Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений в астрофизике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М В Ломоносова Государственный астрономический институт им П К Штернберга

на правах рукописи

Журавлев Вячеслав Вячеславович

Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений в астрофизике

Специальность 01 03 02 - астрофизика и радиоастрономия

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031ТВ031

Москва, 2007 г

003178031

Работа выполнена на кафедре астрофизики и звездной астрономии физического факультета Московского государственного университета им M В Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Шакура Николай Иванович (ГАИШ МГУ, зав отделом релятивистской астрофизики)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Иногамов Наиль Алимович (ИТФ им Л Д Ландау, зав сектором физики плазмы и лазеров)

кандидат физико-математических наук

Иванов Павел Борисович (Астрокосмический центр ФИАН, научный сотрудник)

Ведущая организация-

Институт астрономии РАН

Защита состоится "10" января 2008 года в 14 часов на заседании Диссертационного

совета по астрономии МГУ им M В Ломоносова, шифр Д 501 001 86

Адрес 199991, Москва, Университетский проспект, д 13, ГАИШ, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им П К Штернберга Московского государственного университета им M В Ломоносова (Университетский пр , 13)

Автореферат разослан "07" декабря 2007 г Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501 001 86 к ф -м н

СО Алексеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопрос о гидродинамической устойчивости какого-либо астрофизического объекта является одной из часто встречающихся задач теоретической астрофизики Основным критерием существования той или иной физической конфигурации является ее устойчивость относительно бесконечно малых возмущений различного типа Наличие неустойчивости приводит к ноной динамике вещества и формированию физических систем нового вида Здесь можно привести множество примеров, начиная с известной гравитационной неустойчивости Джинса, ответственной за образование звезд и галактик, и заканчивая конвективной неустойчивостью, определяющей активность в атмосферах звезд поздних спектральных классов С неустойчивостью же сдвиговых течений напрямую связана большая и давняя проблема переноса углового момента и/или возникновения турбулентности в аккреционных дисках (Балбус, 1998) Существование в галактических и звездных системах аккрецирующих потоков вещества на сегодняшний день не вызывает сомнений Явление аккреции привлекается для объяснения множества наблюдаемых объектов, от карликовых новых до квазаров Однако теория аккреционных дисков в известной степени остается феноменологической, поскольку темп переноса углового момента и скорость энерговыделения при аккреции, достаточные для объяснения наблюдаемых характеристик астрофизических объектов, до сих пор окончательно не объяснены из фундаментальных физических соображений Наиболее адекватным действием в данной ситуации является поиск различного рода неустойчиво-стей (как в линейном, так и нелинейном приближении), способных изменить динамику аксиально-симметричного ламинарного течения, сформировавшегося вокруг тяготеющего центра и первоначально не обладающего каким-либо радиальным движением Астрофизической особенностью данной задачи является то, что в большинстве случаев приходится иметь дело с вращательным потоком, профиль угловой скорости которого близок к кеплеровскому, а значит, удельный угловой момент растет по мере удаления от оси вращения Еще Рэлеем (1916) было показано, что такое течение локально устойчиво относительно бесконечно малых возмущений с сохранением углового момента По этой причине, естественно ис-

кать растущие возмущения, которые не удовлетворяют критерию Рэлея Такими возмущениями являются глобальные (т е заданные во всем потоке) неосесимметричные возмущения При этом, если течение считается ограниченным в радиальном направлении, необходимо учесть специфичные для астрофизики свободные граничные условия Пионерские работы в данном направлении были выполнены прежде всего Папалойзу и Прин-глом (1984, 1985, 1987), которые показали, что устойчивое по критерию Рэлея тороидальное течение идеальной жидкости со свободными границами и степенным профилем угловой скорости неустойчиво относительно неосесимметричных возмущений Этот результат послужил стимулом к дальнейшему исследованию обнаруженной неустойчивости в различных гидродинамических приближениях Несмотря на многочисленные работы по данной тематике, по-прежнему отсутствует целостная картина указанного явления, и главное, неясна его роль в проблеме переноса углового момента в аккрецирующем потоке

Целью работы явилось численное исследование роста малых двумерных неосесимметричных возмущений в аксиально-симметричном течении в различных гидродинамических приближениях от несжимаемой жидкости с постоянной плотностью до стратифицированной среды с учетом конечной скорости звука При этом необходимо было изучить влияние на указанные моды возмущений как жестких, так и свободных границ Одной из главных задач также стало исследование того, как неустойчивость зависит от характера течения вблизи границ, для чего были взяты два профиля угловой скорости вращения П степенной закон с показателем степени <], использовавшийся также в более ранних работах, и рассмотренный впервые в работах автора кеплеровский закон с квази-синусоидальным отклонением, которое задавалось параметром К > О В первом случае вращение на границах некеплерово, и в граничных точках эффективная сила тяжести отлична от нуля Во втором случае, наоборот, вращение на границах происходит с кеплеровской скоростью и нулевой эффективной силой тяжести Кроме того, целью работы стало исследование модификации инкрементов растущих возмущении в наиболее общем для баротропного основного течения приближении, учитывающем как сжимаемость, так и стратификацию основного потока В последнем случае необходимо было также произвести поиск неустойчи-

вых внутренних гравитационных мод

Научная новизна работы. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми Так, впервые исследована неустойчивость аксиально-симметричного течения с кеплеровским вращением на свободных границах Показано, что в этом случае происходит стабилизация течения с профилем вращения, близким к кеплеровскому, что может оказаться существенным в проблеме формирования аккрецирующего потока В этом же случае обнаружена стабилизация звуковых возмущений, неустойчивости которых уделялось большое внимание в более ранних работах других авторов Кроме того, впервые подробно исследовано влияние стратификации основного потока на растущие моды возмущений Научная и практическая ценность работы. Ряд новых результатов, полученных в диссертационной работе, может оказаться полезным в дальнейших теоретических исследованиях динамической неустойчивости аксиально-симметричных течений, а значит, и в решении проблемы переноса углового момента в теории аккреции

Личный вклад автора в совместные работы Четыре работы из шести (номера 1, 3-5) публикаций, перечисленных в Списке публикаций по теме диссертации, выполнены в соавторстве В совместных публикациях автор участвовал на равноправной основе на всех этапах работы Автором разработан алгоритм численного решения граничных задач, рассматривавшихся в исследовании и проведена трудоемкая работа по поиску и расчету растущих мод возмущений в широком диапазоне параметров

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав и Заключения Содержит 32 рисунка и библиографию из 96 наименований Общий объем диссертации составляет 121 страницу, включая рисунки

Апробация результатов. Результаты, изложенные в диссертации, обсуждались на кафедре астрофизики и звездной астрономии физического факультета МГУ им М В Ломоносова, докладывались и опубликованы в трудах и тезисах следующих конференций

1 Научная конференция "Ломоносовские чтения", Москва (2005)

2 Всероссийская астрономическая конференция "ВАК-2005", Москва (2005)

3 Всероссийская астрономическая конференция "Астрофизика высоких энергий", Москва (2005)

4 Всероссийская астрономическая конференция "Тесные двойные звезды в современной астрофизике", Москва (2006)

5 Bulgarian-URSI School & Workshop "Waves and Turbulence Phenomena in Space Plasmas", Китен, Болгария (2006)

6 Всероссийская астрономическая конференция "ВАК-2007", Казань (2007)

Основные результаты, выносимые на защиту

1 Впервые исследована неустойчивость аксиально-симметричного течения с кеплеровским вращением на свободных границах Показано, что в этом случае всегда существует минимальное ненулевое значение амплитуды отклонения угловой скорости от кеплеровской внутри потока, при котором происходит стабилизация течения относительно бесконечно малых возмущений В то же время, в случае вращения с некеплеровской угловой скоростью на границах неустойчивость появляется при любом сколь угодно малом отклонении угловой скорости от кеплеровского значения в самом потоке

