Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многогранниках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

МАКСИМЕНКО ЕГОР АНАТОЛЬЕВИЧ

ОБ АСИМПТОТИКЕ ОБОБЩЁННОГО СЛЕДА

ОПЕРАТОРОВ СВЁРТКИ НА РАСШИРЯЮЩИХСЯ МНОГОГРАННИКАХ

01.01.01.- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на- Дону - 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Симоненко Игорь Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пуляев Василий Фёдорович

кандидат физико-математических наук, доцент Авсянкин Олег Геннадьевич

Ведущая организация: Владимирский государственный

педагогический университет

Защита состоится ,

О аюк9 _2004 г. в 16.50 на заседании

диссертационного совета К 212.208.06 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан ДЛО-^_ 2004 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета К 212.208.06, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются операторы свертки на расширяющихся многогранниках и изучается асимптотическое поведение их обобщённого следа. Также исследуются вопросы, связанные с асимптотической обратимостью этих операторов.

Обозначим через \Утхт(К") множество винеровских матриц-функций на М", т. с. множество функций а: К" —С"хт вида

где с 6 С™*"1 и к £ Ь?хт(Шп). Здесь — скалярное произведе-

ние векторов х и t, Стхт — алгебра квадратных комплексных матриц порядка т, 1«™хт(Кп) — пространство интегрируемых матриц-функций (С™ш-значных отображений) на Ж".

Если матрица-функция а из \У7ПХт(К") имеет вид (1) и X — измеримое подмножество то через обозначим оператор, действующий в пространстве по формуле

(Са,хШ = сНу) + ¡к{у- X) /(х) ¿х (уех, /е ь?(Х)).

Говорят,что Са<х — оператор свёртки с символом а на множестве X. Если ^(Х) < +оо (здесь и далее ^ обозначает меру Лебега в К"), то Са,х называют оператором усечённой свёртки. При т > 1 оператор свёртки называют матричным или блочным.

Если А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, то через а{А) будем обозначать его спектр, а через сг^(Л) — множество изолированных точек спектра, являющихся собственными числами конечной алгебраической кратности.

Приведём определение обобщённого следа. Пусть А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве,

РОС НАЦИОНАЛЬНА« БИБЛИОТЕКА СОтИярг (/¿-а-09 [

некоторая функция. Говорят, что определен уз-слсд оператора А, если абсолютно сходится ряд

где ^(А) алгебраическая кратность Л. Сумму этого ряда будем обозначать через ^(Л) и называть ср-следом оператора A или обобщённым следом оператора А относительно пробной функции <р. Заметим, что если оператор А ядерный и функция (р голоморфна в окрестности ст(Л), причём у(0) = 0, то опера т<орт а к ж е ядерный и ^(Л) = 1г(уз(Л)), где — след. Если А — матрица, то 1^(Л) понимается как уьслсд оператора умножения на матрицу А.

В настоящее время наиболее изучены одномерные дискретные аналоги операторов свёртки, т. е. тёплицевы матрицы и (при m >1) блочные тёплицевы матрицы. Если

то тёплицевой матрицей порядка N с символом а называют матрицу Тдт(а) = ГД° Ч] — коэффициенты Фурье функции а.

Первые результаты об асимптотическом поведении обобщённого следа и определителя тёплицевых матриц получил Г. Сегё. Он нашёл главный член асимптотики обобщённого следа ("первая" предельная теорема Сегё, 1920) и два члена асимптотики определителя ("сильная" предельная теорема Сегё, 1952).

Г. Видом (1976) доказал, что если о принадлежит алгебре Крейна, т. е. то асимптотика обобщённого следа

тёнлицевых матриц имеет вид

С1ЛГ + С0 + 0(1). (2)

Г. Видом рассмотрел также блочный случай

В ^мерной дискретной ситуации полную асимптотику обобщённого следа изучали Д. Катеб и А. Сеги (2000), а также Б. Торсен (1996). Предполагая, что символ а принадлежит многомерному аналогу алгебры

Крсйна и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, обеспечивающим возможность факторизации, а X — прямоугольный параллелепипед в К" с целочисленными вершинами, они доказали, что асимптотика обобщённого следа дискретных операторов свёртки в пространстве при имеет вид

И. Б. Симоненко и В. А. Васильев (2001) заметили (в одномерной дискретной ситуации), что если функция а бесконечно дифференцируема, то остаточный член в формуле (2) стремится к 0 быстрее любой отрицательной степени N.

В целях дальнейшего изучения асимптотики обобщённого следа представляется актуальным уточнить порядок малости остаточного члена в многомерной ситуации и освободиться от некоторых лишних условий на символ.

Изучение асимптотики обобщённого следа оператора свёртки тесно связано с построением обратных и асимптотически обратных операторов. Основные результаты, связанные с нётеровостью и обратимостью оператора свёртки на полупрямой, получили (в случае достаточно гладких символов) Е. Хопф и Н. Винер (1931), Ф. Д. Гахов (1950-е гг.) и М. Г. Крейн (1958). Асимптотическую обратимость оператора свёртки на расширяющемся сегменте изучали И. Ц. Гохберг и И. А. Фельдман (1971). Соответствующие многомерные задачи решали И. Б. Симоненко (нётеровость операторов свёртки на конусах, 1967) и А. В. Козак (критерий асимптотической обратимости операторов свёртки на расширяющихся многогранниках и множествах, локально диффеоморфных конусам, 1973). В частности, из работ А. В. Козака следует, что для любого многогранника X в К" и для любой матрицы-функции а из \Утхт(Е")

множество

Sx(a) = {Л ее I lim sup ЦСД, J < +oo}

совпадает с объединением множеств <т(Са(С0П1(х)), где х пробегает vert(AT) (множество вершин X), а через сопх(Х) обозначен конус с вершиной ж, порождённый множеством X.

Б. Зильберманн, А. Бётчер, С. М. Грудский и А. В. Козак в последние годы решили несколько новых задач, связанных с асимптотической обратимостью одномерных усечённых операторов свёртки и тёплицевых матриц. В частности, они нашли пределы норм обратных операторов и пределы псевдоснектров. Напомним, что если а — элемент банаховой алгебры (с единицей и нормой то псевдоспектр элемента а определяется формулой

Здесь, как и всюду в работе, полагается если а необратим.

