boltzmann equation.// J. Stat. Phys., 1998, Vol. 91, 307-326.

9Веденяпин В., О разрешимости в целом задачи Коши для дискретных моделей уравнения Больцмана.// ДАН СССР, 1975, Том 215, 1, С. 21-23.

10Toscani G., On the Cauchy Problem for the discrete Boltzmann equation with initial values

in L\_(R).// Comm. Math. Phys., 1989, Vol. 121, p. 121.

11Cercignani C., Illner R., Shinbrot M., A boundary value problem for the two dimensional

BroadweU model.// Comm. Math. Phys., 1988, 114, P. 687-698

12Веденяпин В., Дифференциальные формы в пространствах без нормы. Теорема единственности ií-функции Больцмана.// Успехи математических наук, 1988, Том 43, 1, С. 159-179.

задачу, исследовавшуюся многими авторами13'14,15.

Простейшей дискретной моделью уравнения Больцмана является система Карлемана двух скоростей, которая представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа 16:

f+f

dh df2 _ , ,2 f2s

Система Карлемана описывает частицы двух групп, а именно, первая группа частиц, которой отвечает плотность /j(t, х), движется с единичной скоростью в направлении оси х, а вторая группа, имеющая плотность х), движется с единичной скоростью в противоположном направлении. При этом взаимодействуют только частицы внутри одной группы, то есть только сами с собой, меняя направление движения. С физической точки зрения это является недостатком, однако система (5) — (6) обладает рядом свойств, которые имеются у уравнения Больцмана (2). Например, для нее справедлива Я-теорема. Также уравнения (5) - (6) качественно описывает процессы релаксации и свободного движения17.

Более сложной является модель, предложенная Бродуэллом18. Четырех-

13СогпШе Н., Construction of positive exact (2 + l)-dimensional shock-wave solutions for

two discrete velocity Boltzmann models.// J. Stat. Phys., 1988, 52, P. 897-949

14Bobylev A., Spiga G., On a class of exact two-dimensional stationary solutions for the

Broadwell model of the Boltzmann equation.// J. Phys. A.: Math. Gen., 1994, 27, P. 74517459.

15Cabannes H., New analytic solutions for the Broadwell equations on discrete kinetic

theory.// Eur. J. Mech. B/Fluids, 1997, 16, P. 1-15.

16Карлеман Т., Математические задачи кинетической теории газов - М.: Изд. иностр.

лит., 1960.

17Веденяпин В.В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова. - М.: Физматлит, 2001.

18Broadwell J., Study of shear flow by the discrete velocity method.// J. Fluid Mech., 1964,

(5)

(6)

скоростная модель Бродуэлла для двух пространственных координат имеет вид:

ал ал _ 5/2 9/2

+ (7)

э/з а/3 _ а/4 а/4 _,

-^--(/1/2-/3/4), (8)

где /^,х,у),г = 1...4 есть плотности частиц, движущиеся в ±ж, ±у направлениях. Для модели Бродуэлла справедлива //-теорема, выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии.

Для дискретных кинетических моделей показано, что пространственно-однородные стационарные решения (аналоги распределения Максвелла) устойчивы в линейном приближении6. Однако пространственно-неоднородные стационарные решения оставались неисследованными. Таким образом, сказанное выше показывает актуальность следующей задачи: получить новые пространственно-неоднородные решения дискретных кинетических моделей и изучить их устойчивость.

Цель и задачи диссертационного исследования

Перечислим основные задачи исследования:

1. Построить решение стационарной краевой задачи на отрезке для системы уравнений Карлемана.

2. Получить достаточные условия неустойчивости решений краевой задачи на отрезке для системы Карлемана в линейном приближении.

3. Исследовать краевую задачу на отрезке для системы Карлемана с помощью разностной схемы и изучить численно сценарий развития неустойчивости.

4. Получить новые точные решения краевых задач для стационарной модели Бродуэлла.

19, Р.401-414

Теоретическая ценность

Впервые показано, что при определенных условиях пространственно-неоднородные стационарные решения дискретных кинетических моделей являются неустойчивыми. На основе данных уравнений можно изучать сложные нелинейные процессы.

Практическая ценность

Построенные в работе точные решения дискретных кинетических уравнений могут использоваться для проверки правильности расчетов на основе разностных схем.

