О "жесткой" неустойчивости в свободных потоках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Метод решения.

§ 1.3. Решение линейной задачи.

§ 1.4. Решение систем уравнений во втором приближении.

§ 1.5. Метод нахождения коэффициента Ландау в третьем приближении.

ГЛАВА П.

НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТРУЙНОГО ТЕЧЕНИЯ.

§2.1. Введение.

§ 2.2. Численный анализ.

§ 2.3. Выводы.

ГЛАВА Ш.

НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ СМЕШЕНИЯ.

§3.1. Введение.

§ 3.2. Численный анализ.

§3.3. Выводы.

Теория турбулентных течений представляет собой один из важнейших для практики, но и наиболее трудный раздел гидродинамики [22, 36, 41, 42]. Понимание законов турбулентного движения и постижение механизмов перехода от ламинарного течения к турбулентному позволит расширить наши представления о природе вещей и кардинально увеличить возможности науки в решении большого ряда прикладных проблем, например, таких как сопротивление сред движущимся и неподвижным телам, расчет климата и многих других. Но имеющиеся данные о структуре турбулентности являются далеко не полными. В связи с этим, значительный интерес представляет вопрос об устойчивости ламинарных течений и о переходе ламинарного течения в турбулентное. Этот вопрос составляет часть проблемы возникновения турбулентности. К настоящему времени накоплен обширный экспериментальный материал о поведении течений в области перехода ламинарного течения в турбулентное. Большое количество работ посвящено исследованию таких основных течений как течение Пуазейля, струйные течения, слои смешения, пограничные слои [1, 2, 6, 8, 10, 52, 59].

Первоначально исследования проводились для двумерных течений в линейной постановке задачи теории гидродинамической устойчивости с двумерными же возмущениями [4, 33, 38]. Но на данный момент считается общепризнанным, что значительную (и наиболее интересную) часть проблем, связанных с турбулентными движениями, невозможно решить на базе линейной теории устойчивости [60, 63, 88, 101]. Большое влияние на устойчивость и характер течения оказывает также вязкость [12, 34, 79] и непараллельность [32]. Было показано, что можно наблюдать рост возмущений и переход к турбулентности в тех областях параметров, где в рамках классической (линейной) теории устойчивости возмущения затухают [46, 64, 65, 78, 92]. В ряде работ были учтены нелинейные члены, но все еще для двумерных возмущений [7, 13, 17, 18, 56, 57, 63, 74, 80, 81, 85, 100]. Оказалось, что нелинейные члены влияют на развитие трехмерных возмущений [67]. Например, искажение первичного течения -трехмерно [30]. И именно трехмерные возмущения реально отражают картину неустойчивости и характер перехода к турбулентности [3, 9, 15, 28, 29, 40, 58, 62, 70, 86, 87, 89, 91, 96, 98, 99]. В результате многочисленных исследований был выявлен (в том числе и экспериментально) разностный резонанс, который приводил к интенсивному росту именно трехмерных возмущений [11, 20, 31, 47, 75, 82]. А в работах [31] и [84] было показано, что резонансное взаимодействие волн ведет к иному, отличному от известного, типу перехода к турбулентности.

Известно довольно много методов линейной и нелинейной теории гидродинамической устойчивости [26, 27, 53-55, 61, 63, 72, 73, 76, 95]. Значительное число работ, посвященных исследованию параллельных течений, используют метод Стюарта-Ватсона [94, 97] или его модификацию, предложенную Поттером и Рейнольдсом [69, 83, 90].

Актуальность проблемы.

Из ряда работ [16, 19, 25, 35, 37, 43, 71, 77, 93] известно, что слои смешения и свободные струйные течения неустойчивы «мягко» по отношению к плоским возмущениям. Как известно, при «мягком» характере нарастания малые возмущения растут, при «жестком» возбуждении малые возмущения затухают, и неустойчивость наступает при достаточно большой начальной амплитуде. Такой «мягкий» характер неустойчивости наблюдался и во многих экспериментальных исследованиях [5]. Но в некоторых экспериментах [45] картина перехода оказалась качественно иной, - начинали нарастать трехмерные возмущения, изменялись характерные масштабы возмущений. Несмотря на то, что по теореме Сквайра двумерные возмущения нарастают интенсивнее трехмерных [4, 66]. В некоторых теоретических работах для всюду устойчивых по линейной теории профилей были обнаружены неустойчивые стационарные решения, которые проявлялись при наличии возмущений конечной амплитуды [68]. В связи с этим возникло предположение о возможной «жесткой» неустойчивости по отношению к трехмерным возмущениям, включающим «разностный» резонанс пары симметричных волн, распространяющихся под одним и тем же углом к основному потоку.