В данной диссертации аналогичные проблемы (нахождение пределов норм обратных операторов и псевдоспектров, построение асимптотически обратных операторов) решены в многомерной ситуации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является изучение асимптотики обобщённого следа оператора свёртки на расширяющихся многогранниках, в том числе уточнение порядка малости остаточного члена. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

— найти достаточные условия на символ свёртки, при которых остаточный член асимптотики стремится к нулю со степенной скоростью;

— изучить свойства асимптотической обратимости операторов свёртки на расширяющихся многогранниках;

найти асимптотическое представление обратных операторов свертки на расширяющихся многогранниках в виде суммы слагаемых, "сосредоточенных'' вблизи крайних подмножеств многогранников.

Методологическая основа исследования. В диссертационном исследовании используются методы функционального анализа. Изучение асимптотической обратимости операторов свертки на расширяющихся многогранниках основано на локальном методе И. Б. Симоненко и его модификации, разработанной А. В. Козаком.

Научная новизна. Перечислим новые результаты, полученные в диссертации. Доказано; что если символ принадлежит алгебре Кг™хт(М.п) (7 > п) и пробная функция <р является многочленом, причём — выпуклый многогранник в то при

Т -Ь +схэ

Здесь через Кг™хт(Е.п) обозначена алгебра матриц-функций а вида (1), для которых

^|г|т||ф)||2Ж;<+оо.

При более общем предположении, когда голоморфна в окрестности формула (3) доказана в одномерном и двумерном скалярном (п = 2, т = 1) случаях. Для этого разработан новый способ построения асимптотически обратных операторов.

Кроме того, в работе доказано, что норма оператора, обратного к оператору свертки на расширяющемся многограннике, стремится к максимуму норм обратных к операторам свёртки на конусах при вершинах многогранника, а псевдоспектры стремятся (по метрике Хаусдорфа) к объединению соответствующих псевдоспектров.

Без предположений относительно гладкости символа и формы обла-

сти усечения доказан многомерный вариант "первой" предельной теоремы Г. Core.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученное уточнение оценки остаточного члена позволяет дать существенно более благоприятный прогноз эффективности использования методов, основанных на применении асимптотических формул для обобщенного следа. Результаты о пределах норм обратных операторов и псевдоспектров, имеющие простой геометрический смысл, могут иметь приложения в механике и оптике. Новый способ построения асимптотически обратных операторов может быть применен для дальнейших исследований асимптотического поведения обобщённого следа и норм обратных операторов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседании Ростовского математического общества, на международной научной конференции "Горячие точки науки", на семинаре "Тёнлицевы матрицы" профессора А. Бётчера (г. Хемниц, Германия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1| [11], список которых приводится в конце автореферата. В совместных статьях [1] и [2] автору принадлежит исследование континуального случая. В работе [7j, выполненной совместно с научным руководителем, научному руководителю принадлежат постановка задачи и большинство утверждений геометрического характера (в том числе техника работы с выпуклыми множествами), а автору — нахождение достаточных условий убывания остаточного члена со степенной скоростью.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на 20 параграфов, и списка литературы, содержащего 70 наименований. Объём работы 149 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, описание тематики, а также разбор результатов по главам.

В первой главе приведены основные обозначения и изучены некоторые из тех свойств усеченных операторов свёртки, которые не зависят от гладкости символа и от формы области усечения. В частности, установлен следующий обобщенный вариант теоремы Брауна-Халмоша:

Предложение 1.2.6. Пусть а (Е £™хт(Еп), X измеримое подмножество К". Тогда о{Са,х) С ^^Сад) С ЪЩа).

Здесь W(A — замыкание числового образа оператора А, т. е. замыкание множества комплексных чисел вида а множество определяется как выпуклая оболочка множества таких А Е С. что для любой окрестности U точки А множество

имеет положительную меру. В скалярном случае (т. с. при т — 1) ^¿^(а) представляет собой выпуклую оболочку множества "существенных значений" функции а.

Далее (в § 1.3) доказана обобщенная версия теоремы Мерсера о разложении ядра неотрицательного интегрального оператора. Из нее выведено следующее предложение о ядерности усечённого оператора свёртки.

Предложение 1.3.1. Пусть а £ Ь™хт( К"), X измеримое подмножество М", имеющее конечную положительную меру. Тогда оператор Са,х ядерный, и

{«е!Г |С/П\У(а(О)#0}

Здесь обозначает ядерную норму оператора и матрицы.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что {Хт}те<1 расширяющееся семейство подмножеств К", если 1 множество с заданным на нём направлением >-, для каждого Т £ Т множество ХТ измеримо и имеет конечную положительную меру, и для любого компакта К С К" выполняется следующее предельное соотношение:

В частности, является расширяющимся семейство вида {тХ}Т>о, где X - множество конечной положительной меры в Мп, имеющее границу меры 0.

Основным результатом первой главы является следующий многомерный вариант "первой" предельной теоремы Ссгё:

Теорема 1.4.1. Пусть выполняются условия:

(1) а <Е Ь™*т(Шп) П Ь?хт(Шп);

(2) расширяющееся семейство подмножеств

(3) функция <р: —> С непрерывна на и голоморфна во внутренности

(4) отношение имеет конечный предел при

Тогда .^ ( , )

Во второй главе рассмотрена асимптотика следа произведения операторов свёртки, усечённых расширяющимися многогранниками.

Первые 4 параграфа этой главы содержат специальные понятия и сведения, используемые также в главах 3 и 4.

В §2.1 приведена необходимая информация о выпуклых многогранных (не обязательно ограниченных) множествах и порождённых ими конусах.

В §2.2 определены и изучены алгебры Кг™хт(1Кп); которые можно считать обобщениями алгебр, введённых и изученных М. Г. Крсйном (1966). Кг™хт(К") состоит из таких матриц-функций а вида (1), для которых

Доказано, что обратимость матрицы-функции в алгебре Кг"хт(К") равносильна её обратимости в любой точке из В скалярном случае (при т=1) изучены логарифмирование и факторизация функций из

Известно, что если а 6 \Утхт(К") и X, У — измеримые подмножества пространства то Здесь dist обозначает расстояние между мноежствами, Рх — оператор умножения на характеристическую функцию множества X, действующий в пространстве /^¡"(М"). Чтобы обеспечить стремление к нулю величины ||Р;сС0Ру||бг, где ||-||б2 обозначает норму Гильберта-Шмидта, приходится вводить дополнительное условие — некоторая функция, определённая и изученная в §2.3. Это условие выполняется, например, для конусов X, У с общей вершиной х, таких, что пересечение замыканий X и У равно {хо}-

В работе А. В. Козака и И. Б. Симоненко (1980) рассмотрен класс "плавных" операторов А, таких, что при

изучается более сложное условие "плавности": стремится к 0 достаточно быстро при т —^ +оо для любых X и У, таких, что

В §2.5 доказаны следующие основные утверждения главы 2.

