Об абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на фильтрованных вероятностных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

Урусов Михаил Александрович

ОБ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И СИНГУЛЯРНОСТИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР НА ФИЛЬТРОВАННЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2003

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, профессор А.Н. Ширяев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.M. Зубков доктор физико-математических наук, профессор В.Ю. Королев

Ведущая организация:

Центральный Экономико-Математический Институт РАН (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится ".

. 2003 г. в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ".

2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Т.П. Лукашенко

2ЛО-5-А i ? ¿5/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В диссертации рассматриваются вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер на фильтрованных вероятностных пространствах. Следствиями полученных результатов являются необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для распределений решений стохастических дифференциальных уравнений (ниже просто СДУ), для распределений процессов Леви и для распределений процессов Бесселя.

Вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности двух вероятностных мер, индуцируемых случайными процессами, представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и для приложений к математической статистике. Одними из первых результатов в этом направлении были известные альтернатива Какутани1 и альтернатива Гаека-Фельдмана2,3. По мере развития теории мартингалов и стохастического исчисления изучение вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности стало возможным для широкого класса случайных процессов: точечных процессов, диффузионных процессов, процессов с независимыми приращениями4 ...

Точечные процессы и мультивариантные точечные процессы рассматривались в работах Кабанова, Липцера и Ширяева5'6.

Вопросами абсолютной непрерывности и сингулярности для диффузионных процессов занимались многие авторы: Хитсуда7, Кадота

1S. Kakutani. On equivalence of infinite product measures. — Annals of Mathematics, 49 (1948), pr214-224.

2 J. Feldman. Equivalence and perpendicularity of Gaussian measures. — Pacific Mathematical Journal, 8 (1958), p. 699-708.

3 J. Hdjek. On a property of normal distribution of an arbitrary stochastic process. — Czech Mathematical Journal, 8 (1958), p. 610-618.

4Ж. Жаков, A.H. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов, Гл. IV, § 4а-§ 4с. М.: Фиэматлит, 1994.

sYu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Martingale methods in the theory of point processes. — Proc. School-Seminar (Druskininkai) Ac. Sci. Lit. SSR, Vilnius, 1975, II, p. 269-354.

6Yu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Criteria of absolute continuity of measures corresponding to multivariate point processes. — Proc. 3rd Japan-USSR symp., Lecture Notes in Mathematics, 550 (1976), p. 232-252.

7M. Hitsuda. Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener processes.

и Шепп8, Кайлат9, Ершов10, Липцер и Ширяев11, ... Эти результаты просуммированы и дополнены авторами в монографии Липцера и Ширяева12 (см., также, монографию Жакода и Ширяева13).

Процессы с независимыми приращениями также широко исследовались (см. работы Скорохода14'15,16, Кунита и Ватанабе17, Нью-мана18'19, Мемэна и Ширяева20). Отметим, что Ньюман18,19 установил необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для процессов Леви (о критериях абсолютной непрерывности и сингулярности речь не идет, так как здесь они тривиальны: распределения двух процессов Леви либо со-

— Osaka Mathematical Journal, 5 (1968), p. 299-312.

8 T.T. Kadota, L.A. Shepp. Conditions for the absolute continuity between a certain pair of probability measures. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 16 (1970), No. 3, p. 250 -260.

9 T. Kailath. The structure of Radon-Nykodym derivatives with respect to Wiener and related measures. — Bulletin of American Mathematical Society, 42 (1971), p. 1054-1067.

10М.П. Ершов. Об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам диффузионного типа. — Теория вероятностей и ее применения, 17 (1972), вып. 1, с. 173178.

11Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Об абсолютной непрерывности мер, соответствующих процессам диффузионного типа, относительно винеровской. — Известия АН СССР, серия математики, 36 (1972), вып. 4, с. 874-889.

12Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов, Гл. 7. М.: Наука, 1974.

13 Ж. Жакод, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов, Гл. IV, § 4b. М.: Физматлит, 1994.

liA.B. Скороход. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам. I. Процессы с независимыми приращениями. — Теория вероятностей и ее применения, 2 (1957), вып. 4, с. 417—443.

15Л.В. Скороход. Исследования по теории случайных процессов. Киев, издательство Киевского университета, 1961.

16А.В. Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

17H. Kunita, S Watanabe. On square integrable martingales. — Nagoya Mathematical Journal, 30 (1967), p. 209-245.

18 C.M. Newman. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. — Bulletin of American Mathematical Society, 78 (1972), p. 268-271.

19C.M. Newman. On the orthogonality of independent increment processes. In: Topics in Probability Theory. Eds. D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1973, p. 93-111.

20 J. Mémin, A.N. Shiryaev. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant à deux processus à accroissements indépendants. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 70 (1985), p. 67-90.

впадают, либо сингулярны). Мемэн и Ширяев20 установили критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для процессов с независимыми приращениями.

При изучении рассматриваемых вопросов очень полезными оказались интегралы Хеллингера, введенные Хеллингером, и процессы Хел-лингера, введенные Липцером и Ширяевым21. В диссертации используется другой подход к исследованию абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Этот подход основан на понятии разделяющего момента.

Мы рассматриваем пару вероятностных мер Р и Р на измеримом пространстве (fi, Т) с непрерывной справа фильтрацией (^)«е[о,оо) • Оказывается, что всегда существует разделяющий момент, для Р и Р (см. теорему 1.3 и определение 1.4). Неформально, разделяющий момент — это такой расширенный момент остановки S, "до которого меры Р и Р эквивалентны, а после которого — сингулярны". Здесь расширенный момент остановки — это [0, оо] U {<">} -значный момент остановки, где S — такая точка, что 5 > оо (см. определение 1.2). Введение дополнительной точки S потребовалось потому, что меры "могут никогда не стать сингулярными" ; на соответствующих элементарных исходах S = 5.

