Об асимптотике и оценках скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля с малым параметром для ньютоновских и неньютоновских жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

10-1

2849

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ОБ АСИМПТОТИКЕ И ОЦЕНКАХ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ НЬЮТОНОВСКИХ И НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

на правах рукописи

Романов Максим Сергеевич

УДК 517.956.4

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Чечкин Григорий Александрович доктор физико-математических наук, профессор Гадыльшин Рустем Рашитович

кандидат физико-математических наук Беляев Алексей Юрьевич Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Защита состоится 11 декабря 2009 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу 119991, РФ, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 10 ноября 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук,

профессор

И.Н. Сергеев

И il С К А Л > С Т В Е Н И А Я

ПОТЕКА

характеристика работы

Актуальность темы.

Задачи усреднения в гидромеханике вообще и в теории пограничного слоя в частности привлекали внимание исследователей в течении долгого времени. Интерес к этим задачам обусловлен их практической значимостью: в любой реальной системе неизбежно присутствуют возмущения, обусловленные влиянием неких малых параметров (как то: мелкодисперсные примеси, быстро осциллирующие внешние силы, микронеоднородные поверхности), причем влияние данных возмущений может быть значительным. Эффективным инструментом исследований в данной области является теория усреднения. Отметим в данной области работы таких авторов, как А.Ю.Беляев,

C.Сопса, А.Б.Васильева, В.В.Жиков, А.М.Ильин, Г.А.Иосифь-ян, W.Jäger, С.М.Козлов, О.А.Ладыженская, В.Б.Левенштам,

D.McLaughlin, A.Mikeliö, F.Murat, С.А.Назаров, О.А.Олейник, G.C.Papanicolaou, O.Pironneau, D.PoliSevski, А.Л.Пятницкий, В.Н.Самохин, Г.В.Сандраков, E.Sänchez-Palencia, G.I.Font, Г.А.Чечкин, D.Cioranescu, А.С.Шамаев.

В диссертационной работе рассматриваются задачи о пограничном слое линейно вязкой либо псевдопластической жидкости в присутствии быстро меняющегося магнитного поля и при условии интенсивного вдуваготсоса на границе. Предполагается, что амплитуда изменения магнитного поля (равно как и функции вдува-отсоса) ограничена, частота же является большим параметром. Строится усредненная задача, доказывается сильная сходимость решений в специальных нормах и оценивается скорость сходимости. Для оценки скорости сходимости строится вспомогательная линейная задача параболического типа, вырождающаяся на границе. Доказывается ее разрешимость и ограниченность решения в некотором анизотропном весовом классе.

Теория пограничного слоя впервые была предложена Лю-

двигом Прандтлем1 в 1904 году как модель, описывающая движение вязкой жидкости вблизи твердого тела. Прандтлем были выведены уравнения, определяющие движение несжимаемой ньютоновской жидкости жидкости в пограничном слое -так называемая система уравнений Прандтля. В дальнейшем теория пограничного слоя развивалась такими учеными, как, например, Л.Мизес, Г.Шлихтинг, Л.Г. Лойцянский; математическим аспектам теории пограничного слоя посвящена классическая книга О.А.Олейник и В.Н.Самохина2. Широко развита теория пограничного слоя неньютоновских жидкостей, или жидкостей с нелинейной вязкостью, (см., например, работы В.Г.Литвинова, З.П.Шульмана, О.А.Ладыженской) и пограничного слоя в магнитной гидродинамике (см., например, работы Г.Г.Брановера, А.Б.Цинобера, В.Н.Самохина).

Важное место в теории пограничного слоя занимают различные задачи усреднения. Отметим некоторые из них.

Задача о пограничном слое в случае быстро осциллирующего внешнего потока впервые была рассмотрена Линем 3, однако без удовлетворительного математического обоснования.

Г.А. Кулонен и Л.А. Кулонен4 искали приближенное решение задачи о пограничном слое с отводом движущейся среды через дискретную систему отверстий, заменяя ступенчатую функцию отвода жидкости частичной суммой ее ряда Фурье. В работе В.В. Горского и С.Т. Суржикова5 рассматривалась задача о пограничном слое с интенсивным вдувом.

Отметим работу В.Н.Самохина6, в которой была рассмот-

lPrandtl L. Über Flilssigkeitabewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandl. d. Ш. Intern. Math.-Kongr. Heidelberg, 1904

2Олейник O.A., Самохин В.H. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Фиэматлит, 1997

3Ып С. С. Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating external flow// Proc. 9-th Intern. Congr. Appl. Mech. Brüssels. V.4 - Brussels, 1957, pp. 165—167

4Кулонен Г.А., Кулонен Jl.A. Отсос ламинарного пограничного слоя через систему щелей конечной ширины// Прикладная механика, 1978, т. 14, №9, с. 83—88.

5Горский В.В., Суржиков С. Т. Применение метода квазилинеаризации к решению уравнений пограничного слоя с интенсивным вдувом// Изв. вузов. Машиностроение, 1978, JY» И, с.179—181.

в Самохин В.Н. Усреднение системы уравнений Прандтля // Дифференц. уравне-

рена задача о продолжении пограничного слоя ньютоновской жидкости в условиях интенсивного вдува-отсоса на обтекаемой поверхности, предполагается, что соответствующая функция имеет вид где v — некоторая периодическая функция.

В труде O.A. Олейник, В.Н. Самохина7 рассмотрена также задача магнитной гидродинамики для пограничного слоя в предположении, что внешнее магнитное поле задается функцией s(x,|). Построена предельная задача, доказана сильная сходимость решений при £ —У 0 в непрерывной норме и слабая сходимость в пространстве Соболева однако оценки скорости сходимости получены не были.

Результаты настоящей диссертации являются продолжением и обобщением исследования задач усреднения в теории пограничного слоя. Разобраны новые случаи, для которых применена как стандартная, так и новая техника исследования.

Цель работы. Целью работы является исследование задач о продолжении пограничного слоя ньютоновских и неньютоновских жидкостей в предположении, что коэффициенты соответствующих уравнений зависят от малого параметра.

Целью работы является также доказательство теоремы усреднения и получение оценок скорости сходимости как для ньютоновских, так и для псевдопластических сред.