Теорема 2.5.1. Пусть аи...,а„ е Кг™хт(Кп), а^оо) = ... =

а„(оо) = 0, Хх,... ,Х„ -■ многогранные подмножества К", причём Х\

к»

Кг7(Е").

ограничено. Тогда для любого т > 0 оператор

ядерный, и при т —> +оо имеет место асимптотическое соотношение:

где р некоторый многочлен степени не выше dim S, S - пересечение замыканий множеств Х\,... ,Х„. В частности, р = О при 5 = 0.

Теорема 2.5.2. Пусть а Е Kr™xm(R"), а(оо) = О, X -- ограниченное многогранное подмножество Kn, ip — многочлен, (/'(О) = 0. Тогда для любого оператор ядерный, и при имеет место

асимптотическая формула:

где р некоторый многочлен степени не выше п.

Глава 3 посвящена изучению связи между операторами свёртки на расширяющихся многогранниках и операторами свертки на многогранных углах при вершинах многогранников. В этой главе операторы рассматриваются в пространствах L™, где 1 < р < +оо (в остальных главах предполагается, что р~ 2).

§3.1 представляет собой специальную формулировку локального метода, синтезированную из работ И. Б. Симоненко, А. В. Козака и Н. Я. Крупника.

Определение 3.1.1. Будем говорить, что банахова ал-

гебра с локальной структурой, если S& - банахова алгебра (с нормой |-j и единицей е), ко - кольцо боре-

левских подмножеств 5£, и выполняются следующие свойства: (LS1) р(ЯТ) = е.

(LS2) р(и П v) = p(u) р(и) для любых u,v £ Е.г •

(LS3) p(itUu) = p(tt) + p(u) для любых u,v G , таких, что u(l v = 0. (LS4) |p(u)ap(u)+p(u)6p(t;)| < max(|a|, |6|) для любых элементов a,b 6

i/ и любых множеств и, v € £ /, таких, что и D v = 0.

Элемент а из j/ называется элементом локального типа, если p(u)ap(t>) = 0 для любых множеств u,v £ замыкания которых не пересекаются. Множество элементов локального типа обозначают через

И. Б. Симоненко в работах 1964-1996 гг. построил первоначальную версию локального метода для случая, когда некоторая компакти-

фикация К", sd — фактор-алгебра а л г eEhqj^JbjJ1)! о идеалу вполне непрерывных операторов, р(и) фактор-класс оператора Рипи»,, Через End{¿S), где SB — банахово пространство, обозначена банахова алгебра непрерывных линейных операторов в И&.

Абстрактное определение банаховой алгебры с локальной структурой дал А. В. Козак (1973), вместо (LS4) поставив более общее условие:

sup |р(ы)| < +оо.

Условие (LS4) используется уже в работах И. Б. Симоненко, но его особую важность показал Н. Я. Крупник (1986).

Как показал А. В. Козак, отображение lu - характеристическая функция множества и, единственным образом' продолжается до морфизма банаховых алгебр ¡л: 5(i2T) —>• где

замкнутая подалгебра банаховой алгебры ограниченных функций на ■ST. порожденная функциями вида 1„, и 6 Езг-

Теорема 3.1.1 (А. В. Козак). si' состоит из таких и только таких а € , что = ß(<p)a для любых <р € C(JüT). Следовательно, srf'

является замкнутой наполненной подалгеброй алгебры

Для любой точки х £ SC определим преднор^уфформулой q(a,x) = max( inf | р(и)о|, inf |ap(u)|).

Через (s/')x обозначим фактор-алгебру s/ по преднорме а через

жх фактор-отображение.

Теорема 3.1.2 (И. Б. Симоненко). Пусть а и для любой точки

х 6 ЗС элемент тгх(а) обратим слева (соотв., справа) в фактор-алгебре six. Тогда а обратим слева (соотв., справа).

В работе перенесена на абстрактный случай следующая Теорема 3.1.3 (Н. Я. Крупник). Пусть adz si'. Тогда

|а| = sup q(a,x).

Пусть s4, S3 - банаховы алгебры /: si —» и — морфизм банаховых алгебр. Будем говорить, что / согласован с обращением, если для любого элемента а алгебры si его обратимость в алгебре ,si равносильна обратимости /(а) в алгебре 38.

В §3.2 для любого измеримого множества X в Rn определяются банаховы алгебры 'Шх, six, Ч^х и '£х-

— произведение семейства алгебр {РТх End(L™(K"))Prx}r>0-six — фактор-алгебра алгебры по идеалу

Норма в вычисляется по формуле

Обозначим через X замыкание X в пространстве R" и определим отображение формулой

Пусть замкнутая наполненная подалгебра алгебры по-

рожденная элементами вида

Нетрудно доказать, что (¿/х^!?) банахова алгебра с локальной структурой, а С По сравнению с работами А. В. Козака новым здесь является то, что для (£/х>Х,р) выполняется свойство (LS4).

Пусть замкнутая наполненная подалгебра алгебры

порожденная операторами вида где

а е

В §3.3 с помощью результатов А. В. Козака доказано, что если К измеримый конус с вершиной 0, то банаховы алгебры и

изоморфны.

В §3.4 рассматривается ситуация, когда множество X в точке х эквивалентно множеству У в точке у {х Е X, у € У), т. с. существует такая окрестность нуля [/, что (X — х)Г\и = (У — у) Пи. Доказано, что в этом случае алгебры изоморфны.

Показано, что если множество X в точке х эквивалентно конусу K в точке 0, то существует единственный морфизм вх: У^х такой, что

Ох({РтхСаРтх}т>0 + /х) = РкСаРк

для любого а € Штхт(1Г). При э ЖкА я любого а6#х

имеют место соотношения

||0,(а)||= 9(а,*)<М

и обратимость в равносильна обратимости элемента

в фактор-алгебре Морфизм задастся формулой

где s-lim обозначает поточечный предел, Т/,, где Л £ П£п, - оператор сдвига на к:

посвящен рассмотрению частичного порядка на множестве многогранных конусов с вершиной 0.

Определение 3.5.1. Пусть К\ и К2 многогранные конусы с вершиной 0. Положим К\ > Кг. если существует такая точка х из замыкания К\, что Кг = сооДК-!).

Отмстим, что если К\ > Кг, то К\ С Кг- В §3.5 доказано, что определённое таким образом отношение > является отношением частичного порядка, причём для любого элемента (конуса) множество предшествующих элементов конечно.*

Доказано, что если Кх>К2наЕ то ЦС^Ц < ЦС-^Ц.

