Квазиклассические интегральные уравнения на органических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫ! УНИВЕРСИТЕТ

. ЕУЛЫЛИН Александр Михайлович

К5АЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАЕНЕНИЯ НА ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

C01.01.Q3 - натенатическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кзндндата физн^о-натенатических наук

На правах рукописи

УЯС 517. 9

Ч /

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственной университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.С.Буслаев.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор 6,А.Пламеневскин , кандидат физико-математических

наук, доцент 4.В.Козак Ведущая организация - С.-Петербургское отделение

Математического Института , им.В.А.Стеклоьи АН СССР.

Л6 * 1991

Защита состоится « /5 час.*^^ кин. на заседании Специализированного Совета К.063.57.17 в Петербургском университете по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская набережная, д.7x9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Петербургского университета.

Автореферат разослан «

J/ » ' /С&Я ¿)/c-Jl 1991 г.

Ученый Секретарь Специализирсванного Совета

/С.Н.Манида

0Б1ЦДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темь>. Исследованию интегральных уравнений

вила

Г jiC. х-уЗ f СуЭdy ■ gCxJ £15

Jn

C.rf - вообще говоря, обобщённая Функция} посвявена обширная

литература. йонимо саностоятельного математического значения

/равнения с разностный ядром С13 Синаче - уравнения, в

свврткахЭ инеют немалую ценность с точки зрения приложений и

являются однан из важнейших математических средств решения

прикладных задач. Они- находят применение в различных областях

физики, технгаси и экономики, в том числе в теории упругости,

в аэрогидродинамике, электростатике, в задачах оптимального

прогноза, в теории дифракций, в теории синтеза антенн, в

квантовой статистической физике. Причиной возникновения

уравнений с разностным ядром является определённая

однородность рассматриваемых процессов.

Операторы сввртки, определённые левой частью равенства

С1>, возникают также во многих разделах математики, в

частности в алгебре и анализе, в теории дифференциальных

уравнений, теории тригонометрических . рядов. в теории

/

вероятностей.

Как правило выделяют, три существенно различных класса уравнений в свертках С1Э:

ср П — Rd Cd-мерное пространство 3,

CIP О — К^ Сполупространство 3.

С IIP О ~ компактная областьв (Rd.

9 случае Ср решение fСхЭ уравнения <13 находится при юноши преобразования Фурье. Для решения уравнения С13 из класса CIP Е.Винером. Е.Хопфом и ¿независимо} В.А.Фоком был зазработан метод факторизации Сметод Винера-Хопфа5. Значительно сложнее дело обстоит с уравнениями CID из класса -IIP- Для которых точных методов решения нет. Работы эбшего характера, посвященные уравнениям класса СЦР . сасаются главным образом вопросов нётерозости

- А -

СфредгольмовостиЭ или только норналыюй разрешиности и построений соответствующих регуляриэаторов. Однако

большинство задач класса <ЦГ>» важных и интересных для приложений . носят асимптотический характер, отвечающий гомотетическому расширению области О : I « еИаал-С1 ов. Удобно выделять большой параметр г явно и ннеть дело с уравнением

^ ¿(.гСх-у^СуЭау - дСх) С25

•ш

Сгде О с - фиксированная область}. элементарно связанным с уравнением С13.

Цель работы состоит в • асимптотическом исследовании резольвенты оператора А1

(А Г)Сх) »^Г С 35

1 Ло

при х ® Сдля обла!. гей О с гладкой границей и шварцевских функций 4 3,а также следа функции и^С*^ такого оператора Сдля аналитических функций р }. В одномерной случае С <1=1 й - интервал}, основной целью работы является асимптотическое описание решений уравнения С 23, если символ оператора

аСО ■

имеет особенности Снули и^нли разрывы}.

Общая методика исследования основана на комбинировании четырём идей: классических метода Винера-Хопфа и альтернирующего метода Шварца Си в определённой степени - их обобщений}, известной Св проекционных методах} формулы Козака и, по-видимому, нового понятия оператора отражения.

Научная цоанзна. В работе получены следующие результаты:

- элективное разложение резольвенты оператора А1 при г •» <о . полное в степенных порядках;

- асинптотичеггкое разложение слела и^РСА^} Св одномерной случае упомянутые разложения найдены для более широких классоЕ< функций Л и р 5;

- асимптотическое разложение СпраэогоЗ обратного оператора а"* е одномернон случае СП- интервал 3 для символов с

одной (конечной) особой точкой.