Разделяющий момент определен однозначно Р, Р -п.н. Для пояснения сказанного вьппе отметим, что Р ~ Р 5 = S Р, Р-п.н., а также

Р _L Р S ^ оо Р, Р -п.н. В качестве версии разделяющего момента

можно взять

5 = íñf{í € [0, оо] : Zt = 0 или Zt = 0},

где " inf " отличается от " inf " лишь тем, что inf 0 = S, a (^í)«e[o,oo] и (^i)te[0,oo] — процессы плотности мер Р и Р относительно меры Q = £££ (при этом Zoo = ^ , ¿oc — )• В терминах разделяющего момента легко выражаются такие свойства, как локальная абсолютная непрерывность, абсолютная непрерывность, а также сингулярность для Р и Р (см. лемму 1.7). Если мы знаем как устроен разделяющий момент, то мы знаем каково взаимное расположение мер Р и Р

21R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. On the problem of "predictable" criteria of contiguity. — Proc. 5th Japan-USSR syrnp., Lecture Notes in Mathematics, 1021 (1983), p. 384418.

с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности. Поэтому изучать подобные вопросы, используя разделяющий момент, удобно даже в том случае, когда Р и Р "находятся в общем положении", т.е. для них не выполнено ни свойство локальной абсолютной непрерывности, ни свойство сингулярности.

В диссертации найден явный вид разделяющего момента для распределений решений СДУ, для распределений процессов Леви, а также для распределений процессов Бесселя.

Цель работы.

Целью настоящей работы является введение метода исследования вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности мер, основанного на понятии разделяющего момента. Целью работы является также нахождение явного вида разделяющих моментов в некоторых конкретных случаях и получение в этих случаях (в качестве следствий) критериев локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Введено понятие разделяющего момента для пары мер, в терминах которого легко выражаются необходимые и достаточные условия для локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, сингулярности, а также для других типов взаимного расположения этих мер.

2. Найден явный вид разделяющего момента для распределений решений СДУ, для распределений процессов Леви и для распределений процессов Бесселя. Как следствие, получены критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности в этих случаях. Соответствующий критерий для процессов Леви не является новым (см.22). Он приведен лишь для полноты изложения.

22 С.М. Newman. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. — Bulletin of American Mathematical Society, 78 (1972), p. 268-271.

Методы исследования.

В доказательствах утверждений диссертации применяются методы стохастического исчисления. Используются некоторые утверждения относительно СДУ, процессов Леей и процессов Бесселя. При нахождении разделяющего момента для решений СДУ применяются методы замены меры, преобразования фазового пространства, случайной замены времени, а также используется техника локальных времен. Кроме того, применяется техника представимости локальных мартингалов в виде стохастических интегралов и рассматриваются непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа относится к области стохастического анализа случайных процессов и носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны при изучении вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности мер на фильтрованных вероятностных пространствах.

Апробация диссертации.

Автор выступал с докладами на следующих конференциях, где излагались также и результаты, относящиеся к диссертации.

1. Summer School on Stochastics and Finance. Испания, Барселона, сентябрь 2001 г. Название доклада: Stopping Brownian motion and its exponential the most close to their ultimate maxima.

2. Second World Congress of the Bachelier Finance Society. Греция, Крит, июнь 2002 г. Название доклада: Some optimal stopping problems concerning maximum processes.

3. Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Россия, Москва, июнь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

4. The 13th European Young Statisticians Meeting. Швейцария, Овронна, сентябрь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

Кроме того, в сентябре 2003 г. по теме диссертации автором был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

Публикации.

К теме диссертации относятся 5 работ. Их список приведен в конце автореферата. Относительно работ, написанных в соавторстве, там же поясняется какие результаты принадлежат автору.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем работы составляет 99 страниц. Список литературы включает 48 наименований. Собственные результаты автора и в тексте диссертации, и в автореферате названы "теоремами" (вспомогательные утверждения называются "леммами").'

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

В параграфе 1.1 вводится понятие разделяющего момента. Приведем основные результаты этого параграфа.

Рассмотрим измеримое пространство (П, Т) с непрерывной справа фильтрацией > т-е- = П£>о ■ Для произвольного мо-

мента остановки т определим а -алгебру ТТ по формуле

= {А € Т\ А П {т ^ *} 6 для всех I е [0, оо)}.

(В частности, = Т.)

Пусть Р и Р — вероятностные меры на ?. Как обычно, мы обозначаем через Рг (соответственно, Рг) ограничение Р (соответственно, Р ) на а -алгебру Тт .

Присоединим к [0, оо] точку 6 такую, что 8 > оо.

Определение 1.2. Отображение Т : & [0, оо] и {5} назовем расширенным моментом остановки, если {Т ^ ¿} 6 для любого Ь € [0, оо].

Теорема 1.3. (V) Существует расширенный момент остановки 5 такой, что для любого момента остановки г

Рт ~ Рт на множестве {г < 5}, (1)

Рг Л Рг на множестве {т ^ 5}. (2)

(и) Если £" — другой расширенный момент остановки с этими свойствами, то 5' = 5 Р, Р -п.н.

Определение 1.4. Любой расширенный момент остановки, удовлетворяющий (1) и (2) для всех моментов остановки т , назовем разделяющим моментом для Р и Р.