2 Обнаружена стабилизация звуковых мод неустойчивости, когда вращение становится кеплеровским на свободных границах

3 Впервые исследовано влияние стратификации в течении со свободными границами как на поверхностные гравитационные, так и на звуковые неосесимметричные моды Показано, что возрастание энтропии против направления эффективной силы тяжести в течении с профилем угловой скорости, близким к кеплеровскому, способствует стабилизации потока, несмотря на то, что не выполняется достаточное условие устойчивости по критерию Ричардсона

4 Обнаружено определяющее влияние типа граничных условий на рост внутренних гравитационных мод в стратифицированном течении В потоке, устойчивом относительно осесимметричных возмущений, неосесимметричные внутренние гравитационные моды растут только в случае

жестких границ

Содержание работы

Во Введении кратко изложено представление о теории гидродинамической устойчивости и ее приложении к астрофизическим задачам Обсуждается современное состояние вопроса динамической устойчивости аксиально-симметричных течений и его связь с проблемой переноса углового момента в аккрецирующем потоке Также уделено внимание физическим механизмам, приводящим к росту неосесимметричных возмущений во вращательных сдвиговых течениях Сделан обзор наиболее важных работ, результаты которых близки к теме диссертации Кроме того, обоснована актуальность темы настоящей диссертационной работы, сформулирована основная цель работы и ее научная и практическая значимость, представлены выносимые на защиту положения и их научная новизна При этом отмечен личный вклад автора, изложена в хронологическом порядке апробация результатов и помещен список публикаций по теме диссертации

Глава 1 посвящена общей постановке граничных задач на неустойчивость относительно двумерных возмущений с несохранением углового момента вращения В разделе 1 1 дано описание основного течения, выписаны выражения для двух профилей угловой скорости и соответствующих распределений давления и скорости звука, необходимых для исследования растущих возмущений, соответственно, в несжимаемой и сжимаемой среде Основное течение считается небароклинным, поэтому угловая скорость вращения зависит только от радиалыюи координаты (Тассуль, 1982) Сами возмущения брались в нормальном виде, те с гармонической зависимостью от азимутальной координаты и от времени ос Дана аргументация в пользу двумерного подхода к обсуждаемой задаче как в случае истинно баротропного, так и в случае псевдобаротропного течения

В разделе 1 2 уделено особое внимание формулировке граничного условия на свободной границе Изначально указанное граничное условие записывается для лагранжевых возмущений давления или энтальпии Далее с помощью связи между малыми лагранжевыми и эйлеровыми

возмущениями физических величин формулируется условие в граничных точках для эйлерова возмущения давления, деленного на плотность в основном потоке Вопрос о граничном условии на свободной границе важен в особенности при рассмотрении потока с учетом конечной скорости звука, когда на границах течения плотность равна нулю, и возникает проблема эквивалентности граничного условия и условия регулярности решения на краях потока

Наконец, в разделе 1 3 изложен алгоритм численного решения граничной задачи Расчет инкрементов растущих мод возмущений производился по-разному для несжимаемой жидкости и для среды с учетом конечной скорости звука а В первом случае основное уравнение для эйлеровых возмущений не имеет особенностей в граничных точках, и граничная задача решалась методом сведения к задаче Коши с начальными значениями Корни полученного векового уравнения находились методом прогонки по значениям частоты нормальной моды ш = шг + гш^ состоящей из реальной части ш, - фазовой скорости, и а;, - мнимой части, те инкремента

Во втором случае, когда о < оо, коэффициенты уравнения для возмущений имеют на свободных границах полюса первого и второго порядка, соответственно, для степенного закона вращения и кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением В этой ситуации решение вблизи граничных точек представлялось в виде обобщенного ряда В разделе обсуждается, что при этом, в случае степенного профиля угловой скорости, условие регулярности на решение в граничной точке всегда эквивалентно граничному условию на свободной границе Если же угловая скорость задается кеплеровским законом с квази-синусоидальным отклонением, указанное условие регулярности накладывает дополнительные ограничения на диапазон параметров, в котором могут в принципе существовать нормальные моды возмущений

В Главе 2 рост возмущений проанализирован в простейшем гидродинамическом приближении идеальной несжимаемой жидкости с постоянной плотностью Первоначально выведены общие уравнение и граничные условия (в этой главе жесткие и свободные) для трехмерных малых возмущений, с гармонической зависимостью как от азимутальной, так и от вертикальной координаты, т е , с ненулевыми волновыми числами,

соответственно, т и к Отсюда при т = 0 получалась граничная задача для возмущений с осевой симметрией, с помощью решения которой для течения, заведомо неустойчивого по критерию Рэлея, был проверен численный метод Далее, для к = 0 и двух указанных выше профилей угловой скорости (п 2 4.2 и 2 4 3) решалась граничная задача для представляющих главный интерес двумерных неосесимметричных мод На нескольких графиках, размещенных в данной главе, приведены зависимости инкрементов растущих нормальных мод от т, ([, радиальной протяженности течения го, параметра К Для кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением главный результат проиллюстрирован рис 2 7, где на плоскости параметров К и и> отображены пределы неустойчивости мод с различными т Положение кривых на графике показывает, что всегда существует минимальное ненулевое значение К, при котором происходит стабилизация течения относительно бесконечно малых возмущений Как обсуждается в заключении к главе, этот факт отличает течение с указанным профилем 51 от течения со степенной зависимостью от радиальной координаты, когда любое малое отклонение Г} от кеплеровского значения вызывает появление неустойчивости В последнем случае неустойчивость трактуется как результат резонансного взаимодействия поверхностных гравитационных мод, обладающих энергией разного знака (Голдрайх и др , 1986)

В Главе 3 рассматривается рост неосесимметричных возмущений в сжимаемой истинно баротропной среде Здесь используются только свободные граничные условия Основное уравнение выписано для эйлерова возмущения энтальпии Как было показано в более ранних работах для степенного профиля П, если существует хотя бы одна отражающая граница, учет конечной скорости звука приводит к появлению звуковой неустойчивости (Голдрайх и Нараян, 1985, Глатзел, 1987 ) В соответствии с этими результатами, при анализе неустойчивости в случае степенного закона вращения с q, близким к кеплеровскому значению, было обнаружено множество ветвей звуковой неустойчивости На рис 3 2 диссертации отображены зависимости инкрементов от радиальной протяженности основного потока для ц = 1 58 При некоторых значениях хю инкремент испытывает резкий скачок резонансного характера В обсуждении результатов расчета проведен анализ полученных зави-

симостей иг(ю) и приведены доводы в пользу того, что общая картина неустойчивости определяется совместным влиянием резонансного взаимодействия друг с другом звуковых и поверхностных гравитационных мод и резонансным взаимодействием каждой моды с основным потоком Оба вида взаимодействий происходят в тн критическом слое, где фазовая скорость моды возмущения и>г/т совпадает с угловой скоростью вращения исходного течения О (Степанянц и Фабрикант, 1996)

Далее, в п 3 5 диссертационной работы решается граничная задача для кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением Численные расчеты показали, что с этим профилем О пропадает звуковая неустойчивость Для подтверждения данного результата был взят промежуточный закон вращения так, чтобы можно было, оставляя неизменными остальные параметры, характеризующие основное течение, постепенно уменьшать до нуля величину эффективной силы тяжести де// на краях потока Результаты расчета инкремента и фазовой скорости одной из звуковых мод приведены на рис 3 10 диссертации Оказалось, что при дец —> 0, те , когда вращение на границах становится кеплеровским, и, —> 0, а ы, выходит за пределы коротационного интервала, что означает исчезновение критического слоя, наличие которого в потоке является необходимым условием для усиления возмущений (Папалойзу и Прингл, 1985) Отсутствие звуковой неустойчивости в данном случае оставляет в силе вывод, сделанный в Главе 2 по поводу стабилизации основного потока при достаточно малых К Более того, рис 3 14, помещенный в конце Главы 3, на котором, как и на обсуждавшемся выше рис 2 7, нанесены пределы неустойчивости, показывает, что диапазон устойчивости только расширяется при учете сжимаемости