Научная новизна

В работе рассмотрен вопрос устойчивости стационарного решения задачи Карлемана. Ранее было показано, что абсолютно-максвелловское распределение устойчиво относительно малых возмущений6. В настоящей работе рассмотрены пространственно неоднородные стационарные решения, доказано,что эти решения при определенных условиях неустойчивы.

Система Карлемана также исследовалась численно. Для модели Карлемана наблюдается переход к хаотическому режиму через последовательность бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейгенбаума). Впервые показано, что в дискретной модели уравнения Больцмана может наблюдаться

хаотическая динамика.

Построены новые точные решения четырехскоростной системы Броду-элла. Для всех классов решений указаны краевые задачи, которым они удовлетворяют. Все решения выражаются через элементарные функции и квадратуры.

Апробация работы

Научные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

о Общеинститутский семинар "Методы решения задач математической физики"Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН, Москва,

2007.

о Общеинститутский семинар "Методы решения задач математической физики "Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН, Москва,

2008.

о 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Kyoto, Japan, 2008.

о 17-ая международная конференция "Математика. Компьютер. Образование Дубна, 2010.

о Международная конференция по прикладной математике и информатике, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.А.Дородницына. ВЦ РАН, Москва, 7-11 декабря 2010 г.

о 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Asilomar, USA, 2010.

о International Conference on Computational Science, ICCS2010, Amsterdam, 2010.

Личный вклад автора

Результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно. Публикации

Результаты опубликованы в пяти печатных работах, из них четыре из списка ВАК. Статьи [1,3,4,5] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Список публикаций находится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Библиографический список включает в себя 55 наименований. Полный объем диссертации составляет 72 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор исследований по дискретным кинетическим моделям уравнения Больцмана.

В первой главе рассмотрен вопрос устойчивости стационарного решения задачи Карлемана. Интерес к вопросу устойчивости стационарных решений кинетических уравнений берет начало от неустойчивостей, обнаруженных в неоднородных по пространству течениях при численном решении уравнения Больцмана и модели БГК.19 Ранее было показано, что абсолютно-максвелловское распределение устойчиво относительно малых возмущений. В диссертационной работе рассмотрена следующая стационарная краевая задача для системы Карлемана в безразмерном виде20:

^=е-1[(/2)2-(/1)2], = *€(0,1), (0.1)

/1(0) = «1„, /а(1) = «2Ь, (0-2)

где е > 0. Задача (0.1)-(0.2) имеет следующее решение:

/1=Аехр(^)-|, /2 = Аехр(^)+|. (0.3)

Параметры А, с зависят от граничных условий и параметра е:

А = А{и1а,и1,е), с = с{и\,и2ь,е).

1эАристов В.В., Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена.// ЖВ-

МиМФ, 2004, Том 44, 6, С. 1127-1140.

20Ильин О.В., Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы

Карлемана.// ЖВМиМФ, 2007, Том 47, 12, С. 2076-2087.

В диссертации изучаются малые отклонения от равновесного распределения:

Рг(Ь,х) = /г{х) + Ф&,х), г = 1,2,

где Ф^, х) полагаются малыми. Согласно классической теории линейной устойчивости требуется, чтобы функции ж), г = 1,2 удовлетворяли нестационарной системе Карлемана. На границах потребуем выполнение условий (0.2). Это отвечает занулению нестационарных слагаемых Ф^, х) и $2(4, я) на левой и правой границах отрезка соответственно. Тогда получается следующая линеаризованная задача для малых по модулю возмущений

дФ1 ЗФ1 2

Ж + Ж = I[/зФ2 " ЛФх]' ^ е 4 > 0 (°-4)

ЯФ, ЯФо 2

^-^ = ^[/1Ф1-/2Ф2], «€(0,1),4>0 (0.5)

Ф1(г,х)и=о=0, Фа(«,а:)|»=1=0. (0.6)

В диссертационной работе показано, что справедливо следующее утверждение. Теорема. Для любого с > 0 существуют такие А < 0, е > 0, что при |а| = \А/с\ > 1/2 стационарные решения (0.3) задачи (0.1),(0.2) являются неустойчивыми в линейном приближении.

Во второй главе система Карлемана исследовалась численно. Рассматривалась следующая задача на единичном отрезке для системы Карлема-

+ ^- = £"1[(П2)2-(«1)2]- * 6(0,1), (0.7)

+ г-1 ГЛ.2^2 _ (.. 1ч2

dt дх

¥ - Sr= [(и1)2 -(и2)2]' х 6 (0'1}' (0-8)

21Aristov V., Ilyin О., Kinetic model of the spatio-temporal turbulence.// Phys. Lett. A, 2010, 374, P. 4381-4384.

