Об изображениях конечных р-групп над некоторыми факториальными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

2 О П,01{ 'ЗЗ^^уедА УЩВЕРСИНЯ ¿Мф ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

ОРОС В1КТОР МИХАЙЛОВИЧ

ПРО ЭОЕРАХЯШ 0К1НЧ2ННЖ р-Г?Л1 НАД ДЕЯйМИ ФАКТ0Р1АЛЬНШИ ШЬЦЕ'Л

14.01.06 - математична лог1ка, алгебра I теор1я чксел

АВТОРЕФЕРАТ

ЗюертацИ на здобуття науковсго ступекя кандидата дазихо-матзглатачЕпс наук

КИ13 - 1993

Робота виконана у в1ддГл1 алгебри 1нституту математики АН Укра1ни та кафедр1 алгебри Ужгородського державного ун!верситету.

Науков1 кер1вшки - доктор ф1зико-математичних наук, црофесор ГУдаВОК ü.M.

- доктор ф1зико-мат ематичних наук, црофесор РОЙТЕР A.B.

0$Ьц1йн1 опоненти - доктор ф1зико-математичних наук, професор КИРИЧЕНКО В.В.

- кандидат ф1зико-математичних наук,

ст. наук. сп1вроб1тник БОНДАРЕНКО В.М.

Прсв1дна орган1зац!я - 1нстктут к1бернетккк АН Укра1ки

Захкст в1д0удеться " -У" ti/}ßi{,x 1Э93р. о А'00 годин1 на зас1данн1 спецГайзовано! ради Я) D/.Of. Oi по присуждению ученого ступени доктора ф1зико-матекаткчнюс наук в Ки1вському ун1верспте?1 1м. Тараса Цевченка за адрс-сою: 252х~7, Ки1в-127, npocnci:t академ1ка Глушкова, д. 6, мехгаХко-математи^и-г факультет.

3 дассртац1ею мояна озкайомитись в б!бл1отец1 Ки1в -ського университету 1тл. Тараса Шевченка.

Автореферат роз1слашш " Г- )?и?а Ь((Л IS93 р.

Учений секретар _

спец1аг1зовано1 ради (J •W/' 0BCI6HK0 С.А.

-г -

ЗАГМША ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнготь теми. Теор1я зобраяень скиченних

груп над комутатиЕними К1ль-дями почала нтенсивно розвиватись в 50-Т1 роки. Ыаракдою, Гр1но;.', Хеллероы, Д.К.Фадцеевим, 3.1.Боревичем та 1Н. були започаткован1 основа локально? теорИ хцлочислоеих зобра^ень ск1нченних груд. Зокрема, 3.1.Боревич I Д.К.Фаддеев довели спра-Еедлив1сть теорегш Крулля-КШдта для зобра~ень скиченких гр.уп над нетеровжл; поеникд локальниии кхльцямп.

па початку 60-х рокхз зусклля:.:и ¿.Д/Бежаиа, П.П.ГудлЕка, А.В.Ро::тера, Ра"лера 1 Хеллера була розв'язана задача про число 1ъ(_2рСг) неекв1валектних нерозкладних зобрааень скп-зчен-1:01 групп Сг над ильцек Жр ципх р-адпчнпх чдсзл. Зеяей-лося, цс число П-(ЖрСг) окхкченне год1 1 тхлькл ?одх, коли спловоька рчидгрупа груди (т з т-пшчкоюгрудоЕ порядку р^

Аналог 1чна задача для зобразезь ок1:-;че:-::::1х груп над познаа .дискретно нор?.;овани:.: киьце:: розв'язана Ло^.Гудпвко'.: г Якобхнськп:.:. я.о.Назарова i А.В.Яковлев описал:; ехдповхдио вс1 нерозкладнх 2^-предстазлення че?Е1р:-:о1 груш: I цикл1чпох групп восьмого ПОрЯДКУ.