В заключительной Главе 4 расчет инкрементов проведен в наиболее общем для баротропного основного течения приближении, т е как с учетом сжимаемости, так и с учетом стратификации исходного потока Основное уравнение выведено для эйлерова возмущения давления, деленного на плотность основного потока При выводе для указанной величины граничного условия на свободной границе оказалось, что оно имеет в точности такой же вид, как в случае истинно баротропного течения, исследовавшегося в Главе 3 В то же время, несмотря на то, что в соотношения между эйлеровыми возмущениями различных физиче-

ских величин теперь входят члены, пропорциональные градиенту энтропии основного потока, эквивалентность условия регулярности решения на краях течения граничному условию не зависит от наличия стратификации Единственным условием при этом является конечность энтропии и ее производных в граничных точках В связи с этим в диссертации упоминается часто встречающийся при решении подобных задач прием, когда стратификация задается политропным соотношением р ос р1 с Г -¡- 7, где 7 - показатель адиабаты На свободных границах р —> 0, энтропия не имеет в граничных точках конечного значения, и нормальные моды возмущений не удовлетворяют граничному условию

Главное внимание в этой главе было уделено неустойчивости течения со степенным профилем вращения Выло обнаружено существенное различие в поведении инкрементов растущих звуковых и поверхностных гравитационных мод при появлении радиального градиента энтропии Оказалось, что при наличии как убывающей, так и возрастающей против направления энтропии увеличивается максимальное значение ю и уменьшается минимальное значение ц, когда еще существуют растущие поверхностные моды Что касается растущих звуковых мод, то их можно разделить на три категории К первой категории относятся возмущения, инкременты которых монотонно растут по мере уменьшения степени стабилизации потока по критерию Хейланда (Тассуль, 1982) Ко второй можно отнести возмущения, инкременты которых пропадают как при положительном, так и при отрицательном градиенте энтропии Наконец, в третью категорию входят растущие возмущения, возникающие в области резонансного взаимодействия звуковых мод друг с другом, где в отсутствии стратификации ш, испытывает резкий скачок (см выше) Соответствующие инкременты наиболее сложно зависят от характерной величины градиента энтропии

Помимо расчета собственных частот растущих звуковых и поверхностных гравитационных мод в неоднородном течении для степенного закона вращения производился поиск растущих внутренних гравитационных мод Последнее было сделано также и в приближении стратифицированной несжимаемой жидкости Оказалось, что в задаче со свободными границами растущие внутренние моды существуют только в потоке, уже неустойчивом по критерию Хейланда относительно осесимметрич-

ных возмущений В случае жестких границ растущие внутренние моды были обнаружены и в устойчивом по критерию Хейланда потоке В диссертации предполагается, что подобная зависимость от граничных условий обусловлена спецификой усиления возмущений в стратифицированном течении В частности, возможность передачи энергии от основного потока к возмущениям уже определяется не только профилем завихренности основного потока в критическом слое, но и формой поля самих возмущений, которая в значительной степени зависит от характера границ течения (Троицкая и Фабрикант, 1989)

В случае, когда профиль угловой скорости задается кеплеровским законом с квази-синусоидальным отклонением, был обнаружен монотонный рост значения инкремента поверхностной гравитационной моды по мере уменьшения степени стабилизации потока по критерию Хейланда

В целом, исследование растущих неосесимметричных возмущений с одновременным учетом сжимаемости и стратификации в основном течении позволяет сделать вывод, что рост энтропии против направления эффективной силы тяжести способствует стабилизации потока, несмотря на то, что не выполняется достаточное условие устойчивости по критерию Ричардсона

Наконец, в Заключении перечислены и прокомментированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту

Список публикаций по теме диссертации

Основные результаты диссертации содержатся в следующих публикациях

1 Журавлев В В , Шакура H И , "Исследование неустойчивости ламинарных аксиально-симметричных течений с учетом сжимаемости",

2006, Тезисы докладов всероссийской астрономической конференции ''Тесные двойные звезды в современной астрофизике" (ред К А Постнов), Москва, ГАИШ МГУ, с 33

2 V Zhuravlev, "Instability of laminar axisymmetric flows'', 2006, Abstracts of Bulgarian-URSI School & Workshop "Waves and Turbulence Phenomena m Space Plasmas", Héron Press, Sofia, с 54

3 Журавлев В В , Шакура H И , "Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений идеальной несжимаемой жидкости", 2007, Письма в Астрон журн , тЗЗ, н 8, с 604-617

4 Журавлев В В , Шакура H И , "Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений идеальной жидкости с учетом сжимаемости", 2007, Письма в Астрон журн , т 33, н 10, с 754-774

5 Журавлев В В , Шакура H И , "Динамическая неустойчивость ламинарного аксиально-симметричного потока идеальной жидкости со стратификацией", 2007, Письма в Астрон журн, тЗЗ, н 11, с 802-817 (препринт arXiv 0709 1833)

6 Журавлев В В, "Динамическая неустойчивость аксиально-симметричного негомэнтропного течения идеальной жидкости",

2007, Труды конференции "ВАК-2007" (ред НА Сахибуллин), Казань, изд КГУ , с 393-394

Список литературы

[1] Балбус (Baibus S ), Rev of Mod Phys , v 70, No 1, p 1 (1998)

[2] Глатзел (Glatzel W ), MNRAS, v 228, p 77 (1987)

[3] Голдрайх и Нараяп (Goldreigh P , Narayan R), MNRAS, v 213, p 7 (1985)

[4] Голдрайх и dp (Goldreigh P , Goodman J , Narayan R ), MNRAS, v 221, p 339 (1986)

[5] Папалойзу и Прингл (Papaloizou J С В , Pringle JE), MNRAS, v 208, p 721 (1984)

[6] Папалойзу и Прингл (Papaloizou J С В , Pringle JE), MNRAS, v 213, p 799 (1985)

[7] Папалойзу и Прингл (Papaloizou J С В , Pringle JE), MNRAS, v 225, p 267 (1987).

[8] Рэлей (Lord Rayleigh ), Proc R Soc A, v 93, p 143 (1916)

[9] Степанянц Ю А , Фабрикант A Jl, Распространение волн в сдвиговых потоках, М Физматлит, 1996, 240 стр

[10] Тассуль Ж -JI, Теория вращающихся звезд, М Мир (1982)

[11] Троицкая ЮИ , Фабрикант AJI, Изв вузов Радиофизика, т32, н 10, с 1221 (1989)

Подписано в печать 05.12.2007 Формат 60x88 1/16 Объем 1 пл Тираж 100 экз Заказ № 683 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д 1 Главное здание МГУ, к А-102

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Основное течение и вид возмущений

1.2 Граничное условие на свободной границе.

1.3 Способ решения граничной задачи

1.3.1 Случай несжимаемой жидкости.

1.3.2 Случай сжимаемой жидкости.

2 Рост возмущений в приближении идеальной несжимаемой жидкости

2.1 Введение

2.2 Уравнение для возмущений и граничные условия.

2.3 Проверка численного метода: осесимметричные возмущения

2.4 Неосесимметричные возмущения

2.4.1 Растущие моды.

2.4.2 Неустойчивость кеплеровского вращения с квазисинусоидальным отклонением.

2.4.3 Неустойчивость вращения по степенному закону.