Цель работы.

Обнаружить наличие «жесткого» характера нарастания трехмерных конечно-амплитудных возмущений специального вида в плоских слоях смешения и плоских затопленных струях, учитывая возникающий разностный резонанс.

Методы исследования.

Как уже упоминалось, наличие нелинейных членов в уравнениях Навье-Стокса приводит к появлению кратных гармоник и нелинейному искажению среднего течения. В работе предполагается, что амплитуда возмущений является медленной функцией от времени и удовлетворяет нелинейному уравнению Ландау [36]: = f(A) « a0A + a3A dt з

Тогда как для линейной задачи уравнение Ландау выглядит следующим образом:

Коэффициенты разложения производной амплитуды определяются через решения задач для первого (линейного) и следующих приближений, а также через интегралы от решения линейной сопряженной задачи. Первый коэффициент в уравнении Ландау представляет собой коэффициент нарастания. А второй - отвечает за характер неустойчивости. Если он отрицателен, то характер неустойчивости - мягкий. То есть, в области неустойчивости малое возмущение вначале экспоненциально растет (нелинейные члены малы), а затем нелинейные члены ослабляют первоначальный рост, и амплитуда возмущений стремится к некоторому dt о предельному соотношению: А t

Если же коэффициент положителен, то даже в области, где по линейной теории возмущения с малой амплитудой затухают, при

Л 2 в0 достаточно большой начальной амплитуде А > возмущения dA начинают нарастать ( ~г

Таким образом, основной задачей автора стало нахождение второго коэффициента из уравнения Ландау - а3, отвечающего за характер неустойчивости. В процессе решения задачи использовался модифицированный метод Стюарта-Ватсона: трехмерные давление и скорость раскладывались в ряд по малому параметру - начальной амплитуде возмущений. В отличие от стандартных подходов начальные возмущения задавались в виде суммы двух симметричных наклонных волн, в результате взаимодействия которых и получается разностный резонанс.

Для проведения выкладок использовался язык аналитических преобразований REDUCE на ЭВМ.

0):

Научная новизна работы.

Разработана эффективная асимптотическая методика исследования нелинейной устойчивости вязких градиентных потоков. В работе было впервые проведено аналитическое исследование характера неустойчивости вязкого плоского слоя смешения и вязкой затопленной струи по отношению к трехмерным конечно-амплитудным возмущениям; начальные возмущения при этом задавались в виде суммы двух наклонных симметричных волн. В результате проведенного численного анализа удалось обнаружить «жесткий» характер нарастания трехмерных конечно-амплитудных возмущений.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных результатов определяется проведенными методическими исследованиями и сравнением с данными эксперимента.

Научная и практическая значимость исследования.

Результаты, полученные в диссертации, позволяют расширить представление об известных сценариях перехода от ламинарного течения к турбулентному в рассмотренном классе свободных течений. Расширена область применимости асимптотического метода Стюарта-Ватсона. Обнаружен новый механизм «жесткой» неустойчивости по отношению к трехмерным конечно-амплитудным возмущениям специального вида.

Структура работы.

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы

§ 3.3. Выводы.

В результате проведенных расчетов обнаружилось, что в слое смешения при некоторых значениях параметров (число Рейнольдса и волновые числа) может иметь место «жесткая» неустойчивость по отношению к трехмерным возмущениям с конечной амплитудой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение кратко сформулируем основные результаты.

1. Разработана эффективная асимптотическая методика исследования нелинейной устойчивости вязких свободных градиентных потоков по отношению к конечноамплитудным трехмерным возмущениям, включающим «разностный» резонанс пары симметричных трехмерных волн вида A1sin(Gx+/3z) и A2sin(ox-/3z) с поперечной стоячей волной вида Bsin2/3z. Эта методика основана на модификации известного асимптотического подхода Стюарта-Ватсона, позволяющей учесть рассматриваемый трехмерный «разностный» резонанс. При этом в отличие от классического метода Стюарта-Ватсона, уже в линейном приближении рассматривается пара симметричных наклонных волн. Затем, в нелинейном приближении учитываются их комбинационные моды: sin(2ax+2/3z), sin(2ox), sin(2/3z) и т.д. В связи с увеличением числа взаимодействующих мод был использован также современный аппарат автоматизации выкладок с помощью ЭВМ.

