Об экстремальных задачах для функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОРЫШВШЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.И.ЛЭЕШВСКОГО

На правах рукописи

ШКШЖОВА Марша Анатольеыза

7ДС 517.97

ОБ ЖСТРЕМАЛЕЙЫХ ЗАДАЧАХ ДЖ ШКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЖШХ УРАВНЕНИЙ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фшпсо-математическшс наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа Пермского политехнического института

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Азбелев Н.В.

-Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Порозов С.Ф.

кандидат физико-математических наук Боткин Н.Д.

Ведущая организация - Математический институт АН СССР

им. В.А.Стеклова. •

Защита диссертации состоится " > ч - " октября 1990 г. в / 6 час, на заседании специализированного совета

К 063.77. Ш по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Горьковском государственном университете по адресу: 603600, г. Горький, ГСП - 20, пр. Гагарина, 23, корпус 2, комната

С диссертацией ыонно ознакомиться в библиотеке Горьковского государственного университета.

Автореферат разослан " /Уп сентября 1990г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидата |из. - мат. наук

В.П.Савельев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность темы. Вопросы современной физики, биолопш и экономики привели к новым задачам оптимального управления функционально-дифференциальными уравнениями. Среда различных проблем, возникающих при изучении упомянули задач, важнейшей следует считать проблему об условиях минимума функционалов. Таким условиям в случае управления некоторыми классами дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящено много работ советских я зарубежных авторов - Дж .Варги, Г.АЛСамен-ского, М.Дн.Марданова, Г.Л.Хараишвили, Л.Э.Эльсгольца и других.

Объект исследования. Изучаются экстремальные задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Частными случаями такой задачи являются классические вариационные задачи, задачи оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с отклоняющимся аргументом, ттегро-диффзренциашшми уравнениями.

Цель работы. Доказательство применимости принципа множителей Лагранжа к рассматриваемому классу экстремальных задач. Эффективное построение уравнений типа уравнений Эйлера для исследуемнх вариационных задет.

Общие методы исследования. В диссертации применяются методы функционального анализа и методы теории функционально-дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Доказана применимость принципа множителей Лагранга для широкого класса задал оптимального управления. Получены аналоги необходимых условий Эйлера, Вейер-штрасса, Лежандра, Якоби.

Практическая ценность. Результаты работы позволяют решать некоторые классы экстремальных задач, изучение которых ранее встречало затруднения.

Диссертация выполнена в соответствии с планом госбюджетной научно-исследовательской работы кафедры математического анализа Пермского политехнического института по теме "Зункционально-дифференциальнне уравнения : теория устойчивости, оптимальное управление, приближенные методы", номер государственной регистраг-ции Ш860053099.

Апробирование работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Международном Советско -Польском сешнаре "Математические методы оптимального управления и их приложения" Д!инск, 1989/, на Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия и анализ" /Кемерово, 1986/, на Всесоюзной школе по проблемам оптимального управления и его приложениям

/ЙЗевск, 1989/, на Уральских региональных конференциях "функционально-дифференциальные уравнения" /Пермь, 1985, 1988; Уфа,

1986, 1989; Челябинск, 1987 /, на семинаре профессора В.И.Бла-годатских в Математическом институте 1Н СССР им. В.А.Стеклова Д989/, на семинаре профессора М.И.Субботина в институте математики УО Ш СССР Д989/, на Пермском семинаре по функционально-диффзренциальннм уравнениям Д985 - 1990/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 123 страницы, машинописного текста, библиография содер-еит 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОШ

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

Первая глава посвящена доказательству применимости принципа множителей Лагранжа для задач оптимального управления функционально-дас^еренциатгьными уравнениями.

В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения, описан

объект исследования к сформулирован центральный результат первой главы - теорема I.