В частности, из обратимости оператора Са,к, следует обратимость оператора

В §3.6 сформулирован основной результат главы 3.

Теорема 3.6.1. Пусть X выпуклый многогранник в К" .Существует единственный морфизм банаховых алгебр

такой, что

&({РтхСаРТх}т>0 + <?х) —

для всех а Е Штхт(К"). Этот морфбЗмизометричен, согласован с обращением и является произведением семейства морфизмов

Из этой теоремы следует, что для любого а €

Иш \\С:1Л = тах ЦСГ' ,„ >11.

(4)

В §3.7 из теоремы 3.6.1 и принципа максимума для нормы резольвенты, доказанного в работе А. Бетчера, С. М. Грудского и Б. Зильбер-манна, выведена следующая теорема о пределе псевдоспектров. Предполагается, что операторы рассматриваются в пространствах Ь™, где р > 1.

Теорема 3.7.2. Пусть X выпуклый многогранник в К", а 6 а = {Лт}т>0 + /х, £ > 0. Тогда

Следствие 3.7.1. Пусть X выпуклый многогранник в Ж", а £ \Утхт(1Г)) £ > 0. Тогда

В главе 4 рассмотрена асимптотика выражения при

для одномерного случая и для

плоского скалярного случая (п = 2, т = 1, X — выпуклый многоугольник). Предполагается, что а Е Кг"хт(Жп), <р — голоморфная функция на £х(а) и ^(0) = 0.

В первых двух параграфах этой главы приведены те определения и утверждения, которые удобно сформулировать для п-мерного случая. В определены операторы - многогранный конус с верши-

ной 0, при помощи которых можно представить операторы в

виде сумм слагаемых, соответствующих крайним подмножествам К:

¿кС^Як = £ РкВа^Рк = РкВа^юРк- (6)

Здесь использованы следующие обозначения:

Зх: 1%{Х) ->■ К") и Ях: -> Ь%(Х), где X - измери-

мое подмножество - соответственно операторы вложения в

и канонического проектирования

соп£(Л:) = {у + а(х - у) I у б Е, х е X, а > 0} (Е,Х С К");

Ех1г(Х). где X непустое выпуклое множество в К", множество крайних подмножеств замыкания X. Непустое выпуклое множество У

называется крайним подмножеством непустого выпуклого множества X, если У С X и для любых т оху (Ее Укижг^ в ал ,

соединяющий XI и хг, не имеет общих точек с У.

Так как ф(Са,х) выражается но формуле Коши через операторы вида С~\, то последние требовалось представить в виде, удобном для исследования асимптотики следа. С этой целью в §4.2 для оператора Са,х построен "асимптотически обратный" оператор С™х'-

В §§4.3 и 4.4 доказаны следующие основные результаты главы.

Теорема 4.3.1. Пусть 7 > 1, а € Кг™хт(Е), а(оо) = О, Б ~ открытое подмножество С, содержащее в себе множество

5(0,Ч(а) = <7(С01|о,+сс)) и с(Са,(_00,о]))

<р: £) С — голоморфная функция, причём у(0) = 0. Тогда, начиная с некоторого т, сг(Са)[о1Т]) С -О, и при т +оо имеет место асимптотическая формула

где

и

с0 = *г(¥'(С,<2,[0,+ос)) - ^(а),[0,+ос))) + ^г(<р(Са1(_оо10]) ~ С^а),(-ос,О]))-

Теорема 4.4.1. Пусть 7 > 2, а 6 Кг.у(Е2), а(оо) = 0, X - выпуклый многоугольник в М2, О - открытое подмножество С, содержащее в себе множество (р~- I) —> С - голоморфная функция, причём

<р(0) = 0. Тогда, начиная с некоторого т, <?(Са,тх) С О, и при т —> +оо

имеет место асимптотическая формула

где с2, с^ с0 — некоторые комплексные коэффициенты, причём

Таким образом, в одномерном и двумерном случае получены общий вид главной части и оценка остаточного члена асимптотики <х(^(Св)Т;с)) при т +оо. Простые формулы найдены лишь для старшего коэффициента с„ (п = 1,2). В одномерном скалярном случае (п = m = 1) доказан аналог формулы В. А. Васильева для второго коэффициента ^

Работа над 3-й главой диссертации была финансирована в рамках комплексного проекта Б0024/2148 по программе по п. 1.4 ФЦП «Интеграция науки и высшего образования России».

Автор выражает глубокую благодарность своему руководителю, профессору Игорю Борисовичу Симоненко, за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

— общий вид главной части и оценка остаточного члена асимптотики обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многогранниках (формула (3), теоремы 2.5.2, 4.3.1 и 4.4.1);

— новый способ построения асимптотически обратных операторов (см. формулы (6) и (7));

— формулы (4) и (5) для предела норм обратных усеченных операторов свёртки и для предела псевдоспектров;

— многомерная версия "первой" теоремы Сегё, доказанная без предположений относительно гладкости символа и формы области усечения (теорема 1.4.1).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Васильев В. А., Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Об одной предельной теореме Ссгё-Видома. // Докл. АН РФ. - 2003. Т. 393. № 3. С. 307-308.

2. Заброда О. Я., Максимснко Е. А., Симонснко И. Б. Предельные теоремы типа Ссгё для тёплицевых матриц и обобщенных сверток. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естсств. науки. — 2002. Юбил. вып. С. 100-103.

3. Максименко Е. А. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров. // Сибирский мат. ж. - 2003. Т. 44. № 6. С. 1310-1323.

4. Максименко Е. А. Об одной предельной теореме типа Сегё для многомерных континуальных свёрток. Ростов-на-Дону, 2000. — 28 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.11.2000, № 2941-В2000.

5. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. Ростов-на-Дону, 2001. — 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.07.2001, № 1792-В2001.

6. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. // Модели и дискретные структуры. Сборник научных трудов. — Элиста, 2002. С. 60-67.

7. Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Асимптотика кратных континуальных свёрток, усечённых расширяющимися многогранниками. Ростов-на-Дону, 2002. - 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.2002, № 846-В2002.

8. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа матричных операторов свёртки, усечённых расширяющимися сегментами. Ростов-на-Дону, 2002. - 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.12.2002, № 2228-В2002.

9. Максимснко Е. А. Операторы свертки па расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и пссвдоспектров. Ростов-на-Дону, 2003. - 29 с. Дсп. в ВИНИТИ 11.04.2003, № 686-В2003.