Практическая ценность. Результаты, касаюииеся

спектральных характеристик оператора А' . находят прнненение в задачах оптимального синтеза и прогноза.

Асимптотические формулы для обратного оператора важны для решения реальных задач аэрогидродинамики надводного и подводного крыла- в задачах электростатики и квантовой статистической физики, в задачах дифракции.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на сенинарах ЛОМИ в 1984. 1987, 1989 и 1990 гг. . на республиканской конференции по функциональному анализу в Одессе в 199С г. , на школе по теории распространечия волн в волноводах в Одессе в 1990 г., на международной ->нференции по квазиклассическин нетодам и микролокальному анализу в университете Париж-Норд в 1991 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах. [ 1 -1] .

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и двух частей с автономной нумерацией формул. Каждая часть содержат приложения, куда вынесены доказательства вспомогательных аналитических фактов. Общий объем диссертации 168 машинописных страниц. Список литературы содержит 94 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сделан краткий обзор литературы, изложена постановка задач, описана структура диссертации и основные результаты. *

В первой части расснатривается интегральный оператор

At СЗЭ с я,пром вида tdJtf(tCx-yJ), t>0, действующий на

функциях П ■* С . Предполагается, что О - компактное

множество в с гладкой границей, а К^ : !Rd € - функция

класса Шварца J*(IRd). Основной результат состоит в

построении достаточно эффективного разложения резольвенты

RCJO ■ СА--J)"1 оператора А при г -.оо, полного в

it 1 степенных порядках. В качестве следствия получена асимптотика

- в -

следа tr-FCAt5 функции F оператора At- .

Отдельно рассмотрен одномерна случай d - 1. Вэтон случае результаты допускают существенно более сильные Формулировки.

Охарактеризуем основные результаты несколько конкретнее.

Условимся об обозначениях. Через ь> /о'/ будем обозначать

характеристическую функцию С индикатор} множества О /П'»

tRdsß / и оператор умнокения на этуфункцию. Через М 6у>дем

обозначать интегральный оператор с ядром t'VctCx-yi).

действующий на функциях К . •» С. При естественном

толковании справедливо равенство А^ ■ слк^о. Пусть F - -

«t-преобраэование вурье» •. (F■ J fCx><»xpC-i tx«f)dx, к,

. ? « Rd, - стандартное скалярное произведение в CRd.

Тогда it » F-1qF , где о - оператор умн гения на функцию tii

а и аСО ■ C^^JOCf). В. определении R^CX.5 под I будем понимать тождественный оперлтор на функциях в Rd.

Основной результат ' относительно асимптотического поведения R СХЭ при t оо даётся формулой

RCXS« - ¿Гх '+ <л$С\)ш +Л t'^Ct. X)l + 0(td"M"2)- С4.3

L ПВО j

В этой формуле N произвольно»

f-'qcxjf^ gcx.ifi - С55

С qCX) - оператор унночения на погрешность охарак-

теризована ь ядерной норме 1*1» 0 LjC^11), при этой. jo^CXio^" OCtd)- Операторы К^ могут быть построены явно как интегральные с помощью ' элементарной рекуррентной процедуры. Более подробно структура операторов К и

п

упок>гнутая рекуррентная процедура описаны в §§1|2

диссертации.

вакнын условней справедливости формулы является

некоторое ограничение на паргнетр X. Чтобы описать его, введем открьп-ое множество рСа) с С. положив при d>l pCaJ « Csima, а при d = 1 опредэлив рСа) как объединение тех конпанент связности множества Csim-ö, для которых индекс ФУНКЦНИ 1 - Х"4аС?Э . ? « S? . равен нулю. Формула С43 справедлива при X е рСаЗ. Более того, при достаточно больших

- г -

t все- компоненты пр&ВОЙ части форнулы С 43 голоморфны вне произвольно фиксированной окрестности множества . о<аэ -СчрСяЗ - и разложение является равномерным относительно

X. лежащего вне это{! окрестности. Отсюда, в частности, следует, что при t е> сййктр оператора А: притягивается нножествон о-СаЭ.