Пусть задана система точек числовой оси

0= ^ <{, <*тс+/ = Т

Через обозначим пространство кусочно абсолютно

непрерывных функций ЗС 'ТО, 7У — /I представших в виде

хш = то ш + ^ л хил) х^ гот,

где Ой о - такая абсолютно непрерывная на отрезке^, Т] функция, что Хс/о)=0) ¿¡р .

Д 2 (¿А) = - О) - 4 О) .полагаем X (•) - характеристическая функция отрезка /Хь

ГО, ¿его,**);

В пространстве (?) норму определим равенством

//X J/DSp (?)= //iy/¿/> *J/á xllR r//> где A X = Cóf /a XtO), AXtf/) > А X (tt)J . С такой нормой ®«S/> (1) - банахово пространство. Рассмотрим задачу оптимального управления

mü¡ /I /

/ tz, u)--Sf'ft/fíM ...,(ШФМ -А / i /

yfe¿/^J/feJr^-/а¿/J^-/з ¡ % икон-- =%ш?)у 4>w(x(T)m / v t

Ue^i. /5 t

Здесь = [6 ¿oo /¿¿{¿) £ ¿Sj - совокупность допусти-

мых управлений } U - ограниченное множество в

fíi: DSpiV-LvoJi^m); ф -'4 ~¿y (/ = Рг)

- линейные ограниченные операторы, причем с L&,.

Обозначим

fcx.UYV -fómm), M^w&mK.jsM)/* F^m-FffruM-- úmm, ■'•> (^тым, ■ -ЛФШ^^);

где -fíi - производная функции ~f Ct, V~, , ... , 1Г/п+л7 по аргументу 2/7 (i - М+я} . Будем предполагать, что операторы F¿ //?= 0,d¡ ¿ = /, i?7+/l) непрерывно действуют из проиЕ

ведения пространств о° в пространство ¿j •

0пределение1. Пара (Яо, U-o) , гд удовлетворяющая уравнению Д/ и ограничениям /3/, /4/, называется точкой локального минимума в задаче Д/-/5/, если для всякого ¿С из некоторой окрестности точки ¿Со и всякого U. £ ЗД , удовлетворяющих уравнению Д/ и ограничениям

/3/, /4/ выполняется неравенство

д'(яо, и0)

Составам функцию Лагранжа задачи Д/-/5/ т г/

=spm(xH) - /" +# yfe

*¿Б А? ЙАЭД.

Теорема I. Пусть /'¿Со, ¿/о ^ - точка локального минимума в задаче Д/-/5/. Тогда найдутся не равные одновременно нулю множители Лагранжа ^L О J (¿-¡TS) > pQ £ £) такие, что

I/ при U. = U о функция о является стационарной точкой функциг Лагранжа, как функции переменного т.е.

■X о удовлетворяет уравнению

РоШ-¡/М Ae*(Fe°(Xo,Ua)-po)(s)-

täk'froM))(sj)Js-//w ^ (JCoM) и условиям трансверсальности

2/ при Х- X о функция Лагранжа достигает абсолютного минимума но ¿6 б точке ¿/0 , Таким образом,

^ ^ ^ */Х0, ¿/о) - ¡Ро МРУх0, =

=(ё-, % 9 и) - Д ^ ^^ ш)^).

3/ выполнены условия дополняющей нежесткости В параграфе 1.2 рассмотрен функционал

где : ЮЗ^М-ШрМ,(¿=Щ; ву ■ ,(/=тча )

- линейные ограниченные операторы. На основе результатов работы первую и вторую производные по Фреше функционала удалось записать в специальном виде, удобном для дальнейшего исследования. А именно, показано, что вторая производная функционала У в точке Хо^^/з/г) по направлению

%>р/х(£>)=СС(7)=о) ыояет 1511111 записана в виде

3 "/X, X) = )

/ & /

тт тт

Р2 г^)аЯхг^)Р3 ($»^;,

-'■•'Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. Об одном классе функционально-дифференциальных ураинениЁ // Дифферекц. уравнения. - 1976. - Т. 12, В 3. - С. 417 - 427.