Л:~икчека група £}• назиЕаеться длко:о над ко'.:утатпвн::п к I льде:.: К з оданяцею, якцо описанзя з точн1ст:; до К-еквхва-ленткостх :.:атрпчнях К-зобра?.2>;ь груш; 0" включаз задачу класиГ;1кац1'х з точн1стю до под1бност1 пар П.х?1-!.:атрлтдь над деякк:.; поле;.-; Р ( 1г - довыьне натуральне число).

п.м.тудавок показав, що скгвченка р-група Сс не з дикой над халъцен Жр тод1 I тхльки тод1, коли Екконусться одна 13

умов:

1)0"- абелева група типу (2,2);

х.

2) Сг - цикична група порядку р ( );

ъ

3) О* - цшшчна група порядку &

V дан1й дисертащйнхй роботх вивчаються зобраяення ск1нчек них р-груп над киьцеи сс'ормальних степенеЕах рядхв Е1д бага-тъох змхкних з Ц1лими р-адичними коерщентаыи, а такоя над деякииа о:актор1альни:.ш мльцями.

•¡Лета р о б о т и. Вивчення питания про дикхсть

скхнченпо! р-групи над кхльце:/; §ор:,;альних степеневих рядхе Е1д з:лнних

ОС, ■ ■, 3 кое^1Ц1ента!.и хз к1лъця Ж.р , а такого дозлхд-

. .. Г

ження Н63Е1ДНИХ зобрадень ск1Еченко1 р-групп порядку

]Сг1 >1 над нетероЕимн с-актор1альЕД!.2 кыьцякя характерно??!!;! р>0 , я'кх не с областям: гояовних 1деал1г.

I

Методика д о о л I д к е н н я. И робот 1 екко-

ристоеукугьоя

аетоди I технхка теорх! цхлоч^слоелх зобралень ск1нченн!-к груп.

Наукова новизна. 3 дпсертацпШГ робот:

псеехст:-; розЕ'язана задача про дик1сть ск1нчекно'т р-групи над :-йльце!.; Гюригльких степе-незкх ряд1в вхд багатъох зимних з ц1лими р-адичнпии кое;а-щентами.

Описан I вс1 кееквхЕалентк1 нерозкладн1 образе кия

щкл1ЧНох групп порядку р .

У робот1 тагак показано, цо для дое1лъ>:ого натурального числа Т1 1снуе незЕХдне [_-з обращения скхнченко! р-групи

- Ч -

Q порядку |Q|>i степеня Yl ( L - нетерове фактор1альне К1льце характеристики р>0 , яке не е областю головних 1деалхв).

KpiM цього доведено, що icHye неск1нченне число неспряжених силовських р-Д1дгруп групп GrL(rij L) (ft-)•

Теоретична i практична ц i н н i с ть.

Дисертац1йна робота мае теоретичний характер. Отрима:-п результа-ти ¡.сожуть бути використан1 в Teopi'i зобракень ск1Еченних труп, а такок при читанн1 спещатьних курив з алгебри.

А я р о б а щ i я робот к. Ocho2hi результата дисер- _ •

тацп<:но1 робот:: .допов1да-лись на XIX Воеооюзнхй алгебрашик ковгеренцЛ (JibBis, 1987 р.), XI Всесоюзно:® cii:,;no3iyr.]i з Tecpii груп (Свер.дловськ, 1939 р.), а тако;:-; на алгебрахчних сешнарах Лекхкградського Б1дд1ду .„ате-:.-;атичкого iaстатуту i:.i. В.А.Отеклова All JPOP i Угхгорсдоького деркавного укхзерситету.

¡1 j б л i к а ц i i. По тег/i дксеотацпл опублхксзано 5 ро-6it, список якпх прлзедек:::: в к1нцх

' автореферату.

Структура i об'ем робот и. длсертацг:

складаеть-

ся i3 вступу, трьох параграгав i списка вдкористанох лйератур::. Загальни:*: об'з;.; робот:-: складаз 54 сторгнкл :.:аш::копис:-:ого тексту. uiidniorpaQifl E:.iiuys 42 назви. ^пкорастонузться посл1довна :<уце-рац!Я ТЕердаень.