3.2 Уравнение для возмущений.53

3.3 Граничные условия и регулярность решения в граничных точках . 55

3.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения.59

3.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением.73

3.6 Заключение.81

4 Рост возмущений в течении с учетом стратификации 83

4.1 Введение .83

4.2 Уравнение для возмущений.84

4.3 Граничные условия, регулярность решения в граничных точках и профиль энтропии. 87

4.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения.92

4.4.1 Расчеты с учетом сжимаемости.92

4.4.2 Расчеты в приближении несжимаемой жидкости.100

4.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением.102

4.6 Заключение.104

Заключение 107

Введение

Вопрос о гидродинамической устойчивости различных астрофизических систем по сути является одной из наиболее часто встречающихся задач теоретической астрофизики. Главным критерием существования той или иной физической конфигурации является анализ ее устойчивости относительно бесконечно малых возмущений различного типа, т.е., в первую очередь, линейный анализ на устойчивость. Причем появление неустойчивости приводит к новой динамике вещества и формированию на нелинейной стадии физических систем нового вида. Здесь можно привести множество примеров, начиная со знаменитой гравитационной неустойчивости Джинса, ответственной в тех или иных модификациях за рост возмущений плотности в молодой Вселенной и в протозвездных облаках, и заканчивая конвективной неустойчивостью, определяющей физические процессы в атмосферах звезд. Большое приложение в астрофизике также нашла проблема неустойчивости сдвиговых течений, к примеру, вопрос о неустойчивостях в звездных и галактических джетах (Чоудхыори 1984, Биркиншоу 1996, Афанасьев и др., 2007), о неустойчивостях в различного рода пограничных слоях - в рамках магнитной гидродинамики на границе между магнитосферами планет и солнечным ветром (Шарма и Шривастава, 1992), на границах кометных хвостов (By и Ванг, 1991), наконец, о тепловых и динамических неустойчивостях в турбулентных аккреционных дисках и в галактических газовых дисках, где некоторые виды неустойчивостей ответственны за появление спирального узора (см. монографию Морозова и Хоперскова, 2005).

К задаче о гидродинамической устойчивости напрямую относится большая и давняя проблема переноса углового момента и/или возникновения турбулентности в кеплеровских аккреционных дисках (Балбус 1998). Эта проблема имеет непосредственное отношение к теме настоящей диссертации. Исторически переход от ламинарного к турбулентному движению исследовался в лабораторных условиях с конца 19 века. Первым, кто провел систематическое исследование в этом направлении, был Рейнольде, который в 1883 году ввел число .R, называемое теперь его именем и характеризующее соотношение сил инерции и вязких сил в жидкости. Он также ввел (рейнольдсовы) напряжения, характеризующие взаимодействие основного потока с наложенными возмущениями (Бэтчелор, 1973). Проведенные им эксперименты показали, что для ламинарного течения существует некоторое критическое значение R^, такое, что при R > R& течение в принципе может стать турбулентным. Это означает, что течение может оставаться и ламинарным, однако в этом случае малейшие возмущения потока вызовут быстрое развитие хаотического движения. Наоборот, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентность может оставаться при R < Re-. Данные результаты говорят о том, что переход к турбулентности - существенно нелинейный процесс, который зависит от значения амплитуд возмущений основного потока. По этой причине проблема генерации турбулентности, в том числе и в аккреционных дисках, должна решаться и решается методами нелинейной динамики. Однако значительные успехи были достигнуты и линейной теорией, т.е. рассмотрением устойчивости относительно бесконечно малых возмущений (см. книги Линь 1958, Чандрасекар, 1961, Бетчов и Криминале 1975, Дразин и Рейд, 1981, Джозеф, 1981, а также Прингл и Кинг, 2007). Часто линейная теория если и не предсказывает точных значений Rто позволяет легче понять физику развития неустойчивости. Авторы, исследующие проблему турбулентности в аккреционных дисках, часто ссылаются на классические примеры успешного решения задач об устойчивости относительно бесконечно малых возмущений для сдвиговых лабораторных течений. Это течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами, исследованное экспериментально и теоретически Тэйлором в 1923 году, плоскопараллельное течение Пуазейля, исследовавшееся аналитически

Линем (1944) и численно Томасом (1953) и пограничный слой Блазиуса, рассмотренный впервые Толлмином (1929). Но самые ранние результаты, до сих пор остающиеся одними из наиболее общих в теории гидродинамической устойчивости, были получены Лордом Рэлеем (1880, 1916). Рэлей занимался исследованиями устойчивости ламинарных, аксиально симметричных течений. В более поздней работе он открыл динамическую неустойчивость вращающейся идеальной жидкости, момент количества движения в которой падает с удалением от оси вращения. Эта неустойчивость имеет место при бесконечно малых возмущениях с сохранением момента количества движения, т.е. при аксиально симметричных возмущениях. Здесь можно говорить о локальном критерии Рэлея, который не зависит от граничных условий. В более ранней работе он изучал устойчивость аксиально симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений, при которых момент вращения в возмущенном течении не сохраняется. В этом случае для задачи с жесткими границами, коими являются стенки вращающихся цилиндров, он сформулировал необходимое условие неустойчивости исходного течения, которое заключается в знакопеременное™ производной от завихренности исходного течения. В задачах со свободными граничными условиями, имеющих непосредственное приложение в астрофизических условиях, такое необходимое условие отсутствует.

В астрофизике в большинстве случаев мы имеем дело с кеплеровыми дисками, т.е. с дисками, угловая скорость вращения в которых падает с расстоянием как а г-3/2, и, соответственно, удельный момент количества движения растет ос г1!2. Таким образом, кеплеровы диски устойчивы по локальному критерию Рэлея, что, прежде всего, гарантирует их существование. С учетом релятивистских эффектов вблизи черных дыр и компактных нейтронных звезд существует радиус последней устойчивой круговой орбиты такой, что на более близких расстояниях удельный момент количества движения растет с уменьшением радиальной координаты. Внутри радиуса последней устойчивой орбиты частицы падают по спирали на тяготеющий центр с сохранением момента количества движения. В лабораторных экспериментах наличие жестких стенок в течениях с падающим наружу моментом количества движения приводит (с учетом конечной вязкости) к возникновению нового, стационарного течения, которое представляет собой тороидальные вихри Тэйлора (1923). В общем случае наличие жестких границ в лабораторных экспериментах и отсутствие таковых в большинстве астрофизических задач приводит к принципиально разным результатам в задачах устойчивости аксиально симметричных течений. Поэтому не всегда имеет смысл обобщать результаты, полученные в лаборатории (см. напр. Джи и др. 2006), на задачи астрофизики.

Наиболее адекватным в данной ситуации явилось изучение устойчивости аксиально симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений. Пионерские работы в этом направлении были прежде всего выполнены Папалойзу и Принглом (1984, 1985, 1987), которые показали, что тороидальное течение идеальной жидкости со свободными границами в ньютоновском гравитационном потенциале неустойчиво относительно возмущений указанного типа. Этот результат послужил стимулом к дальнейшему исследованию обнаруженной неустойчивости. В большинстве работ авторы ограничивались решением линейной задачи без учета вязкости. В различных приближениях либо рассматривалось поведение так называемых нормальных мод возмущений, которые в силу стационарности основного потока имеют экспоненциальную зависимость от времени, либо решалась задача с произвольными начальными возмущениями.