и1 (0, а;) = II1 (х), и2{0,х) = II2 (х), и1(4,0) = г4, и2Ц, 1) = и§.

(0.10)

(0.9)

Для данных Коши и граничных условий потребуем условия согласования

В качестве данных Коши и1(х),172(х) рассмотрим стационарные решения системы Карлемана, удовлетворяющие граничным условиям (0.10). Если выбранные стационарные решения неустойчивы, то моделирование задачи (0.7)-(0.10) разностной схемой приводит к тому, что малые ошибки схемы и компьютерные ошибки округления разрушат стационарные решения. Решения задачи (0.7)-(0.10) будут совершать случайные блуждания в некотором фазовом пространстве. Если в качестве данных Коши выбрать устойчивые стационарные решения системы Карлемана, то решения задачи (0.7)-(0.10) будут всегда находится в окрестности стационарного решения.

Для моделирования применяется разностная схема с пересчетом второго порядка точности по времени и пространству.В качестве меры удаленности от стационарного решения выберем среднеквадратичное отклонение

Величины хт,тп = 1... М;£п, п = 1.. .Г есть узлы разностной сетки.

При числах Кнудсена порядка 0.75 начинают наблюдаться значительные отклонения (на порядки превышающие погрешности схемы) от стационарного состояния. Отклоняясь от стационарного решения, траектории стре-

ется в данном случае аттрактором. Амплитуда колебаний возрастает при

^(0) = ^, и2{1) = и2

где

(;и1)т = и1(хт), (и2)т = и2{хт).

мятся в некоторую точку на фазовой плоскости (¡и1!, |и2|), которая явля-

Рис. 1: Эволюция среднеквадратичных отклонений |и2|(4) и суммы откло-

нений 1(4) + |и2|(()

уменьшении числа Кнудсена до тех пор, пока при числе Кнудсена равном 0.62, не рождается предельный цикл (см. Рис. 1). Радиус предельного цикла также растет при уменьшении числа Кнудсена. При числах Кнудсена близких к 0.57 наблюдается первая бифуркация удвоения периода. Следующая бифуркация удвоения периода происходит при числах Кнудсена порядка 0.562. Наиболее явно цикл периода 4 виден при числе Кнудсена 0.561, см. Рис. 2.В дальнейшем последовательность бифуркаций удовлетворяет сценарию Фейгенбаума. При числе Кнудсена близком к 0.5605 происходит следующая бифуркация удвоения периода - рождается цикл периода 8. Можно заметить, что длины интервалов по числу Кнудсена, в промежутках между которыми происходят удвоения периода, убывают примерно в пять раз, что близко к постоянной Фейгенбаума <5, равной 4.669. Следующие бифуркации отследить достаточно трудно, но можно утверждать, что при числе Кнудсена равном 0.557, наблюдается хаос, см. Рис. 3. Это можно показать, вычислив экспоненты Ляпунова.

В третьей главе построены новые точные решения четырехскорост-

0 OC, ai 0.15 0 2 й25 03 D 35 0.4 0 45 0.5

|u1|(t) (А)

Рис. 2: Эволюция среднеквадратичных отклонений \и2\{€) и суммы откло-

нений 1м11(*) + |и2|(г)

ной стационарной системы Бродуэлла22, а также для нахождения решений используется метод усеченного ряда Пенлеве23. Модель Бродуэлла имеет следующий вид:

£>/1 0/2 д/з а/4

1(f), 1(f) = (Л/4 - /l/2),

(0.11)

дх дх ду ду где /¡(ж, у), г = 1... 4 есть плотности частиц, движущиеся в ±х, ±у направлениях. Из уравнений (0.11) получаем, что выполняются равенства:

Ь = ~к + Я(у), h = -fз + S(x),

где <3(у),5(ж) неизвестные гладкие функции. С помощью последних равенств система (0.11) записывается в виде:

дЛ±

дх

dh ду

= f!-fi-Q(y)h + s(x)f3.

(0.12)

22Ильин О., Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла.// ТМФ, 2012, 170, 3, С. 481-188.

23Ilyin О., The analytical solutions of 2D stationary Broadwell kinetic model.// J.Stat. Phys., 2012, 146, P. 67-72.