31,ИСТ РОБОТИ

У вступ1 дано короткий огляд робхт по теьи дисертащ!, обгрунтована 'актуальн1сть теми i коротко сйорыульовано оспоен1 результата роботи.

У першому парагради дисертац1йно1 роботи даеться повне описания зображень цикл1чно1 групи порядку р над йльцем гор-мальних степеневкх рядхв в1д одно1 з:лнео1 з цшюй р-адични-кое.*щ1ектани. Доведана сл1Д.уюча

Теорема I. ЕехаЗ Н =<СьГ> — щшйчна р-група поточную до Кр-екв1валент1:оотх

Н вичерпуються

рядку р I Кр=Жр[[Х]] . 3

зсх керозклад:

,Н1 шттжчн! К о-зоб'оахенг

с л 1ду кчиш з обращениями:

О 1

ння груди

I А,

о

ЦеЫ),

Си (Ми{о});

16 е

х.:атзит, яка в1дповхдае опера?соу ынокення ка

• Р'2

Кр-базио1 I, £■,...,£> кп:льця КрЦ&З Со - первхснкй ко-еденя р хз I); А;,=(о,. ..^О^ОС1-) ; В^ - иатрлця,

зана до матриц! ; £Г\1 - шожина натуралъних

р1нь ст

транслоно чисел.

;.еха:1 Г : О.-» ГСа) - :.:атркчне Кр-зобраяення групп Н=<а> . Эобралення Г "окна записатк у зигляд1

а-*-Г(а)= А + осхВ,

- Кр

де А» - матрппя над 2£р , а В - така матрица над К0 , цо

5=0 при 1=0 I &$0(тоо1 ПС Кр) при . 3 використан-ням вигляду ^р-зобраяень групи г~1 , описаних

Д1дер1ксеном, доведения теореми I зводитьоя до посладовного розв'язання ряду матричних задач над кьльцем Кр.

Зазначимо, що для ^рСС^,..т3]-зобраяень окиченно! групи 0" справедлива теорема Крулля-Шшдта. Тому достатньо описувати тхльки нерозкладн1 Л]-зобраяенкя

групи 0" .

У другому параграф! робстц винчаються зобращения скученно! р-групи над к1льцеы форыальних степенезих ряд1в в1д бага-тьох з:лнних з ц1лиг.;и р-адични:.;и коеГ:щ1зн?аг.:п.

Розв'язане питания про дшисть скиченнох р-групи над К1льцем Кр ^■рН-^у^т.И • доедена. слхдувча

Дп

Т

Т е о в е м а 2. ^¿нченна " р-група (ц- порядку (з дикою над К1льцем Г\о » якцо Елконузтьоя одна 13 слхдукчих

УГ.:ОЕ:

1)1$1>.р,т=1 ; 2^0-1 >1 ,т>1 .

доведения зводитьоя до розгляду ряду в::падк1в. /дя ко::с:ого з них будуються в1дпоЕхд1и К р-зо5ра::::ння, за долосогсю якпх показуеться, що описания з точнютю до Г\ р-екв1валентност1 матричних К^-зсбра'::с::ь групп 0" включаз задачу про пару матриць над деянии поле:.; Р .

Такии чином, в §1 1 §2 показано, цо описания Ееекв12алент-них К^р-зобра'нень скхнченкох р-групи порядку /(^-|>! не включаз в себе задач:/ про пару матриць ?сд1 х тзлъки тод1, коли 0" - цйклхчна трупа порядку р х Н1 -I .

Нехай Н - сикченна група, - область цътосност1 з единицею ¿и - поле вхцкошень К1льця L . Якщо [_ з области

головних 1деал1в, то вэдомо, що матричне Изображения групи Н е звеним тод1 I т£льки тод1, коли воно зв1дне над полем

/V ....

и • Зв1дси виллавае, що в цьому вападку степенх незвхдних |_-зображень групи Н не перевищують 11 порядку. У вападку, коли Ь не е областю головних 1деал1в вищеприведене тверд-женкя не мае ьисця.