2. В рамках этой методики проведен численный анализ вязкого струйного течения. Обнаружено, что учет трехмерного конечноамплитудного «разностного» резонанса пары наклонных волн с поперечной стоячей волной может приводить, в отличие от классических двумерных волн, к «жесткой» неустойчивости.

3. Были проведены исследования для плоского слоя смешения. Расчеты показали, что по отношению к трехмерным возмущениям конечной амплитуды слой смешения может быть неустойчив «жестко».

1. Бакчинов А.А., Грек Г.Р., Клингманн Б.Г., Козлов В.В. «Экспериментальное исследование устойчивости трехмерного пограничного слоя и перехода течения в турбулентное состояние». Теплофизика и аэромеханика, 1994,1, № 2, 127-139.

2. Беляев Ю.Н., Герценштейн С.Я., Шкадов В.Я., Яворская И.М. «Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности». Актуал. проблемы механики, 1984, 17-21.

3. Берч С.Ф., Лебедев А.Б., Любимов Д.А., Секундов А.Н. «Моделирование турбулентных трехмерных струйных и погранслойных течений». Изв. РАН, МЖГ, 2001, № 5, 48-63.

4. Бетчов Р., Криминале В. «Вопросы гидродинамической устойчивости». М., «Мир», 1971.

5. Ван-Дайк. «Альбом течений жидкости и газа». Москва, «Мир», 1986.

6. Герценштейн С.Я. «Проблемы теории гидродинамической устойчивости и турбулентности». Современные проблемы механики: тезисы доклада юбил. научн.конф., посвящ. 40-летию Ин-та Механики МГУ, Москва, 22-26 ноября, 1999 г., М. 1999, с.50.

7. Герценштейн С.Я., Латышев А.В., Штемлер Ю.М. «Исследование нелинейной устойчивости вязких погранслойных течений». Отчет Института Механики МГУ, № 1977, гл. 3, Москва 1977.

8. Герценштейн С.Я., Латышев А.В., Штемлер Ю.М. «О развитии возмущений в нестационарных вязких течениях». Отчет Института Механики МГУ, № 2076, Москва, 1978.

9. Герценштейн С.Я., Олару И.И., Рудницкий А.Я. «О развитии конечно-амплитудных двумерных и трехмерных возмущений в струйных течениях». Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 5, 8-19.

10. Герценштейн С .Я., Ромашова Н.Б., Сухоруков А.Н. «О трехмерной неустойчивости в невязких течениях». Изв. АН СССР, МЖГ, 1995, № 3, 186.

11. Герценштейн С .Я., Сухоруков А.Н. «О нелинейной эволюции двумерных и трехмерных волн в слоях смешения». Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 1, Ю-18.

12. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н., Шкадов В.Я. «О нелинейных колебаниях в плоском следе». Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 3.

13. Герценштейн С.Я., Сухоруков А.Н. «О жестком возбуждении трехмерных конечно-амплитудных режимов в струйных течениях». Докл. РАН, 1998, 359, № 5, 629-631.

14. Герценштейн С.Я., Финлянд JI.B. «Конечноамплитудная неустойчивость осесимметричных затопленных струй». Изв. АН СССРЮ,МЖГ, 1990, № 1, 100-107.

15. Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. «Нелинейное развитие возмущений в пограничных слоях и их устойчивость». Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 6.

16. Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. «Нелинейное развитие волн в пограничных слоях вязкой жидкости». Отчет института механики МГУ, № 1867, гл. 5, Москва, 1976.

17. Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. «О нелинейных волнах в пограничном слое». Отчет Института Механики МГУ, № 1730, гл. 4, Москва, 1975.

18. Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. «О возмущениях конечной амплитуды в пограничном слое». Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 1.

19. Герценштейн С.Я., Штемлер Ю.М. «О некоторых резонансных механизмах взаимодействия». Отчет Института Механики МГУ, № 1977, пар. 2.1, Москва, 1978.