- э -

Интегралы в /6/ понимается в смысле Лебега - Стилтьеса.

Параграф 1.3 посвящен доказательству теоремы I о применимости принципа множителей Лаграняа к задаче Д/-/5/.

В параграфе I.4 исследуются актуальные частные случаи задачи Д/-/5/. Так, например, рассматривается задача оптимального управления с отклоняющимся аргументом

¡/ТА иМзГ/))м-м/;

где заданные "начальные" функции У^/ , ^ , Ъ^з в области своего определения удовлетворяют условиям: V/ - кусочно непрерывная функция, У2 , Уз - измеримые и ограниченные в существенном функции.

Подстановкой ^

+ К" (?)/

- (5г + Ц** г*);

где

(у (А; а]), Л: К) ¿Го, гЗ ; [о, %;({)4го,т];

- линейный оператор внутренней суперпозиции, , [О,

I Ям^ыгу;

приведем задачу /8/ к виду Д/-/5/. Таким образом, рассматривавшаяся многими авторами задача оптимального управления

с отклоняющимся аргументом есть частный случай задачи Д/-/5/.

Выделен класс задач оптимального управления с отклоняющимся аргументом, для которых уравнение Эйлера будет обшшовез ным дифференциальным уравнением, а условие минимума функции Лагран&а по аргументу И примет классический /"поточечный"/ вид.

---

' Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения : Дисс. ... донт. диз. - мат. наук. - Киев, 1982, 280 с.

Вторая глава посвящена изучению задач оптимального управления с бесконечным временем и задач оптимального управления со свободный временем.

Пусть ЬрСо+ео) ¡Ьр/(]^Р<аа) - банахово пространство функций X :Го,+°°) — R с нормой

i/XULfi = CfjX(t)/Prt)'/P

^оо Со,-i-00) /L ас! ~ йанахОЕО пространство измеримых и ограниченных в существенном на всей полуоси функций

UH/Lo» - Щсиллр (х (t)/.

* е-£а, + оа)

Через ®SpCo,+oo) обозначим банахово пространство кусочно абсолютно непрерывных на всей полуоси функций, представи-

мых в виде

X Ш = Хо Ш * Р л z (¿Л ) % А (6),

/1 - S

где Ха - такая абсолютно непрерывная на полуоси £о, + функция, что £о(0) = 0, Х£1рСо, + °°).

(•}- характеристическая функция полуинтервала В параграфе 2.1 рассматривается задача оптимального управления на полуоси

S F '(■x, и)ШЖ=//fe (/¡¿DU), tyuWM-t^;

U6<U,

где ft • ®Sp —¿с*(ЫШ); dj /Та)

-линейные ограниченные операторы, причем д;(£<>.

~(u£ Lao fl/ft)e(y} - совокупность допустимых управлений, U - ограниченное множество в R. .

Теорема 2. Пусть (X0,L/0)- точка локального минимума в задаче /9/. Тогда найдутся не равные одновременно нулю множители Лаграняа ^^ Л, JU В £/ , р0 6 Ю такие, что

I/ при U. = L/0 функция Хо является решением уравнения

2/ при X - ОС о функция U0 доставляет абсолютный

минимум функции Лагранжа, как функции переменного U ■ Таким образом,

Tfyf 'fXo, иа)Ш -ро (i)f°rzo,u0Xtj]tf =

¿со

= лшг / [VF u)d) ~Ро Ш f '

3/ выполнены условия трансверсальности pD(t*) = Аг ¥>х % zftz)), •• ■) ;

pc C+ 00) = -ft fx0 fr .

В параграфе 2,2 рассмотрена задача оптимального управления со свободными концами /незакрепленным временем/:

Х(Л = f °{Х, шм/л, (/)с2№ fy te&Jj;

8 g

SF'fx, /w/

Ч1(Шо))- У(йХШ)-... - (X(T))-D;

(л, х(а))= = о,-

и* гг.

