Начально-краевые задачи для уравнений неньютоновских жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

| 2 СЕНщ}Щрственнцй комитет российской федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕН] 1ЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НЕНЫОГОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

4 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

На правах рукописи

УДК 517.9 + 532.5:532.135

Новосибирск - 1994

Работа выполнена в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО РАН.

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН В.Н.Монахов доктор физико-математических наук, Н.А.Кучер,

кандидат физико-математичоских наук, А. А. 11а пин.

Институт вычислительных технологий СО РАН.

Защита состоится " 26 " 1994 г. в /5

часов на заседании специализированного совета К 063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата фгаико-мзтематических наук в Новосибирском государственном университете по адресу: JS30090, г.Новосибирск, 90^ул .Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ. Автореферат разослан " 2S~ " u4z^C7Cf 1994 г.

Ученый секретарь специалгоированного совета д.Ф.-м.н.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

В. В. Шалу хин

1 . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В основе классической гидродинамики лежит закон Ньютона, согласно которому имеет место линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций.

а = -р1 * 2ц1). т) = сопзХ Однако, многие материалы, в частности расплавы и растворы полимеров, суспензии, глинистые растворы, масляные краски, фармацевтические и пищевые продукты, кровь, дают примеры жидкостей, отличных от ньютоновских. Вязкость таких жидкостей, получивших название неньютоновских, является функцией скорости сдвига и температуры. Кроме того, такие жидкости могут проявлять пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предельного напряжения сдвига, после которого возникает "текучесть среды". Наконец, эти материалы могут проявлять вязкоупругие свойства таким образом, что состояние среды определяется историей ее деформирования.

Вопросы численного моделирования требуют развития теории начально-краевых задач для уравнений неньютоновских жидкостей, а также для различных приближенных моделей, применяющихся для расчета течений вязких несжимаемых жидкостей.

Цель работы. Целью данной работы является изучение начально-краевых задач для модели Олдройда вязкоупругой жидкости, а таюкэ для модели обобщенных уравнений Прандтля для ньютоновской и неньютоновской жидкостей.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Доказано существование глобального решения для модели вязкоупругой жидкости типа Олдройда в следующих начально-краевых задачах:

а) в задаче с условиями прилипания на границе, б ) в задаче протекания,

в) в первой краевой задаче для модели неоднородной жидкости Олдройда.

2. а) Доказана однозначная разрешимость задачи протекания

для модели обобщенных уравнений Прандтля линеаризованных на течегопш Пуазейля, <3 ) Осуществлен предельный переход в линеаризованных стационарных уравнениях Навье-Огокса к модели обобщенных уравнений Прандтля. в ) Доказано с^цествоваш« к~~единстветгостъ-^обобщенного— решения в модели дилатантной жидкости в приближении обобщенных уравнений Прандтля. Все результаты являются новыми.

Методика исследования. Доказательство разрешимости начально-краевых задач для модели жидкости Олдройда проводится на основе идей и методов разработанных А.Ь.Кажиховым с использованием метода компактности я метода штрафа.

Обобщенные уравнения Прандтля исследуются с помощью метода Галеркина и метода регуляризации. Однозначная разрешимость в модели дилатантной жидкости доказывается методом монотонности.

Практическая и теоретическая ценность. Подученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения.задач механики жидкости.

Апробация работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на семинаре по математическим моделям механики сплошных сред в Институте гидродинамики СО РАН под руководством чл.-корр.РАН В.Н.Монахова, на семинаре по математическим вопросам в гидродинамике в Новосибирском государственном университете под руководством проф.А.В.Кажихова, на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте математики СО РАН под руководством проф.А.М.Блохина, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики СО РАН под руководством проф.Т.И.Зеленяка, на семинаре в Институте вычислительных технология СО РАН под руководством проф. В. М. Ковени.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 38 наименований. Материал диссертации изложен на 83 страницах.

\ 2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение. Во введении обосновывается актуальность темы, проводится краткий обзор литературы и формулируются основные положения диссертации.

Глава I. Посвящена постановке начально-краевых задач и доказательству теорем существования для уравнений вязкоупру-гой жидкости типа Олдройда в ограниченной области 0 евклидова пространства й"» п = 2,3.