Пусть функция Р голонорфна в некоторой окрестности множества о<аЗ и пусть, кроне того, FCCO » О. Тогда при достаточно больших t FC^) - ядерный оператор. Используя С43, можно прийти к следующей асимптотической форнуле:

tr-F(A)~ Е td-"r . С63

.1 . п

п>0

По явнын выракениян для К » К^, найденным в работе,

вычислены Г . Г , Г . Вопросам асимптотики следа посвяшЭн §3. ota

Приведенные результаты допускают существенное усиление при d - 1 С§43. Основной факт состоит в тон, что К^ •» О при n Z 1. Как следствие F - 0 при п i 2. Таким образон, асимптотические разлоиения резольвенты и следа в однонерном случае -даются конечными явными выражениями с точностью до сверхстепенньэ погрешностей. В порядке иллюстрации приведён форнулу для следа, если О - интервал:

tr-FCAt) »Í|^-jFCaC?3)df +

С 73

„ 1 " Г' FCaCy^-FCaC^D) а'Сг?3 . -со; Í^J J -*С<3-аСт?3-*

|П| - длина интервала О. СВторой член асинптотики в этой форнуле был также независимо /при помощи отличной от нашей и не столь элементарной тёхники/ найден Г.Видоион [8], ряд работ которого посвяшйн вопросам асинптотики tr-FfA^) 3.

Вторая часть работы посвящена асимптотическому исследованию при налых с решений интегральных уравнений вида

i

ij sfO^^tС v3dv '« дСхЗ С 83

Соднонерный Еариант уравнения f23, е - t 3.

Чтобы охарактеризовать направление работы в этом случае.

- а -

нужно конкретнее прокомментировать свойства ядра jí. Это

удобнее делать в терминах соответствующего символа

♦оо

afíO - J expC-ix<)|jíC|5dX. <Q>

' -оо

По суисству мы ёуден инеть здесь дело с несколько более общини синволани аС?»л) ■ ЬС£)иС«0» При рассмотрении уравнения С8) существенное значение инеют три свойства символа: 13 характер его гладкости, который отражается на скорости убывания ядра j4, 2) асимптотическое поведение символа в бесконечности, которое может смещать характер уравнения от почти дифференциального С если синвол растет как полинон) до классического интегрального уравнения первого рода, 3) наличие или отсутствие нулей символа, которое решаютин образом - сказывается на свойствах форнально предельного уравнения.

В приложениях нередко возникают символы с точками существенного нарушения гладкости Свплоть до разрыва), которые ногут также инеть корни, причбн корни и точки нарушения гладкости ногут сливаться.

Иненно таким уранениян посвящена вторая часть исследования. Мы ограничиваемся рассмотрениен случая, когда символ имеет только одну, такую Сконечную) особую точку, однако, как еудет видно, наши приёмы позволяют рассматривать и случай нескольких подобных особых точек. Что касается влияния асимптотического поведения символа в бесконечности на свойства уравнения <8), то ны считаен исследование этого вопроса отдельной задачей и ограничиваемся рассмотрением случая, когда aCJJ) -» а± при { ■» ±оо , а± >• 0.

8 работе асинптотическону исследованию уравнений СВ) предшествуют некоторые построения, которые ножно отнести к обшей теории линейных операторов. Исходные ранки определяются заданием векторного пространства X и действующего в нем линейного о-ератора d « X ■* X и двух линейных

дополнительна проекторов Р, Р' ¡

I - Р + Р', СЮ)

определяющих разложение пространства X в пряную сунну двух подпростраHeve:

X - Х- в X'. сиз

Мы рассматриваем оператор

А - X - X <323

и представляем обратный оператор А 1 в виде:

А"' - (I - П-*"^. С133

Главным объектом исследования является оператор Г , который ны называен оператором отражения. Смысл операторов * . А и пространств X . X , X' в случав уравнения С8Э очевиден. Оказывается, что оператор Г значительно более удобен для асимптотического исследования, . чен 'сан оператор А-1. По-видимону. причиной этого является тот факт, что оператор Г можно сконструировать как проекционный оператор. В действительности, он является проекторон на подпространство

) параллельно X :

X » X ® •

Изучая сператор Г мы предполагаен. что подпространство X' в свою счередь может быть разбито в приму» сумму двух подпространств X*и X':

X' * . С153

Смысл разложения <133 в случае уравнения <83 опять-таки очевиден.

Вторая идея состоит в тон, что связь между подпространствами Х^ и Х^ , осущэстоляеная оператором 4, может бить промоделирована с помощью некоторого оператора 3 1 у -» у . допускающего эффективное исследование. При этон модельное прсстранство 3/ представляется -в виде прямой суммы подпространств 3/ и У о V и О,О' -соответствующие проекторы.