10. Максимснко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. Ростов-на-Дону, 2003. 43 с. - Дсп. в ВИНИТИ 23.07.2003, № 1439-В2003.

11. Максимснко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. // Труды аспирантов и соискателей Ростовского гос. ун-та. 2003. Т. 9. С. 35-36.

Отпечатано в типографии РВИ РВ 344027, г. Ростов-на-Дону, пр. Октября, 24. Подписано в печать 15.04.2004. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. п. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 639.

»11362

Содержание.

Введение.

Глава 1. Главный член асимптотики обобщённого следа многомерных континуальных свёрток.

1.1. Основные обозначения и некоторые общие сведения.

1.2. Числовой образ и спектр оператора свёртки.

1.3. Ядерность оператора усечённой свёртки.

1.4. Предел усреднённого обобщённого следа.

Глава 2. О следе произведения операторов свёртки, усечённых расширяющимися многогранниками.

2.1. Выпуклые многогранные множества.

2.2. Алгебра Kr™*m(Rn).

2.3. Функция v и её свойства.

2.4. Равностепенно плавные семейства операторов

2.5. Об асимптотике следа произведения усечённых свёрток

Глава 3. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров.

3.1. Банаховы алгебры с локальной структурой

3.2. Определение алгебр s^x, Wх и сё.'х.

3.3. Изоморфность алгебр Wk, (Щс)о и в случае конуса

3.4. Локальный изоморфизм.

3.5. Иерархия многогранных конусов.

3.6. Вложение WX в ILevert(X) &сопо(Х-х) .Ю

3.7. Пределы псевдоспектров

Глава 4. Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся сегментах и многоугольниках.

4.1. Определение и свойства операторов Ва,к.

4.2. Построение асимптотически обратного оператора.

4.3. Одномерный случай (n = 1).

4.4. Плоский скалярный случай (п = 2, т = 1).

Предметный указатель.

В работе рассматриваются операторы свёртки на множествах вида тХ, где X — выпуклый многогранник, г > 0. Исследуется асимптотическое поведение обобщённого следа этих операторов при г —> +оо. При некоторых дополнительных предположениях доказано, что главная часть асимптотики представляет собой многочлен от т степени не выше п, а скорость стремления к нулю остаточного члена зависит от гладкости символа свёртки.

Пусть n, m G N и р ^ 1.

Обозначим через Wmxm(Rn) алгебру винеровских матриц-функций на Rn, состоящую из матриц-функций вида a(t) = c+ f e^k^dx (feR"), (0.0.1)

R" где с G Cmxm и к £ L™xm(Rn), т. е. с — квадратная матрица порядка ш с комплексными элементами, к — интегрируемая матрица-функция (Cm х т-значное отображение).

Для любой матрицы-функции a G Wmxm(Rn) обозначим через Са оператор, действующий в L^(Rn) по правилу

Caf)(y) = cf(y) + J Цу- x)f(x) dx (у g Rn, / g

R"

0.0.2)

Говорят, что Ca — оператор свёртки с символом а. Если X — измеримое подмножество R", то определим оператор Са,х в пространстве L™{X) следующей формулой:

Ca>xf)(y) = cf(y) + Jk(y-x)f(x)dx (У ex, / g l?(x)). X

0.0.3)

Говорят, что Ca,x ~ оператор свёртки с символом а на множестве X. Если ц(Х) < +оо, то Са,х также называют оператором усечённой свёртки. При т = 1 оператор называют скалярным; в общем случае — матричным.

Через Sx(o) будем обозначать множество тех A G С, для которых limsup ||(Л/Гх - С0)Гх)~*|| < +оо, г-*+оо где 1Тх — единичный оператор в Ь™{тХ).

За исключением главы 3, в работе рассматривается случай р = 2.

Если А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, то через а (А) будем обозначать его спектр, а через сг^(А) — множество изолированных точек спектра, являющихся собственными числами конечной алгебраической кратности.

Приведём определение обобщённого следа. Пусть А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, D С С, <р: D —» С — некоторая функция. Говорят, что определён у>-след оператора А, если абсолютно сходится ряд

Ае<7й(А)ГШ где >г(А) — алгебраическая кратность А. Сумму этого ряда будем обозначать через tr<р(А) и называть (р-следом оператора А или обобщённым следом оператора А относительно пробной функции (р. Заметим, что если оператор А ядерный и функция (р голоморфна в окрестности сг(А), причём у?(0) = 0, то оператор f{A) также ядерный и Ц„(Л) = tr(y?(A)), где tr — след. Если А — матрица, то tr^A) понимается как <р-след оператора умножения на матрицу А.

Предмет работы — асимптотическое поведение Ьт<р(Са,тх) при т —> +оо, когда а — интегрируемая и достаточно гладкая функция на Мп, X — выпуклый многогранник в R", <р — многочлен или голоморфная функция комплексного переменного, определённая в окрестности Sx(a) и такая, что v?(0) = 0.

Хотя в настоящей работе рассматриваются лишь операторы свёртки на континуальной (недискретной) группе М", следует упомянуть также об операторах свёртки на дискретной группе Z". Символы блочных дискретных свёрток — это Стхт-значные функции на п- мерном торе Т", где Т = {z Е С | \z\ = 1}. Наиболее изучен дискретный одномерный скалярный случай (n = 1, т = 1). В этом случае в качестве X берётся отрезок натурального ряда {1, — , iV}, где iV G N. Соответствующий оператор усечённой свёртки с символом a £ Ьоо(Т) отождествляется с тёплицевой матрицей Тдг (а) порядка N:

Если т > 1 (a G L™xm(T)), то получается блочная тёплицева матрица, состоящая из N х N блоков порядка га. Таким образом, в дискретном случае рассматриваемые операторы конечномерны, поэтому обобщённый след ЦДТдг(а)) определяется с участием всех собственных чисел (в том числе и нулевых), а условие уэ(0) = 0 не ставится. Кроме обобщённых следов тёплицевых матриц, часто рассматривают их определители det(7V(a)). Отметим, что если a(t) > 0 для всех t € Т, то

Изучение асимптотики определителей и обобщённых следов тёплицевых матриц (с положительными символами) начал Г. Сегё. В работе [64] он вычислил главный член асимптотики обобщённого следа и логарифма определителя ("первая" предельная теорема Сегё), а в [65] (см. также книгу У. Гренандера и Г. Сегё [10]) — два члена асимптотики логарифма определителей ("сильная" предельная теорема Сегё).