R- £ ut + (u-v)u J + vp = ("f-aj-üu + v-S + f

diu и = 0 (i)

S + We-[ St + (u-v)S ] = 2aD в QT = fl * 10,T)

где U - скорость жидкости, p - давление, S - упругая часть тензора напряжений - суть искомые функции времени t и точки

т

Х\ В = fvu + (vu) )/2 - тензор скоростей деформаций; R = UL/X] и "/С = X,U/L - соответственно, числа Рейнольдса и Вей-

.сенберга; а = ] - \2 / Х1 - числовой параметр, Х1 - время

релаксации, Х2 - время запаздывания, 0 < < Х}. U. Ъ -

характерные скорость и размер модели, Г| - вязкость жидкости.

(2)

В §1 изучается начально-краевая задача, когда на границе задаются нулевые значения скорости.

и(хЛ) = О при Г ( Г, 1 € ГО.24; и(Х,0) = и0(Х). Б(х.О) = Б0(х) при Xi.il, (Ир и0 = 0, и0 |г = 0.

Задача изучается в обобщенной постановке. Решения разыскиваются в следующих классах: и(П € 1^(0,Т;ЛП)) П 1г(0,Т;^ (П)), Б(г) € Ъ^О.Т.-Ь^П)).

теорема 1.1. Пусть /(хЛ) € Ъ2(С1Т), и0(х) € ЛП). Б0(х) е Ъ2(П). еп е Сг, тогда существует по крайней мере одно обоб-щетое решете задачи. (1)-(2).

Доказательств^ теоремы осуществляется по следующей схеме:

е

и и

строится последовательность приближенных решений (и ), С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается локальное существование приближенных решений (и." ). При этом для них справедливы глобальные априорные оценки:

О + 1и"|2 , < и,-

I (О, Т; J ) 1

нюх < * .

которые позволяют продолжить полученное решение на весь промежуток 10,Т]. На следующем шаге доказывается компактность

и

последовательности и в Ъ2(0,7). Оценки (3) и результат о компактности позволяют осуществить предельный переход и получить существование обобщенного решения.

§2 главы I посвящен исследованию задачи протекания для системы (1). Обозначим через Г1 участок границы Г = ЗС1, где происходит втекание жидкости в область (1 <= Я3, Г2- участок вытекания, а Г°- непроницаемая часть границы, = Г* « [0,Т]. Тогда граничные условия формулируются в виде.

а; ("и-т^ = 0, { = 1,2; (и.-п) С 0; Б = .Б1(х,г); р + Я-\и\г/2 < ЫхЛ);

(р + Я-\и\2/2 - 7\(хЛ))-(и-Ю = 0, (хЛ) € Г}..

b) (и-%= 0, I = 1,2; (и-п) » 0; (4) (~1р + Б)п)и > 0;

((-1р + Б)п)и)-(и-п) = О. (хЛ) е Г^.

c) и(хЛ) = 0. (х,Х) <Е Гу.

1 2

-Здесь касательные к Г (или Г ) векторы, линейно

независимые между собой, п - единичный вектор внешней нормали к Г, Б1 (хЛ). Ь(хЛ) - заданные функции.'

и(х.О) = и0(х), Б(х,0) = Б0(х). (5)

Определение обобщенного решения задачи (1), (4), (5) формулируется в виде интегрального неравенства. Выполнение односторонних ограничений гарантируется принадлежностью и некоторому замкнутому выпуклому множеству К. Доказано, что если и и Б достаточно гладкие, то обобщенное решение является классическим.

теорема 2.1. Пусть ванные задачи (1).(4),(5) удовлетворяет условиям: и0 í К; ограниченные б О и на Г| функции, /

€ 1г(йТ), П í 1г(Гкривизна к участков границы. Г1 ,Гг -функция класса ХрСГ'и Г2), р > 2, и пусть 0 < а < ■/3/4 - 6, где 5 0 - лшая величина. Тогда для всех £ е 10.Т1 существует по крайней лере одно обобщенное решение задачи / (1).(4),(5).

Доказательство теоремы осуществляется методом штрафа. Вводится стандартный оператор штрафа р, связанный с множеством К: К = (и/ц £ К # $(и) = 07. В уравнения импульса добавляется член |ргиЕ; и рассматривается задача со штрафом, зависящая от малого параметра е. Доказательство разрешимости регуляризованной задачи проводится по той же схеме, что и в параграфе 1, При этом получаются равномерные по е априорные оценки, которые позволяют перейти к пределу при ек -> О в соответствующих интегральных неравенствах, справедливых для решений штрафованной задачи. Причем доказывается, что предельная функция иа) € К, что и гарантирует выполнение одно-

сторонних ограничений.