Так, например, Блаес и Глатзел (1986) рассмотрели простейшую модель цилиндрического (т.е. с пренебрежением зависимостью от вертикальной координаты) изомоментного течения несжимаемой жидкости со свободными границами и получили инкременты для нормальных мод, сравнимые по величине с кеплеровской частотой. В работе Голдрайха и др. (1986) было показано, что длинноволновые нормальные моды в тонком торе со свободными границами и степенным профилем вращения О, ос r~q растут как в случае сжимаемой, так и в случае несжимаемой жидкости, причем задача эквивалентна узкому цилиндрическому течению с заменой трехмерного индекса политропы п на двумерный N = п + 1/2. Кроме того, оказалось, что тонкий сжимаемый тор становится устойчивым при q < \/3. Приближение цилиндрического течения несжимаемой жидкости использовалось Ярошинским (1988) и Секийей и Мийамой (1988). Последние получили аналитическое выражение для инкремента возмущений в случае узкого зазора. Наконец, Глатзел (1987а), также пренебрегая вертикальной структурой потока, изучил неустойчивость относительно нормальных мод течения сжимаемой жидкости произвольной протяженности в радиальном направлении. Здесь стоит упомянуть и работу Ханавы (1987b), в которой было рассмотрено такое же течение, но с жесткими границами и квазикеплеровским законом вращения. После указанных исследований стало понятно, что поток жидкости, вращающийся вокруг тяготеющего центра и обладающий свободными границами, способен вызвать рост поверхностных волн, для которых не важна сжимаемость, и звуковых колебаний, взаимодействующих с помощью резонансного механизма на радиусе коротации, где фазовая скорость моды возмущения равна скорости вращения основного потока (см. по этому поводу, напр., Голдрайх и Нараян (1985), Нараян и др. (1987), Глатзел (1987b), Глатзел (1988), Друри (1985), Като (1987)). Численный расчет нормальных мод в тороидальном течении произвольного размера с положительным градиентом углового момента был проведен Коджимой (1989) и подтвердил предыдущие результаты, одновременно показав, что учет вертикальных движений в возмущенном течении незначительно влияет на поведение инкрементов. Это, в свою очередь, оправдало упрощенный двумерный подход к решению задачи на собственные значения в случаях, когда угловая скорость вращения основного потока зависит только от г (см. обсуждение в статье Коджимы). Задача с произвольными начальными возмущениями рассматривалась, например, Франком и Робертсоном (1988). Наконец, исследование неосесимметричных мод на нелинейной стадии было выполнено Зуреком и Бенцом (1986), которые показали, что в результате роста возмущений изначально изомоментное течение после перераспределения углового момента переходит в течение с усредненным законом вращения ос г-175, а также Хаули (1987, 1990), обнаружившим что тонкий тор в результате нелинейной эволюции нормальных мод превращается в конфигурацию, состоящую из нескольких слабо связанных уплотнений ("планет"), число которых равно азимутальному числу m начального возмущения. В более поздней работе Хаули (1991) рассмотрел трехмерные неосесимметричные возмущения в протяженном толстом торе и получил, что в этом случае образуется сильная спиральная волна давления, возбуждающая аккрецию. В ряде других работ обсуждалось влияние аккреции (что для идеальной жидкости возможно, когда внутренняя граница диска находится на уровне последней устойчивой орбиты в метрике Шварцшильда) на рост неосесимметричных возмущений (см. Блаес 1987, Гэт 1992). В них обсуждалось, что в данном случае возможна самоподдержка аккреции: неосесимметричные моды порождают аккрецию, которая в свою очередь сдерживает их рост, что приводит к некоей стационарной картине радиального движения вещества.

В упомянутых до сих пор работах поток жидкости считался истинно баротропным, т.е. подразумевалось, что как невозмущенном, так и возмущенном течении выполняется одна и та же связь между давлением и плотностью р(р). Однако в реальных условиях возможно существенное влияние стратификации среды, когда в результате нагрева или охлаждения вещества может появиться крупномасштабный градиент энтропии.

Говоря об опубликованных в астрофизической литературе исследованиях по неустойчивости стратифицированного течения относительно неосесимметричных возмущений, стоит упомянуть, например, работу Франка и Робертсона (1988), где рассматривалась неустойчивость торов в задаче со случайными начальными возмущениями, и работу Коджимы и др. (1989), в которой изучались как тороидальные, так и цилиндрические течения. Заметим, что в обоих случаях были получены схожие результаты, а трехмерные растущие моды возмущений в тороидальном потоке оказались слабо зависящими от вертикальной координаты. Сами авторы, как и в работе Коджимы (1989), объяснили это тем, что когда угловая скорость вращения зависит только от радиального направления, напряжения Рейнольдса, ответственные за передачу энергии от основного потока к возмущениям, не содержат вертикальной компоненты возмущения скорости. Далее, Глатзел (1990) рассмотрел неустойчивость цилиндрического и плоско-параллельного течений в приближении малой величины сдвигового слоя. Для того, чтобы исключить растущие звуковые и поверхностные гравитационные моды, он считал жидкость несжимаемой, а границы жесткими, задавая при этом профиль переменной плотности. Полученная неустойчивость трактовалась им как результат усиления внутренних гравитационных мод, всегда существующих в неоднородном потоке. Несколько позже Гош и Абрамович (1991) рассмотрели цилиндрическое течение, состоящее из двух жидкостей разной плотности, расположенных так, чтобы основной поток был устойчив по Рэлею-Тейлору. Помимо модифицированной ветви растущей поверхностной гравитационной моды, появляющейся из-за наличия свободных границ (Блаес и Глатзел, 1986), была обнаружена ветвь неустойчивости, связанная именно с разрывами плотности в невозмущенной конфигурации. Эта неустойчивость вызвана растущей внутренней гравитационной модой, которая, однако, аналогична растущей поверхностной моде, т.к. поверхность раздела двух жидкостей отличается от свободной поверхности лишь конечным отношением плотностей. Говоря о более поздних публикациях, нельзя не упомянуть о результатах Лавлейса и др. (1999) и Ли и др. (2000). В этих работах в двумерном приближении была рассмотрена устойчивость тонких кеплеровских дисков с локальным максимумом энтропии. В частности, для локальных растущих неосесимметричных возмущений было получено дисперсионное соотношение, схожее с дисперсионным соотношением для волн Россби. Кроме того, Клар и Боденхаймер (2003) исследовали неустойчивость кеплеровских дисков с энтропией, падающей на периферию.

В задачах об устойчивости стратифицированных течений фундаментальную роль играет критерий Ричардсона. Изначально он был получен для плоско-параллельных течений (см., напр. Ховард, 1961). В этом случае для устойчивости потока относительно бесконечно малых возмущений достаточно, чтобы везде в потоке число Ричардсона Ri было больше 1/4. Обобщение же критерия Ричардсона на случай аксиально-симметричного бароклинного течения, когда угловая скорость вращения зависит как от радиальной, так и от вертикальной координаты, было получено Фуджимото (1987) в приближении несжимаемой жидкости и Ханавой (1987а) с учетом сжимаемости.

Упомянем здесь о еще одном критерии устойчивости, относящемся к вращательным течениям со стратификацией. Речь идет о критерии Хейланда (см., напр., Тассуль, 1982) , который говорит об устойчивости относительно малых возмущений с осевой симметрией. Для двумерных течений без вертикальной структуры он является обобщением критерия Рэлея и отражает факт совместного стабилизирующего действия момента вращения, растущего на периферию и растущей против направления эффективной силы тяжести энтропии.

Отдельным важным вопросом является причина возникновения неустойчивости относительно обсуждаемых неосесимметричных мод возмущений. Наглядная физическая интерпретация механизмов усиления малых колебаний позволяет получить общую картину роста возмущений, а также, может помочь в поиске новых типов неустойчивостей (Степанянц и Фабрикант, 1996). В основе передачи энергии от основного течения к возмущениям (или, наоборот, что соответствует затухающим колебаниям) лежат два механизма. Прежде всего это аналог механизма затухания Ландау (см. Ландау и Лифшиц, 2003), широко известного в физике плазмы. В его основе лежит резонансное взаимодействие какой-либо глобальной моды возмущения с исходным течением в т.н. критическом слое, где фазовая скорость волны возмущения равна скорости потока. Данный механизм действует в течениях разной геометрии (напр., и в плоско-параллельных, и во вращательных движениях). Необходимым условием для него является отличная от нуля производная завихренности основного потока в критическом слое (который для вращательных течений также называется радиусом коротации), что позволяет моде возмущения забирать или отдавать энергию основному потоку. Завихренность непостоянна вдоль течения, когда существует радиальный градиент удельного углового момента.