Результаты Г. Сегё обобщались и уточнялись в различных направлениях. В частности, асимптотику определителей в одномерном случае исследовали М. Кац [59], Н. Ахиезер [1], Г. Бэкстер [48], А. Девинатц [55], о log(det(7V(a))) = tTlog(TN(a)).

И. И. Гиршман [58], М. Г. Крейн [21], Б. И. Голинский и И. А. Ибрагимов [6], а также А. Бородин, А. Окунков, Дж. Байк, П. Дейфт, Е. М. Рэйнс (см. обзор А. Бётчера [50]); первые два члена асимптотики определителей в многомерном случае нашли Г. Видом [70], И. Ю. Линник [24], Р. Я. Докторский [13]; изучением главного члена асимптотики обобщённого следа и распределения сингулярных чисел при слабых предположениях относительно а и ip занимались Л. Е. Лерер [23], С. В. Партер [62], Ф. Аврам [47], Е. Е. Тыртышников и Н. Л. Замарашкин [15, 68], П. Тилли [67]; асимптотику определителей в случае кусочно-непрерывных символов исследовали М. Е. Фишер и Р. Е. Гартвиг [57], Э. Бэйзор, А. Бётчер, Б. Зильберманн, Т. Эрхардт и др. (см. обзор Т. Эрхардта [56]); здесь названы не все авторы и направления. Большинство результатов об определителях и обобщённых следах тёплицевых матриц можно найти в книге А. Бётчера и Б. Зильберманна [53, Chapter 5].

Теперь перечислим отдельно публикации, наиболее близкие к настоящей работе, т. е. посвящённые изучению полной асимптотики обобщённого следа тёплицевых матриц и операторов усечённой свёртки.

М. Г. Крейн [21] доказал, что множество всех функций а из Loo(T), у которых коэффициенты Фурье Cj удовлетворяют условию причём пространство максимальных идеалов этой алгебры (которую обычно называют алгеброй Крейна) отождествляется с Т.

Г. Видом [69] доказал, что в одномерном дискретном случае, когда

ЫЫ2<+оо,

З&ъ является банаховой алгеброй относительно нормы символ а принадлежит алгебре Крейна, tr(<p{TN(a)) = CjiV + cQ + о(1) при N -> +оо.

В. А. Васильев и И. Б. Симоненко [4] обнаружили, что если символ а бесконечно гладкий, то т. е. главная часть асимптотики обрывается после постоянного члена, а остаточный член убывает быстрее любой степени l/iV.

Многомерная ситуация менее изучена. Б. Торсен [66] показал, что асимптотика (р-следа п-мерных дискретных свёрток, усечённых расширяющимися прямоугольными параллелепипедами, имеет вид если <р аналитична в окрестности круга с центром 0 радиуса ||a||wj где ||'\\w — винеровская норма. Д. Катеб и А. Сеги [60] доказали аналогичное утверждение для случая, когда <p(z) = 1/z. В работах [66] и [60] требовалось, чтобы символ принадлежал n-мерному аналогу алгебры Крейна и удовлетворял некоторым дополнительным условиям, обеспечивающим возможность факторизации. Например, в [60] рассмотрены только положительные символы.

В настоящей работе решалась следующая задача: выяснить общий вид асимптотики обобщённого следа континуальных многомерных свёрток на расширяющихся многогранниках и найти достаточные условия убывания остаточного члена со степенной скоростью.

В главе 1 при слабых требованиях относительно символа и областей усечения найден главный член асимптотики, т. е. доказан многомерный вариант "первой" предельной теоремы Сегё (теорема 1.4.1): tr(y>(7}v(a)) = CjJV + с0 + o(N~°°) при N + оо, cnNn + . + cQ + o( 1),

Здесь {XT}rex — какое-нибудь расширяющееся семейство множеств (см. определение 1.4.1); например, % = (0,+оо) и Хт = тХ, где X имеет конечную меру и границу меры 0. Предполагается, что a £ L™xm(R") П imXTO(Rn), д^оо) о? функция (р непрерывна на а) и голоморфна внутри а), причём существует предел —^ при z —> 0. Множество определяется в §1.2 и в скалярном случае (m = 1) совпадает с выпуклой оболочкой множества существенных значений функции а.

В главе 2 рассмотрено асимптотическое поведение tT(ip(Ca,Tx)) для случая, когда X — выпуклый многогранник в R", (р — многочлен, причём 9?(0) = 0. Доказано, что при т —> +оо tr(^(Co,Tjr)) = Сптп + . + Схт + С0 + о(тп~^, (0.0.4) где Сп,. ,ci,Cq — некоторые комплексные коэффициенты. Предполагается, что а £ Kr™xm(Rn)) и а(оо) = 0. Здесь Kr™xm(Rn) - некоторая банахова алгебра, вложенная в WmXTn(Rn), которую можно считать многомерным континуальным аналогом алгебры Крейна. Эта алгебра, рассмотренная в §2.2, состоит из функций вида (0.0.1), для которых ж|7 ||ф)||2</ж<+оо.

Отметим, что во второй главе введено и изучено много вспомогательных понятий, используемых также в главах 3 и 4.

В главе 3 рассмотрена связь между операторами свёртки на расширяющихся многогранниках и операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранников. Доказано, что если а £ Wmxm(Mn) и X — выпуклый многогранник в Rn, то

Л?» = JSSfa -*>11. linr as(Ca,rx)= U xevert(X) где vert(X) — множество вершин X, сопо(Х — х) — конус с вершиной О, порождённый множеством Х — х. Предел множеств понимается в смысле метрики Хаусдорфа. Через сге(А), где А — непрерывный линейный оператор, е > 0, обозначается е-псевдоспектр оператора А, определяемый формулой

Для любого необратимого оператора В полагаем ||В-1|| = +оо.)

Эти результаты о нормах обратных операторов и псевдоспектрах получены как следствия теоремы 3.6.1 о вложении некоторой банаховой алгебры, порождённой операторами свёртки на расширяющемся многограннике, в произведение банаховых алгебр, порождённых операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранника.

Кроме того, в главе 3 определено отношение частичного порядка ^ на множестве многогранных конусов с вершиной 0. Для пар конусов (К\,К2), таких, что К\ ^ Кч, найдена связь между алгебрами, порождёнными операторами свёртки на К\ и на Кч.

В главе 4 для операторов свёртки на расширяющихся выпуклых многогранниках предложен новый способ построения асимптотически обратных операторов в виде сумм слагаемых, соответствующих крайним подмножествам многогранников. Этим способом формула (0.0.4) доказана для голоморфных функций ip в одномерном матричном случае (теорема 4.3.1), когда п = 1, га G N и X = [0,1], а также в двумерном скалярном случае (теорема 4.4.1), когда п = 2, т = 1 и X — выпуклый многоугольник.