§3 главы I посвящен изучении разрешимости модели неоднородной жидкости Олдройда.

p(u -tfu-vju. )+р = 2 Е $ + -uJ))Uv-S)^pf.

11 1 xi j=t öXj А., дхj ■ дх1 11

diu и = О

к2

S + X2(St + (u-v)S) = гц(р)(1 - - ю

pt + (u-v)p = 0

(6)

u(x,t) = 0 при i { Г, t € 10,TJ; u(x.O) = u0fxj# Sfx.O; = s0(x), p(x,0) = P0fxj при X i fi, (7)

diu u0 = 0, uö|r = 0. 0 < m < p0fxj < И < oo.

Вязкость считается зависящей от р, причем на функцию Т)(р; при этом накладываются условия:

о < т), <5 yip) < п2 < га, V р € Im,М] fq(Pj) - Т)(р2)1 < с/р, - Р21»# 0 < у < /, V р,,р2.

(8)

Обобщенное решение задачи (6)-(7) имеет следующую гладкость uiU € LJ0,T;J(Q)) П 12(0,Т;^ ((1)), S(t) € LJ0.T;L2(Ü)), p(X,t) i l^Qj.) и определяется стандартным образом. теорема 3.1. Пусть J(x.t) € vqjj, ug(x) € jen;. e

0 < n 4 P0ixJ ^ M < x>, дП ( С3 и пустъ выполнено условие (в), тогда существует по крайней лере оЗно обобщенное решение задачи (6)-(7).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1.1. При этом используются оценки на плотность:

О < m ^ pn(x,t) < И < ®

а также свойство сходимости последовательности р в норме Iq(QT), Ч ? 2: |р" -p\zq q -» 0 при п -» <», полученные в работе А.В.Кажихова1. Эти свойства сходимости совместно с оценками (3), а также свойство сильной сходимости и" в L2(QT). позволяют перейти к пределу в соответствующих интегральных тождествах.

Глава II. В §1 рассмотрена задача протекания для нестационарных обобщенных уравнений Прандтля, линеаризованных на течении Пуазейля.

ut * (1-у )их - 2yv f рх = vu + f1

v. +

* Pv = Wyy * f

Ux + vy =0

(9)

в области (Зг = П * [ОЛ'1, (1 = [0,1] * 1-1,11, V > 0.-

Здесь и(Х.у) = (и,и) и р - это возмущения основного течения, взятого в следующем виде: и(у) = 1 - у , 1)(у) = 0, р(х) = -21>Х. В силу линейности задачи граничные условия можно взять нулевыми, поэтому для.системы ( 9 ) рассматривается задача:

Uix.y.t)!,..^, = 0, Щх.уЛ)\хя0 - 0 и(х.уЛ)|х=1 = 0, U(x.y.t)\ta0 = U0(x,y)

<10)

1. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: Наука. -1983.- 3l8c.

Ю

Считаем выполненными условия согласования:

dtv U0(x.y) = 0, V0(x,y)\yu_ul = О определение 1.1. Обобщенным решением задачи (9)-(10) называется ветор-фунют U(x,y,t) € 5R , где ЗЛ = f W(x,y,t)/ iv е 1Ггг(0.Т;М)). Пу € 12(Qt). «V-bi = wilx-o,i = 0}' удовлетворяющая следующему интегральном/ тождеству:

Г ГО, -Ф - (!-'/- 2ущ + vUv-a Idùit ^ Qr у у

= J F-Ф cïJdt (il)

Зля любых вектор-функций Ф = е 5 = (Ф/Ф € j\'°(QT)

ф1у=-Л1 - 0. ф|х=0 - 0. «|гв1 - 0), U\t.0 = U0(x,y). теорема 1.1. Пусть F е L2(Qt). Ft <е L2(QT) и UQ достаточно гладкая (требования на UQ: Ug ç 1г(П), ( 1-у3 )Uûx. U0yy <= 1г(П)), тогда существует по крайней лере одно обобщенное решение задачи (9)-(10).

Теорема доказывается методом Галеркина. Показывается, что для приближенных решений справедливы следующие равномерные по п априоршт оценки:

[У"|2 + V/ (U")2 сШй < СМ).

\Unt\2 + vj (Untyf сШт < C3(t),

которые позволяет выделить из последовательности приближенных решений подпоследовательность Ш ), обладающую следующи-

k k к

ми свойствами сходимости: IV }, (Ut ), ÎUy ) сходятся слабо в L2(Qr), что позволяет перейти к пределу в соответствующем интегральном тождестве.