Моменты времени О., $ £ СО, тЗ , в отличии от моментов времени ¿/'ЗФ'ЗТ?-^^ не предполагаются фиксированными.

(¿=777»)] ¿3/ , {/-юн, /г )

- линейные ограниченные операторы, причем в>^(Ьо<,) .

Р,ешение. (О., В, ССа , Ц0 ) задачи ДО/ ищется, как элемент множества Я Я ¿ЮБр (т) х . Таким образом, функции X и и будем искать на всем отрезке Со, Т3 , иначе выражения (Ас.X) , (Зу~и) для произвольных линейных операторов Й ^ } & / теряют смысл.

Обозначим через среднюю по Стеклову функции

тЗ— А .

Теорема 3. Пусть (&,£, ¿¿о) ~ точка локального минимума в задаче ДО/. Тогда найдутся не равные одновременно нулю множители Ляграняа ]/а / )/, ) ¡/^ >, ...}

( О , ¿£Го,тЗ^Са,£31

что

I/ функция £о удовлетворяет равенству

7* .

й /-Го, ио)ро ~ ио

- ^ га, Хо Га))7£о> $г М =Ро Ю;

2/ при ~ ЭСо санкция Мо доставляет абсолютный минимум функции Лагранжа, как функции переменного ; таким образом,

- Рои) F 72о, ¿/о)М)а¥ -

£

3/ выполнены условия трансверсальности

= Ул /Л ХГ^)), /¿--0?)

причем, /^и = О , если ^

4/ средние по Стеклову от лагранжиана на концах отрезка /¿2, удовлетворяют соотношениям

^ % V*; - Рл°Са)ро^ - и /а, х0/а)); % - РАй(6)р0(в) = Ж№ х0 (*)) ■

В третьей главе рассматривается вариационная задача. В теории вариационных задач накоплено немало примеров,

когда уравнения Эйлера оказываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, импульсными шш сингулярными уравнениями. Решение каждой такой задачи удобно искать в специально

выбранном пространстве. На основе элементов теории "абстрактно-

3 4)

го функционально-дифференциального уравнения" , в параграфе

3.1 выводится уравнение Эйлера для вариационной задачи

в Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. К абстрактной теории линейного уравнения// Функционально-дафференц. уравнения: Мезявуз. сб. научн. тр. / Пери, политехн. ин-т. - Пермь, 1989. - С. 15-27.

4)

Азбелев Н,В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактное функционально-дифференц. уравнение // Функционаяьно-дифференц. уравнения : Межвуз. сб. научн. тр./ Перм. политехи, ин-т. - Пермь, 1987. - С. 3-11.

' Ш (Т,х)М, ...,{■Тп, - ¿У;

0 ////

, /у■■■,«);

где Т; Я) — 3, /¿-Л Ю ) _ линейные ограниченные операторы,

- линейные ограниченные функционалы.

Здесь - банахово пространство, язсмор<|кое

Изоморфизм У В * £ ^ — Ю определяется равенством

У-[Л, У] , где Л 8 — Я) - линейная инъекция, у• ¡¿к__- фиксированный алгебраический изоморфизм.

Таким образом, элемент X ^ Ю однозначно представляется в виде

+ У £ /12 /

где , /в * # " .

Если к обеим частям равенства /12/ применить линейный ограниченный функционал , то для этого функционала

получим представление

£ - й % А» >

где , У/ ев*

Обозначим через У^ ¡ч^Ум - столбцы

матрицы К

Теорема 4. Пусть X 0 - решение задачи /II/. Тогда среди решений системы уравнений

«г'

найдется такое решение У/ » 1/э > ■ ■ • > 1Л" , что ¿Г^ удовлетворяет "уравнению Эйлера"

В параграфа 3.2 на основе результатов первой главы получены аналоги условий Вейерштрасса и Лекандра для следующей вариационной задачи

йСх) = ¡РШс х), (6; х)]Щ ж = - //ТУ- Шх)(Ц (в/хММ-^/; 'п /

& /5* , (А = О, /„„,"?+/).