Подчеркнём, что связь между операторами и 3

выходит за рамки стандартной теории возмущений. Представление об этой связи можно получить по следующей операторной интерпретации классического метода Винера-Хопфа.

Пусть и Л связаны соотношением

Л О ХЗЯ , <1вЗ

где

р-гс ■ о , а* яр и о . <173

В существенном• формула метода Винера-Хопфа ножет быть записана, а bhjscji

• А"4 « РЛ_1В"4<и?'4|х, С18)

где D - аналог А .

Используя эти идеи, новно получать уравнение для оператора Г :

CT ■ Q- , С ■ Q' S**0' + О , Т - Q'TQ' , Г - WTV , . C1S) где V и V являются операторами, которые конструируются явно техникой Винера-Хопфа, а D - иалый С в подходящем смысле) оператор, когда с нало.

В основном, уравнение С 1С) основано на известной формуле Козаха, связывающей ограничение оператора jrf на подпространство X и ограничение обратного оператора на

дополнительнее подпространство X' . Здесь можно представить эту формулу в виде

Ж * (I - T'^Ji, С 20)

гда Г' - оператор типа Г . соответствующий подпространству X' Сс заменой Л на

В случае инсегрального уравнения С8) с гладким синволом С ядро порождается быстро убывающей функцией jifix' ) в качестве модельного оператора Я можно вьаэрать тождественный оператор I . у X . В этом специально» случае уравнение для Г можно переписать в более выразительной форме:

1Ж. y-t'J.г<и>

Здесь Г и Г соответствуют ограничениям оператора ft на подпространства

X »X ® Х^ , Х_» X © Х^, С 32)

соответственно. Ясно, что в нашем случае операторы Г и Г могут быть сконструированы точно. Произведения Г Г и Г Г^ являются малыми операторами. когда с мало, так что уравнение С22) ножет быть исследовано эффективно.

Систему С21) можно соотнести, с системами интегральных уравнений, полученных ранее в [5]. Кроме того, ее можно трактовать как версию классического альтернирующего нетода Шварца. Преимущество операторной трактовки этой систены

Сперед конкретно аналитической} состоит в то«» что еКй позволяет естественно перейти к ноделируюшену ortepatopy & общего вида. Здесь уместно отменить, что класс уравнений вида <03. рассмотренный в [ 3] , характерен для приложений к задачам дифракции. Типичный сннвол, аознккаький в этих задачах после норнировки асимптотики в бесконечности, имеет ВИД!

/ X 4. t*

аС{3 »/—-S- », Ней. сгзз

1 - ?

Критическая скорость убыэания 'ядра Ст.е. функции 3 в

бесконечности, которая отдаляет простой случай Сядро убывает быстроЗ от слогного Сядро убывает недленноЗ, имеет порядок

•rflxi - О ix"1). <243

Для символа С233 скорость убывания ядра неньве критической, однако, обратному символу, "как нетрудно видеть, отвечает быстро убыеаюдэе ядро. Соотношения, полученныэ в [3], а непроявленноЯ форме, фактически, отражают связь меяду уравнением с пряным символом на интервале [-1.1) и уравнением с обратный сннволон на внепности этого интервала. Поскольку переход от внутренней задачи к внесшей использует оператор на всей оси. порождаемый синволон а"1, нули символа а также игряют вазсну» роль. Символ С233 не имеет корней, поэтому переход на внесиость решает все вопросы.

Описанные обшио конструкции составляют §1 второй части работы. Следующий §2 посвящен прилоианиян.

Наш подход позволяет представить решения уравнения С83 С характерные особенности символа будут описаны ниееЭ в следующей фсрне:

1

fCx,*3 » J ГСх, yic3gCv3dy, C2S3

тс г., v; £> i SC-^i + егоз

|z| . |2' oSlSk

Функции S . V , U и T списываются некоторыми явными

формулами. Интегралы в C2S> допускают упрощение при с » 0 . однако их асимптотическое поведение существенно различно при х . близких к границан интервала (-1.1) и при х . отдалённых от границ интервала. Попытка явного упрощения асимптотических формул для ГСх»*3 вблизи концов интервала и внутри него в Процессе самого вывода асимптотических формул была предпринята в работах [6.7]. она приводит к очень громоздким конструкциям. Мы сногли вывести результаты работы [7] из формул вида <253, С2вЗ . с .помощью вполне элементарных вычислений, си. приложение С§53 - «вывод формулы Хатсона».