Методика исследования. В работе используются методы интегральных оценок, методы теории усреднения и качественной теории дифференциальных операторов в частных производных, предложена новая техника оценки решений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные из них следующие:

• Получены оценки для скорости сходимости решений уравнений Прандтля в присутствии быстро осциллирующего

ния, 1990, том 26, W3, с. 495-501.

7 Олейник O.A., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Фиэматлит, 1997; глава 10, §10.2

магнитного поля и быстро-осциллирующего вдува-отсоса.

• Впервые исследована задача усреднения для пограничного слоя псевдопластической среды. Построена предельная задача, получены оценки скорости сходимости.

• Показано, что для переменных Мизеса скорость сходимости решений в непрерывной норме и скорость сходимости в анизотропной весовой Соболевской норме суть величины разного порядка.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Развитые в работе подходы могут быть применены к более общим нелинейным параболическим задачам. Результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений с частными производными и гидромеханики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет: семинар под руководством д.ф.-м.н. Г.А.Чечкина (неоднократно, 2006-2008 гг.); семинар под руководством проф. В.В.Жикова, проф. А.С.Шамаева, проф. Т.А.Шапошниковой (2009); МИРАН им. В.А.Стеклова, семинар под руководством член-корр. РАН С.И.Похожаева (2009).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: Международная конференция "Тихонов и современная математика", Москва, МГУ, 2006; Международная конференция, "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007; Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию академика В.А.Садовничего, Москва, МГУ, 2009.

Работа поддержана грантом РФФИ № 09-01-00353-а (руководитель Г.А.Чечкин), и грантами Президента РФ для под-

держки ведущих научных школ НШ-2538.2006.1, НШ-1698.2008.1.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата [1—5].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 90 страниц текста и состоит из введения, трёх глав, разбитых на десять параграфов и списка литературы, включающего 63 наименования. Нумерация формул, теорем и лемм тройная — номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 — лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы.

Первая глава. В первой главе, вводной, излагаются основные понятия и приводятся некоторые известные результаты о разрешимости различных задач теории пограничного слоя.

В первом параграфе ставятся задачи о продолжении пограничного слоя для ньютоновской и для псевдопластической жидкостей в декартовых координатах. А именно, рассматривается в области D = (0, X) х (0, оо) система уравнений относительно неизвестных функций и, v

f иих + vuy = ^|(кГЧ) + VU' + (U - u)s(x) \ ux + Uj, = 0,

где п = 1 в случае ньютоновской жидкости и 0 < п < 1 в случае псевдопластической. На и и v накладываются начальные и граничные условия

ix(0, у) = щ(у) > 0, и(х, 0) = 0, v(x, 0) = v0(x),

и(х, у) —> U{x) при у -> оо, (2)

Здесь функции и и v суть продольная и поперечная компоненты вектора скорости течения; U{x) задает скорость внешнего потока; s(x) = сгВ2(х)/р, где В(х) — ортогональная к об-

текаемой поверхности компонента вектора магнитной индукции, константы р > 0, а > 0 — плотность и проводимость среды соответственно, V > О — коэффициент вязкости, ио — ортогональная составляющая скорости на поверхности (например, в случае вдува-отсоса через систему пор).

Данную систему специальной заменой (так называемой заменой Мизеса) можно свести к одному уравнению от неизвестной ги = и2:

Шх + = + 2 ии' -{и- ^Мх)

(3)

с условиями

^(0,^) = гу(х,0) = 0, т(х,ф) —У и2(х) при ^ -> сю,

(4)

уравнение рассматривается в области

П = {0 < х < X; 0<ф < оо}.

Во втором параграфе излагаются известные результаты о существовании решений задач (1), (2) и (3), (4).

Вторая глава. Во второй главе рассматривается задача об усреднении пограничного слоя ньютоновской жидкости в случае быстро осциллирующего магнитного поля и осциллирующего вдува-отсоса. Формулируется вспомогательная линейная задача, доказывается ее разрешимость. Получены оценки скорости сходимости для решения уравнений Прандтля в переменных Мизеса и в декартовых переменных.

В первом параграфе второй главы ставится возмущенная задача для пограничного слоя магнитной ньютоновской жидкости. В предположении, что функции гЦх) и 5(х) зависят от малого параметра е, следующим образом:

¿¡е = 5(х,-), ье = ь(х,-), е £

где я(х,£) и и(х,£) — гладкие 1-периодические по переменной £ функции.

В области = {0 < я < X, 0 < ф < со} рассматривается уравнение

2 и

(5)

с граничными условиями

■ше(0,ф) = Ш1(ф), и)е(х, 0) = 0, ги£(х,ф) С/2(х) при ф оо.

(6)

Одновременно вводятся функции «, 1

в

о о

и для них рассматривается задача

1 1 = 1з(х,№, Щ = 1У(Х,№ (7)

2Г7

ЛоЮ := =0,

(8)

= «л(^), и>°(х,0) = 0, м°(х,ф) и2(х) при ф-+оо.

(9)

Утверждается, что задача (8), (9) является усредненной для задачи (5), (6), а именно, формулируется следующая теорема: Теорема 2.1.1

Пусть ье, ве ограничены равномерно по е. Пусть кроме того функции и, г>е, г>о, во> Ю1 таковы, что выполнены условия существования обобщенного решения задач (5), (6) и (8), (9). Пусть также и>6 и суть непрерывные функции.

Тогда и>€ сходится к в следующем смысле: существует такая константа С, что

шах

\у/й£- л/ш®| < Се* (10)

(И)

Пространство V определено в параграфе 2.

Доказательству этой теоремы посвящен третий параграф второй главы.