теоина 1.2. Полученное обобщенное решение задачи (9)-(10) единственно.

Единственность решения доказывается следующим образом. В предположении существования двух обобщенных решений составляется их разность, для которой справедливо интегральное тождество (и)о нулевой правой частью. В этом тождестве в качестве пробной функции берутся усреднения по X некоторой соленоидальной функции. Затем усреднения перебрасываются на стоящие рядом сомножители и уже в качестве пробной функции подотавляется

- 1 Т иа.улт.

п х

После чего для иь получается энергетическая оценка, справедливая и для предельной функции V. Из этой оценки следует, что V = 0 п.в. в (¡г. При этом возникает некоторый граничный интеграл, который при И - 0 зацуляется. Доказательству этого факта посвящено две вспомогательные леммы.

В §2 главы II исследуется вопрос о предельном переходе в стационарных линеаризованных уравнениях Навье-Стокса, когда часть вязких членов стремится к нулю. Показано, что обобщенное решение задачи протекания для этих уравнений слабо сходится к единственному обобщенному решению задачи протекания для обобщенных уравнений Прандтля.

В §3 главы Ы исследуется движение дилатантной жидкости в приближениях обобщенных уравнений Прандтля.

и. + (1-у )и - 2уи + р- 3 1А(и)и1 + /

I х х ^ } $ /

у. * а-у )ъ' ! р

их + = О

!Миу)Уу] + /2

в области «г = П ' ГО, Г/, П = 10,1] * 1-1,1!, где и ■■= (и.и), Л(Иу) = vШylг^x, V > О, р, > 0.

Для уравнений (12) рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

и(х,ул)= о, щх.ул)\х,0 - о, (13)

= о, исх.ул)|£=0 = и0(х.у) определение 3.1. Обобщенны» решением задачи. (12)-(13) улзи-вастся функция и(х.уЛ) с И , где 5Л = ( У(х,уЛ)/ ¡V € \гг(0,Т;ЛЛ)), ту € №|у=_1<; = 0, ш,!,.^ = 0 ),

удовлетворяющая сиедущелу интсгрсиьном/ тождеству:

| Ш .Ф - (1-у"IV-Ф

о. *

2ущ т Л(иу)и^-ф ]с£Ш =

= / Р-Ф СШГ

(14)

Э.1Я любит ветор-функций Ф = Сф,ф.) е 5

= Ч=1*-0 ' - О Л С|г=0 = и0(х.у).

теорема 3.1. Задача (12)-(13) имеет по крайней л/ере одно обобщенное решете из класса К при любой функции Р с 12(0Т) тсчсой, что Р1 12(0Т) и и0 достаточно гладкой (требования на и0: ип а 1Я((1). (1-уг)00х. $ [А(ип„)ип„] С 1,(0)).

ду

Оу 1 Оу

теорема 3.2. Полученное обобщенное решение заЭачи (12)-(13) единственно.

Существование рзшешм показывается с помощью метода

Галеркина. Предельный переход осуществляется на основе априорных оценок:

• [ип12 * г пи"121Х(и")2 <ш% < сРа),

Qt У У

¡У?|2 + X У1ип1г,1(и")2 сш% * О ^ у

+ ! ?Щ\и"\г,1~2(и"-V" )2 (Ш1 < СМ), <?, у у 1у 3

а также свойства монотонности оператора А(1/") = Л(и"}1}" -

г(7'.Г») * ¡А(7') - А(У')}-(У> -V'•) > 0 (15)

Единственность решения доказывается аналогично параграфу 1 с использованием неравенства (15).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю чл.-корр.РАН В.Н.Монахову, а также профессору А.В.Кажихову за постоянное внимание и поддержку в работе.-

публикации по теме диссертации

1. Турганбаев Е.М. О жидкостях типа Олдройда.- Тез.докл. 28 науч.-теор.конф., ч.2.- Караганда:Изд.КарГу, 1993,с.129.

2. Турганбаев Е.М. Фильтрация вязкоупругой жидкости типа Олдройда. Динамика сплошной среды.- вып.108, 1994, с,80-97.

3. Турганбаев Е.М. Задача протекания для обобщенных уравнений Прандтля.- Динамика сплошной среды,- вып.106, 1993, С . 1В2 -

1А.