Однако, хорошо известно, что, к примеру изомоментное течение жидкости со свободными границами неустойчиво относительно поверхностных гравитационных мод (см. ссылки, данные выше). В этом случае первый механизм не может работать, т.к. завихренность основного течения просто равна нулю. Глатзел (1987b) со ссылкой на оригинальную работу Кейрнса (1979) выделил в отдельный способ возникновения неустойчивости резонансное взаимодействие мод с энергией разного знака. Поток энергии от моды, обладающей отрицательной энергией, к моде с положительной энергией вызывает рост амплитуд у обеих мод. С помощью данного механизма удалось обьяснить полученные в численном расчете зоны неустойчивости изомоментного течения как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. Оказалось, что на графике зависимости фазовой скорости мод от радиальной протяженности течения ветви первоначально нейтральных колебаний при совпадении фазовых скоростей превращаются в затухающее и растущее возмущение. Это имеет место и для поверхностных гравитационных мод, которые остаются в пределе бесконечно большой скорости звука, и для звуковых мод. В трактовке Глатзела все моды делятся на два сорта, принадлежат двум разным границам и имеют либо положительную, либо отрицательную энергию. Когда при некоторой ширине зазора фазовые скорости разных ветвей, а значит, и коротационные области, почти совпадают, происходит так называемое спаривание мод и возникает неустойчивость резонансного характера.

Обсуждаемый механизм был наиболее подробно рассмотрен в работе Глатзела (1988), посвященной неустойчивости сдвигового слоя сжимаемой жидкости с постоянной завихренностью, находящегося между двумя полубесконечными потоками, обладающими различными постоянными скоростями. В пределе бесконечно узкой толщины сдвига получаем течение с разрывом скорости, которое абсолютно неустойчиво по Кельвину. Глатзел рассмотрел влияние сжимаемости и перепада плотностей на краях сдвигового слоя на общую картину неустойчивости. По величине перепада плотности были рассмотрены три варианта: плотность вне слоя сдвига очень велика, что соответствовало жестким граничным условиям, плотность вне слоя сдвига равна нулю, что соответствовало свободным граничным условиям, и, наконец, отношение плотностей порядка единицы. Последний случай разрешает распространение звуковых волн и, соответственно, уход или приход энергии с бесконечности. Автор показал, что в этом случае звуковые моды, отвечающие вдалеке от сдвигового слоя убегающим на бесконечность волнам, имеют положительную энергию и, поскольку, теряют ее на излучение, то затухают. С другой стороны, моды типа Кельвина-Гельмгольца, остающиеся в пределе несжимаемой жидкости, оказываются растущими, т.к. имеют отрицательную энергию. Автор также проводит сравнение рассмотренного плоскопараллельного течения с аксиально-симметричным изомоментным потоком. Действительно, карты фазовых скоростей звуковых и КГ- мод в первом случае качественно совпадают с аналогичными зависимостями для звуковых и поверхностных гравитационных мод во втором случае.

В случае, когда задача усложняется наличием градиента энтропии или магнитного поля (см. Гош и Абрамович 1991, Глатзел 1990, 1991, Коджима и др. 1989, Огилви и Прингл, 1996, Рюдигер и Зан, 2001), появляются новые виды колебаний с энергией разного знака, которые могут также порождать новые зоны неустойчивостей. При появлении градиента углового момента начинает работать механизм резонансного взаимодействия с потоком, и моды колебаний, даже вдалеке от областей спаривания, становятся затухающими или растущими. Таким образом, в общем случае картина неустойчивости определяется совместным действием обоих механизмов. Кроме того, нарастание колебаний с отрицательной энергией вне зон спаривания могут обеспечивать и другие механизмы, отбирающие у них энергию. Это может быть, к примеру, вязкая диссипация или излучательная неустойчивость (Степанянц и Фабрикант, 1996).

Наконец, упомянем о еще одном механизме, усиливающем возмущения, - механизме сверхотражения. С данным явлением приходится сталкиваться в задачах, где рассматривается распространение волн в сдвиговых потоках. Сверхотражение от областей со сдвиговым течением может происходить с волнами самой различной природы, например, со звуковыми волнами на сверхзвуковом разрыве скорости (Майлс, 1957, Рибнер, 1957) либо при взаимодействии со струей с переменной завихренностью (Андронов и Фабрикант, 1980), или с внутренними гравитационными волнами в аналогичной ситуации (Маккензи, 1972, Линдзен и Баркер, 1985, Троицкая и Фабрикант, 1987). В приложении к астрофизическим дискам в двумерном подходе в некоторых работах в WKB-приближении изучалось сверхотражение от запрещенной для распространения коротковолновых мод области течения вблизи радиуса коротации (см. Марк 1976, Голдрайх и Нараян 1985, Нараян и др. 1987). Сверхотражение естественным образом обьясняется либо резонансным взаимодействием с потоком, либо в рамках концепции волн с отрицательной энергией. Так, в последних упомянутых работах было показано, что при определенных условиях с разных сторон от точки коротации коротковолновые моды могут иметь положительную и отрицательную энергию. Тогда волна, например, с положительной энергией, распространяющаяся по радиальной координате, достигает запрещенной области и делится на отраженную и прошедшую волну. Поскольку прошедшая волна обладает отрицательной энергией, то в отраженной волне амплитуда увеличивается по сравнению с амплитудой первоначально падавшей волны. Коэффициент усиления пропорционален вероятности туннелирования через запрещенную область. Если со стороны падающей волны наложить граничное условие полного отражения (например, равенство нулю радиальной компоненты возмущения скорости, т.е. жесткую границу или равенство нулю возмущения давления, т.е. свободную границу), то в получившемся резонаторе WKB-моды будут расти. Однако данный механизм работает только для звуковых колебаний, поскольку в выражение для вероятности подбарьерного перехода входит скорость звука, и когда последняя стремится к бесконечности, что соответствует пределу несжимаемой жидкости, подбарьерный переход невозможен. Заметим, кроме того, что если скорость звука стремится к нулю, то достигается тот же результат, т.е. сверхотражение (как, впрочем, и распространение самих звуковых волн) становится невозможным.

Важно подчеркнуть, что во всех перечисленных работах изучалась устойчивость аксиально симметричных потоков со степенным профилем угловой скорости вращения ос r~q (1.5 < q < 2). Такой закон приводит к некеплеровскому вращению на границах течения. Однако в принципе возможны профили угловой скорости вращения с нулевым градиентом давления на границах. Настоящая диссертация посвящена исследованию неустойчивости аксиально-симметричного течения идеальной жидкости относительно двумерных неосесимметричных бесконечно малых возмущений в плоскости, перпендикулярной оси вращения основного потока. Новым шагом в изучении роста неосесимметричных мод стало то, что наряду со стандартным предположением о том, что угловая скорость падает с г степенным образом, был рассмотрен второй закон вращения, задаваемый кеплеровской частотой с квази-синусоидальным отклонением. Для него, в отличии от первого закона Щг), на границах течения скорость вращения равна кеплеровской. В первой главе настоящей диссертации будет произведена постановка задачи: подробно описано основное течение, неустойчивость которого предстоит исследовать, вид возмущений, которые будут наложены, а также способ решения итоговой граничной задачи. Вторая, третья и четвертая главы диссертации соответствуют различным гидродинамическим приближениям. В первой главе жидкость считается несжимаемой. Это простейшее приближение позволяет исследовать наиболее общие динамические свойства основного течения и получить предельные по отношению последующим приближениям решения задачи на устойчивость. Кроме обычных свободных граничных условий, здесь будут рассмотрены также жесткие граничные условия, которые не запрещают существование неустойчивости для второго закона вращения (по необходимому условию Рэлея). Во второй главе учтена сжимаемость жидкости. Заметим, что в рассматриваемой задаче, вообще говоря, нельзя пренебрегать изменением плотности в возмущенном течении, т.к. в случае двух свободных границ скорость сдвигового течения всегда оказывается сравнимой со скоростью звука. Наконец, в третьей главе учтен возможный ненулевой радиальный градиент энтропии. Результаты третьей главы как для степенного закона вращения, так и для кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением, целиком получены впервые.

