Об общих нормально разрешимых задачах для некоторых дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. К ВОПРОСАМ РАСШИРЕНИЯ И СУЖЕНИЯ

ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§ I. Необходимые определения и некоторые вспомогательные утверждения.

§ 2. Корректно разрешимые расширения операторов.

§ 3. Корректно разрешимые сужения операторов.

§ 4. Нормально разрешимые сужения операторов.

ГЛАВА П. О КОРРЕКТНО РАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО И УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЙ.

§ I. О спектре некоторых задач для уравнений Лапласа и волны.

§ 2. О корректно разрешимых задачах для псевдопараболического уравнения.

§ 3. О корректно''.разрешимых задачах для ультрагиперболического уравнения.

ГЛАВА Ш. О НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ I. Общие нормально разрешимые задачи в круге для уравнения Бицадзе.

§ 2. О коэрцитивных задачах для одного вырождающегося эллиптического уравнения.

Настоящая работа посвящена актуальной проблеме описания нормально разрешимых задач для различных дифференциальных уравнений. Основной подход, используемый при этом, -теория сужений и расширений операторов в банаховом пространстве. Он позволяет получить описание (в канонической форме) всех нормально разрешимых задач для различных дифференциальных уравнений, безотносительно к типу в классическом смысле. Вообще, под задачей понимается система условий, опреде-) ляющих сужение так называемого максимального дифференциального оператора, порождаемого общей дифференциальной операцией в рассматриваемом банаховом пространстве функций над конечной областью евклидова пространства.

Пусть Si - область в и X= Lр (£2) (l< р

Рассмотрим в Q (линейную дифференциальную) операцию it. с достаточно гладкими коэффициентами. Пусть ^ - операция, формально сопряженная к

Рассматривая сужение на

С. (2) как оператор из У\ в К и замыкая его в норме графика, определим минимальный оператор L0(^La) • Операторы и называются максимальными операторами для и соответственно.

Задачей для уравнения в пространстве X в области а ) называется замкнутый оператор L такой, что L^ L ^

Задача [ назьгаается краевой, если

Всякую функцию Ц ' из Ш) будем называть решеV нием задачи L .

Существует такая связь между множеством задач L для уравнения = l в пространстве ^ (области Si ) и множеством однородных дополнительных условий вида к) где X - линейный (ограниченный или неограниченный) оператор, действующий из D^L) в некоторое банахово пространство У .

Условие (эО определяет некоторую задачу [ для уравнения Ц (u.) = | в пространстве t -сужение L на множество D(L) функций u, е 3)СО » удовлетворяющих однородному дополнительному условию (к). В этом случае будем говорить, что задача L определяется дополнительным условием (к).

Однако по заданной"задаче L соответствующее ему однородное дополнительное условие восстанавливается неоднозначно. И, наоборот, разным однородным дополнительным уело-) виям может соответствовать одна и та же задача L . Дейг--' ствительно, если, например, задача L определяется дополнительным условием вида (к), то та же задача будет соответствовать дополнительному условию полученному применением к обеим частям (к) обратимого оператора К ± . Условие (ш) формально отличается от краевого условия (к), но на самом деле оба они налагают на функции одни и те же условия, так как обоим этим условиям удовлетворяет один и тот же запас функций IL . ПоэтоV му по задаче [ мы построим одно определенное, соответствующее ему однородное дополнительное условие, которое мы будем называть дополнительным условием в канонической форме.

Теория расширений неограниченных операторов, восходящая к работам Дж.Неймана (см.,например, [i*] ), первоначально имела своей целью описание расширений симметрического оператора. Из работ этого направления отметим работы - II. В дальнейшем она получила многочисленные приложения в анализе (теория моментов) и теории краевых запач.

Работой М.И.Вишика [ 12 "] было представлено новое и важное направление в теории расширений. Он получил общий вид расширений А минимального оператора L0 , заключенных в максимальном операторе | и, обладающих тем или иным свойством разрешимости. Основой подхода М.И.Вишика является теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, и в пременении к конкретным дифференциальным операторам, рассматриваемым в гильбертовых пространствах, этот подход позволяет получить общий вид (каноническую форму) всевозможных для этих операторов нормально разрешимых задач. Сам же М.И.Вишик применил эту теорию к исследованию общих краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка.

Существенное развитие получила теория расширений в работах А.А.Дезина (см., например, ), который предложил единый подход к применению этой теории к общим дифференциальным операторам. Им получено описание правильных расширений для общих обыкновенных дифференциальных операторов, которое в дальнейшем было им же успешно применено к исследованию вопроса о правильной постановке краевых задач для уравнений с операторными коэффициентами, а также для некоторых "неклассических" уравнений. При этом А.А.Дезин связывает задачу о расширениях с рядом специальных вопросов спектральной теории.