Из результата главы 1 следует, что в формуле (0.0.4)

Вопрос о вычислении коэффициентов cnv. ,cQ в настоящей работе не рассматривается, за исключением одномерного скалярного случая е{А) = {Л € С | ||(А/— ^ 1/е}. п = т — 1), когда методом В. А. Васильева вычислен также второй коэффициент cQ. (В. А. Васильев нашёл второй коэффициент для одномерного дискретного скалярного случая в своей магистерской диссертации "Формулы второго порядка в теоремах типа Сегё", 2002 г.)

Несколько замечаний об оформлении работы. Каждая из четырёх глав разделена на несколько параграфов и начинается с краткого обзора её содержимого. В некоторых параграфах выделены подпараграфы (без нумерации). Определения, утверждения и формулы пронумерованы с указанием главы и параграфа. Начала и концы доказательств отмечены значками о и <. Если утверждение приведено без доказательства, то в конце его формулировки поставлен значок > <.

Основные результаты диссертации докладывались на заседании Ростовского математического общества, на международной научной конференции "Горячие точки науки", на семинаре "Тёплицевы матрицы" профессора А. Бётчера (г. Хемниц, Германия), и были отражены в работах [3], [14] и [25]—[33]. В совместных статьях [3] и [14] автору принадлежит исследование континуального случая. В работе [31], выполненной совместно с научным руководителем, научному руководителю принадлежат постановка задачи и большинство утверждений геометрического характера (в том числе техника работы с выпуклыми множествами), а автору — нахождение достаточных условий убывания остаточного члена со степенной скоростью (в том числе рассмотрение классов L\ П L2)7, см. § 2.2, лемму 2.2.2).

Работа над 3-й главой диссертации была финансирована в рамках комплексного проекта Б0024/2148 по программе по п. 1.4 ФЦП «Интеграция науки и высшего образования России».

Автор выражает глубокую благодарность своему руководителю, профессору Игорю Борисовичу Симоненко, за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе.

1. Ахиезер Н. И. Континуальный аналог некоторых теорем о тёпли-цевых матрицах. // Укр. матем. ж. 1964. Т. 16. С. 445-462.

2. Бурбаки Н. Спектральная теория. Перевод с французского В. П. Гурария. Под редакцией Е. А. Горина. — М.: Мир, 1972. — 183 с.

3. Васильев В. А., Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Об одной предельной теореме Сегё-Видома. // Доклады АН РФ. 2003. Т. 393. № 3. С. 307-308.

4. Васильев В. А., Симоненко И. Б. Об одной работе Г. Видо-ма. Ростов-на-Дону, 2001. 21 с. - Деп. ВИНИТИ 09.04.01, № 906-В2001.

5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М: ФМ, 1963. — 640 с.

6. Голинский Б. JL, Ибрагимов И. А. О предельной теореме Г. Се-гё. // Изв. АН СССР, сер. мат. 1971. Т. 35. С. 408-427.

7. Гольденштейн JI. С., Гохберг И. Ц. О многомерном уравнении на полупространстве с ядром, зависящем от разности аргументов, и его дискретном аналоге. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 131. № 1. С. 9-12.

8. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.

9. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1965. 448 с.

10. Гренандер У., Сегё Г. Тёплицевы формы и их приложения. Пер. с англ. Н. С. Ландкофа. М.: ИЛ, 1961. - 308 с.

11. Грудский С. М., Козак А. В. О скорости сходимости норм операторов, обратных к усеченным операторам Теплица. // Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения. Изд-во Ростовского гос. ун-та. 1995. С. 45-55.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть 1: Общая теория. Пер. с англ. JI. И. Головиной и Б. С. Митягина, под ред. А. Г. Костюченко. — М.: ИЛ, 1962. 895 с.

13. Докторский Р. Я. Обобщение предельной теоремы Г. Сеге на многомерный случай. // Сибирский мат. ж. 1984. Т. 25. Ж0- 5. С. 20-29.

14. Заброда О. Н., Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Предельные теоремы типа Сегё для тёплицевых матриц и обобщенных сверток. // Известия ВУЗов, Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. Юбил. вып. С. 100-103.

15. Замарашкин Н. Л., Тыртышников Е. Е. Распределение собственных и сингулярных чисел тёплицевых матриц при ослабленных требованиях к производящей функции. // Мат. сборник, 1997. Т. 188. №8. С. 83-92.

16. Келли Дж. Л. Общая топология. Пер. с англ. А. В. Архангельского. — М.: Наука, 1968. 384 с.

17. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов. // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. № 6. С. 1287-1289.

18. Козак А. В. О методе редукции для дискретных многомерных свёрток. // Мат. исследования. Кишинёв. 1973. Т. 8. Вып. 3. С. 157-160.

19. Козак А. В., Симоненко И. Б. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свёртках. // Сибирский мат. ж. 1980. Т. 21. № 2. С. 119-127.

20. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. // УМН. 1958. Т. 13. Вып. 5. С. 3-120.

21. Крейн М. Г. О некоторых новых банаховых алгебрах и теоремах типа теорем Винера-Леви для рядов и интегралов Фурье. // Мат. исследования. Кишинёв. 1966. Т. 1. С. 82-109.

22. Крупник Н. Я. Точная константа в теореме И. Б. Симоненко об огибающей семейства операторов локального типа. // Функ. анализ и его приложения. 1986. Т. 20. Вып. 2. С. 70-71.

23. Лерер Л. Е. Об асимптотическом распределении спектра. 1. Общие теоремы и распределение спектра усечённых операторов Винера-Хопфа. // Мат. исследования. Кишинёв. 1972. Т. 7. Вып. 4 (26). С. 141-164.

24. Линник И. Ю. Пространственное обобщение одной теоремы о тёп-лицевом операторе. // Мат. заметки. 1973. Т. 14. № 6. С. 895-900.

25. Максименко Е. А. Об одной предельной теореме типа Сегё для многомерных континуальных свёрток. Ростов-на-Дону, 2000. — 28 с. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2000, № 2941-В2000.

26. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. Ростов-на-Дону, 2001. — 26 с. Деп. в ВИНИТИ 30.07.2001, № 1792-В2001.

27. Максименко Е. А. Теорема типа Г. Сегё для одномерных континуальных свёрток с гладким символом. // Модели и дискретные структуры. Сборник научных трудов. Элиста. 2002. С. 60-67.

28. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа матричных операторов свёртки, усечённых расширяющимися сегментами.Ростов-на-Дону, 2002. 24 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.12.2002, № 2228-В2002.

29. Максименко Е. А. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров. Ростов-на-Дону, 2003. 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.2003, JV® 686-В2003.

30. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. Ростов-на-Дону, 2003. 43 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.07.2003, № 1439-В2003.

31. Максименко Е. А., Симоненко И. Б. Асимптотика кратных континуальных свёрток, усечённых расширяющимися многогранниками. Ростов-на-Дону, 2002. 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.2002, № 846-В2002.

32. Максименко Е. А. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров. // Сибирский мат. ж. 2003. Т. 44. Л* 6. С. 1310-1323.

33. Максименко Е. А. Асимптотика обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся многоугольниках. // Труды аспирантов и соискателей Ростовского гос. ун-та. — 2003. Т. 9. С. 35-36.

34. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: ФМ, 1962.- 599 с.

35. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Издательство Москов. ун-та, 1984. —136 с.

36. Симоненко И. Б. Краевая задача Римана с измеримыми коэффициентами. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 135. № 3. С. 538-541.

37. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. // Доклады АН СССР, 1964. Т. 158. Л* 4. С. 790-793.

38. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. 1. // Изв. АН СССР, серия матем. 1965. Т. 29. Вып. 3. С. 567-586.

39. Симоненко И. Б. Операторы типа свертки в конусах. // Мат. сборник. 1967. Т. 74 (116). № 2. С. 298-313.

40. Симоненко И. Б., Чинь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нётеровость. — Ростов-на-Дону: Изд-во Ростов, гос. ун-та, 1986. — 57 с.

41. Симоненко И. Б. Теория операторов локального типа и её приложения. Ростов-на-Дону, 1996. 74 с. - Деп. в ВИНИТИ, 23.01.96 г., ДО 275-В96.

42. Симоненко И. Б. Предельные теоремы типа Сегё для многомерных дискретных операторов свертки с непрерывным символом. // Функ. анализ и его приложения. 2001. Т. 35. № 1. С. 91-93.

43. Симоненко И. Б. Элементы теории выпуклых множеств и асимптотическое поведение целочисленных объёмов. Ростов-на-Дону, 2002. 78 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.11.02, № 1964-В2002.

44. Мергелян С. Н. Равномерное приближение функций комплексного переменного. // УМН. 1952. Т. 7. № 2. С. 3-122.

45. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Перевод с англ. И. Д. Новикова и Т. В. Соколовой, под редакцией Р. А. Минлоса. — М.: Мир, 1970. 352 с.

46. Шефер X. Топологические векторные пространства. — Перевод с английского И. А. Березанского, под редакцией Е. А. Горина. — М.: Мир, 1971.-359 с.Иностранная литература

47. Avram F. On bilinear forms in Gaussian random variables and Toeplitz matrices. // Probab. Theory Related Fields. 1988. V. 79. P. 37-45.

48. Baxter G. A norm inequality for a "finite-section" Wiener-Hopf equation. // Illinois J. Math. 1963. V. 7. P. 97-103.

49. Bottcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators. // J. Intergral Equation Appl. 1994. Vol. 6. P. 267-301.

50. Bottcher A. On the determinant formulas by Borodin, Okounkov, Baik, Deift and Rains. // Operator Theory: Adv. and Appl. 2002. Vol. 135. P. 91-99.

51. Bottcher A., Grudsky S. M., Silbermann В. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener-Hopf operators and Toeplitz matrices. // New York J. Math. 1997. Vol. 3. P. 1-31.

52. Bottcher A., Wolf H. Spectral approximation for Segal-Bargmann space Toeplitz operators. // Linear Operators, Banach Center Publ. (Polish Acad. Sci., Warsaw). 1997. Vol. 38. P. 25-48.

53. Bottcher A., Silbermann B. Introduction to large truncated Toeplitz matrices. — New York: Springer, 1999. — 266 p.

54. Brown A., Halmos P. Algebraic properties of Toeplitz operators. // J. reine angew. Math. 1963. B. 231. S. 89-102.

55. Devinatz A. The strong Szego limit theorem. // Illinois J. Math. 1967. V. 11. P. 160-175.

56. Ehrhardt Т. A status report on the asymptotic behavior of Toeplitz determinants with Fisher-Hartwig singularities. // Operator Theory: Adv. and Appl. 2001. V. 124. P. 217-241.

57. Fisher M. E., Hartwig R. E. Asymptotic behavior of Toeplitz matrices and determinants. // Arch. Rat. Mech. Anal. 1969. Vol. 32. P. 190-225.

58. Hirschman 1.1., Jr. On a formula of Kac and Achiezer, J. Rat. Math. Anal. 1966. Vol. 16. P. 167-196.

59. Kac M. Toeplitz matrices, translation kernels and a related problem in probabilyty theory. // Duke Math. J., 1954. Vol. 21. P. 501-509.

60. Kateb D., Seghie A. Expansion of the inverse of positive-definite Toeplitz operators over polytopes. // Asymptotic Analysis. 2000. Vol. 22. P. 205-234.

61. Landau H. The notion of approximate eigenvalues applied to an integral equation of laser theory. // Quaterly Appl. Math. 1997, April. P. 165-171.

62. Parter S. V. On the distribution of the singular values of Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 80. P. 115-130.

63. Reichel L., Trefethen L. N. Eigenvalues and pseudo-eigenvalues of Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1992. Vol. 162. P. 153-185.

64. Szego G. Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen, I, II. // Math. Ztschr. 1920. B. 6. S. 167-202; 1921. B. 9. S. 167-190.

65. Szego G. On certain hermitian forms associated with Fourier series of a positive function. // Festschrift Marcel Riesz. Lund. 1952. S. 228-238.

66. Thorsen B. An iV-dimensional analogue of Szego-s limit theorem. // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 198. P. 137-165.

67. Tilli P. Some results on complex Toeplitz eigenvalues. // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 239. P. 390-401.

68. Tyrtyshnikov E. E., Zamarashkin N. L. Thin structure of eigenvalue clusters for non-Hermitian Toeplitz matrices. // Linear Algebra Appl. 1999. Vol. 292. P. 297-310.

69. Widom H. Asymptotic behavior of block Toeplitz matrices and determinants. II. // Adv. in Math. 1976. Vol. 21. P. 1-29.

70. Widom H. Szego-s limit theorem — the higher-dimensional matrix case. // J. Funct. Analysis. 1980. Vol. 39. P. 182-198.