Заключение

В настоящей диссертационной работе была рассмотрена динамическая неустойчивость ламинарного аксиально-симметричного течения конечной протяженности в радиальном направлении. Предполагалось, что поток жидкости находится во внешнем гравитационном потенциале, и главное внимание было уделено случаю с двумя свободными границами. Две упомянутых особенности характерны именно для астрофизической задачи, и, как было выяснено, играют немаловажную роль в картине неустойчивости наряду с главным физическим фактором, приводящим к росту неосесимметричных возмущений -сдвиговости течения. Граничная задача на поиск растущих нормальных мод решалась в нескольких приближениях: от наиболее простого приближения однородной несжимаемой жидкости до приближения стратифицированного потока с учетом сжимаемости. При этом, среда считалась идеальной, т.е. не учитывалась диссипация энергии и какая-либо теплопередача. Последнее отражено и в названии настоящей работы: исследовалась именно динамическая неустойчивость течения.

Особенностью работы явилось то, что впервые была изучена неустойчивость течения жидкости с кеплеровским вращением на границах, т.е. с равной нулю на границах эффективной силой тяжести ре//, а значит, и градиентом давления (в случае несжимаемой жидкости), градиентом энтальпии (в случае гомэнтропного течения) и градиентом давления, деленном па плотность (в случае негомэнтропного течения). Конкретный профиль угловой скорости вращения ft, отражающий указанную возможную ситуацию в реальном газовом потоке, задавался законом (1.3). В главе 2 без учета сжимаемости было показано, что когда вращение основного потока происходит по указанному закону, всегда существует минимальное ненулевое значение амплитуды отклонения угловой скорости от кеплеровской внутри потока К = Ккр > 0, после которой происходит стабилизация течения, в то время как в случае вращения по степенному закону (1.4), т.е. с некеплеровской угловой скоростью на границах, неустойчивость появляется при любом сколь угодно малом отклонении угловой скорости от кеплеровского значения в самом потоке. Из этого был сделан вывод, что равная нулю на свободной границе эффективная сила тяжести geff способна стабилизировать течения с профилем близким к кеплеровскому.

Более того, с учетом сжимаемости данный вывод остается справедливым, поскольку возможная звуковая неустойчивость, обнаруженная в многочисленных работах для степенного профиля вращения, отсутствует, когда geff = 0 на свободных границах. Данный факт является вторым новым результатом, полученным в диссертационной работе.

В приближении истинно баротропного (гомэнтропного) течения с учетом сжимаемости также подробно проанализирована общая картина неустойчивости для степенного закона Q. Показано, что поведение растущих мод естественно обьясняется совместным влиянием резонансного взаимодействия с основным потоком каждой нормальной моды и попарного резонансного взаимодействия звуковых и поверхностных гравитационных мод друг с другом. В частности, когда вращение близко к кеплеровскому (т.е. q близко к 3/2), при определенных значениях параметров граничной задачи за счет резонансного взаимодействия звуковых возмущений возникает значительное увеличение инкрементов, имеющее вид резких пиков.

Отдельный вопрос представляло само решение граничной задачи с учетом сжимаемости, когда на свободной границе коэффициенты соответствующего дифференциального уравнения имеют полюса. При этом возникала проблема эквивалентности граничного условия и условия регулярности решения в граничных точках rj и гг. Оказалось, что в случае некеплеровского вращения в г\ и г2 два этих условия всегда удовлетворяются одновременно, если только возможная переменная по г энтропия и ее производные конечны в граничных точках. Последнее не выполняется на свободной границе, если, например, в основном течении псевдобаротропность задается политропным законом р ос рт с Г ф 7, где 7 - показатель адиабаты в среде.

Наконец, рост нормальных мод возмущений был исследован в наиболее общем для изоэнтропийного течения приближении, когда во внимание принимается и сжимаемость жидкости, и градиент энтропии по направлению эффективной силы тяжести. Впервые показано существенно различное поведение звуковых и поверхностных гравитационных мод под действием стратификации основного потока. В частности, для степенного закона вращения, как при падающей, как и при возрастающей энтропии против направления gувеличивается максимальное значение радиальной протяженности потока w и уменьшается минимальное значение q, при которых исчезают растущие поверхностные гравитационные моды. В то же время, различные ветви звуковой неустойчивости ведут себя по-разному. Инкременты некоторых из них монотонно растут по мере уменьшения степени стабилизации по критерию Хейланда (4.16). Инкременты же другой части звуковых мод зануляются как при положительном, так и при отрицательном градиенте энтропии. Наконец, наиболее сложное поведение проявляют инкременты, соответствующие резонансному взаимодействию звуковых возмущений.

Вместе с тем, численный расчет показывает, что достаточно сильный рост энтропии против направления geff приводит к стабилизации течения относительно всех ветвей звуковой неустойчивости. Последнее означает, что при тех значениях параметров задачи, когда отсутствуют растущие поверхностные гравитационные моды, течение вообще будет устойчиво относительно малых возмущений. Такое утверждение подкрепляется тем, что в потоке со свободными границами, устойчивом по критерию Хейланда, не было обнаружено растущих внутренних гравитационных мод. Оказалось, что усиление этого вида возмущений существенно зависит от типа граничных условий. Именно, рост внутренних гравитационных мод в устойчивом относительно осесимметричных возмущений потоке был обнаружен только в жесткими границам, причем поиск производился как в сжимаемой, так и несжимаемой жидкости.

В завершении хотелось бы отметить, что проведенное исследование позволило взглянуть на газовые течения, имеющие место в астрофизике, в чисто гидродинамическом аспекте, а именно, уделить внимание их динамической неустойчивости. Последняя, несомненно, должна играть не последнюю, в основном еще невыясненную, роль в радиальном переносе углового момента в аккрецирующей среде. Столь разнообразное поведение малых возмущений в аксиально-симметричных течениях обязано своим существованием главной особенности - сдвиговости потока. И хотя в реальной астрофизической ситуации, безусловно, необходим учет переноса энергии излучением, взаимодействия вещества с магнитными полями и других усложняющих теоретический анализ факторов, именно градиент угловой скорости вращения - то основное свойство, которое обьединяет аксиально-симметричные астрофизические течения, будь то протопланетный газовый диск около маломассивной звезды, или аккрецирующий поток в окрестности галактической черной дыры.

1. Андронов А.А., Фабрикант A.JL, В сб.: Нелинейные волны под ред. Гапонова А.В., М.: Наука, стр. 68 (1979).

2. Андронов А.А., Фабрикант A.JL, Акустический журнал, т.26 стр. 817 (1980).

3. Афанасьев и др. (Афанасьев B.JL, Додонов С.Н., Храпов С.С., Мусцевой В.В., Моисеев А.В.), Астрофиз. бюллетень, т.62, с.5 (2007).

4. Абрамович и др. (Abramowicz М.А., Blaes О.М., Ghosh P.), ApJ, v.323, p.629 (1987).

5. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F.), v.376, p.214 (1991).

6. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F.), v.376, p.223 (1991).

7. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F., Stone J.M.), Ap.J., v.464, p.364 (1996).

8. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F., Stone J.M.), Ap.J., v.467, p.76 (1996).

9. Биркиншоу (Birkinshaw M.), Astrophysics ans Space Science, v.242, p.17, (1997).

10. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.212, p.37 (1985).

11. И. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.216, p.553 (1985).

12. Блаес и Глатзел (Blaes О. M., Glatzel W.), MNRAS, v.220, p.253 (1986).

13. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.227, p.975 (1987).

14. Блаес и Хаули (Blaes О.М., Hawley J.F.), Ap.J., v.326, p.227 (1988).

15. Блэидфорд др. (Blandford R.D., Jaroszynski M., Kumar S.), MNRAS, v.215, p.667 (1985).

16. Дж. Бэтчелор, Введение в динамику жидкости, М. Мир, (1973).

17. Бэтчов Р., Криминале В., Вопросы гидродинамической устойчивости, М. Мир (1971).