Замечание. При определении разделяющего момента достаточно пользоваться свойствами (1) и (2) лишь для детерминированных моментов г.

Говоря неформально, теорема 1.3 утверждает, что любые две меры Р и Р "эквивалентны до некоторого случайного момента 5 " и "становятся сингулярны в момент 5". Здесь 5 = 5 означает, что Р и Р "никогда не становятся сингулярными", т.е. они "эквивалентны до бесконечности". Эта интерпретация теоремы 1.3 позволяет сказать, что если мы знаем разделяющий момент 5 , то мы знаем, каково взаимное расположение Р и Р . Проиллюстрируем это следующим результатом.

Лемма 1.7. Пусть 5 — разделяющий момент для Р и Р . Тогда ({) Р < Р ^ (И) Р & Р (ш) Р« Р (¡V) Р ~ Р <=> (у) Р ± Р

5 ^ оо Р-п.м.;

5>оо Р, Р-п.м.;

5 = 8 Р-п.м.;

в = & Р, Р-п.м.;

й < со Р, Р-п.н. 5 ^ оо Р-п.п.

Замечание. В терминах разделяющего момента можно охарактеризовать и другие типы взаимного расположения Р и Р . Например, для произвольного £ £ [0, оо] имеем

Рг ± рг 5 < г Р, Р-п.н. 5 < г Р-п.н.

В параграфе 1.2 рассматривается следующая задача. Пусть <р : [О, оо) -> R — непрерывная функция, —0, В = (Bt)te[0,oo) —

стандартное броуновское движение. Тогда известно, что если <р абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и /0°°(v'(s))2 ds < оо , то распределения процессов В и В + ip эквивалентны; в противном случае они сингулярны. Мы приводим доказательство этого результата, использующее разделяющие моменты. По мнению автора, метод доказательства может быть использован и в других задачах.

Глава 2.

Эта глава содержит некоторые вспомогательные сведения из стохастического анализа, которые используются, в основном, в доказательствах следующей главы.

Глава 3.

В этой главе мы рассматриваем одномерные однородные СДУ вида

dXt = b{Xt) dt + a(Xt) dBu X0 = x0. (3)

Рассматриваются не только решения в классическом смысле, но и решения, которые могут взрываться. Пространство траекторий, которые могут взрываться, обозначается через Сд([0,оо)). Всюду под решением (3) понимается вероятпностнал мера на пространстве Сд([0, оо)), которая является распределением решения-процесса. Единственность понимается как единственность этой меры, т.е. рассматривается слабая единственность. (Для изучения слабых решений и слабой единственности этот подход эквивалентен рассмотрению решений-процессов.)

Для одномерных однородных СДУ вида (3) весьма слабые достаточные условия существования и единственности решения установлены Энгельбертом и Шмидтом23. Именно: если

<т(х) фОУх G К, (4)

^ е LLW (5)

23H.-J. Engelbert, W. Schmidt. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations, I, II, III. — Math. Nachr., 143 (1989), p. 167-184; 144 (1989), p. 241-281; 151 (1991), p. 149-197.

(т.е. функция (1 + |Ь|)/сг2 локально интегрируема на R), то для любого начального условия яо £ R существует единственное решение уравнения (3). Заметим, что если функция Ь локально ограничена, а функция сг2 отделена от нуля, то условия (4) и (5) заведомо выполнены.

Основной результат главы 3 — явный вид разделяющего момента для мер Р и Р, являющихся решениями двух СДУ вида (3), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (4) и (5). Приведем точную формулировку.

Рассмотрим СДУ

dXt = b{Xt) dt + a{Xt) dBu XQ = i0l (6)

dXt = b(Xt) dt + 5{Xt) dBt, XQ = x0 (7)

с одним и тем же начальным условием жо . Ниже будем предполагать, что выполнены условия (4), (5) и аналогичные условия для Ъ, а .

Обозначим через X канонический процесс на Сд([0, оо)), а через d —- момент взрыва для процесса X. Рассмотрим фильтрацию Tt —

П£>о а(х*'> s 6 * + £1) и положим Т = Vte[o,oo) ^ • Введем обозначения

р(х) = exp^— J ж GM,

в(ж) = / p{y)dy,

J о

s(oo) = lim s(x),

Х—ЮО

s(—оо) - lim s(x)

—OO

и определим аналогичные величины р, s, s(oo), s(—оо) через b и ст. Будем говорить, что борелевская функция / : К. —>■ [0, оо) локально интегрируема в точке х € [—оо, оо] (/ G Ljar (х)), если она интегрируема в достаточно малой окрестности точки х. Обозначим через ць меру Лебега на В{Ш) .

Назовем точку i Е 1 хорошей, если существует окрестность U точки х такая, что сг2 = сг2 /¿¿-п.в. на U и (b — b)2/a4 G Ljoc(x). Назовем точку оо хорошей, если все точки из [х'о, оо) — хорошие и

выполнены условия

«(со) < оо, (8)

(s(oo)_s)iLJL€iiocM.

(9)

Назовем точку —оо хорошей, если все точки из (—оо,хо] — хорошие и выполнены условия

s(-oo) > -оо, (10)

2

4

(s - s(-oo))^—^ G Llc(-oo). pa

(Н)

Обозначим через А дополнение к множеству хороших точек из [—оо, оо]. Легко видеть, что А замкнуто в [—со, оо]. Введем также обозначение

А£ = {х € [—оо,оо]: р(х, А) < е},

где р{х,у) = | arctgx — arctgj/|, х, у g [— оо, оо] (полагаем 0е = 0).