Во втором параграфе второй главы изучается вспомогательная задача. Рассматривается область

д = {о < х < лг, о < г < г}

и вырождающийся линейный параболический оператор вида

Ьи = щ — а(х, + Ь(х, Ь)их + с(х, Ь)и, коэффициенты которого обладают следующими свойствами

• функции а(х,£), Ь(х,£), с(х,£) непрерывны в области <3 вплоть до Г = {х > 0} П дф;

• частная производная ах(хсуществует и также непрерывна в вплоть до Г;

• существуют константы К > к > 0 такие, что

а(х, {) < К, |Ь(х,<)| < К, к < с(х,<) в области <3,

(12)

к < а(х,£), \ах(х,Ь)\<К, с(х,£) < К в области С? П {х > 1}, (13) кх5 < а(х,£) < Кха, кх~% < ах(х,1) < Кх~ кх'1 < с(х, £) < Кх'1 в области <2 П {х < 1}; (14)

• частная производная а((х, существует, непрерывна в вплоть до границы, ограничена по модулю константой К\ и ведет себя в (5 П {х < 1} следующим образом:

|ав(®, «)| < Кгх1^ где 0 < /3 < 1. (15)

Вводятся гильбертовы функциональные пространства К(0, ./V), У(0, ЛГ), являющиеся замыканием Со°(0, ./V) по норме, порождаемой скалярными произведениями

1 N

(и, ь)у = J(х^ихьх + — иу) ¿X + J(ихьх + иу) ¿X

1 N

(u, v)v = J (x*uxvx + x~*uv) dx + J (и xvx -I- uv) dx.

0 1 соответственно.

На базе V определяется пространство В, представляющее из себя множество функций u(t,x), где (t,x) G Q, таких, что u(t,.) £ V(0, N) для почти всех t и существует конечная норма

IMU = ess sup ||u(t)||2 + ||u||i2(0,r-y), t€(0,T)

где 1М112(0,Г;К) = ЛМ1у

о

Для V аналогичным образом вводится пространство В.

Для оператора Ь рассматривается следующая задача:

Ьи - и(х, 0) = и(0, Ь) = и(Ы, ¿) - 0, (16)

где .Р является функционалом над пространством £г(0,Т; V), ¿г(0,Т;У) или ЬР((Э). Решение данной задачи понимается в обобщенном смысле.

Доказываются следующие теоремы о существовании и оценке решений:

Теорема 2.2.1

Пусть Р — непрерывный линейный функционал на множестве ¿г (0, Т; V) с носителем, лежащим выше прямой х = х\ и ниже х = N — XI, где х\ - некоторое положительное ■число.

Тогда задача (16) имеет, решение из класса В, для которого выполнена оценка

ІМІв<С|И|Іі(0іГ!ю-, (17)

где константа С зависит от к, К, Т, х\ и не зависит от N. Теорема 2.2.2

Пусть І*1 является функцией из класса Ьр(0)ъ гдер > 2. Тогда решение и(х, ¿) принадлежит И^1,0^) и для него выполнена оценка

евввирІКОПа + ІМІїгПд) (18)

[0,71

причем константа С зависит только от к, К и Т. Теорема 2.2.3

Пусть Р - произвольный непрерывный линейный функционал на множестве Ьг(0,Т; V).

Тогда задача (16) имеет решение из класса В, причем для решения выполнена оценка

ІНІ5<с|ии2(0)Г;У)., (19)

где константа С зависит от к, К, Т и не зависит от N.

При доказательстве данных теорем использовались методы, аналогичные изложенным в книге О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой8.

В третьем параграфе второй главы доказывается следующая теорема: Теорема 2.3.1

Пусть фі > 0. Существует такая константа С > 0, что для любого функционала д Є Ь2(0, Х\У)* с компактным носителем, лежащим выше прямой ф = ф\, выполнена оценка

(д, ^ - < е5С|Ыиа(од;У)- (20)

'Ладыженская O.A., Салонников В.А., Уральцева H.H. Лилейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, Глав. ред. фиэ.-мат. лит., 1967.

Аналогичный результат верен также для более широкого класса д, а именно, для функционалов из класса £>2(0,Х; V)*, имеющих компактный носитель (см. Замечание 2.3.5) Для функционалов, заданных формулой

(9, Ч>) = J п

оценку можно улучшить:

где р > 2. (См. Замечания 2.3.4, 2.3.6)

Из теоремы 2.3.1 и замечаний 2.3.4-2.3.6 следуют оценки на нормы, указанные в теореме 2.1.1.

Четвертый параграф второй главы посвящен оценкам в декартовых координатах. Доказывается, что решения и£ и исоответствующие ги£ и также близки, а именно, выполнена теорема: Теорема 2.4.1

Для всякого N > 0 существует, такая константа С > О, что

шах |иЕ - п°| < Се*, (21)

(22)

Здесь £>лг = (О, X) х (О, ЛГ)

Третья глава. В третьей главе изучается уравнение пограничного слоя псевдопластической жидкости, зависящее от малого параметра. Доказана теорема усреднения, получены оценки скорости сходимости решений в мизесовых и декартовых переменных.

Структура главы 3 сходна со структурой главы 2. В первом параграфе третьей главы ставится задача усреднения для пограничного слоя псевдопластической жидкости.

Через шє обозначается решение задачи

иII' -{и-у/ь

+ = (КГЧ) + 2ии' ~(и~

с условиями

г2

шє(0,ф) = гиі(^), ъи£(х, 0) = 0, И}є(х,ф) и2(х) при ф оо,

(24)

а через ги° — решение задачи

■ш°х + «оЧ = (КГЧ) +2ии' - (и -

(25)

с условиями

гу°(0,ф) = гої(ф), гу°(х,0) = 0, т°(х,ф) ->■ 112(х) при ф оо.

(26)

При некоторых условиях на зе, ье и во» ^о задача (25), (26) является усредненной для (23), (24), а именно, выполнена теорема:

Теорема 3.1.1

Пусть ь£) ограничены равномерно по є и существует такая константа С, что

X

!(«е - и0)<ІХІ

шах | / (ь£ - УоМхІ < Се о

х

і У'(яе - Я0)<йс|

тах | / 1яе - < Се. о

Пусть кроме того и, эе, г>о, таковы, что выпол-

няются условия существования обобщенного решения задач (23), (24) и (25), (26). Пусть также юе и го° суть непрерывные функции.