Работа Т.Ш.Кальменова и М.Отелбаева » в которой в терминах краевых условий были описаны разрешимые по М.И.Ви-шику расширения для оператора Лаврентьева-Бицадзе, положила начало применениям упомянутой выше теории. Вишика к уравнениям гиперболического и смешанного типов. В дальнейшем это направление было развито в основном усилиями Т.Ш.Кальменова

Во всех приведенных выше работах применялась теория Вишика, непригодная для применения к операторам, рассматриваемым в негильбертовых пространствах. Вопрос об общем виде корректно разрешимых задач для дифференциальных операторов, рассматриваемых в банаховом пространстве, впервые подвергся :изучению в работе М.Отелбаева и А.Н.Шыныбекова [l6~j . Авторами была получено общее представление сужений максимального оператора, обладающих свойством корректной разрешимости и не являющихся расширением минимального оператора. Затем этот абстрактный результат был применен А. Н. Шыныбековым [l7~l Для описания всевозможных корректных задач для ряда модельных дифференциальных операторов, рассматриваемых в пространстве непрерывных функций. При этом им был выделен интересный класс корректных задач типа Бицадзе-Самарского (^18] , который, кстати, в рамках теории Вишика описать нельзя. и его учеников.

Отметим, что упомянутый выше абстрактный результат М.Отелбаева и А.Н.Шыныбекова, как, впрочем, и результат М.И. Вишика, трудноприменим к исследованию нестандартных (немодельных) дифференциальных операторов. А в приложениях, как известно, часто возникают задачи, связанные с исследованием "неклассических" уравнений в частных производных, причем рас сматриваемых в банаховых пространствах. Как потребность при-х ложений, так и некоторые примеры математических задач показывают, что кроме задач корректных представляют интерес и другие нормально разрешимые (нетеровы, фредгольмовы) задачи. И, наконец, важность изучения спектральных свойств корректных задач, не являющихся краевыми, не вызывает сомнений. Все сказанное выше подтверждает актуальность темы диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и разбита на 9 параграфов. Перейдем к краткому описан ниго содержания работы.

1. 7. „о-*. Oil^MjU^ tl^uie^UUotie. НеыШ-ibsAz1.- MULL (bn.} УШ 49-Ш2. К. Fstores O^ diffezje^licJ? , T^eu^S. Q-m&t.hiculk. San. ? V/. 55", <f944j 4 32.- 45"*.3. 7K. Ж £

2. SLtX-t- f^CLh^^ -j-oX-h^d^iLOTL-^ Lh^CJL, . — CLftWL. Soc. Oo'CioqU.Lu-rtt.РМСссико-ы XV ; У93Я, . ^

3. Крейн М.Г. 0 самосопряженных расширениях ограниченных и полуограниченных эрмитовых операторов.- ДАН СССР, т.18, № 5, 1945, с.303-306.

4. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. ч.1 Математический сборник, 20 (62), № 3, 1947, с.431-495.

5. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения. ч.2 Математический сборник, 21 (63), $ 3, 1947, с.265-404.

6. Красносельский М.А. О расширении эрмитовых операторов с неплотной областью определения.- ДАН СССР, т.59, В I, 1948.

7. Красносельский М.А. О самосопряженных расширениях эрмитовых операторов.- Укр.матем.журнал, й I, 1949, с.21-37.

8. Крейн М.Г. и Красносельский М.А. Основные теоремы о расширениях эрмитовых операторов.- Успехи математических наук, т.2, 319, 1947, с.68-107.10. dc^tkusu f Synutn.zi-гсе. га, я о тma-^iсж2 in,X/*ucfl. fflaJL. ЛГч^М*,*. 504- 508.

9. Наймарк М.А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора,- Известия АН СССР, серия математическая, Т.4, 1940.

10. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений,- Труды Московского математического общества. T.I, 1952, с.187-246.

11. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач.- Москва, Наука, 1980, 208 с.

12. Кальменов Т.Ш. и Отелбаев М. О регулярных краевых задачах для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.- Дифференц.уравнения, т.17, & 5, 1981, с.873-885.

13. Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов.- Автореферат докторской диссертации, М.: 1982, 26 с.

14. Шыныбеков А.Н. и Отелбаев М. О корректных задачах типа Би-цадзе-Самарского.- ДАН СССР, т.265, J5 4, 1982, 815-819.

15. Шыныбеков А.Н. О корректных расширениях и сужениях некоторых дифференциальных операторов.- Кандидатская диссертация, 1983, АН КазССР, ИЗ с.