НехаЕ Н - скхкченка р-група порядку | Н | > I , К -нетероЕе гакторхальне ильце характеристики р>0 , яке не е областю головних 1деал1в. У третьому параграфх роботи показано, що 1снуить незввднх матричнх К-зобрадення групп Н як зав-годно высокого степеня VI . Доведена

Теорема 3. НехаГ; Н - скхнченна р-група порядку 1Н1>1 х К - нетерове с\актер!алы:е кхльце характеристика р>С . яке не з областю головних ¡сдеалхв. для довхльного натурального чдела М 1снус незвхдне К-&обращения трупа Н степеня ТЬ .

Зазнач'шо, до ni.ii доведена теореии будукться в язноод загдгсд! н2321дн1 К-зобранення степеня М цикл1чно1 група Н порядку р .

У дг!ю:.:у параграф! дссягдяузться таноэс питааая про число СалОВСЬККХ р-П1ДГруП групи Ч>1 ).

Я:-: вхдо!.;о, якщо и - область головних 1деал1Е характеристик:-: р , то дов1льна силовське р-пхдгрупа групи (^¿-(п,[_} спрядена з унхтракуткою групою ИТ(П-.,Ц)• У випадку, коли 1_ -не е областю головних ¿.деаив, дане твердаення не мае гдеця.

Теорема 4. 1снуз нескхнченке число кеспрянених са-ловсъклх р-ахдгруп групи Сг1_(п,К,) ( П>1 ), де К - нете-ровз '".акторхальне кхльце характеристика р>0 , яке не е об-

ластю головних 1деал1в.

Доведения теорема 4 грунтуеться на побудов1 cepii неспряже-них силовоьких p-niflrpyn групп Qi(MjK)( П>1 ) за доломогою незвгдних К-зображень циклiчноi групи Н порядку р , описа-них в Teopewi 3.

Зауважимо, що результати третього параграфу узагальнюють aH3Jiori4Hi результати, одержав i П.!л.Гудцвко:.; i о.Я.Погорхляк у випадку, коли l= - к!льце подшогле в1д 7tl

зшнних 3 кое'?хц13нта!.:и Í3 поля F характеристики

р>0 .

Ochobhí результати, отриман1 в дисертац11, опубл1кован1 в слхдуючих роботах:

1. Гудизок П.;;|., Орос 3.;.;., Ройгер A.B. О представлениях конечной р-групп над кольцо;.: :;ориальвш: степенных ряде? с целочисленными р-адическигли зоэ^.;ицкентаг!и//3 кн.: XI Всесоюзны:": симпозиум по теории групп. Тезис:: оооб'Д. - JEep;yiOECK, 1989. - С. 39.

2. Гудинок Ii...I., Орос З..л., Роитер A.B. О представления -: кокеч-нг: групп над кольцо:.: C'opvaibHv:: степени;::: рядов с дели::::

. р-адичеекк:::: коо';-1пг,::енга:.:п//ло:-»1. АН 00Ü?. - 1990. - 314, Л I. - С. 49-52.

3. Гу-пвок П.."., Орос Ь..]., Рейтер A.B. О представления:: кснеч-'¿V.Z р-групп над ксльдоч сТорслальвкс степеннг.:: рядов с -дзлы-.'.:п р-аднческн.'.:п коэГ£нцлентаг.1к//Укр..чаге;:.-урн. - 1992.44, Л6. - 0.753-765.

4. Орос 3.:.1. О чодедярных непригодеших представления:: конечна:: р-групп над кетеровшя ^аеториальнкйи кольцгиа//В кн.:

ИХ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщ. -Львов, 1987. - 4.1. - С.207. 6. Орос В.II 0 силовских- р-подгрупдах полной линейной группы над нетеровыми факториальныни кольцаш//Деп. в УкрНИИНТИ. - 1989. - 627-Укр89. - С.8.

Зги. Н 193. Т'.;р. 103.' Ксгро:;с-я$=рате?1я "Гциа МЫ'» м./кгаид-!?? с^л. Кгсизна? 24