Тогда гие сходится к ю° в следующем смысле: существует такая константа С, что

тах\у/ш - < Се\ (27)

П^-^Пъсо *0)<СеЪ (28)

и кроме того

юе -ь ги° слабо в И^флг) (29)

и)фф —> Шфф слабо в пространстве функций с нормой ||и||2 = /0х ( ^ф^и2йф + /1°° ф^и2<1ф^<1х (30)

Пространство (/ определено в параграфе 2 главы 3. Доказательство теоремы приведено в параграфе 3. Во втором параграфе третьей главе изучается вспомогательная линейная задача для вырождающегося на границе параболического оператора. Ьи имеет вид

Ьи = щ — а(х, ¿) —(#(х, ¿)«х) + Ь(х, Ь)их + с(х, ¿)и, ох

причем коэффициенты обладают свойствами (12)—(15), кроме того

Н(х, ф) > к > 0 при любом I > 0;

кх2 < Н(х,ф) < Кх2 при I > 1. (31)

Вводятся гильбертовы пространства £(0, ./V) и >У(0, ЛГ), являющиеся замыканием Со°(0, ЛГ) по норме, порождаемой скалярным произведением

1 n

(и, у)д = £\х^ихУх + Х~%иу) йх + J(x2UxVx + иу) 6х 0 1

и

1 n

(и, у)уу = !\ихУх + иу) йх -I-1(х2ихух + иу) йх. 0 1

соответственно.

Доказывано существование обобщенного решения задачи

Ьи = д,

и(х, 0) = 0, «(0, *) = 0, и(Ы, <) = 0, (32)

при некоторых .Р, получены оценки на норму, о чем говорит

Теорема 3.2.1

Для всякого д (Е X; 0(0, -ЛГ))* задача (32) имеет обобщенное решение из класса 0, X; £7(0, Л^)). Длл решения выполнена оценка

1Ми2(0,л-;£(0,лг)) < С||5|и2(0,л-;е(0,лг))*- (33)

В случае, если д имеет носитель, лежащий выше ц, то феЬ2(01Х]Щ01М)) и

IМк2(0,Х;>У(0,лг)) <с\\д\и2(0• (34)

Если д задается регулярной функцией Р 6 Ьр, р > 2, то ф(=12(0,Х;Щ0,^) и

|Миз(0,*;И>(0,ЛО) < (35)

Константы в (33), (35) зависят только от к, К, Т; в (34) зависит также от х\.

Третий параграф третьей главы посвящен доказательству теоремы 3.1.1.

Прежде всего доказывается следующая теорема

Теорема 3.3.1

Существует такая константа С > 0, что для любого функционала д Е Ь2(0,Х~,С)* с ограниченным носителем выполнена оценка

< е^НзН^о,^).. (36)

В случае зирр д С [0, X] х (^1, N0) неравенство (36) можно улучшить:

(д, - (37)

где С зависит от ф\. Аналогичный результат верен также для функционалов, задаваемых формулой

(9, Ч>) = У ffdxdij}, п

где / € LP(Q), р>2, и равна нулю при ф > Nq. В этом случае

V55)<A7||/||^. (38)

(См. Замечания 3.3.1 и 3.3.2)

Следствием этой теоремы являются пункты (27), (28) теоремы 3.1.1. Слабая сходимость функций в теореме 3.1.1 доказывается методами, описанными в работе О.А.Олейник и В.Н.Самохина.

В четвертом параграфе третьей главы доказывается теорема усреднения для уравнений пограничного слоя в декартовых координатах. Получен следующий результат: Теорема 3.4.1

Пусть ve, sE ограничены равномерно по е и существует такая константа С, что

X X

шах| J(ve — v0)dx\ < Се, max| J(se — so)^x| < Се. о о

Пусть кроме того U, v£, se, vq, so, w\ таковы, что выполняются условия существования классического решения соответствующих задач.

Тогда ие, Vе сходятся к и0, v° в следующем смысле: для всякого N > 0 существует такая константа С, что

max |ue — it°| < Се*, (39)

Ds

IIV5?- < Се*. (40)

Кроме того для всякого уо

Vе v° слабо в L2(DNtVo), (41)

ие и0 слабо в И^Рлг.уо) . (42)

иуу иуу слаб° в ЫВнм,), (43)

где £>лг1Уо = {0 < х < X, у0 < у < оо}.

Благодарность.

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Григорию Александровичу Чечкину.

Основные публикации автора по теме диссертации.

(из официального Перечня ВАК)

[1] Романов М. С. Усреднение задач со многими масштабами в магнитной гидродинамике. // Проблемы мат. анализа, №.35, 2007, с. 133-138

[2] Романов М.С., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. О скорости сходимости решений уравнений Прандтля в быстро осциллирующем магнитном поле. // Доклады РАН, 2009, том 426, №4, с. 450-456.

В работе [2] Романову М.С. принадлежат доказательства лемм 2 и 4, теоремы 3 и следствий 1 и 2.

(прочие)

[3] Романов М. С., Чечкин Г.А. О системе уравнений Прандтля в областях с осциллирующей границей // Материалы международной конференции "Тихонов и современная математика", Москва, 2006, с 219-220

В работе [3] Романову М.С. принадлежат теорема о существовании решения и теорема о сходимости решений.

[4] Романов М. С. Пограничный слой гофрированной пластины // Материалы международной конференции, "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящен-

ной памяти И.Г. Петровского - М.: Изд-во МГУ, 2007, с. 257-258

[5] Романов М.С., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. О скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля, зависящих от малого параметра // Материалы конференции "Современные проблемы математики, механики их приложений", с. 196, Москва, 2009.

В работе [5] Романову М.С. принадлежит теорема о скорости равномерной сходимости решений.

2007247009

Подписано в печать 0$, // 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,¿5 Тираж -/00 экз. Заказ $0

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

2007247005

Введение

1 Описание проблемы и обзор литературы.

2 Структура работы.

1 Основные понятия теории пограничного слоя.

§1.1 Система Прандтля и задача о продолжении пограничного слоя.

§ 1.2 Существование и единственность решений

1.2.1 Случай ньютоновской жидкости.

1.2.2 Случай псевдопластической жидкости.

2 Задача усреднения для пограничного слоя ньютоновской жидкости

§ 2.1 Некоторые замечания и формулировка результатов.

§ 2.2 Вспомогательная линейная задача.