><N=0.557, А=-0.4, с=0,1 «N=0.557, А=-0.4, с=0.1

1-•-'->-■-.-.-.--1 4 -,-,-,—,-,---

Рис. 3: Эволюция среднеквадратичных отклонений ¡г^1|(£), \и2\^) и суммы отклонений |и1|(4) + |и2|(4)

Будем искать решения системы (0.12) в следующем виде (усеченный ряд Пенлеве):

(О--,

где ф{х, у), /1[0(х,у), /3,о(ж, у) - гладкие функции и Ь,0(х, у),/з,о(х>У) не Равны тождественно нулю. Идея построения решения проста: равенства (0.13) подставляются в уравнения (0.12). В результате каждое из уравнений принимает вид:

Азф~2 + = 0, .7 = 1,3,

где функции зависят от ¡1,о{х,у), ¡3}0(х,у) и производных от функ-

ции ф (но не от ф). Теперь, считая, что ф ф 0 решаем дифференциальные уравнения А, = 0,А,- = 0 и находим функции Ф{х,у), /1}0(х,у), /3:0(х,у). В итоге получается следующее решение:

г С1Ж

^-~Ьху + (х + с1У)(с1х + Уу = (°Л4)

С\у

/з = ~ Ьху + (х + с1У)(с1Х + у)' /4 = -/з + вЖ'

где a, L, ci ф- ±1 произвольные постоянные.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Рассмотрена задача устойчивости для стационарного пространственно неоднородного решения системы Карлемана. С помощью осцилляционных теорем Штурма найдены достаточные условия возникновения неустойчивости.

2. Для краевой задачи на отрезке для системы Карлемана обнаружен сценарий развития неустойчивости через последовательность бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейгенбаума).

3. Построены новые точные решения для стационарной четырех-скоростной модели Бродуэлла. Указаны краевые задачи, которым удовлетворяют решения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ильин О.В., Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана.// ЖВМиМФ, 2007, Том 47, 12, С. 2076-2087.

2. Аристов В.В., Ильин О.В., Изучение устойчивости решений для кинетической модели. М.: Сообщения по прикладной математике. ВЦ РАН, 2006.

3. Aristov V., Ilyin О., Kinetic model of the spatio-temporal turbulence// Phys. Lett. A, 2010, 374, P. 4381-4384.

4. Ильин О., Стационарные решения кинетической модели Бродуэлла// ТМФ, 2012, 170, 3, С. 481-488.

5. Ilyin О., The analytical solutions of 2D stationary Broadwell kinetic model// J.Stat. Phys., 2012, 146, P. 67-72.

Ильин Олег Вадимович

Исследование краевых задач для дискретных моделей уравнения

Больцмана

Подписано в печать 11.12.2012 Формат бумаги 60x84 1/16 Уч.-изд. л.1. Усл.-печ. 1 Тираж 100 экз. Заказ 36

Отпечатано на ротапринтах в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук 119333, Москва, ул. Вавилова, 40

Введение

1 Изучение устойчивости решений системы Карлемана

1 1 Устойчивость абсолютно максвелловских распределений 10 1 2 Система Карлемана как модель автоколебательной реакции в химической кинетике

1 3 Решение стационарной системы Карлемана 14 1 4 Постановка задачи об устойчивости пространственнонеоднородных решений

1 5 Неустойчивые режимы

2 Численное исследование неустойчивых решений системы Карлемана

2 1 Сценарии перехода к хаосу в динамических системах 21 2 2 Сценарий перехода к хаосу в системе Карлемана

2 3 Показатели Ляпунова

3 Точные решения стационарной четырехскоростной системы Бродуэлла

3 1 О методах построения точных решений четырехскоростной системы Бродуэлла

3 2 Построение решений с помощью усеченного ряда Пенлеве 45 3 3 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа с постоянной плотное1ью 50 3 4 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа с непостоянной плотностью

3 5 Задачи об испарении и конденсации газа для модели Бродуэлла

3 6 Симметрии модели Бродуэлла и инвариантные решения

Основным объектом изучения кинетической теории газов является система из большого числа частиц (молекул). Такие системы описываются методами статистической физики, то есть с помощью нестационарной функции распределения / в фазовом пространстве скоростей V и координат х. Эволюция функции распределения задается кинетическими уравнениями, которые в случае короткодействия представляются в следующей форме [1-8]: я+ ,7'й<01> где /(/,/) - квадратичный по функции распределения /(£,ж, С) оператор, описывающий парные столкновения. Изучению математических свойств таких уравнений посвящена диссертационная работа

Основным уравнением кинетической теории является уравнение Больцмана: [ (0.2) о1 ах Js^2 Jлз \ и ] где и> е М3, п - единичный вектор, с1п - элемент площади единичной двумерной сферы 52, а о(и,йп/и) сечение столкновения. Считается, что две частицы, сталкивающиеся при скоростях ¿7, -ш, после столкновения приобретают скорости г>', и/, а вектор п указывает направление относительной скорости после столкновения: и' = V1 — ю' = ип, й = V — го, и = |ц),

1 1 у' — - (гТ + ъи + ип), и/ = - (г> + ги — ип).