Теорема 3.10. Пусть Ъ, а иЬ, а удовлетворяют условиям (4) и (5). Обозначим через Р и Р решения уравнений (6) и (7). Тогда разделяющий момент S для Р u Р имеет следующий вид.

(i) Если Р = Р , то S = 5 Р, Р -п.н.

(ii) Если Р ф Р , то

S = sup M{t 6 [0, оо): Xt € А1/п} Р, Р-п.н.,

п

где "inf " отличается от "inf " лишь тем, что inf 0 = 5.

Замечания, (i) Поясним, как устроен момент S в случае " Р ф Р". С этой целью рассмотрим "ближайшую слева к ж0 плохую точку" а, определенную по формуле

а =

[ sup{a;: х € [—оо, хо] П А}, если [—оо, хо] (~)Аф0; [Д, если [—оо, хо] П А = 0,

и рассмотрим "момент достижения а ":

5, если а = Д;

6, если а = —оо и limXt > —оо; U = ПС

С, если а = —оо и limX* = —00; _ ПС

Та, если а > —оо,

где Та = inf{i £ [0,00): Xt = а} . Аналогично определим "ближайшую справа к хо плохую точку" 7 и V как "момент достижения 7 ". Тогда S = U Л У Р, Р -п.н. (На некоторых траекториях 5 ф U Л У , но они имеют Р - и Р -меру нуль.)

(ii) Если поменять ролями меры Р и Р, то разделяющий момент не изменится, однако изменится вид условий (8) -(11). Отсюда и из теоремы 3.10 можно вывести, что в предположении [хо, оо) С [—00,00] \ А пара условий (8), (9) эквивалентна паре условий

s(oo) < 00, pa*

Аналогичное замечание справедливо и для (10), (11).

Из теоремы 3.10 легко следуют необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для Р и Р (см. следствия 3.11, 3.12 и 3.13). Подобные результаты для более общих СДУ содержатся в24'25 Мы же рассматриваем более частный случай (лишь однородные СДУ), однако в этом случае получаем более полные результаты.

Приведем формулировки следствий 3.11, 3.12 и 3.13. Для этого вве-

24Ж. Жакод, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов, Гл. IV, § 4Ь. М.: Физматлит, 1994.

2ЪР.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов, Гл. 7. М.: Наука, 1974.

дем в рассмотрение следующие условия:

?(оо) = оо,

(14)

(13)

Аналогичным образом рассмотрим условия "на —оо":

в(—оо) = —оо,

(15)

\ в ~ з(-оо) 1 я(-оо) > -оо и --<£ £Ьс(-оо),

«(-оо) > -оо и («-?(-оо))^г~" ^¿1ос(-оо).

(16)

(17)

~ 1ое

Следствие 3.11. В предположениях теоремы 3.10 имеем Р < Р тогда и только тогда, когда

и выполнено по крайней мере одно из условий (12)-(14), а также по крайней мере одно из условий (15)-(17).

Следствие 3.12. В предположениях теоремы 3.10 имеем Р < Р тогда и только тогда, когда либо Р = Р, либо выполнены (12), (17), (18), либо выполнены (14), (15), (18), либо выполнены (14), (17), (18).

Следствие 3.13. В предположениях теоремы 3.10 имеем Р 1. Р тогда и только тогда, когда Р^Р 1/ —оо, оо € А .

Глава 4.

В параграфе 4.1 найден явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения процессов Леви.

Рассмотрим пространство £>([0, оо),Ма) непрерывных справа и имеющих конечные пределы слева функций [0, оо) . Через X

2 ~2 сг = сг ць-п.в. и

(18)

обозначим канонический процесс на £>([0,оо),®^). Введем фильтрацию = П£>0 5 € [0, £ + е]) и положим Т = \/<6[о,оо) ^ • Будем обозначать через (•, •) скалярное произведение в Ш'*, а через |[ • || — евклидову норму.

Пусть Р и Р — распределения процессов Леви с характеристиками (Ь, с, и) и (Ь, с, V). Это значит, что для £ € [0, оо) и Л 6 ВТ*

Ере;(Л'Х,) = ехр{£[*(Л,&) - ±(А,сА)

+ 1ШУ(Х'Х) ~ 1 < 1))^)]},

где бе!'', с — симметричная неотрицательно определенная матрица размера й х (I, и — мера на со свойствами ^({0}) = 0 и

/кЛ1|а;||2 Л 1) и{в,х) < оо. Аналогичное свойство имеет место для Р, Ь, с, V.

Теорема 4.1. Разделяющий момент 5 для Р и Р имеет следующий вид.

(1) Если Р = Р , то Б — 8 Р,Р -п.н.

(и) Если Р^Р а выполнены условия

с = с, (19)

(20) (21)

Ь-Ь- Х(1{р-V) € 9Т(с),

где Щ(с) = {сх: х 6 Е^} , то

5 = т£{£ € [0, оо): АХг ф 0, АХг $ Е} Р, Р-п.н.

(полагаем М 0 = оо), где Е € В(Ш.а) — такое множество, что V ~ у на Е и V V на дополнении к Е .

(ш) Если хотя бы одно из условий (19)-(21) нарушается, то 5 = 0 Р,Р-п.н.

Замечание. Если выполнено (20), то /{ц^ус!} IMI d\\v < 00 > гДе || г/ — Щ — полнал вариация знакопеременной меры v — v. Следовательно, при выполнении условия (20) интеграл в (21) корректно определен.

Из теоремы 4.1 легко вытекает следующее утверждение относительно взаимного расположения мер Р и Р . Этот результат известен (см.26) и приводится лишь для полноты изложения.