18. By и Ванг (Wu D., Wang D.), MNRAS, v.250, p.760 (1991).

19. Д. Джозеф, Устойчивость движений жидкости, М. Мир (1981).

20. Джонсон и Гамми (Johnson В.М., Gammie C.F.), Ap.J., v.626, p.978 (2005).

21. Дрэзин и Рейд (Drazin P.G., Reid W.H.), Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press (1981).

22. Друри (Drury L.O'C.), MNRAS, v.193, p.337 (1980).

23. Друри (Drury L.O'C.), MNRAS, v.217, p.821 (1985).

24. Тэт и JIueuo (Gat О., Livio M.), Ap.J., v.396, p.542 (1992).

25. Гош и Абрамович (Ghosh P., Abramowicz M.A.), Ap.J., v.366, p.221 (1991).

26. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.225, p.227 (1987a).

27. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.228, p.77 (1987b).

28. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.231, p.795 (1988).

29. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.242, p.338 (1990).

30. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.303., p.107 (1999).

31. Голдрайх и Нараян (Goldreigh P., Narayan R.), MNRAS, v.213, p.7 (1985).

32. Голдрайх и др. (Goldreigh P., Goodman J., Narayan R.), MNRAS, v.221, p.339 (1986).

33. Горькавый H.H. и Фридман A.M., Физика планетных колец, М. Наука, 1994, 352 стр.

34. Гош и Абрамович (Ghosh P., Abramowicz М. A.), ApJ, v.366, р.221 (1991).

35. Гудман и Нараян (Goodman J., Narayan R.), MNRAS, v.231, p.97 (1988).

36. Голдрайх и Тремэйн (Goldreich P., Tremane S.), Ap.J., v.222, p.850 (1978).

37. Гудман и др. (Goodman J., Narayan R., Goldreich P.), MNRAS, v.225, p.695 (1987).

38. Джи и dp. (Ji H., Burin M., Schartman E., Goodman J.), Nature, v.444, p.343 (2006).

39. Зурек и Беиц (Zurek W.H., Benz W.), ApJ, v.308, p.123 (1986).

40. Като (Kato S.), Publ. Astron. Soc. Japan, v.39, p.645 (1987).

41. Кейрнс (Cairns R.A.), J. Fluid Mech., v.92, p 1, (1979).

42. Клар и Боденхеймер (Klahr H.H., Bodenheimer P.), Ap.J., v.582, p.869 (2003).

43. Клар (Klahr H.), Ap.J., v.606, p.1070 (2004).

44. Коджима (Kojima Y.), MNRAS, v.236, p.589 (1989).

45. Коджима и др. (Kojima Y., Miyama S.M., Kubotani H.), MNRAS, v.238., p.753 (1989).

46. Кочин H.E., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М. Наука (1965).

47. Лавлейс и др. (Lovelace R.V.E., Li Н., Golgate S.A., Nelson A.F.), Ap.J., v.513, p.805 (1999).

48. Ландау JI.Д. и Лифшиц Е.М., Гидродинамика, М. Наука (2003).

49. Линден-Белл и Острайкер (Linden-Bell D., Ostriker J.P.), MNRAS, v.136, р.293 (1967).

50. Ли и др. (Li Н., Finn J.M., Lovelace R.V.E., Colgate S.A.), Ap.J., v.523, p.1033 (2000).

51. Ли и др. (Li L.-X., Goodman J., Narayan R.), Ap.J., v.593, p.980 (2003).

52. Линь (Lin C.C.), Q. Appl. Math., v.3, p.117 (1945).

53. Линь Ц.-Ц., Теория гидродинамической устойчивости, М. Ин. лит., (1958).

54. Марк (Mark J.W.-K.), Ap.J., v.205, р.363 (1976).

55. Нараян и др. (Narayan R., Goldreigh P., Goodman J.), MNRAS, v.228, p.l (1987).

56. Огилви и Прингл (Ogilvie G.I., Pringle J.E.), MNRAS, v.279, p.152 (1996).

57. Папалойзу и Линь (Papaloizou J.C.B., Lin D.N.C.), Annu. Rev. As-tron. Astrophys., v.33, p.505 (1995).

58. Прингл (Pringle J.E.), MNRAS, v.177, p.65 (1976).

59. Прингл и Кинг (J. Pringle, A. King), Astrophysical Flows, Cambridge University Press (2007).

60. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.208, p.721 (1984).

61. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.213, p.799 (1985).

62. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.225, p.267 (1987).

63. Петкевич В.В., Основы механики сплошных сред, М. Эдиториал УРСС (2001).

64. Рэлей (Lord Rayleigh ), Proc. London Math. Soc., v. 11, p.57 (1880).

65. Рэлей (Lord Rayleigh ), Proc. R. Soc. A, v.93, p. 143 (1916).

66. Рюдигер и Зан (Rudiger G., Zhang Y.), Astron. Astrophys., v.378., p.302 (2001).

67. Савопъе и Хемскерк (Savonije G.J., Heemskerk M.H.M.), Astron. Astrophys., v.240, p-191 (1990).

68. Секийа и Мийама (Sekiya M., Miyama S.), MNRAS, v.234, p.107 (1988).

69. Степанянц Ю.А., Фабрикант A.JI., Распространение волн в сдвиговых потоках, М. Физматлит, 1996, 240 стр.

70. Сюняев и Шакура (Syunyaev R.A., Shakura N.I.), Sov., Astron., Lett., v.l, no.4 (1975).

71. Тассуль Ж.-Л., Теория вращающихся звезд, М. Мир (1982).

72. Тимофеев А.В., УФН, т.102, с.185 (1970).

73. Тимофеев А.В., Физика Плазмы, т.5, с.705 (1979).

74. Томас (Thomas L.H.), Phys. Rev.,v.91, no.4 (1953).

75. Толлмин (Tollmien W.) Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamik und verwandte Gebiete, Aachen, S.18 (1929).

76. Троицкая Ю.И., Фабрикант А.Л., Препринт/ИПФ АН СССР, н.171, с.24 (1987).

77. Троицкая Ю.И., Фабрикант А.Л., Изв. вузов: Радиофизика, т.32, н.Ю, с.1221 (1989).

78. Тэйлор (Taylor G.I.), Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, v.223, p.289 (1923).

79. Франк и Робертсон (Frank J., Robertson J.A.), MNRAS, v.232, p.l (1988)

80. Фуджимото (Fujimoto M.Y.), Astron. Astrophys., v.176, p.53 (1987).

81. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys, v.179, p.383 (1987a).

82. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys., v.185, p.160 (1987b).

83. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys., v.206, p.79 (1988).

84. Хаули (Hawley, J.F.), MNRAS, v.225, p.677 (1987).

85. Хаули (Hawley J.F.), Ap.J., v.356, p.580 (1990).

86. Хаули (Hawley J.F.), Ap.J., v.381, p.496 (1991).

87. Ховард (Howard L.N.), J. Fluid Mech., v.10, p.496 (1961).

88. Хаули и др. (Hawley J.F., Gammie C.F., Balbus S.A.), ASP Conference Series, v.54 (1994).

89. Франк и Робертсон (Frank J., Robertson J.A.), MNRAS, v.232, p.l (1988).

90. Чандрасекар (Chandrasekhar S.), Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford Univ. Press (1961).

91. Чурилов C.M. и Шухман И.Г., Астрономический циркуляр, н.1157, с.1 (1981).

92. Чоудхъюри и Лавлейс (Choudhury S.R., Lovelace R.V.E.), Ap.J., v.283, p.331 (1984).

93. Шакура и Сюняев (Shakura N.I., Sunyaev R.A.), MNRAS., v.175, p.613 (1976).

94. Шарма и Шривастава (Sharma А.С., Srivastava K.M.), Astrophysics and Space Science, v.197., p.43 (1992).

95. Ярошинский (Jaroszynski M.), MNRAS, v.220, p.869 (1986).

96. Ярошинский (Jaroszynski M.), Acta Astronomica, v.38, p.289 (1988).