2.2.1 Пространства У (О,N) и В. Разрешимость вспомогательной задачи в случае F <Е £г(0, Т; V)*.

2.2.2 Существование решения в случае F € LP(Q)

2.2.3 Пространства V(0, N) и В. Разрешимость вспомогательной задачи в случае F б £>2 (О, Т\ V)*

§ 2.3 Оценки скорости сходимости в переменных Мизеса

§ 2.4 Оценки сходимости в декартовых кординатах.

3 Усреднение пограничного слоя псевдопластической жидкости

§3.1 Постановка задачи.

§3.2 Пространство Q и вспомогательная задача.

§3.3 Доказательство теоремы усреднения.

3.3.1 Оценки скорости сходимости.

3.3.2 Доказательство слабой сходимости.

§ 3.4 Результаты в декартовых координатах.

1 Описание проблемы и обзор литературы.

Теория пограничного слоя впервые был предложен Людвигом Прандт-лем в 1904 году в его докладе [60] как модель, описывающая движение вязкой жидкости вблизи твердого тела. Прандтль указывал, что при некоторых условиях течение жидкости в окрестности обтекаемого тела можно разделить на две области - сравнительно тонкий слой вблизи тела (собственно пограничный слой), где силы вязкого трения играют существенную роль, и область вне этого слоя, где силами трения можно пренебречь (внешний поток). Из-за прилипания жидкости к поверхности тела, скорость потока в пограничном слое резко меняется, возрастая от нуля на поверхности обтекаемого тела до скорости внешнего потока на границе погранслоя. Прандтлем были выведены уравнения, определяющие движение жидкости в пограничном слое -так называемая система уравнений Прандтля. Для случая плоскопараллельного движения несжимаемой ньютоновской жидкости вдоль пластины, расположенной в плоскости у = 0, данная система имеет вид щ + иих + vuy = ииуу + Ut + UUX Ux + vy = 0

Здесь (it, v) - вектор скорости жидкости в данной точке, U - продольная составляющая внешнего потока жидкости, предполагаемая известной величиной.

Эксперименты показывают, что гипотеза Прандтля справедлива при достаточно больших значениях числа Рейнольдса Re = v~lU$X: а именно, при малой вязкости, большой характерной скорости внешнего потока или больших линейных размерах тела. В этом случае систему Прандтля можно рассматривать как приближение системы уравнений Навье-Стокса (см., например, [47]). Поскольку уравнения Прандтля проще, нежели уравнения Навье-Стокса, и вместе с тем хорошо отвечают экспериментальным данным, теория пограничного слоя заняла одно из центральных мест в гидродинамике.

Данной проблематике посвящена обширная литература, содержащая результаты теоретических и экспериментальных исследований. Из монографий упомянем прежде всего работы Шлихтинга [39], Лойцян-ского [13], Шетца [62]; математическим аспектам теории пограничного слоя посвящен классический труд Олейник и Самохина [17].

Известны различные модификации теории пограничного слоя. Отметим прежде всего магнито-гидродинамический пограничный слой (см. [3], [29]), возникающий при движении проводящей среды в присутствии магнитного поля (примерами таких сред являются плазма, расплавы металлов, различные электролиты.) Успешно зарекомендовал себя пограничный слой в теории тепло- и массопереноса (см., например, [57], [35], [36]), в гидродинамике реагирующих сред (см. [38]).

Одна из основных прикладных задач, связанных с интересующей нас тематикой - это проблема управления пограничным слоем. Состоит она в следующем: требуется ослабить или предотвратить срыв потока с обтекаемой поверхности с целью уменьшения сопротивления среды. Это возможно, например, путем вдува-отсоса жидкости в пограничный слой, либо, для электропроводных сред, путем создания достаточно мощного магнитного поля. Отметим некоторые недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости (см. например

63], [61], [18], [48], [49]), посвященные различным методам управления обычным и магнитогидродинамическим погранслоем.

Наряду с линейно вязкими жидкостями в теории пограничного слоя активно исследуются так называемые неньютоновы жидкости, или жидкости с нелинейным реологическим законом (см. например, [37], [12]). Одной из моделей нелинейно-вязких жидкостей является модель Оствальда, в которой компоненты тензора напряжений зависят от компонент тензора скоростей деформации степенным образом, а именно: 1

Tij = —Sijp + к y-emiehnj е^, где &ij = — ^ - компоненты тензора скоростей деформации, р -давление, к - показатель консистенции жидкости, 5ij - символ Кроне-кера.

Для таких жидкостей естественным образом можно ввести понятие пограничного слоя. В этом случае главным членом в уравнении Прандтля будет д

КГЧ)

При 0 < п < 1 подобная жидкость носит название псевдопластической; к таким жидкостям относятся многие полимеры. При п > 2 среда называется дилатантной. Постановку задач обычной и магнитной гидродинамики и подробное изложение известных результатов можно найти в [17], [29], [25], [26]. Задаче смешанных сред посвящена, например, работа [28]. Пограничный слой для модификации Ладыженской уравнений Навье-Стокса (см. например [8]) рассматривается в работе [30].

Значительный интерес представляют различные задачи усреднения в гидромеханике. Данная область имеет немалую практическую ценность, позволяя изучать свойства микронеоднородных жидкостей (как то: суспензии, взвеси), поведение жидкостей под воздействием быстро меняющихся внешних сил, движение жидкостей в областях с микронеоднородной структурой. Отметим некоторые из результатов, связанные с данной проблематикой.

В работе [33] изучены задачи усреднения уравнений конвекции и нестационарных уравнений Навье-Стокса в поле быстро осциллирующих сил. Усреднение уравнений конвекции с использованием интегральных представлений проведено также в работе [10].

В работе [56] исследована задача для уравнений Навье-Стокса в предположении быстро осциллирующих начальных данных, описываемых функцией V + Описано поведение решения задачи при стремлении е к нулю, в зависимости от свойств функции W.