20. Гиневский А.С., Белоцерковский С.М. «Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей», М. 1995.

21. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. «Гидродинамическая устойчивость и турбулентность». Новосибирск, «Наука», 1977.

22. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А .Я. «Язык аналитических вычислений REDUCE». Издательство Московского университета, 1983.

23. Епанешников A.M., Епанешников В.А. «Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0». Москва, «Диалог-МИФИ», 1996.

24. Жданов Е.М. «Вторичные течения в осесимметричных затопленных струях». Гидродинамика и акустика одно- и двухфазных потоков, Новосибирск, 1983, 27-31.

25. Жигулев В.Н. «Нелинейная теория развития возмущений». В сб. «Аэродинамика и физическая кинетика». Новосибирск, 1977.

26. Зубцов А.В., Пономарев В.Н. «К нелинейной теории гидродинамической устойчивости». Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 4, № 1.

27. Козлов В.Г. «Устойчивость периодических движений жидкости в плоском канале». Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 6, 114-118.

28. Козлов В.В., Бакчинов А.В., Лефдаль Л.Л., Чернороел В.В. «Продольные структуры в пограничных слоях и струях». Устойчивость течений гомогенной и гетерогенной жидкости, 2001, № 8, 84.

29. Козлов В.В., Рамазанов М.П. «Развитие возмущений конечной амплитуды в течении Пуазейля». Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 1, 4347.

30. Козлов В.В., Рамазанов М.П. «Образование трехмерных структур в течении Пуазейля при резонансном взаимодействии». Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР, препринт, 1983, № 11, 10 с.

31. Комаров A.M. «Об учете двумерности в плоскопараллельных течениях вязкой несжимаемой жидкости в линейной теории гидродинамической устойчивости». Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 3.

32. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. «Теоретическая гидромеханика». Ч. 2, М., физ.мат, 1963.

33. Крылов В.А., Манин Д.Ю. «Устойчивость и закритические режимы квазидвумерного сдвигового течения. Теория и эксперимент». Материалы 6 школы-семинара «НеЗаТеГиУс», Колюбакино, 1989, Ин-т Механики МГУ, 1989, 34-35.

34. Курочкина Е.П. «Смена режима в плоской струе со ступенчатым профилем скорости». Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1984, № 6, 43-47.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Гидродинамика». Т. 6, Москва, «Наука», 1988.

36. Латышев А.В. «Нелинейное развитие возмущений в плоской пристеночной струе». Вестник МГУ, Мат., мех., 1979, № 5, 65-69.

37. Линь Цзя-Цзяо. «Теория гидродинамической устойчивости». М., ИЛ, 1958.

38. Лутовинов В.М. «Численные решение задач гидродинамической устойчивости» М. 1975, Центральный Аэро-гидродинамический Институт им. Н.Е.Жуковского, Москва, труды института, вып. 1654.

39. Ляпидевский В.Ю. «Слой смешения в однородной жидкости». Прикл. мех. и техн. физика, 2000, 41, № 4, 81-92.

40. Монин А.С. «О природе турбулентности». Успехи физ. наук, 1978, т. 125, вып. 1.

41. Монин А.С., Яглом А.И. «Статистическая гидромеханика». 2 изд., СПб, Гостехиздат, 1996, 742 с.

42. Никитин Н.В. «О жестком возбуждении автоколебаний в течении Гагена-Пуазейля». Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, № 5, 181-183.

43. Обухов A.M., Должанский Ф.В. «Нелинейные системы гидродинамического типа».

44. Павельев А.А., Навознов О.И. «Влияние начальных условий на течение осесимметричных спутных струй», Изв. АН СССР МЖГ, 1980 №4 18-24.

45. Приймак В.Г., Рождественский Б.Л., Симакин И.Н. «Описание турбулентных течений нестационарными уравнениями Навье-Стокса». 6 Всес. Съезд по теор. и прикл. мех., Ташкент, 24-30 сентября, 1986, аннот. Докл, Ташкент, 1986, 525.

46. Рамазанов М.П. «Два типа перехода к турбулентности в плоском течении Пуазейля». 6 Всес. Съезд по теор. и прикл. мех., Ташкент, 24-30 сентября, 1986, аннот. Докл, Ташкент, 1986, 532-533.