Уравнение Больцмана является одним из сложнейших уравнений математической физики благодаря нелинейной форме оператора столкновений. За десятки лет исследования уравения найдено всего лишь несколько точных решений |9|-|13|. Даже линеаризованное уравнение (0.2) неудобно для практического рассмотрения из-за многократного интегрирования. Поэтому для решения конкретных физических задач прибегают к различным упрощениям.

Одним из возможных упрощений является замена интегрирования на суммирование по некоторым избранным скоростям. Такое приближение, называющееся методом дискретных скоростей, получило широкое распространение в последние десятилетия [14]-[16]. Считается, что модельный газ состоит из N групп частиц, в каждой из которых частицы обладают одной скоростью = 1. N. Тогда вместо /(^.г, г) получается конечный набор функций распределения /' (£, х). х), где каждая функция /к соответствует группе частиц с определенной скоростью. При столкновении частицы переходят из одной группы в другую. Отметим, что вид взаимодействия не конкретизируется, а определено лишь только то, что частицы обмениваются импульсом и энергией. Система кинетических уравнений, соответствующая данному приближению, имеет вид + = (0.3) (Г2ь.Д2лО; г = 1,., лг, где n

П/1,■••,/") = 5>й(/*/1 - ГРУ (0.4)

Очевидно, что (0.4) есть упрощенная форма интеграла столкновений уравнения Больцмана. Отметим, что сг^ величина пропорциональная вероятности того, что две частицы со скоростями 0.г и после столкновения будут иметь скорости и П/. Согласно закону детального равновесия выполняется равенство сг^ = о-*1. Доказано, что при увеличении числа скоростей решения дискретных моделей сходятся к решениям полного уравнения Больцмана [17].

Простейшей дискретной моделью уравнения Больцмана является система Карлемана [7], которая представляет собой пару нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа: дь ди

Система Карлемана описывает частицы двух групп, а именно, первая группа частиц движется с единичной скоростью в направлении оси х, а вторая группа движется с единичной скоростью в противоположном направлении. При этом взаимодействуют только частицы внутри одной группы, то есть сами с собой, меняя направление движения. С физической точки зрения это является недостатком, однако система (0.5) — (0.6) обладает рядом свойств, которые имеются у уравнения Больцмана (0.2). Например, для псе справедлива Н-теорема. Также (0.5) — (0.6) качественно описывает процессы релаксации и свободного движения |6].

Заключение

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач дискретных моделей уравнения Больцмана. Данные модели представляют собой системы уравнений в частных производных, которые правильно передают многие свойства полного уравнения Больцмана. Исследование дискретных аналогов проще, чем изучение сложного интегро-дифференциалыгое уравнения Больцмана. В работе подробно исследуются две системы: одномерная двухскоростная система Карлемана и четырехскоростная система Бродуэлла на плоскости.

В первой главе рассмотрена краевая задача на отрезке для стационарной модели Карлемана. Пространственно-неоднородное решение задачи строится в явном виде. Показано, что для гранично-начальных задач на отрезке длины не меньшей определенной можно доказать неустойчивость решения в линейном приближении с использованием осцилляционных теорем Штурма.

После обнаружения неустойчивости в линейном приближении система Карлемана изучалась численно. Во второй главе рассмотрено моделирование поведения системы с помощью разностной схемы второго порядка точности при внесении в начальный момент времени малых возмущений, исчезающих на границах. Впервые показано, что для дискретных кинетических моделей обнаруживается переход к хаосу при уменьшении числа Кнудсена через последовательность бифуркаций удвоения периода.

В третьей главе были построены новые классы решений стационарной четырехскоростпой модели Бродуэлла. Решения строились с помощью усеченного ряда Пенлеве и в автомодельном виде. Для всех классов решений были указаны краевые задачи, которым они удовлетворяют. К настоящему моменту неизвестно, возможна ли для системы Бродуэлла динамика аналогичная динамике системы Карлемана. В будущем интерес представляет исследование этих краевых задач на устойчивость, а в случае обнаружения неустойчивости в линейном приближении необходимо дальнейшее изучение численными методами с целью обнаружения перехода к хаосу.