В работе [45] расматриваются эллиптические системы уравнений с заданными граничными условиями. Системы описывают стационарные уравнения Навье-Стокса или Стокса для несжимаемой вязкой жидкости в области, содержащей большое количество дырок размера е, причем дырки распределены в области периодически с периодом, пропорциональным е. Изучено поведение такой задачи при стремлении г к нулю. Показано, что движение жидкости в этой системе описывается движением некоего сжимаемого потока жидкости. Доказывается теорема о слабой сходимости решения задачи при е —»• 0 к решению усредненной задачи.

В работе [14] изучается задача, относящаяся к описанию движения слабо концентрированной суспензии мелких твердых осесимметриче-ских частиц в вязкой несжимаемой жидкости. Диаметры траектории центров масс и векторы ориентации частиц описываются некоторыми заданными функциями. Считается, что в процессе движения частицы не сталкиваются, при этом они возмущают несущую жидкость. Задача сводится к начально-краевой задаче для системы уравнений Навье-Стокса в меняющейся со временем области, расположенной вне движущихся частиц. Изучено ассимптотическое поведение решений этой начально-краевой задачи, когда число частиц стремится к бесконечности, а диаметры и расстояния между ними стремятся к нулю. Доказано, что множество решений сходится в среднем к множеству решений некоторой усредненной задачи, в которой влияние движения твердых частиц на жидкость учитывается введением в усредненную систему интегрального слагаемого, содержащего функцию распределения частиц.

В работе [24] рассматриваются возмущения, вносимые линейным осциллятором в трехмерный пограничный слой на гладкой пластинке в предположении, что число Рейнольдса стремится стремится к бесконечности. Линеаризованное уравнение взаимодействующшего пограничного слоя разлагается в интегралы Фурье по двум координатам, расположенным на обтекаемой поверхности. При решении задачи численные методы комбинируются с ассимптотическими.

В работе [59] изучена система уравнений Навье-Стокса в области с периодической структурой в предположении, что период стремится к нулю. Строится предельная задача, доказывается сходимось решений.

В работе [51] исследуется зависимость лобового сопротивления от структуры поверхности обтекаемого тела. Ищется численное решение уравнений Навье-Стокса в предположении, что на поверхности тела расположены микронеровности, наподобие шипообразной чешуи акулы. Для упрощения вычислений применяется метод усреднения, найдено приближенное численное решение задачи. Поиску оптимальной формы "чешуек" посвящена работа [50]. Задача сводится к уравнениям пограничного слоя в малой части начальной области. В предположении, что структура поверхности описывается гладкими функциями, численное решается задача о минимизации лобового сопротивления. Показана близость решений усредненной задачи в пограничном слое и усредненной задачи во всей области.

В работе [41] рассмотрена задача гидродинамики теплового потока. Предполагается, что жидкость, описываемая уравнениями Стокса-Буссинеска, представляет собой суспензию сферических частиц, распределенных с периодом е. Выполняется процедура усреднения для случая, когда радиус сфер порядка е3, что является критическим размером перфораций для системы Навье-Стокса, и когда отношение теплопроводности жидкой/твердой составляющих порядка £6. Построена предельная задача, доказана теорема усреднения.

В работе [31] изучена задача об асимптотическом поведении решений нестационарной линеаризованной системы уравнений гидродинамики с малым коэффициентом вязкости и быстроосциллирующими по пространственным переменным данными. Получены погранслой-ные слагаемые, построена предельная система уравнений и задачи на ячейках, решения которых определяют приближенные асимптотики решений рассматриваемой системы. Доказаны оценки точности таких приближений. Вид полученных асимптотик существенно зависит от взаимного асимптотического поведения коэффициента вязкости и параметра периодичности, характеризующего быстрые осцилляции данных. При очень малой вязкости такие асимптотики могут содержать быстроосциллирующие слагаемые, растущие линейно по временной переменной. Аналогичные утверждения доказаны для нестационарной системы уравнений Стокса и частично для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса.

В работе [52] рассмотрена задача о течении ламинарного потока жидкости над пористой поверхностью. Размеры пор считались величиной порядка е. Была построена усредненная задача со специальными граничными условиями, получена оценка ошибки приближения, зависящая от е.

В работе [53] рассмотрена задача о течении вязкой жидкости в канале с неровной границей. В предположении, что неровности стремятся к нулю, построена предельная задача, получены оценки для силы лобового сопротивления жидкости.

Задача усреднения для течения малосжимаемой жидкости сквозь пористую среду рассмотрена в работе [40]. В [42] рассмотрена аналогичная задача для пористой среды, состоящей из материалов двух типов. Предполагается, что отношение проницаемостей материалов есть величина порядка I2, где I - характерный масштаб неоднородности. Распределение материалов и пор предполагается случайным. Строится усредненная задача, доказывается двухмасштабная сходимость решений в среднем.

Уравнение Стокса в случайной пористой среде рассмотрено в работе [1]. Вместо однородного условия Дирихле на границах мелких и многочисленных пор в уравнения добавлен член с положительным быет-роосциллирующим потенциалом, что соответствует частичной проницаемости твердого скелета пористой среды.

Нелинейное нестационарное уравнение конвекции-диффузии рассматривалось в работе [55]. Предполагалось, что коэффициенты уравнения быстро осциллируют, а конвекционный член достаточно велик.

Неоднократно рассматривались различные задачи усреднения в пограничном слое. Задача о пограничном слое в случае быстро осциллирующего внешнего потока рассмотрена в работе [54]. В работе [7] искалось приближенное решение задачи о пограничном слое с отводом движущейся среды через дискретную систему отверстий. При этом ступенчатая функция отвода жидкости заменялась частичной суммой ее ряда Фурье. В работе [4] рассматривалась задача о пограничном слое с интенсивным вдувом.

В работе [27] изучена задача о продолжении пограничного слоя ньютоновской жидкости в условиях интенсивного вдува-отсоса на обтекаемой поверхности, предполагается, что соответствующая функция имеет вид и(§). В предположении о гладкости и периодичности v построена предельная задача', доказана теорема усреднения.

В [17, §10.2] рассмотрена задача магнитной гидродинамики о продолжении пограничного слоя ньютоновой жидкости в предположении, что внешнее магнитное поле задается функцией s(x, Построена предельная задача, доказана сильная сходимость решений при е —» О в непрерывной норме и слабая сходимость в пространстве Соболева однако оценки скорости сходимости получены не были. Обобщение данной задачи на случай многомасштабной осцилляции магнитного поля проведено в работе [19]. Уравнения пограничного слоя в областях с осциллирующей границей рассматривались в [20], [21].