47. Седов Л.И. «Механика сплошных сред». М. «Наука», 1994 г., т. 2.

48. Скобелев Б.Ю. «Вторичные течения в плоском канале». ПММ, 1978, т. 42. Вып. 2.

49. Струминский В.В. «К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений». Докл. АН СССР, 1963, т. 153, № 3.

50. Шкадов В.Я. «О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельных течениях вязкой жидкости». Научные труды Института Механики МГУ, 1971, № 9.

51. Шкадов В.Я. «Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости» М., Научные труды Института Механики МГУ, 1973, № 25.

52. Шкадов В.Я. «О нелинейном развитии возмущений в плоскопараллельном течении Пуазейля». Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 2.

53. Шкадов В.Я. «Численное исследование устойчивости гидродинамических течений и нелинейного взаимодействия возмущений». Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1981, 12, №4, 148-155.

54. Штемлер Ю.М. «Об устойчивых нелинейных волнах в течении Пуазейля». Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, № 5.

55. Штерн В.Н. «О неустойчивости к трехмерным возмущениям». Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 5.

56. Bayly Bruce J., Orszag Steven A. "Instability mechanism in shear flow transition". Appl. Fluid Mech., vol. 20. Palo Alto, Calif., 1988, 339-391.

57. Benney D.J. "The evolution of disturbances in shear flows at high Reynolds numbers". Stud. Appl. Math., 1984, 70 № 1, 1-19.

58. Benney D.F., Bergeron R.F. "A new class of non-linear waves in parallel flows". Stud. Appl. Math., 1969, v. 48, pt 3.

59. Benney D.J., Chow K. "An alternative approach to nonlinear instabilities in hydrodynamics". Stud. Appl. Math., 1985, 73, № 3, 261-267.

60. Bestek Horst. "Numerische Untersuchungen ur nichtlinearen raumlichen Storungsanfachung in der ebenen Poiseuille-Stromung". Diss. Dokt. Ing. Fak., Verfahrenstechn, Univ Stuttgart, 1980, 209S. 111.

61. Brechling J. "Jur Stabilitat ebuer Schichtenstromungen gegentiber Storungen mit endich grower Amplitude". Z. Angew. Math. And Mech., 1980, 60, № 12, 663-668.

62. Butler Kathryn M., Farrell Brian F. "Three-dimensional optimal perturbations in viscous shear flow". Phys. Fluids, 1992, 4, № 8, 1637-1650.

63. Cebeci Т., Stewartson К. "Spatial amplification and Squire's theorem". Arch. mech. Stosow, 1982, 34 № 3, 375-384.

64. Dhanak M.R. "On certain aspects of three-dimensional instability of parallel flows". Proc. Roy. Soc. London, 1983, A385, № 1788, 33-84.

65. Eckhardt Bruno, Mersman Alois. "Transition to turbulence in a shear flow". Phys. Rev. E. 1999, 60, № 1, c. 509-517, англ.

66. Eckouse W. "Studies in non-linear stability theory". Springer, 1965.

67. Fletcher Faymond C. "Analysis of the flow in layered fluids at small, but finite amplitude with application to mullion structures". Technophysics, 1982, 81, № 1-2,51-66.

68. Fujimura K. "The first Landau constant in a viscous free shear layer". Phys. Fluids, 1988, 31, № 12, 3563-3570.

69. George W.D., Heliums J.D. «Hydrodynamic stability in plane Poiseuille flow with finite amplitude disturbances". J. Fluid Mech., 1972, v. 51, pt. 4.

70. George W.D., Heliums J.D., Martin B. "Finite-amplitude neutral disturbances in plane Poiseuille flow". J. Fluid Mech., 1974, v. 63, pt. 4.

71. Goldstein M.E., Choi S.W. "Nonlinear evolution of interacting oblique waves on two-dimensional shear-waves". J. Fluid Mech., 1989, 207, 97-120.

72. Gustavson L. Hakan. «Резонансный рост возмущений в плоском течении Пуазейля». J. Fluid Mech., 1981, 112, 253-264.

73. Haberman R. "Critical layers in parallel flows". Stud. Appl. Math., 1972, v. 51, pt 2.

74. Herbert Thorwald. "Nonlinear stability of parallel flows by high-order amplitude expansions". AIAA Journal, 1980, 18, № 3, 243-248.