Следствие 4.2. (i) Либо Р = Р , либо Р _L Р .

(ii) Для Р С Р необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (19)-(21) и условие v v .

(iii) Для Ро -L Ро необходимо и достаточно, чтобы не выполнялось хотя бы одно из условий (19)-(21).

В этом следствии содержатся критерии локальной абсолютной непрерывности и мгновенной сингулярности (а также критерии абсолютной непрерывности и сингулярности, которые здесь тривиальны: либо Р = Р, либо Р ± Р).

В параграфе 4.2 найден явный вид разделяющего момента для случая, когда Р и Р — распределения процессов Бесселя.

Теорема 4.5. Пусть Р и Р — ■распределения процессов Бесселя размерностей 7 и 7 (7,7 ^ 0), выходящих из точки жр (жо ^ 0). Тогда разделяющий момент S для Р и Р имеет следующий вид.

(i) Если Р = Р, то S = 8 Р, Р -п.н.

(ii) Если Р ф Р , то

S = inf{i G [0,00): Xt = 0} Р, Р-п.н.

(полагаем inf 0 = 00) .

Как обычно, в качестве следствия приводится результат о возможных типах взаимного расположения мер Р и Р.

Следствие 4.6. (i) Либо Р = Р , либо Р JL Р .

(ii) Если Р ф Р и xq = 0, то Ро J- Ро •

26 С. М. Newman. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. — Bulletin of American Mathematical Society, 78 (1972), p. 268-271.

(iii) Пусть P ф P и ж0 > 0 . Тогда ЫР7^2.

Это следствие обобщает результат, доказанный в27.

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А.Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Автор очень благодарен к.ф.-м.н. A.C. Черному за помощь и дружескую поддержку.

27A.C. Черный. Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Вес-селя. — Теория вероятностей и ее применения, 45 (2000), вып. 2, с. 251-267.

Список работ автора по теме диссертации

[1] М.А. Урусов. Условия отсутствия арбитража в дискретных финансовых моделях. — Успехи математических наук, 54 (1999), вып. 5, с. 179-180.

[2] М.А. Урусов. Об оптимальном прогнозе момента достижения максимума броуновским движением. — Успехи математических наук, 57 (2002), вып. 1, с. 165-166.

[3] М.А. Урусов. Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер. — Успехи математических наук, 58 (2003), вып. 4, с. 163-164.

[4] М.А. Урусов, А. С. Черный. Разделяющие моменты для мер на пространствах с фильтрацией. — Теория вероятностей и ее применения, 48 (2003), вып. 2, с. 416-427.

А.С. Черному принадлежат теоремы 2.1 и 5.1; М.А. Урусову принадлежат теоремы 3.1 и 4.1.

[5] A.S. Chemy, М.А. Urusov. On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space. — Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003, с. 410-411.

А.С. Черному принадлежат результаты о разделяющих моментах; М.А. Урусову принадлежат результаты о стохастических дифференциальных уравнениях.

?

2. оо 3

И 9 63 7

Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102 Тираж 100 экз. Заказ №81

Введение

1 Разделяющие моменты

§ 1.1 Определение и свойства разделяющих моментов.

§ 1.2 Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер.

2 Вспомогательные сведения из стохастического анализа

§ 2.1 Локальные времена.

§ 2.2 Случайная замена времени.

§ 2.3 Теорема Дамбиса-Дубинса-Шварца.

§ 2.4 Непрерывные локальные мартингалы на стохастических интервалах.

3 Разделяющие моменты для решений стохастических дифференциальных уравнений

§ 3.1 Решения стохастических дифференциальных уравнений

§ 3.2 Явный вид разделяющего момента.

§ 3.3 Примеры.

§ 3.4 Доказательство теоремы 3.

4 Разделяющие моменты для процессов Леви и процессов Бесселя

§ 4.1 Разделяющие моменты для процессов Леви

§ 4.2 Разделяющие моменты для процессов Бесселя.

1. Вопросы абсолютной непрерывности и сингулярности двух вероятностных мер, индуцируемых случайными процессами, представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и для приложений к математической статистике. Одними из первых результатов в этом направлении были известные альтернатива Какутани (см. [28]) и альтернатива Гаека-Фельдмана (см. [21], [22]). По мере развития теории мартингалов и стохастического исчисления изучение вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности стало возможным для широкого класса случайных процессов: точечных процессов, диффузионных процессов, процессов с независимыми приращениями (см. [4, Гл. IV, § 4а-§ 4с]) .

Точечные процессы и мультивариантные точечные процессы рассматривались в работах Кабанова, Липцера и Ширяева [24] и [25].

Вопросами абсолютной непрерывности и сингулярности для диффузионных процессов занимались многие авторы: Хитсуда [23], Кадота и Шепп [26], Кайлат [27], Ершов [3], Липцер и Ширяев [6], . Эти результаты просуммированы и дополнены авторами в монографии Липцера и Ширяева [7, Гл. 7] (см., также, монографию Жакода и Ширяева [4, Гл. IV, § 4Ь]).

Процессы с независимыми приращениями также широко исследовались (см. работы Скорохода [8], [9], [10], Кунита и Ватанабе [31], Нью-мана [34], [35], Мемэна и Ширяева [33]). Отметим, что Ньюман [34], [35] установил необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для процессов Леви (о критериях абсолютной непрерывности и сингулярности речь не идет, так как здесь они тривиальны: распределения двух процессов Леви либо совпадают, либо сингулярны). Мемэн и Ширяев [33] установили критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для процессов с независимыми приращениями.