Отметим также некоторые известные результаты об усреднении параболических уравнений.

Обоснование задачи усреднения для абстрактного параболического уравнения вида xt = A(x) + f(x,ujt) где А - линейный оператор, си стремится к бесконечности, отображение / подчинено А, дано в работе [32].

В работе [34] предложен метод нахождения решения усредненной задачи для абстрактного параболического уравнения решение при помощи последовательных приближений. Приближения отыскиваются путем решения линейных абстрактных параболических уравнений с линейным оператором, не содержащим параметра со и единым для всех приближений, и с правыми частями, содержащими предыдущие приближения. Доказывается теорема об их сходимости в специальной норме, получена зависимость скорости сходимости данных приближений в зависимости от частоты.

Случай нестационарного параболического оператора с быстро осциллирующими коэффициентами и с большим параметром при членах малого порядка рассматривался в работе [46]. Предполагалось, что осцилляция происходит как по пространственной, так и по временной переменным, причем периоды осцилляций предполагались пропорциональными e~l и е~2 соответственно. Получено представление решения через решение усредненной задачи и решение спектральной задачи на ячейке периодичности.

Ассимптотическое разложение решения вырождающегося параболического уравнения с малым параметром получено в работе [6].

Случай параболических операторов с почти-периодическими коэффициентами рассмотрен в [5].

Усреднению случайного параболического уравнения посвящена работа [58]. Предполагалось, что коэффициенты уравнения зависят от некоего диффузионного процесса, являющегося решением стохастического дифференциального уравнения. Случай случайного параболического уравнения с большим параметром при младших членах рассмотрен в работе [43].

В работе [11] изучен случай абстрактных параболических уравнений с линейной стационарной главной частью и подчиненным ей нелинейностью, в которую входят быстроосциллирующие во времени с нулевым средним слагаемые, пропорциональные корню квадратному из частоты осцилляций. Обоснован метод усреднения. Для линейных уравнений того же типа обоснован один алгоритм исследования устойчивости решений, когда стационарная усредненная задача имеет собственные значения, лежащие на мнимой оси.

В работе [44] исследовались параболические уравнения в перфорированных областях с быстро пульсирующей по времени периодической перфорацией в предположении, что период £ стремится к нулю. Были доказаны оценки решений в весовых нормах, построены главные члены формального ассимптотического разложения по е. Доказана зависимость вида усредненной задачи от геометрии отверстий.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи о пограничном слое линейно вязкой либо псевдопластической жидкости в присутствии быстро меняющегося магнитного поля и при условии интенсивного вдува-отсоса на границе. Предполагается, что амплитуда изменения магнитного поля (равно как и функции вдува-отсоса) ограничена, частота же является большим параметром. Строится усредненная задача, доказывается сильная сходимость решений в специальных нормах и оценивается скорость сходимости.

Для оценки скорости сходимости строится вспомогательная линейная задача параболического типа, вырождающаяся на границе. Доказывается ее разрешимость и ограниченность решения в некотором анизотропном весовом классе.

2 Структура работы

Диссертация занимает 90 страниц текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы, который содержит 63 наименования. Нумерация формул, теорем, лемм и т.п. тройная: номер главы, номер параграфа и собственный номер; например, Теорема 3.1.2 - теорема 2 первого параграфа третьей главы. Обозначения в различных главах, как правило, независимы.

1. Беляев А.Ю., Эфендиев Я.Р. Усреднение системы уравнений Стокса со случайным потенциалом // Матем. заметки, 1996, т. 59, №4, с. 504-520.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М: Наука, Физматлит., 1975.

3. Брановер Г.Г, Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых жидкостей. М: Наука, 1970.

4. Горский В.В., Суржиков С.Т. Применение метода квазилинеаризации к решению уравнений пограничного слоя с интенсивным вдувом// Изв. вузов. Машиностроение, 1978, № 11, с.179-181.

5. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение параболических операторов с почти периодическими коэффициентами. // Матем. сб., 1982, т. 117(159), №1, с. 69-85

6. Калякин Л.А. Асимптотическое разложение решения вырождающегося параболического уравнения с малым параметром. // УМН, 1983, т.386 №1(229), с. 169-170

7. Кулонен Г.А., Кулонен Л.А. Отсос ламинарного пограничного слоя через систему щелей конечной ширины// Прикладная механика, 1978, т. 14, №9, с. 83-88.

8. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, Физматлит, 1970.

9. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1967.

10. Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях// Сиб. матем. журн., 1993, т. 34, №2, 92-109

11. Левенштам В.В. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. матем., 2006, т. 70, № 2, 25-56

12. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М: Наука, 1982

13. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Глав. изд. физ.-мат. лит., 1962

14. Львов В.А. Сходимость решений начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса в области с подвижной мелкозернистой границей. // Доклады АН УССР, 1987, А, №7, 21-24.

15. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. Физматлит, 1977

16. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородный упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

17. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997

18. Пенязьков О.Г., Храмцов П.П., Черник М.Ю., Шатан И.Н., Ших И. А. Влияние плазмы высокочастотного барьерного разряда на структуру динамического пограничного слоя на плоской поверхности // Инж.-физ. журнал, 2008, Т. 81, № 1, с. 55-61

19. Романов М. С. Усреднение задач со многими масштабами в магнитной гидродинамике. // Проблемы мат. анализа, №.35, 2007, с. 133-138

20. Романов М.С., Г.А. Чечкин. О системе уравнений прандтля в областях с оциллирующей границей // Материалы международной конференции "Тихонов и современная математика Москва, 2006, с 219-220

21. Романов М.С. Пограничный слой гофрированной пластины // Международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007, с. 257-258

22. Романов М. С. О скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля, зависящих от малого параметра // материалы конференции "Современные проблемы математики, механики их приложений с. 196, Москва, 2009.

23. Романов М.С., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. О скорости сходимости решений уравнений Прандтля в быстро осциллирующем магнитном поле. // Доклады АН, 2009, том 426, №4, с. 450-456.