Мы выделяем три класса синволов. В первый класс включены символы, порождающие быстро С или относительно быстро} убывающие ядр.а. Мы характеризовали ранее этот cj/учай как простой и он включен в работу ради полноты изложения и для того, чтобы в стандартной ситуации продемонстрировать со£?ржание используемой технг-и.

В этот класс включены символы вида

аС?,сЗ » гСл?3 , С273

где г в п ССК> • гС?э - гСооЭ ♦ осе'^э , ? ® ,

>->0 , гС?3 * О Сздесь описаны только характерные свойства символов, некоторые -детали опуиеныЗ. Такин образом, эти символы ногут инеть разрывы производных при ( - 0. Принадлежащий этому классу символ

аС«?3 » 1 ♦ expC-ilfP С£83

порождает уравнение

if _—__£—_ "J <x-v.a +

ССхЭ ■* г1 -~--1ЧуЗ<1у т дСхЗ, С2ЭЗ

-»;" е

которое встречается в электростатике и квантовой статистической физике.

Во второй класс включены символы вила

аС? сЗ « ЬСгГЭгС£?Э , С303

где г обладает прежними свойствами, а Ь-1 - ограниченные функции, допускающие аналитическое продолжение в углы , - п|<|> . »>>0 . Занетим, что функция Ь

ножет ■ иметь разрыв в точке ( » 0 , в тон числе меняющий знак Ь . Принадлежащий этону классу синвол

вс^з - вап-г-ц * 13] С313

порождает уравнение

Г Г --1«уЗ<1у » дСх>, <323

.И Х_У <Х"У>* * которое зстречается а аэрогидродинамике. В третий класс включены синволы вида

аС?,сЗ Ш ЪС?3 — —гСер, СЗЗЗ / 1 + (с(

где Ь и г обладают прежними свойствами. Отметим, что

03 » аСО.^3 ■ О , при этом в точке ( - 0 может

нарушаться и гладкость символа. Принадлегаше этому классу символы

я ~ охрС~£ К|Э] , ¿34,3

аС*?3 ■ 1 - *хрС-«КР С333

порождают, ссответственно, уравнения

* I [ А""""9Сх5' • 1

ГСхЗ - ¿-Г—-----ГСуЗйу ■ дСхЭ.

(х-у»а + с

С 373

Первое из этих уравнений встречается в аэрогидродинамике второе - в электростатике и квантовой статистической физике .

Исследованию перечисленных классов уравнений посвящены последовательные разделы §2.

Каждая часть работы содержит также приложения, куда отнесены доказательства вспомогательных аналитических фактов. Кроме того, в приложении части Ц С§53 в качестве иллюстрации к развитым кетодан получена асинптотика ■ решения уравнения Лява ¿уравнение <373 при д « 13 вдали от концов. Она имеет вид

У 1 *

ГСхЭ Я -1— + сзвз

11 Г, 1бяс , , 1.

/ 1 - хг

и уточняет погрешность б Лоркуле Хатсона [7].

f

Автор благодарен своему научному руководителю В.С.Буслаеву эа внимание и помощь в работе.

Литература

1. Будылин Л.Й. , Буслаев B.C. Об асинптотическон поведении спектральных характеристик интегрального оператора с разностный ядром на раздувающихся областях. // ДАН. 1986. 287:3. с. 529-332.

2. Будылин A.M., Буслаев B.C. Об асинптотическом поведении спектральных характеристик интегрального оператора с разностным ядром на расширяющихся областях. // ЛГУ, Проблены иатемат физики. 1991. -Г. 14. с. 16-59.

3\ Будьишн A.M., Буслаев B.C. Квазиклассические интегральные уравнения. /./ ДАН, 1991. 319:3. с. 527-330.

4. Budylin A.M., Buslaev V.S. Reflection operators and their applications to asyn >totic investigations of semi-

classical integral equations. // 'SocT, ^¿^¿cjfifi-/

/<?

3. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. // М. : ИЛ. 1962.

6. Новокшенов В.И. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на- конечной отрезке. // Мат.сб. . 1978. т. 105, Jf. 4. с. 543-573.

7. Hutson V. The circular plate condencer at small separation. /.' Proc.Cambr.Phi 1.Soc.. 1963. v.59. Jr.I. p.211-224.

8. Widom H. Asymptotic expansions for pseudodifferential operators on bounded domains.// Lecture Notes in Mathem.. Sprincrer-Ver. . N.Y./Berlin, 1986. v.1152.

3ax. 534/1-91