При изучении рассматриваемых вопросов очень полезными оказались интегралы Хеллингера, введенные Хеллингером, и процессы Хеллинге-ра, введенные Липцером и Ширяевым в работе [32]. В диссертации используется другой подход к исследованию абсолютной непрерывности и сингулярности мер. Этот подход основан на понятии разделяющего момента.

2. Мы рассматриваем пару вероятностных мер Р и Р на измеримом пространстве (О,^) с непрерывной справа фильтрацией • Оказывается, что всегда существует разделяющий момент для Р и Р (см. теорему 1.3 и определение 1.4). Неформально, разделяющий момент — это такой расширенный момент остановки S, "до которого меры Р и Р эквивалентны, а после которого — сингулярны". Здесь расширенный момент остановки — это [0, оо] U {#}-значный момент остановки, где 6 — такая точка, что 6 > оо (см. определение 1.2). Введение дополнительной точки 5 потребовалось потому, что меры "могут никогда не стать сингулярными"; на соответствующих элементарных исходах S = 5.

Разделяющий момент определен однозначно Р,Р-п.н. Для пояснения сказанного выше отметим, что Р ~ Р S = S Р,Р-п.н., а также

Р L Р 5 ^ оо Р, Р-п.н. В качестве версии разделяющего момента можно взять

S = mi{t е [0, оо]: Zt = 0 или = 0}, где "inf" отличается от "inf" лишь тем, что inf 0 = 5, a (^<)<g[0,oo] и {Zt)te[о,оо] —процессы плотности мер Р и Р относительно меры Q = ^^ (при этом Zqq — щ, Zoo — щ )• В терминах разделяющего момента легко выражаются такие свойства, как локальная абсолютная непрерывность, абсолютная непрерывность, а также сингулярность для Р и Р (см. лемму 1.7). Если мы знаем как устроен разделяющий момент, то мы знаем каково взаимное расположение мер Р и Р с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности. Поэтому изучать подобные вопросы, используя разделяющий момент, удобно даже в том случае, когда Р и Р "находятся в общем положении", т.е. для них не выполнено ни свойство локальной абсолютной непрерывности, ни свойство сингулярности.

На рисунке 2 (см. с. 16) показано как можно наглядно представлять себе взаимное расположение пары мер на измеримом пространстве с фильтрацией. Там же поясняется как "определить" разделяющий момент по этому рисунку.

Разделяющие моменты вводятся в главе 1. В этой главе также приводится доказательство сингулярности некоторых гауссовских мер, использующее разделяющие моменты (см. теорему 1.8). Этот результат известен, однако метод доказательства может быть использован и в других задачах.

В главе 3 мы рассматриваем одномерные однородные стохастические дифференциальные уравнения (ниже просто СДУ) вида dXt = b(Xt)dt + a(Xt)dBu Х0 = х0. (0.1)

Будут рассматриваться не только решения в классическом смысле, но и решения, которые могут взрываться. Всюду под решением (0.1) мы будем понимать вероятностную меру на пространстве Сд([0,оо)) траекторий, которые могут взрываться, являющуюся решением соответствующей мартингальной проблемы (см. определение 3.4). Единственность мы будем понимать как единственность этой меры, т.е. всегда будет рассматриваться слабая единственность.

Для одномерных однородных СДУ вида (0.1) весьма слабые достаточные условия существования и единственности решения установлены

Энгельбертом и Шмидтом в работах [18]—[20]. Именно: если а{х) ф 0 \/х £ IR, (0.2) € LlM) (0.3) т.е. функция (1 + \Ь\)/а2 локально интегрируема на Е), то для любого начального условия х0 £ М существует единственное решение уравнения (0.1). Заметим, что если функция b локально ограничена, а функция а2 отделена от нуля, то условия (0.2) и (0.3) заведомо выполнены.

Для доказательства приведенного результата Энгельберт и Шмидт использовали метод преобразования фазового пространства и случайной замены времени. (К сожалению, этот метод неприменим в многомерном или неоднородном случае.) Суть этого метода состоит в следующем. Определим функции s и к по формулам (3.9) и (3.12). Тогда X — процесс-решение уравнения (0.1) в том и только том случае, когда Y = s(X) — процесс-решение следующего уравнения без сноса: dXt = x(Xt)dBt, X0 = s{x0).

В виде исключения сейчас нам было удобнее использовать процессы-решения, а не меры-решения.) В свою очередь, решение уравнения без сноса строится из броуновского движения посредством замены времени. В связи с вышесказанным отметим, что если бы мы устраняли снос не преобразованием фазового пространства, а заменой меры и применением теоремы Гирсанова, то пришлось бы потребовать более жесткие условия, чем (0.2) и (0.3).

Основной результат главы 3 — явный вид разделяющего момента для мер Р и Р, являющихся решениями двух СДУ вида (0.1), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (0.2) и (0.3) (см. теорему 3.10). Как следствие, отсюда получены критерии локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для Р и Р (см. следствия 3.11, 3.12 и 3.13). Подобные результаты для более общих

СДУ содержатся в [4, Гл. IV, § 4Ь] (см., также, [7, Гл. 7]). Мы же рассматриваем более частный случай (лишь однородные СДУ), однако в этом случае получаем более полные результаты.

Теорема 3.10 утверждает, что разделяющий момент S для Р и Р равен расширенному моменту остановки г, где, неформально, г есть "нечто вроде" момента первого касания каноническим процессом X множества плохих точек А С [—оо, оо] (однако на некоторых траекториях г может быть равен 6). Доказательство занимает значительный объем. Суть его заключается в следующем.