24. Рыжов О.С., Савенков И.В. Пространственные возмущения, вносимые гармоническим осциллятором в пограничный слой на пластинке. // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1988, т. 28, №4, 591602.

25. Самохин В.Н. О нестационарной системе уравнений МГД-пограничного слоя псевдопластической жидкости / / Маг-нит.гидродинамика, 1985, №1, с. 130-132.

26. Самохин В.Н. О системе уравнений пограничного слоя проводящей псевдопластической жидкости в магнитном поле // Гидродинамика, 1988, вып. 58, с. 31-33.

27. Самохин В.Н. Усреднение системы уравнений Прандтля // Диф-ференц. уравнения, 1990, том 26, №3, с. 495-501.

28. Самохин В.Н. О системе уравнений ламинарного пограничного слоя при вдуве неньютоновской жидкости // Сиб. матем. журн., 1993, т.34, Ш, с. 157-168

29. Самохин В.Н. Математические вопросы магнитной гидродинамики неныотоновских сред. М.: Изд-во МГУП, 2004.

30. Самохин В.Н., Фадеева Г., Чечкин Г.А. Модификация О.А. Ладыженской уравнений Навье-Стокса и теория пограничного слоя. // Вестник МГУП, 2009, №5, с. 127-143

31. Сандраков Г. В. Влияние вязкости на осцилляции в некоторых линеаризованных задачах гидродинамики, j j Изв. РАН. Сер. матем., 2007, т. 71, №1, с. 101-154

32. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сб., 1970, т.81(123), №1, с. 53-61

33. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Матем. сб., 1972, т. 87(129), №2 с. 236-253

34. Симоненко И. Б. Старшие приближения метода осреднения для абстрактных параболических уравнений // Матем. сб., 1973, т. 92(134), №4(12), с. 541-549

35. Хуснутдинова Н.В. Тепловой пограничный слой на пластине // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, № 3. С. 605-608.

36. Хуснутдинова Н.В. Теоретический анализ модели теплового пограничного слоя с сопротивлением. // Сиб. матем. журн., 2005, т. 46, №2, с.449—459

37. Шулъмап З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей. Минск: Наука и техника, 1966

38. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987.

39. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя (пер с нем.) // М.: Наука, Физматлит., 1974

40. Arbogast Т., Douglas J. Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal., 21 (1990), pp. 823-836.

41. Bentalha F., Gruais I., Polisevski D. Asymptotics of a thermal flow with highly conductive and radiant suspensions// Applicable Analysis 85 (2006), no. 6-7, pp. 811-830.

42. Bourgeat A., Mikelic A., Piatnitski A. On the double porosity model of single phase flow in random media. // Asymptotic Analysis,34 (3,4), june 2003 ; IOS Press, pp. 311-332.

43. Campillo F., Kleptsyna M., Piatnitski A. Homogenization of random parabolic operator with large potential // Stochastic Processes and their Applications 93, No.l, 57-85, (2001).

44. Cioranescu, D.; Piatnitski, A. Homogenization in perforated domains with rapidly pulsing perforations. // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 9, 461-484, (2003).

45. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems arising in Fluid Mechanics // J. math, pures et appl., 1985, v. 64, №1, pp. 31-75

46. Fife P.C. Toward the validity of Prandtl's approximation in a boundary layer // Arch.Rat.Mech.Anal., 1965, v. 18, No 1, pp. 113.

47. Font G. I. Boundary Layer Control with Atmospheric Plasma Discharges // AIAA Paper 2004-3574.

48. Font G. I., Morgan W.L. Plasma Discharges in Atmospheric Pressure Oxygen for Boundary Layer Separation Control // AIAA Paper 2005-4632

49. Friedmann E. The optimal shape of riblets in the viscous sublayer // J. of Math. Fluid Mech., DOI 10.1007/s00021-008-0284-z, 2008

50. Jager W., Mikelic A., Neuss N. Asymptotic Analysis of the Laminar Viscous Flow Over a Porous Bed // SIAM Journal on Scientific Computing, 2000, v.22, №6, pp 2006 2028.

51. Jager W., Mikelic A. On the roughness-induced effectiv boundary conditions for an incompressible viscous flow // J. Diff. Equations, 2001, v.170, pp 96-122

52. Lin C.C. Motion in the boundary layer with a rapidly oscillating external flow// Proc. 9-th Intern. Congr. Appl. Mech. Brussels. V.4 Brussels, 1957, pp. 155-167

53. Marusic-Paloka, E.; Piatnitski, A. Homogenization of a nonlinear convection-diffusion equation with rapidly oscillating coefficients and strong convection // Journal of London Math. Soc. 72, No. 2, 391-409 (2005).

54. McLaughlin D., Papanicolaou G., Pironneau O. Nonlinear Evolution Equation with Rapidly Oscillating Initial Data // Lecture Notes in Physics, Vol. 154, 1982, pp. 177-182

55. Pantakar S.V., Spolding D.B. Heat and Mass Transfer in Boundary Layers. Morgan-Grampian, London, 1967.

56. Pardoux, E.; Piatnitski A. Homogenization of a nonlinear random parabolic partial differential equation // Stochastic Processes and their Applications, 104, No. 1, 1-27, (2003).

57. Polisevski D. Homogenization of Navier-Stokes model: the dependance upon parameters// ZAMP, 1989, v40, no 3, pp 387-394.

58. Prandtl L. Uber Fltissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Verhandl. d. III. Intern. Math.-Kongr. Heidelberg, 190490

59. Roth J.R., Sherman D.M., Wilkinson S.P. Boundary Layer Flow Control with a one Atmosphere Uniform Glow Discharge Surface Plasma // Proceed, of 36th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, January 12-15, 1998, AIAA paper 98-0328

60. Schetz J.A. Boundary Layer Analysis. Prentice-Hall, Inc. 1993.

61. Weier Т., Fey U., Gerbeth G., Mutschke G., Lielausis 0., Platacis E. Boundary layer control by means of wall parallel Lorentz forces // Magnetohydrodynamics 2001, v.37, No. 1/2, pp. 177-186.