Здесь /¡I : Я)Эр (1) — (г), ■ ^(гП^(/^ючл)

- нетеровы операторы.

Теорема 5 /Условие Вейерштрасса/. Пусть Хо -экстремаль задачи ДЗ/. Для того чтобы Хо доставляла локальный минимум в задаче ДЗ/ необходимо, чтобы для любого

Х£ Я)5/>(¥} было выполнено неравенство т

¡>[Г(/)<1с, В/хт-ШХо, В;ХоШ) -

£ £ух0)МЗе (2-х0ъо.

Георема 6 Дсловие Лежандра/. Пусть Х0 - экстремаль задачи ДЗ/. Для того чтобы X о доставляла локальный минимум в задаче ДЗ/ необходимо, чтобы функция , определенная равенством /7/ была представит в виде Рз ^ ¿А Ш ¿4 К?) . Показано, что полученные необходимые условия в случае классической вариационной задачи оказываются классическими условиями Вейерштрасса и Лежандра.

Параграф 3.3 посвящен доказательству необходимого условия

типа условия Якоби.

Определение 2. Будем говорить, что выполнено

усиленное условие Лежандра, если найдется такое Д >0 , что для каждого ненулевого отрезка Л ^¿О, Т7 выполнено неравенство

Wf-p (¿хл) г р tfmtfû tA) .

Уравнение Эйлера второй вариации функционала -У естественно назвать уравнением Якоби йшкционала Ci . Уравнение Якоби - линейное функционально-дифференциальное уравнение.

Теорема 7 /Условие Якоби/. Пусть jO о - экстремаль задачи ДЗ/ и па ней выполнено усиленное условие Лежандра.

Для того чтобы S о доставляла локальный минимум в задаче ДЗ/

необходимо, чтобы для решения уравнения Якоби с краевыми условиями было справедливо равенство

ГЩ[[Tj/Â(r/)^0I fi(rhOt ZeCrt) Гг]}=0.

ПУБЛИКАЦИИ ПО TIME ДИССЕРТАЦИИ

1. Драхлвн М.Е., Макагоноза М.А. Принцип множителей Лагранла для задач оптимального управления функционально-дифференциальными уравнениями // Международный Советско - Польский семинар : Тез. докл. - Минск, 1989. - С. 40-41.

2, Драхпин М.Е., Макагонова М.А. Функционально-дифференциальные уравнения Эйлера // Функционально-днфференц. уравнения: Межвуз. сб. научн. тр. / Перм. политехи, ин-т. - Пермь, 1987. - С. 12 - 18.

3. Макагонова М.А, О вариационной задаче с отклоняющимся аргументом // Всесоюзн. школа "Оптимальное управление. Геометрия

и анализ" : Тез. докл. - Кемерово, 1986. - С. 28.

4. Макагонова М.А. О принципе множителей Лагранжа для задач оптимального управления функцшнаяьно-дифференциашшми уравнениями // Ш Уральская региональная конвенция "Функцио-

нально-диффэренциальше уравнения и их приложения" : Тез.

докл. - Пермь, 1988. - С. 59.

5. Макагонова М.А. Доказательство принципа множителей Лагранжа для некоторых задач оптимального управления / Перм. политехи.

ш-т. - Пермь, 1988. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.07.88,К 5667.

6. Макагонова М.А. О дифференцируемое™ функционалов / Перм. политехи, ш-т. - Пермь, 1989. - 31 с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.90, й 430.

7t Макагонова М.А. Специальные задачи оптимального управления } Перы. политехи, ян-г. - Пермь, 1989. - 31 с. Деп, в ВИНИТИ 19.01.90, 16 429.

Подписано к печати 4.07.90. ЛБ06490. Формат 60x84/16. Объем 1,25 п.л. Тираж 100. Заказ 1363. Бесплатно.

Ротапринт Пермского политехнического института