Сначала доказывается, что S ^ т. Для этого надо установить, что меры Р и Р "эквивалентны до наступления момента т ". Рассматриваем некоторую предвещающую последовательность моментов остановки для момента г Л оо, затем для каждого момента остановки из этой последовательности вводим меру Q = Z • Р, где Z — строго положительная случайная величина (это экспонента Гирсанова); далее доказываем, что меры Q и Р "совпадают до этого момента остановки" (для этого используется описанный выше метод преобразования фазового пространства и случайной замены времени).

Так мы устанавливаем, что 5 ^ г Л оо. Остается доказать, что меры Р и Р эквивалентны на множестве {г = (тогда получим, что S ^ г). Поскольку, по доказанному, S ^ оо на множестве {т = 5} , то локальная эквивалентность уже установлена. Чтобы получить эквивалентность, достаточно доказать, что предел процессов плотности строго положителен по нижней мере и конечен по верхней мере. Последнее сводится к исследованию сходимости некоторых интегралов, проведенному в лемме 3.39.

Далее доказывается, что S ^ т. Сначала это делается в частном случае, когда т — 0 (см. лемму 3.43). Отсюда и из строго марковского свойства получаем, что и в общем случае S ^ т там, где канонический процесс X в момент т попадает в конечную плохую точку, т.е.

Хт Е А П М. (напомним, что т — "нечто вроде" момента касания процессом X множества А С [—оо,оо]). Остается доказать, что S ^ т на остальных траекториях (там либо X уходит на оо или —оо в момент г, либо limXt = оо, limXf = —оо). Для этого используются результаты т t^T лемм 3.39 и 3.40 о сходимости некоторых интегралов.

В § 4.1 мы находим явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения процессов Леви (см. теорему 4.1). Следствие 4.2 содержит, в частности, критерии локальной абсолютной непрерывности, а также мгновенной сингулярности для Р и Р . Этот результат известен (см. [34], [35]) и приведен лишь для полноты изложения.

В § 4.2 мы находим явный вид разделяющего момента для случая, когда меры Р и Р — распределения процессов Бесселя (см. теорему 4.5). Отметим, что процесс Бесселя является решением некоторого СДУ, однако результаты главы 3 неприменимы, поскольку для коэффициентов этого СДУ не выполнены условия (0.2), (0.3). Как обычно, приводится следствие о возможных типах взаимного расположения Р и Р с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности (см. следствие 4.6). Оно обобщает результат, доказанный в [11, теорема 4.1].

3. Диссертация построена следующим образом.

В главе 1 дается определение разделяющего момента для пары мер и формулируются в его терминах необходимые и достаточные условия для различных типов взаимного расположения мер с точки зрения вопросов абсолютной непрерывности и сингулярности. В этой главе также приводится доказательство сингулярности некоторых гауссовских мер, использующее разделяющие моменты.

В главе 2 приводятся некоторые сведения из стохастического анализа. Они используются, в основном, в доказательствах главы 3.

В главе 3 найден явный вид разделяющего момента для решений одномерных однородных СДУ. В качестве следствия получены необходимые и достаточные условия локальной абсолютной непрерывности, абсолютной непрерывности, а также сингулярности для решений СДУ.

В главе 4 решены аналогичные задачи для процессов Леви и для процессов Бесселя.

Цитируемые утверждения носят название "предложение". Собственные результаты автора названы "теоремами" (вспомогательные утверждения называются "леммами"). Эти результаты содержатся в главах 1, 3 и 4.

Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 4.1 указывает на первую теорему в четвертой главе. То же самое относится и к нумерации формул.

4. Автор выступал с докладами на следующих конференциях, где излагались также и результаты, относящиеся к диссертации.

1. Summer School on Stochastics and Finance. Испания, Барселона, сентябрь 2001 г. Название доклада: Stopping Brownian motion and its exponential the most close to their ultimate maxima.

2. Second World Congress of the Вachelier Finance Society. Греция, Крит, июнь 2002 г. Название доклада: Some optimal stopping problems concerning maximum processes.

3. Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Россия, Москва, июнь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

4. The 13th European Young Statisticians Meeting. Швейцария, Оврон-наз, сентябрь 2003 г. Название доклада: On the absolute continuity and singularity of probability measures on a filtered probability space.

Кроме того, по теме диссертации был сделан доклад на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.

Текст диссертации насчитывает 99 страниц. Общий список литературы состоит из 48 наименований. Непосредственно к теме диссертации относятся следующие статьи: [46], [47], [48].

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора А.Н. Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Автор очень благодарен к.ф.-м.н. А.С. Черному за помощь и дружескую поддержку.

1. И.В. Гирсанов. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. — Теория вероятностей и ее применения, 5 (1.60), вып. 3, с. 314-330.

2. Л.Е. Дубине, JI.A. Шепп, А.Н. Ширяев. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя. — Теория вероятностей и ее применения, 38 (1993), вып. 2, с. 288-330.

3. М.П. Ершов. Об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам диффузионного типа. — Теория вероятностей и ее применения, 17 (1972), вып. 1, с. 173-178.

4. Ж. Жаков, А.Н. Ширяев. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

5. К. Ито, Г. Маккин. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.

6. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Об абсолютной непрерывности мер, соответствующих процессам диффузионного типа, относительно ви-неровской. — Известия АН СССР, серия математики, 36 (1972), вып. 4, с. 874-889.

7. Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

8. А.В. Скороход. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам. I. Процессы с независимыми приращениями. — Теория вероятностей и ее применения, 2 (1957), вып. 4, с. 417-443.