16. Бицадзе А.В. и Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач.- ДАН СССР, т.18 5, В 4, 1969, 739-740.

17. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными. Успехи матем.наук, т.1, вып. 3-4 (13-14) (1946), 44-70.

18. Пискунов Н.С. О характеристической задаче для уравнения ультрагиперболического типа.- ДАН СССР, т.59, J3 3 (1948), с.439-442.

19. Пискунов Н.С. Некоторые краевые задачи для уравнения ультрагиперболического типа. Успехи матем.наук, т.Ш, вып 3 (25) (1948), с.152-154.

20. Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов вчастных производных,- М.: ИЛ, 1959, 112 с.

21. Березанский Ю.М. Об операторе, порожденном ультрагиперболическим дифференциальным выражением, Укр.матем.журнал, т.II,3 (1959), 315-321.

22. Благовещенский А.С. О характеристической задаче для ультрагиперболического уравнения. Матем.сборник, т.63 (105), JS I, с.137-168.

23. Дезин А.А. Простейшие разрешаемые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов.- ДАН ССОР, т.148, JS 5 (1963), с.1013-1016.

24. Благовещенский А.С., Васильев А.Н. Некоторые новые корректные задачи для ультрагиперболического уравнения. Вестник ЛГУ", 1976, Ш 19, с.152-153.

25. Бубнов Б.А. Об одной краевой задаче для сингулярного ультрагиперболического уравнения.- Сиб.матем.журнал, 1976, т.17,JS I, с.216-219.

26. Бубнов Б.А., Врагов В.Н. К теории краевых задач для некоторых классов ультрагиперболических уравнений.- ДАН СССР, 1982, т.264, IH, с.795-800.

27. Ерошенков Е.П. О спектре задачи Бицадзе-Самарского. Диффе-ренц.уравнения, 1983, т.19, JS I.

28. Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К вопросам расширения и сужения операторов,- ДАН СССР, т.271, JS 6, 1983,с.24-26.

29. Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. О расширениях и сужениях операторов в банаховом пространстве,- Успехи математических наук, т.37, $ 4, 1982, с.116.

30. Кокебаев Б.К., Отелбаев М. Об одном классе корректных краевых задач,- Успехи матем.наук, т.37, № 4, 1982, с.227.

31. Кокебаев Б.К., Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов, ч.1.- Известия АН КазССР, серия физ.-мат., В 5, 1982; ч.2 там же, № I, 1983, с.24-26.

32. Кокебаев Б.К. О корректных краевых задачах для некоторых дифференциальных уравнений,- сб.статей "Краевые задачи для дифф. уравнений и их приложения в механике и технике", Алма-Ата, Наука, 1983, с.80-85.

33. Кокебаев Б.К. К вопросам расширения и сужения операторов в банаховом пространстве,- сб.статей "Функциональный анализ, дифференциальные уравнения и их приложения", Алма-Ата, 1982, с.83-90.

34. Кокебаев Б.К., Отелбаев М. К вопросам расширения и сужения операторов.- Тезисы докладов УП Казахстанской научной конференции по математике и механике, Караганда, 1981, с.24-25.

35. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, т.П. Спектральная теория.- М.: Мир, 1966.

36. Бицадзе А.В. Общее представление решений эллиптических систем дифференциальных уравнений и некоторые их приложения.-Канд.диссертация, 1944, АН ГрузССР, 62 с.

37. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.- М.: Ф.-М., 1959, 628 с.

38. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1969, 104 с.

39. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972, 740 с.

40. Мамян А.Х. Построение разрешимых расширений в параллелепипеде для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.- Дифференциальные уравнения, т.6, JS 2 (1970),с.358-370.

41. Мамян А.Х. О некоторых свойствах множества граничных задач.-Математический сборник, т.Ш (163), 1Ь 3 (7), 1983, с.430-438.

42. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова Думка, 1965, 790 с.45. d, Со^сСсСс-^^о-ги^ aAjoin.i svuis/^^h^o-yts eUrf-LhJLcl ofiez*.{0ifdctveiuxj YrioJrk f Afd >

43. Михайлец В.А. Спектры операторов и граничные задачи,- Спектральный анализ дифф.операторов, Киев, с.106-131.47. йосида К. Функциональный анализ,- М.: Мир, 1967, 624 с.

44. Рудин У. функциональный анализ.- М.: Мир, 1975, 444 с.

45. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М.: Наука, 1966, 204 с.

46. Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных,- М.: Мир, 1967.

47. Отелбаев М. Критерий совпадения расширений эллиптического оператора, соответствующих задачам Дирихле и Неймана.- Математические заметки, т.29, вып.6, 1981, с.867-874.

48. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения,- М.: Наука, 1975.