75. Hooper A.P., Grimshow R. "Two-dimensional disturbances growth of linearly stable viscous shear flows". Phys. Fluids, 1996, 8, № 6,1424-1432.

76. Huerre P. "The non-linear stability of a free shear layer in the viscous critical layer regime". Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1979, A293, № 1408, 643-672.

77. Huerre P., Scott J.F. "Effects of critical layer structure on the nonlinear evolution of waves in free shear layers". Proc. Roy. Soc. London, 1980, A371, № 1747, 509-524.th

78. Huerre Patrick. "Free shear flow instabilities". 19 Int. Cong. Theor and Appl. Mech., Kyoto, Aug. 25-31, 1996, Abstr. Kyoto, 1996, 13.

79. Iton N. "Nonlinear stability of parallel flows with subcritical Reynolds numbers". Part 1. "An asymptotic theory valid for small amplitude disturbances". J. Fluid Mech., 1977, v. 82, pt 3.

80. Iton Nobutake. "Another route to the three-dimensional development of Tolmien-Schlichting waves with finite amplitude". J. Fluid Mech., 1987, 181, Aug., 1-16.

81. Kachanov Ju.S., Levchenko VJa. "The resonant interaction of disturbances at laminar-turbulent transition in a boundary layer". J. Fluid.1. Mech., 1984, 138,209-247.

82. Luo Ji-Shung. "The re-examination of determining the coefficient of the amplitude evolution equation in the nonlinear theory of the hydrodynamic stability". Appl. Math, and Mech. (Engl.ed.), 1994, 15, № 8, 745-748.

83. Mihailovic J., Corke T.C. "Three-dimensional instability of the shear layer over a circular cylinder". Phys. Fluids, 1997, 9, № 11, 3250-3257.

84. Miyauchi Toshio, Tanahashi Mamoru. "Direct numerical simulation of mixing layer. Effect of spanwise disturbances". Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. В., 1991, 57, № 540, 2577-2582.

85. Orszag Steven A., Patera Anthony I. "Three-dimensional instability of plane channel flows at subcritical Reynolds numbers". Numer. and Phys. Aspects Aerodyn. Flows, New York e.a. 1982, 69-86.

86. Orszag Steven A., Patera Anthony T. "Secondary instability of wall-bounded shear flows". J. Fluid Mech., 1983, 128, March, 347-385.

87. Reynolds W.C., Potter M.C. "Finite-amplitude instability of parallel shear flows". J. Fluid Mech., 1967, v. 27, pt 3.

88. Roshko A. "The plane mixing layer flow visualization results and three dimensional effects". Lect. Notes Phys., 1981, 136, 208-217.

89. Saxena Vivek, Leibovich Sidney, Berkooz Gal. "Enhancement of three-dimensional instability of free shear layer". J. Fluid Mech., 1999, 379, 23-28.

90. Scobelev B.Ju., Molorodov Ju.I. "Subcritical autooscillations and nonlinear neutral curve for Poiseuille flow". Comput. and Math., 1980, 6, № 1, 123-133.

91. Stuart J.T. "On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows". Part 1. J. Fluid Mech., 1960, v. 9, pt 3.

92. Thomas L.H. "The stability of plane Poiseuille flow" Phys. Rev., 1953, v, 91, №4.

93. Tsinober A., Levich E. "On the helical nature of three-dimensional coherent structures in turbulent flows". Phys. Lett., 1983, A99, № 6-7, 321324.

94. Watson J. "On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows". Part 2. J. Fluid Mech., 1960, v. 9, pt 3.

95. Williamson C.H.K. "Three-dimensional wake transition". J. Fluid Mech., 1996,328,345-407.

96. Zhao Geng-Fu. "Secondary instability of large scale structure in free turbulent shear layer". Appl. Math, and Mech. (engl.ed.), 1995, 16, № 4, 384-389.

97. Zhou H. "The amplitude equation of the weakly nonlinear theory revisited". Eur. J. Mech. В., 1991, 10, № 2, 322.

98. Zhou Heng. "The re-examination of the weakly nonlinear theory of hydrodynamic stability". Appl. Math and Mech. (Engl Ed.), 1991, 12 № 3, 219-225.