9. А.В. Скороход. Исследования по теории случайных процессов. Киев, издательство Киевского университета, 1961.

10. А.В. Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.

11. А.С. Черный. Сходимость некоторых интегралов, связанных с процессами Бесселя. — Теория вероятностей и ее применения, 45 (2000), вып. 2, с. 251-267.

12. А.Н. Ширяев. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.

13. А.Н. Ширяев. Вероятность. М.: Наука, 1989.

14. А.Н. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

15. J. Bertoin. Levy processes. Cambridge University Press, 1996.

16. A.S. Cherny. On the strong and weak solutions of stochastic differential equations governing Bessel processes. — Stochastics and Stochastics Reports, 70 (2000), p. 213-219.

17. A.S. Cherny, H.-J. Engelbert. Singular stochastic differential equations. Preprint, 2003.

18. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On one-dimensional stochastic differential equations with generalized drift. — Lecture Notes in Control and Information Sciences, 69 (1985), p. 143-155.

19. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. On solutions of one-dimensional stochastic differential equations without drift. — Probability Theory and Related Fields, 68 (1985), p. 287-314.

20. H.-J. Engelbert, W. Schmidt. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional stochastic differential equations, I, II, III. — Math. Nachr., 143 (1989), p. 167-184; 144 (1989), p. 241281; 151 (1991), p. 149-197.

21. J. Feldman. Equivalence and perpendicularity of Gaussian measures. — Pacific Mathematical Journal, 8 (1958), p. 699-708.

22. J. Hajek. On a property of normal distribution of an arbitrary stochastic process. — Czech Mathematical Journal, 8 (1958), p. 610-618.

23. M. Hitsuda. Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener processes. — Osaka Mathematical Journal, 5 (1968), p. 299-312.

24. Yu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Martingale methods in the theory of point processes. — Proc. School-Seminar (Druskininkai) Ac. Sci. Lit. SSR, Vilnius, 1975, II, p. 269-354.

25. Yu.M. Kabanov, R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. Criteria of absolute continuity of measures corresponding to multivariate point processes. — Proc. 3rd Japan-USSR symp., Lecture Notes in Mathematics, 550 (1976), p. 232-252.

26. T.T. Kadota, L.A. Shepp. Conditions for the absolute continuity between a certain pair of probability measures. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 16 (1970), No. 3, p. 250-260.

27. T. Kailath. The structure of Radon-Nykodym derivatives with respect to Wiener and related measures. — Bulletin of American Mathematical Society, 42 (1971), p. 1054-1067.

28. S. Kakutani. On equivalence of infinite product measures. — Annals of Mathematics, 49 (1948), p. 214-224.29. 0. Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer, 1997.

29. H. Kunita. Absolute continuity of Markov processes. — Lecture Notes in Mathematics, 511 (1976), p. 44-77.

30. H. Kunita, S Watanabe. On square integrable martingales. — Nagoya Mathematical Journal, 30 (1967), p. 209-245.

31. R.S. Liptser, A.N. Shiryaev. On the problem of "predictable" criteria of contiguity. — Proc. 5th Japan-USSR symp., Lecture Notes in Mathematics, 1021 (1983), p. 384-418.

32. J. Memin, A.N. Shiryaev. Distance de Hellinger-Kakutani des lois cor-respondant a deux processus a accroissements independants. — Z. Wahrsch. Verw. Geb., 70 (1985), p. 67-90.

33. C.M. Newman. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments. — Bulletin of American Mathematical Society, 78 (1972), p. 268-271.

34. C.M. Newman. On the orthogonality of independent increment processes. In: Topics in Probability Theory. Eds. D.W. Stroock, S.R.S. Varad-han, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1973, p. 93-111.

35. J. W. Pitman, M. Yor. Bessel processes and infinitely divisible laws. — Lecture Notes in Mathematics, 851 (1981), p. 285-370.

36. D. Revuz, M. Yor. Continuous martingales and Brownian motion. Springer, 1994.

37. K.-I. Sato. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press, 1999.

38. К.-I. Sato. Density transformation in Levy processes. — Lecture Notes of the Centre for Mathematical Physics and Stochastics, University of Aarhus, 2000, No. 7.

39. D. W. Stroock. Probability theory, an analytic view. Cambridge University Press, 2000.

40. D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan. Diffusion processes with continuous coefficients, I, II. — Communications in Pure and Applied Mathematics, 22 (1969), p. 345-400; 22 (1969), p. 479-530.

41. J.H. Van Schuppen, E. Wong. Transformations of local martingales under a change of law. — Annals of Probability, 2 (1974), p. 879-888.

42. D. Williams. Path decomposition and continuity of local time for one-dimensional diffusions, I. — Proc. London Mathematical Society (3), 28 (1974), p. 738-768.

43. М.А. Урусов. Условия отсутствия арбитража в дискретных финансовых моделях. — Успехи математических наук, 54 (1999), вып. 5, с. 179-180.

44. М.А. Урусов. Об оптимальном прогнозе момента достижения максимума броуновским движением. — Успехи математических наук, 57 (2002), вып. 1, с. 165-166.Работы автора по теме диссертации

45. М.А. Урусов. Использование разделяющих моментов для доказательства сингулярности гауссовских мер. — Успехи математических наук, 58 (2003), вып. 4, с. 163-164.

46. М.А. Урусов, А.С. Черный. Разделяющие моменты для мер на пространствах с фильтрацией. — Теория вероятностей и ее применения, 48 (2003), вып. 2, с. 416-427.Вклады соавторов одинаковы.