1. Больцман Л., Лекции но теории газов. - М.: Гостехиздат, 1956.

2. Коган М.Н., Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.3. "Черчиньяни К., Теория и приложения уравнения Больцмана. М: Мир, 1978.

3. Aristov V.V., Direct methods for solving the Boltzmann equation and study nonequilibrium flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

4. Бобылев А.В., Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 1987.

5. Krook Т., Wu Т., Formation of Maxwellian Tails. // Phys. Rev. Lett, 1976, 76, P. 1107-1109.

6. Кгоок Т , Wu Т , Exact solutions of the Boltzmann equation // Phys Fluids, 1977, 20, P ] 589-1595

7. Годунов С К , Султангазнн УМ , О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // УМН, 1971, 26, 3 (159), С 1-51

8. Palczewski A , Schneider J , Existence, stability and convergence of solutions of discrete-velocity models to the Boltzmann equation //J Stat Phys , 1998, Vol 91, 307 326

9. Аристов В В , Решение уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена//ЖВМиМФ 2004, Том 44 6, С 1127-1110

10. Ильин О , Изучение устойчивости плоского течения Куэтта для кинетического модельного уравнения // ЖВМиМФ, 2009, Том 49, 5, С 1-14

11. Ильин О , Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана ' ЖВМиМФ 2007, 47, 12 С 2076-2087

12. Аристов В В Ильин О Изучение устойчивости решений для кинетической модели // Сообщения по прикладной математике ВЦ РАН, 2006

13. Anstov V , Ilyin О , Kinetic model of the spatio-temporal turbulence // Phys Lett A, 2010, 374, P 4381-4384

14. Broadwell T , Study of shear flow by the discrete velocity method //I Fluid Mcch , 1964, 19, P 401-414

15. Bobylev A , Spiga G , On a class of exact two-dimensional stationary solutions for the Broadwell model of the Boltzmann equation //J Phys A Math Gen , 1994, 27, P 7451-7459

16. Ilym О , The analytical solutions of 2D stationary Bioadwell kmetic model // 1 Stat Phys , 2012, 146, P 67-72$

17. Euler N , Steeb W -H , Pamleve Test and Discrete Boltzmann Equations // Aust J Phys , 1989, 42, P 1-10

18. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости М Из-во иностр ли i, 1958

19. Жаботинский А М , Концентрационные автоколебания М Наука, 1974

20. Петровский И Г, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений М Из-во МГУ, 1984

21. Айне Э Л , Обыкновенные дифференциальные уравнения Харьков ДНТВУ, 1939

22. Кузнецов А П Динамический хаос Москва Наука, 1997

23. Ландау Л Д , К проблеме турбулентности , ' ДАН СССР, 1914, Том 44 8 С 339 342

24. Хайрер Э , Ваннер Г, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи М Мир, 1999

25. Benettin G , Galgani L , Strelcyn J -M , Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys Rev , 1976, A14, P 2338

26. Pomeau Y , Manneville P , Intermittent transition to turbulence m dissipative dynamical systems // Comm Math Phys , 1980, 74 P 189

27. Golse F , On the self-similar solutions of the Bioadwell model for a discrete velocity gas // Comra in Part Diff Eq , 1986, 12, P 315-326

28. Ceicignani C , Illner R , Shinbrot M , A boundary value pioblem for the two dimensional Broadwell model // Coram Math Phys , 1988, 114, P 687-698

29. Bobylev A , Toscam G , Two dimensional half-space problems for the Bioadwell model//Contm Mich rl hermodyn 1996, 8, P 257-274

30. Aristov V , A steady state, supersonic flow solution of the Boltzmann equation // Phys Lett A, 1998, 250, P 354-359

31. Olver P , Vorob'ev E , Nonclassical and conditional symmetries, in CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol 3, N H Ibragimov, cd , CRC Press, Boca Raton, F1 , pp 291-328, 1996

32. Olver P , Rosenau P , Group-invariant solutions of differential equations // SIAM J Appl Math , 1987, 47, 263-27855| Clarkson P, Kruskal M , New similarity reductions of the Boussinesq equation // T Math Phvs , 1989, 30, 2201-2213